Experiencias e Innovación en la Enseñanza del AL

Según Dorier (2002) se pueden distinguir dos tradiciones en la enseñanza del AL: una que se centra en el estudio formal de los espacios vectoriales y otra que sigue un enfoque más analítico basado en el estudio de IRn _{y el cálculo matricial (p.875). Independientemente del}

3.3 Teorías Locales tres principios que se deberían dar en la enseñanza del AL y que suelen transgredirse en la práctica (Figura 3. 36).

PRINCIPIOS DESCRIPCIÓN TRANSGRESIÓN EN LA PRÁCTICA

Principio de

Concreción Los estudiantes construyen su comprensión de un concepto en contextos que les resulten concretos. Para lograr la abstracción de una estructura matemática a partir de un modelo dado, los elementos de ese modelo deben ser entidades conceptuales a los ojos de los estudiantes quienes, sólo en este caso, pueden tomar dichos objetos como inputs en los procesos mentales que poseen.

Cuando se enseña el concepto general de Espacio Vectorial como generalización de estructuras (como IRn_{, espacios de}

polinomios de grado limitado, espacios de matrices, de funciones continuas, etc.) a estudiantes que aún conciben sus elementos como entidades mentales.

Principio de

Necesidad Los estudiantes aprenden si ven en ello una necesidad (intelectual, en oposición a social o económica). El conocimiento se desarrolla como una solución a un problema y el aprendizaje se concibe más como el intento de dar sentido a una situación en un contexto en vez de como el resultado de una transmisión de información del profesor.

Cuando se pide a los estudiantes reproducir soluciones (pues éstos estarán aprendiendo más un comportamiento social que nuevo conocimiento matemático) o cuando se les pide probar propiedades generales de los espacios vectoriales en IRn _{donde éstas les}

resultan evidentes(( ) ). Principio de

Generalidad Se refiere más a las decisiones didácticas que tienen que ver con la elección de los materiales de enseñanza que con el proceso de aprendizaje en sí mismo: las actividades de enseñanza que involucran un modelo “concreto” (que cumpla el Principio de Concreción) deben permitir y fomentar la generalización de los conceptos.

Cuando los modelos que usan son demasiado concretos. Esto ocurre, por ejemplo, con la introducción geométrica de la dependencia lineal (como vectores colineales o coplanarios) que es difícilmente generalizable a espacios vectoriales

abstractos.

Figura 3. 36: Principios de enseñanza de Harel y su transgresión en la práctica (Dorier & Sierpinska, 2001; Dorier, 2002; Harel, 2000).

También se han realizado y diseñado experiencias en busca de alternativas para la enseñanza del AL. Day y Kalman (1999) refieren algunas de ellas: (1) variaciones de clases magistrales enriquecidas a través del método de discusión intensiva y el uso de MATLAB generando ejemplos a los que contribuyen los estudiantes; (2) variaciones de las clases magistrales derivadas de la combinación con un método de aprendizaje colaborativo donde el profesor, tras haber explicado un tema nuevo, debate con los estudiantes o les presenta un test de opción múltiple con el objetivo de averiguar lo que han entendido de la clase y establecer una discusión con la que se corrigen posibles errores; (3) en otras ocasiones no se dan clases magistrales y éstas se sustituyen por sesiones de trabajo autónomo (individual o en grupos) en la sala de ordenadores utilizando manuales escritos con Maple y Mathematica (Day & Kalman, 1999, p. 11).

El uso de las nuevas tecnologías ha dado lugar a numerosas investigaciones en la enseñanza del AL (Aydin, 2009, p. 96). El software empleado es diverso: general de Matemáticas como MATLAB, Maple o Mathematica; más específico de programación como el ISETL (Asiala, Dubinsky, Mathews, Morics, & Oktaç, 1997; Weller et al., 2002); de Geometría Dinámica, como Cabri-Geometry II (Dreyfus, Hillel, & Sierpinska, 1999); software libre, como el GeoGebra o SAGE en materiales para smartphones (Lee, 2012); tecnologías empleadas en la educación a distancia u online –como cursos virtuales, foros o páginas web– que permiten otras formas de interacción (Carlson, 2004, p. 302). Los beneficios de la enseñanza con ordenadores tienen que ver con las oportunidades de experimentación y descubrimiento (al ahorrar difíciles cálculos o a través de la

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visualización) facilitando una mejor comprensión y un aprendizaje más conceptual de la asignatura, desarrollando la intuición y la curiosidad (Hillel, 2001). Pero aún es necesario realizar más investigaciones que ayude a tomar decisiones sobre qué cantidad y tipos de tecnologías son más recomendables y sobre qué didáctica debe acompañar a su uso (Aydin, 2009, p. 96; Carlson, 2004, p. 302). Este tipo de conocimiento específico relativo al uso de ordenadores en la enseñanza universitaria no es fácil de adoptar por las instituciones educativas, tradicionalmente desarrolladas en entornos de lápiz y papel (Artigue, 2001, p. 217). Por eso en este estudio hemos decidido no prestar especial atención al uso de ordenadores: el estudio de la visualización es suficientemente complejo como para añadir la variable tecnología.

Por último, más en consonancia con el espíritu de esta investigación, se han desarrollado experimentos longitudinales de enseñanza, es decir, estrategias de larga duración que no se pueden dividir en módulos independientes (Dorier & Sierpinska, 2001, p. 267). El aspecto longitudinal es importante si se tiene en cuenta que la formación matemática y los cambios en el “contrato didáctico” requieren un tiempo suficientemente largo (que incluya fases de evaluación) para hacerse efectivos. Además, esta perspectiva es sensible con el carácter no lineal de la enseñanza, donde un mismo tema puede aparecer estudiado desde varios puntos de vista en diferentes momentos del curso. Entre este tipo de estudios cabe destacar el trabajo de Behaj (Dorier & Sierpinska, 2001; ver Dorier, 2000, pp. 259–262) en torno lo que él llama la “estructuración del saber” y el análisis de Sierpinska (1997, citado en Dorier & Sierpinska, 2001) sobre la relación entre la interacción tutor-estudiante-libros de texto (descrito como ‘formatting’) y el tipo de conocimiento que se aprende. Pero uno de los ejemplos más destacados de experimento longitudinal es el curso experimental diseñado por Rogalski y su equipo en Francia ((Dorier, Robert, Robinet, & Rogalski, 2000b)). Este curso se construye en torno a diferentes estrategias de larga duración estrechamente conectadas que incluyen actividades metanivel (metalevel activities), cambios de registros, puntos de vista y marcos. Las principales características del diseño de enseñanza de este curso son:

- In order to take into account the specific epistemological nature of the concepts, some activities are introduced, at a favourable and precise time of the teaching, in order to induce a reflection on a ‘meta’ level.

- A fairly long preliminary phase precedes the actual teaching of elementary concepts of LA. It prepares the students to understand, through ‘meta’ activities, the unifying role of these concepts.

- As much as possible, changes of settings and points of view are used explicitly and are discussed.

- Finally, the concept of rank is given a central position in this teaching (Dorier & Sierpinska, 2001, p. 268).

Este tipo de experiencias sirven de inspiración para el desarrollo de experimentos de enseñanza y principios de diseño en este estudio (ver secciones 3.4.2 y 5.3).

3.3 Teorías Locales