Estructura de la Tesis

Esta Memoria se estructura en varios capítulos cuyos contenidos se describen a continuación. Siguen una secuencia temporal coherente con la estrategia de investigación, consistente en la combinación de ciclos de investigación, desarrollo y análisis agrupados en tres fases: Estudio Inicial (previa a la experimentación); Observación Participante (profundización en un curso y experimentación como profesora de prácticas); y Estudio del caso de los Espacios Vectoriales Cociente (focalización en un concepto para estudiar la relación entre visualización y comprensión). Esta organización responde al requerimiento característico del enfoque DR de dar cuenta no sólo de los resultados sino también del proceso de investigación y las decisiones tomadas durante el mismo:

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Developmental research means:" experiencing the cyclic process of development and research so consciously, and reporting on it so candidly that it justifies itself, and that this experience can be transmitted to others to become like their own experience"(Freudenthal, 1991, p. 161). Por tanto, una lectura lineal de esta Memoria facilita al lector la comprensión del conocimiento al que el proceso de investigación da lugar, favoreciendo su credibilidad y transferencia (Gravemeijer, 1994). Otro tipo de lectura, más adecuada para quienes estén interesados en resultados concretos y no tanto en el proceso global, es la lectura por objetivos. En ese caso se recomienda empezar por la Discusión de resultados (Capítulo 5.1) y desde ahí profundizar más en las partes de la Memoria que se considere oportuno. Ambos tipos de lectura puede realizarse a dos niveles: exhaustivamente o visualmente. Las figuras se incluyen en el texto no sólo para ilustrar los contenidos a los que acompañan, sino para sintetizarlos y para resaltar lo más importante. Esto se hace con ayuda de los pies correspondientes, donde en coherencia con nuestros resultados, se explica y aclara lo que cada imagen representa.

Respecto a los contenidos de cada capítulo, en esta Introducción (Parte 1) se presenta el estudio, explicando la problemática detectada y planteando la pregunta y los objetivos de investigación. Sigue la parte metodológica de la tesis (Parte 2) por considerarla fundamental en la comprensión de la investigación, detallando dónde y cómo se llevó a cabo: comenzamos describiendo el contexto de la investigación (Capítulo 2.1); discutimos la adecuación del paradigma de Desarrollo Educacional y la elección del Developmental Research dentro del mismo (Capítulo 2.2); exponemos la evolución de la estrategia de investigación (Capítulo 2.3); describimos los métodos e instrumentos empleados (Capítulo 2.4); finalizamos reflexionando sobre la calidad y la ética de la investigación (Capítulo 2.5). El Marco Conceptual (Parte 3) constituye la sección teórica de la tesis, pero al redactarse en diálogo con los datos recogidos también refleja parte del conocimiento adquirido empíricamente. Se organiza según el Developmental Research en: Base Filosófica (Capítulo 3.1) donde se expone la visión global de la investigadora/profesora sobre qué son las Matemáticas, cómo se aprenden y cómo se deberían enseñar; Teorías Globales (Capítulo 3.2) donde se sienta el punto de partida para nuestro estudio al recorrer los principales temas que éste involucra (Enseñanza y Aprendizaje a Nivel Universitario, Representaciones y Comprensión, Visualización); Teorías Locales (Capítulo 3.3) donde se detallan, haciendo hincapié en aquellas investigaciones más relacionadas con la “flexibilidad cognitiva” y la visualización, los antecedentes en la didáctica del Álgebra Lineal que sirven para guiar la investigación pero también para situar y explicar nuestros resultados.

El análisis y los resultados (Parte 4) de las tres fases de investigación se corresponden con los tres siguientes capítulos e incluyen la parte empírica de la Memoria. La preparación a la experimentación realizada en la Fase I (Capítulo 4.1) se describe en relación a los tres tipos de estudios que constituyen el Estudio Inicial (el Epistemológico, el Institucional y el Exploratorio) y da lugar a la formulación de tres principios de diseño. Antes de explicar y reflexionar sobre la aplicación de dichos principios de diseño en las experimentaciones se narra y se analiza globalmente el desarrollo de la Observación Participante llevada a cabo durante la Fase II (Capítulo 4.2). Finalmente, para estudiar aspectos relativos a la relación entre comprensión y visualización se focaliza en la Fase III (Capítulo 4.3) en el concepto de

1.1 Motivación y Planteamiento del Problema Espacios Vectoriales Cociente: primero lo analizamos desde un punto de vista eminentemente matemático y segundo exploramos la comprensión de los estudiantes mediante el diseño y la aplicación de una actividad específica de visualización.

Finalmente, hacemos un análisis crítico y reflexivo (Parte 5) que parte de la discusión de los principales resultados y aportaciones de la investigación en relación a los objetivos (Capítulo 5.1) y que nos lleva a concluir una respuesta a la pregunta de investigación y plantear prospectivas sobre las que seguir trabajando para mejorar la “enseñanza de la visualización” (Capítulo 5.2). Consideramos que esta Tesis hace una pequeña contribución al estudio de la “enseñanza de la visualización” a nivel universitario, con aportaciones teóricas, prácticas y metodológicas que pueden abrir camino para futuras investigaciones y discusiones sobre el tema.

In many of the Ph. D. theses that I have read, the chapter headed Methodology has dealt, in fact, with the methods used by the researcher to undertake their research. Likewise, in a majority of articles in journals and chapters in books, a description is provided of “how” the research was done but rarely is an analysis given of “why” and, more particularly, out of all the methods that could have been used, what influenced the researcher to choose to do the research in the manner described. It comes a refreshing change when one reads an author’s reflections on what impact such choices might have had on the research outcomes (Burton, 2002, p. 1).

METODOLOGÍA

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En este estudio el diseño de investigación es clave. Tras una descripción detallada de los principales elementos y características del contexto de estudio, se realiza una breve reflexión sobre las potencialidades y limitaciones del paradigma de Desarrollo Educacional y se explica por qué se elige el Developmental Research (DR) en este trabajo. Seguidamente se describe el diseño de investigación: fases de investigación y métodos de recogida y análisis de datos. Por último, se revisa criterios de calidad y consideraciones éticas tenidos en cuenta.

2.1 Ámbito de Estudio

2.1 ÁMBITO DE ESTUDIO

Hacemos notar que la elección de un ámbito de estudio concreto puede afectar a los hallazgos de la investigación. Para facilitar su interpretación, a continuación se detallas sus características principales. Se considera que éstas son representativas del sistema de enseñanza universitario español: el programa de estudios del Grado de Matemáticas, los contenidos de la asignatura de AL, la organización en clases magistrales teóricas y clases prácticas de problemas, el estilo de enseñanza y métodos de evaluación. También, de forma consciente se ha cuidado la representatividad del profesorado en experiencia, motivación respecto a la EM y aportaciones respecto a la visualización. En relación a los estudiantes, su elección fue totalmente natural (los matriculados en el curso), idéntica a la que haría un profesor cualquiera. Por tanto, lejos de ser un caso aislado, los resultados de este trabajo pueden ser reflejo de algo que sucede a nivel más amplio.

2.1.1 Contexto

Esta investigación se sitúa en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid (UCM), que tiene 150 años de experiencia y es una de las más grandes de España (“Oferta de

Estudios. Facultad de Ciencias

Matemáticas (UCM),” 2011). Se ofrecen estudios de Grado, de Máster y de Posgrado, dentro del Espacio Europeo de Educación Superior.

Entre los estudios de Grado se incluyen el Grado en Matemáticas, el Grado en Ingeniería Matemática y el Grado en Matemáticas y Estadística (240 ECTS2_{, 60} ECTS por curso). Este trabajo se desarrolla en el primer curso del Grado de Matemáticas (ver Figura 2. 1), momento en que los estudiantes están especialmente expuestos a dificultades derivadas del paso del Bachillerato a la Universidad (ver sección 3.2.1.2). El primer curso del Grado de Matemáticas se

compone de cuatro asignaturas anuales: Álgebra Lineal (AL), Análisis de variable real (AR), Informática (INF) y Elementos de Matemáticas y Aplicaciones (EM). Esta investigación se centra en AL (ver sección 1.1.4). Durante el primer mes y medio de curso (de forma

2 _{“El crédito ECTS o crédito europeo integra las enseñanzas teóricas y prácticas, así como otras actividades}

académicas dirigidas, con inclusión de las horas de trabajo del estudiante necesarias para que alcance los objetivos de dicha asignatura. En los títulos de Grado en “Matemáticas”, Grado en “Ingeniería Matemática” y Grado en “Matemáticas y Estadística” por la Universidad Complutense de Madrid se considera que 1 crédito ECTS equivale a 25 horas de trabajo del alumno(“Oferta de Estudios. Facultad de Ciencias Matemáticas (UCM),” 2011).”

Figura 2. 1: Estructura de las materias del Grado de Matemáticas ofertado por la UCM (“Oferta de Estudios. Facultad de Ciencias Matemáticas (UCM),” 2011). Se distribuyen en: materias de formación básica (en rojo), materias de formación obligatoria (en verde), materias optativas (en azul) y trabajo de fin de Grado (en amarillo).

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intensiva), se imparte una quinta asignatura llamada Matemáticas Básicas (MB), pensada como puente entre el Instituto y la Universidad. En consecuencia, el resto de asignaturas no comienzan hasta mediados de Noviembre, quedando las asignaturas anuales divididas en dos semestres de distinta duración. Al final de cada semestre –en Febrero y Junio– hay un período de exámenes parciales. Los exámenes finales se realizan a finales de Junio o principios de Julio y en Septiembre.

En los cursos 2009/2010 y 2010/2011, en que se desarrolla la investigación, se ofertan cuatro grupos de primero, centrándonos en uno de ellos. En la Guía Docente, se describen características fundamentales de la asignatura como: los objetivos, las competencias, los contenidos, los materiales, la bibliografía de consulta, las técnicas docentes y los criterios de evaluación (ver sección 4.1.2.1). Las horas de docencia presenciales se organizan como sigue: 4 horas de clases teóricas donde un profesor, guiado por el Libro de Texto (Fernando, Gamboa, & Ruiz, 2010), explica a toda la clase los contenidos de la asignatura; 2 horas de clases de prácticas o de problemas donde otros profesores diferentes trabajan en torno a 14 Hojas de Problemas (una para cada tema), cada uno con un subgrupo. En los cursos 2009/2010 y 2010/2011 se crean tres grupos de prácticas diferentes. Esta investigación se centra en el subgrupo al2 que, en ambos cursos, tuvo el mismo horario (mostrado en la Figura 2. 2)

Figura 2. 2: Horario del curso observado. Se han marcado con azul las clases teóricas de AL y en verde las de prácticas del subgrupo escogido.

2.1.2 Participantes

En la Figura 2. 3 se muestra un esquema del proceso seguido para situar el ámbito de estudio. En este proceso quedan delimitados los participantes de la investigación: profesores (incluyendo a la investigadora) y los estudiantes.

2.1.2.1 Los Profesores

El profesor de teoría, el profesor G., es también el coordinador de la asignatura de AL para el curso 2010/2011. Es un reconocido matemático con amplia experiencia en la docencia. En particular, lleva más de 8 años enseñando en cursos de AL. Su área de investigación es la Geometría Algebraica, de la que tiene prestigiosas publicaciones. También posee publicaciones en el ámbito de la EM. El profesor J. se encargó del subgrupo al2 de prácticas el curso 2009/10 y ocasionalmente sustituyó a G. en las clases de teoría durante el curso

2.1 Ámbito de Estudio 2010/11. Tiene un perfil investigador similar al de G. y, aunque es algo más joven, también posee amplia experiencia docente.

Figura 2. 3: Resumen del proceso de situación del contexto de estudio y de los participantes. La distinción de colores es igual que la anterior (azul para las teóricas y verde para las prácticas) y las fotos ofrecen una panorámica de los diferentes tipos de clases.

En contraste, los profesores de prácticas durante el curso 2010/2011 –S. (el Primer Cuatrimestre) y B. (el Segundo Cuatrimestre)– son estudiantes de Doctorado que están en sus primeros años de experiencia docente. S. investiga también en el ámbito de Geometría Algebraica y B. es la investigadora principal de este estudio3_{, dedicada a la EM.}

Finalmente, el profesor P. se encarga de los otros grupos de prácticas en ambos cursos. Ocasionalmente puede aparecer alguna referencia a él, aunque no serán frecuentes pues no participa en la investigación debido a su timidez.

3 _{Como se explica más adelante (sección 2.5.2), he decidido utilizar el nombre B. y la tercera persona para distinguir}

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2.1.2.2 Los Estudiantes

Los estudiantes participantes en esta investigación se distinguen en dos grupos: el Gran Grupo, que es el grupo que asiste de forma habitual a las clases teóricas; y el Grupo de Prácticas, que es el subgrupo del Gran Grupo que asiste de forma habitual a la clases prácticas. El Gran Grupo inicial en el curso 2009/2010 es de 83 estudiantes (44 mujeres y 39 hombres) y en el curso 2010/2011 de 94 (42 mujeres y 52 hombres). Estas cifras se han tomado de la lista empleada en las calificaciones de la primera evaluación. Hay una reducción importante del número de estudiantes del Gran Grupo a lo largo del año, especialmente en el comienzo del Segundo Cuatrimestre. Así al comienzo del curso el Gran Grupo está formado por unos 80 estudiantes de media mientras que al final no llega a 30. Esta reducción también se aplica al número de estudiantes de los grupos de prácticas. El Grupo de Prácticas del curso 2009/2010 sólo se observa durante 3 semanas, tiempo insuficiente para detectar esta variación, y está compuesto de media por unos 12 estudiantes. El Grupo de Prácticas del curso 2010/2011 se observa durante seis meses, al principio el grupo lo forman 18 estudiantes (10 mujeres y 8 hombres) pero el número se reduce a casi un tercio de la clase al final del periodo de observación.

Las trayectorias sociales y educativas de los estudiantes participantes en la investigación son diferentes aunque la mayoría tienen una edad de 18-19. La principal vía de acceso a estos estudios es el Bachillerato Científico-Técnico. También hay algunos casos de Bachillerato de Ciencias de la Salud. El Grado que tiene más estudiantes matriculados es el de Matemáticas, después del de Ingeniería Matemática y finalmente el de Estadística.

2.2 Desarrollo Educacional

2.2 DESARROLLO EDUCACIONAL

El concepto de “Desarrollo Educacional” fue introducido en 1991 por el matemático holandés Freudenthal en respuesta a la búsqueda de un impacto mayor en la práctica educativa (Gravemeijer, 1994, p. 445). El concepto de Desarrollo Educacional abarca todas las actividades e intervenciones de desarrollo4 _{que se producen entre una idea inicial y un} cambio en la práctica educativa, siendo este cambio el principal objetivo de este tipo de investigación (Gravemeijer, 1994, p. 445). Este tipo de investigación trata de responder a la pregunta de cómo desarrollar (mejorar o potenciar) la instrucción. Bajo la definición de Desarrollo Educacional, tienen cabida diversos tipos de investigaciones presentes en la literatura(Van den Akker, 2000, p. 4):

- Estudios de diseño (Design studies), Experimentos de diseño (Design experiments), Investigación de diseño (Design research).

- Investigación de Desarrollo (Development/Developmental research).

- Investigación Formativa (Formative research), Indagación/ Inquisición Formativa (Formative inquiry), Experimentos Formativos (Formative experiments), Evaluación Formativa (Formative evaluation).

- Investigación Acción (Action research).

- Investigación de Ingeniería/ Ingeniería investigativa (Engineering research).

En el campo específico de la EM, dentro de este paradigma podemos englobar los siguientes tipos de investigaciones: Ingeniería Didáctica (Francia), Design- Based- Research (USA e Inglaterra), Action Research y Developmental Research (Holanda). En esta investigación hemos contemplado varios de estos modelos metodológicos, influyendo cada uno en el diseño de la estrategia de investigación. De la Ingeniería Didáctica (Artigue, 1994, 2008) extraemos la importancia de realizar un buen análisis previo al diseño y a la experimentación en el campo, que tenga lugar a diversos niveles: epistemológico (al que se le presta especial atención), cognitivo y didáctico. En el Design Based Research (DBR) (Cobb, Confrey, diSessa, Lehrer, & Schauble, 2003; Pratt & Jones, 2010; The Design-Based Research Collective, 2003) encontramos una formulación metodológica más adecuada a nuestros intereses, que da respuesta a nuestra urgencia por diseñar nuevos materiales entrando en el campo desde el principio. En la Investigación Acción aparece resaltada la figura del profesor-investigador, pero hay muy poco protagonismo del desarrollo teórico5_.

Finalmente nos decantamos por el Developmental Resesarch.