Teoría de Registros Semióticos de Representación Duval y Hitt

El segundo tipo de teorías que tomamos en cuenta son las de los registros de representación semiótica. Como referencia de esta aproximación se han tomado los trabajos de Duval (1993, 1999a, 1999b, 2004, 2006) y de Hitt (2002, 2003, 2006). Ambos parten del hecho que una característica específica del pensamiento matemático es la diversidad de sistemas de representación. Algunas de las nociones teóricas desarrolladas

96

proporcionan herramientas útiles para el análisis de las unidades y de los procesos cognitivos relacionados con la representación y la visualización, claves en este estudio. Al igual que las teorías en torno al pensamiento diagramático, las teorías de registros de representación consideran fundamentales los signos matemáticos, no tanto por su relación con el objeto representado, como por su capacidad de ser transformados en otros signos distintos (Duval, 2004). Para ello, en lugar de hablar de diagramas o sistemas de signos, se define la noción de registro semiótico de representación. Duval (1987, 1999b) señala que no todo registro semiótico (o sistema de signos) es necesariamente de representación. Esto sólo ocurre si permite las tres actividades cognitivas inherentes a toda representación que se representan en la Figura 3. 9 y se detallan a continuación:

Figura 3. 9: Modelo de la representación centrado en la función de objetivación. Las flechas 1 y 2 corresponden a las transformaciones internas a un registro (tratamientos). Las flechas 3 y 4 corresponden a las transformaciones externas (conversiones). La flecha C corresponde a lo que se denomina comprensión integrativa de una representación: supone una coordinación de dos registros. Naturalmente, este esquema considera el caso más simple de la coordinación entre dos registros; como se verá, en algunos dominios como el AL, puede requerirse una coordinación entre tres registros por lo menos. Igualmente se puede ver una de las posibilidades importantes de la estructura de la representación: lo que representa en un registro puede ser considerado como lo representado en otro registro, como es el caso en la relación entre texto e imagen (Duval, 1999b, pp. 65–66).

1. Formación de representaciones: ya sea para “expresar” una representación mental, o bien para “evocar” un objeto real (Duval, 1999b, p. 40). Esta formación implica siempre una selección en el conjunto de rasgos y de datos en el contenido por representar. La selección se hace en función de las unidades y de las reglas de formación que son propias del registro semiótico en el cual se produce la representación. […] La función de estas reglas es asegurar, en primer lugar, las condiciones de identificación y de reconocimiento de la representación y, en segundo lugar, la posibilidad de su utilización para los tratamientos (Duval, 1993, p. 177).

2. Tratamiento de representaciones (en la Figura 3. 9, flechas 1 y 2): es la transformación de estas representaciones en el mismo registro donde se han formado. El tratamiento es una transformación interna a un registro. […] Existen reglas de tratamiento propias de cada registro. Su naturaleza y su número varían

3.2 Teorías Globales considerablemente de un registro a otro. Ejemplos: la paráfrasis, la inferencia, la reconfiguración (Duval, 1993, p. 178).

3. Conversión de representaciones (en la Figura 3. 9, flechas 3 y 4): es la transformación de estas representaciones en otras de otro registro conservando la totalidad o solamente una parte del contenido de la representación inicial. La conversión es una transformación externa al registro de partida. Ejemplos: la ilustración, la traducción, la descripción. (Duval, 1993, p. 178) […] No se debe confundir a la conversión con dos actividades que forman parte de ella: la codificación y la interpretación38 _{(Duval, 1993, p. 179).}

Es posible combinar la teoría de Duval con la de Kaput (ver sección 3.2.2.1) para ganar un marco más adecuado con el que explicar procesos de PMA. Los tipos de transformaciones distinguidos por Duval son coherentes con las fuentes de significado de Kaput: el tratamiento correspondería con el primer tipo de transformación y la conversión con el segundo y el tercero. Sin embargo el cuarto, que es fundamental para el PMA, no se encuentra presente en la teoría de Duval. Únicamente aparece de forma implícita cuando se describe cómo se produce la comprensión, que requiere de la coordinación y articulación de diferentes sistemas de representación (en la Figura 3. 9, flecha C), y el aprendizaje, que implica la construcción de una arquitectura cognitiva “con la que los estudiantes pueden reconocer el mismo objeto a través de diferentes representaciones” (Duval, 1999a, p. 12). Pero la movilización de varios registros a la vez no implica necesariamente su coordinación, y por tanto, comprensión. Es decir, la coordinación de registros es una condición necesaria, no suficiente para la comprensión. Por eso, resulta adecuado complementarla con la cuarta fuente de significado de Kaput, relativa a la abstracción y la reificación (ver sección 3.2.2.1).

Desde el punto de vista matemático, conviene no separar la conversión del tratamiento, ya que ambos son necesarios en la resolución de un problema. El tratamiento es lo más importante ya que de él depende la elección del registro de representación: cuál es mejor para realizar menos operaciones, para generalizar más fácilmente, para que resulte más intuitivo, etcétera. Sin embargo, desde el punto de vista cognitivo, ambos tipos de transformación dan lugar a problemas muy diferentes. Por ejemplo, el tratamiento requiere un conocimiento previo de las operaciones y flexibilidad en el manejo de las representaciones, pudiendo llevar a romper unidades previas de significado (ver el ejemplo de tratamiento algebraico en Duval, 2004, p. 4). A veces puede ser complejo, sobre todo en casos en que se use lenguaje y visualización (Duval, 2004, p. 16). Pero, en general, la conversión es cognitivamente más difícil. Involucra dos niveles de procesos:

1) identificar el mismo objeto denotado en dos representaciones (de dos registros diferentes) cuyos contenidos parecen bastante diferentes;

2) identificar dos objetos diferentes denotados en dos representaciones (dentro del mismo registro) cuyos contenidos parecen similares (Duval, 2004, p. 11).

38 _{Duval (1993) asegura, por un lado que, la interpretación requiere un cambio de marco teórico, o de un cambio de}

contexto. Este cambio no implica un cambio de registro, sino que con frecuencia moviliza analogías; y por otro que, la

codificación es la trascripción de una representación en otro sistema semiótico distinto de aquél donde está dada

98

Para el segundo nivel es necesario establecer una conexión entre los dos registros de representación involucrados y ser capaz de identificar elementos matemáticamente relevantes. Esto provoca grandes dificultades a los estudiantes, especialmente debido al fenómeno de no congruencia39 _{(Duval, 1999b, pp. 18–19), y por ello se le considera} especialmente importante en el camino a la comprensión. Sin embargo, de las tres actividades ligadas a los registros de representación, la conversión es tradicionalmente la menos considerada en la enseñanza (Duval, 1993, p. 181). Esta conducta se basa en dos creencias que las evidencias han probado erróneas: la conversión surge de forma espontánea en el momento en que se es capaz de representar y tratar un objeto en registros diferentes; la conversión no tiene importancia real para la comprensión, ya que se limita a un cambio de registro (Duval, 1993, p. 181). Esta última afirmación podría ser cierta si el contenido de cualquier representación semiótica sólo dependiera de los conceptos representados. Pero no es así, ya que también depende del sistema de representación empleado. Por eso al cambiar de registro, cambia el contenido de la representación pero no las propiedades matemáticas representadas (Duval, 2004, p. 10). Desde este punto de vista, Duval (1999b) señala que para que una representación pueda funcionar realmente como tal para un sujeto, es decir, le permita el acceso al objeto representado, deben darse dos condiciones:

- Que se dispongan de al menos dos sistemas semióticos diferentes para producir la representación

- Que espontáneamente se puedan convertir de un sistema semiótico a otro las representaciones producidas, sin ni siquiera notarlo (Duval, 1999b, p. 30)

¿Cómo lograr que se den estas dos condiciones con los estudiantes? A través de la enseñanza y, en particular, a través de “un trabajo de aprendizaje específico centrado en la diversidad de los sistemas de representación, en la utilización de sus posibilidades propias, en su comparación por la puesta en correspondencia y en sus ‘traducciones’ mutuas (Duval, 1999b, p. 17)”. A continuación resumimos algunos resultados relevantes para el diseño de tareas derivados de las investigaciones realizadas desde esta perspectiva:

- La posibilidad de efectuar transformaciones sobre los objetos matemáticos depende directamente del sistema de representación semiótico utilizado (Duval, 1999b, p. 14).

- La separación de los procesos de tratamiento y conversión es importante desde el punto de vista metodológico, tanto para el análisis de las dificultades de los estudiantes como para proponer actividades de enseñanza.

- Algunas características recomendables para actividades que ayuden a los estudiantes a familiarizarse con los dos niveles de conversión son (Duval, 2004, pp. 11–13):

o Para el nivel (1): deben exponer al mismo tiempo diversas representaciones posibles y hacer que las conexiones entre ambas se

39 _{Una conversión puede ser congruente (o no-congruente) según la relación que exista entre las unidades de ambas.}

Esta relación depende del sentido en que se haga la conversión. Por ejemplo, el paso de la expresión algebraico de una función a su gráfica, es congruente, pero no existe congruencia si la conversión se hace en sentido contrario.

3.2 Teorías Globales hagan explícitas pidiendo realizar algún comentario o tratamiento sobre ellas.

o Para el nivel (2):

 Deben centrar la atención en las variaciones de la representación dentro del registro de partida.

 Deben fomentar la investigación del campo de esas posibles variaciones.

 Deben promover la comparación de esas variaciones con los efectos que éstas producen en el registro de llegada: ¿cambia algo en el registro de llegada? ¿qué cambia?

Por otro lado, Hitt (2003, 2006) criticó la aproximación de Duval, señalando que indirectamente sólo estaba considerando representaciones institucionales, es decir, las empleadas por el experto o los libros de texto, dejando de lado las representaciones que espontáneamente producen los estudiantes cuando se enfrentan a la resolución de un problema. Este tipo de representaciones, a las que Hitt (2003) llama representaciones funcionales, no tienen por qué coincidir con las institucionales e incluso pueden no ser aceptadas desde ese punto de vista. Sin embargo, Hitt (2003) defiende que juegan un papel fundamental en la construcción de conocimiento matemático de los estudiantes y que por tanto, vale la pena prestarles atención. Por tanto, en esta investigación, tendremos en cuenta este punto de vista para el análisis de producciones de los estudiantes.

Otra noción introducida por Hitt importante en esta investigación es la de concepción. Según Hitt (2006):

Una concepción es un conocimiento personal, construido por un individuo a través de una interacción personal o social que no es equivalente al conocimiento institucionalizado. Es posible detectar una concepción de una persona a través de las representaciones personales que usa cuando está resolviendo una tarea matemática. Por tanto, una concepción podría ser:

- Un obstáculo epistemológico.

- Una construcción parcial de un concepto, construcción coherente de algunas representaciones y sus conversiones desde una representación a otra.

- Una construcción parcial de un concepto que funciona en ciertos contextos y otros no, pero que no necesariamente representa un obstáculo epistemológico.

- Una combinación coherente de representaciones funcionales (p.6).

Esta definición encaja la de esquema conceptual (ver sección 3.2.1.1). De modo que el término concepción queda libre y se utilizará en la expresión “concepción matemática” para designar las diferentes construcciones coherentes (parciales o completas) que se han empleado y se emplean por la comunidad matemática para pensar sobre cierto concepto matemático. Así pues, desde esta perspectiva, las concepciones están más relacionadas con el desarrollo epistemológico del concepto que con la construcción mental que cierto individuo pueda tener de él.

100