Problemática del Pensamiento Matemático Avanzado

Este estudio se sitúa en una Facultad de Matemáticas, y en particular en un Grado de Matemáticas. Uno de los principales objetivos de la enseñanza-aprendizaje en este contexto es lograr la comprensión de las Matemáticas Avanzadas por parte de los estudiantes19_{. Las primeras investigaciones realizadas a nivel universitario se interesan en} describir y tratar de explicar las dificultades en áreas específicas de las Matemáticas que obstaculizan esta comprensión, dando lugar al desarrollo de diversas teorías cognitivas en torno a lo que se conoce en la literatura como el “Pensamiento Matemático Avanzado” (PMA). El libro del mismo nombre, editado por Tall (1991), ofrece una buena panorámica de estas teorías en sus estados iniciales y se tomará, junto al capítulo de Artigue et al. (2007), como principal fuente de referencia para este apartado.

Según Tall (1991) el PMA abarca un rango de actividades que van desde la consideración de un problema matemático hasta la última fase de refinamiento y demostración, pasando por la formulación creativa de conjeturas. Muchas de estas actividades pueden

19 _{Aprovecho esta observación para hacer explícito el hecho de que esta investigación considera que el principal}

objetivo de la enseñanza-aprendizaje en la universidad es el desarrollo de futuros matemáticos. Artigue (2001) señala que esta consideración suele permanecer implícita y que eso podría estar contribuyendo a cierto fracaso en la mejora real de la formación de otro tipo de estudiantes que cursen matemáticas en la universidad con fines más profesionales. Esta última aproximación al problema podría dar un enfoque muy distinto a la investigación, pero no es éste el que se ha escogido.

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encontrarse en el “Pensamiento Matemático Elemental” (PME), pero lo que diferencia a uno y a otro es la presencia en el PMA de definiciones formales y de procesos deductivos. Desde este punto de vista, uno de los principales problemas a nivel universitario es el exceso de énfasis en la demostración, como producto final del proceso, en lugar de introducir a los estudiantes en todo el proceso creativo; en palabras de Skemp: “en las universidades se tiende a dar a los estudiantes el producto matemático pensado (product of mathematical thought) en lugar del proceso de pensamiento matemático (process of mathematical thinking)” (Tall, 1991, p. 3). En la sección sobre “Innovación a Nivel Universitario” (3.2.1.3) se revisarán algunas investigaciones que confirman y revisan esta afirmación.

Entre las explicaciones dadas a estas prácticas están las relativas a cómo el matemático experto organiza la información en su mente (Weber, 2009; Wilkerson-Jerde & Wilensky, 2011). El experto es capaz de conectar grandes porciones de conocimiento en secuencias de argumentos deductivos. Esto facilita la categorización del conocimiento, al estructurarlo lógicamente, lo que lleva al experto a considerar que esta forma de presentación es la manera más adecuada para que el estudiante lo comprenda. Sin embargo, una presentación lógica formal de las Matemáticas no tiene por qué ser la más apropiada para el desarrollo cognitivo del estudiante (Tall, 1991, p. 7). De hecho, para lograr avanzar del PME al PMA es necesaria una transición significativa: desde la descripción a la definición; desde el convencimiento a la demostración; desde la coherencia de las Matemáticas Elementales a la consecuencia de las Matemáticas Avanzadas (basadas en entidades abstractas que el individuo debe construir a través de deducciones lógicas sobre definiciones formales). Esta transición requiere de una fuerte reconstrucción cognitiva, que tiene lugar en los primeros años universitarios (Tall, 1991, p. 20). ¿Cómo se produce dicha reconstrucción cognitiva en la mente del estudiante? ¿Puede aprenderse algo al respecto observando cómo establece y construye el experto el conocimiento matemático? La respuesta a estas preguntas ha dado lugar a las distintas teorías que se resumen en la siguiente tabla (Figura 3. 2).

TEORÍA CONSTRUCTOS TEÓRICOS

FUNDAMENTALES ADQUISICIÓN DE CONCEPTOS DIFICULTADES DE LOS ESTUDIANTES. Concepto imagen y definición Vinner y Hershkowitz (1980) Tall y Vinner (1981)

- Concepto imagen: estructura cognitiva

individual formada por los dibujos mentales, las propiedades y los procesos asociados a un concepto. Se construye a través de la experiencia y no necesariamente de forma

coherente. En cada situación concreta se activa una porción particular que se denomina el concepto imagen evocado.

- Concepto definición: forma de palabras

usadas para especificar un concepto. Puede ser personal o formal (institucionalizado dentro de la comunidad de matemáticos).

Consiste en la construcción de un concepto imagen rico y bien articulado (que incluya el concepto definición). Así se dota de significado al concepto en general, y a la definición en particular, de modo que ambos pueden emplearse de forma efectiva en resolución de problemas y en tareas de demostración.

Surgen cuando se posee un concepto imagen incompleto; cuando no se han establecido relaciones entre los distintos elementos o cuando se evocan dos partes del concepto imagen no coherentes entre sí. A menudo surgen cuando un concepto se introduce únicamente a través de su definición formal.

3.2 Teorías Globales

Obstáculos Cornu (1983) Brousseau (1997) Sierpinska (1985)

- Obstáculo: forma previa de

conocimiento que es difícilmente generalizable pero resistente (ya que la experiencia lo ha mostrado útil en contextos sociales y/o educativos limitados)

Pueden ser de distinta naturaleza: epistemológicos, cognitivos, didácticos

Se considera que el conocimiento científico no se construye como un proceso continuo, sino a través de reconstrucciones cognitiva provocadas por el rechazo de formas previas de conocimiento.

Provienen de la resistencia al cambio de algunas formas de conocimiento que son coherentes y han sido

efectivas por un tiempo

D u al id ad p roce so / o b je to 20 APOS Dubinsky, (1991) Dubinsky y MacDonald, (2001)

- Acción, Proceso, Objeto y Esquema: cuatro tipos de concepciones mentales diferentes asociadas a un concepto: - Interiorización, Coordinación,

Encapsulación, Generalización y Reversión: tipos de acción de

abstracción reflexiva21 _{y que dan lugar a}

las distintas concepciones anteriores. - Descomposición genética de los conceptos: análisis teórico desde esta perspectiva que precede a cualquier diseño didáctico que se realice.

Comienza con la manipulación de constructos mentales u objetos físicos previamente construidos para formar

acciones, éstas se

interiorizan para formar

procesos, que a su vez son

encapsulados para formar

objetos. Finalmente,

acciones, procesos y objetos se organizan de forma más o menos coherente, en esquemas.

Para el PMA es necesario poseer al menos una concepción a nivel de objeto de los conceptos, pero muchos estudiantes no logran pasar de la concepción de proceso.

Proceptual Tall y Gray, (1994)

- Procepto: amalgama de proceso y objeto. Lo que permite vincular las formas operacional (proceso) y estructural (objeto) de un mismo concepto matemático es el simbolismo matemático

Consiste en alcanzar la visión proceptual de los símbolos: comenzar con los procesos, para después fijar la atención en el producto del proceso, tomar conciencia de él como un todo y llegar al nivel proceptual

Surgen de la falta de flexibilidad por parte de los estudiantes en el manejo de los proceptos. Como ocurría para el caso anterior, los estudiantes suelen quedar anclados en la dimensión de proceso.

Figura 3. 2: Desarrollos teóricos en torno al Pensamiento Matemático Avanzado (PMA).

Desde el punto de vista de la visualización, y en coherencia con la visión sobre la comprensión de los conceptos matemáticos expuesta en la Base Filosófica, la teoría que mejor se adapta a los propósitos de esta investigación es la de concepto imagen/definición. Esta teoría da forma a la idea de que comprender un concepto implica la construcción de una imagen mental rica en la que deben convivir de una forma coherente y bien articulada representaciones, procesos y propiedades de diversa naturaleza: ideas más intuitivas (adquiridas de experiencias previas) y nociones más formales (como puede ser la definición de dicho concepto) necesitan conectarse al conocimiento previo para poder ser debidamente incluidas en el concepto imagen –la imagen mental– del individuo. En este contexto, como argumentamos en la Introducción, la visualización se presenta como un importante recurso:

20 _{Sfard (1991) define la reificación como un viaje individual desde una concepción operativa (proceso) hasta una}

estructural (objeto). Ella considera que ambos modos de pensamiento son duales y observa que las construcciones estructurales previas (objetos) sirven para construir nuevas concepciones operativas (procesos) (Selden & Selden, 2001, p. 241)

21 _{La abstracción reflexiva (reflexive abstraction) es una noción introducida por Piaget y se refiere a una operación}

mental sobre representaciones mentales de alguna acción física que conduce a la identificación de esas representaciones mental como objetos en sí mismos (Dorier & Sierpinska, 2001, pp. 264–265).

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In general it may be possible to use the complementary power of visualization to give a global gestalt for a mathematical concept, to show its strengths and weaknesses, its properties and non-properties, in a way that makes it a logical necessity to formulate the theory clearly. Visual ideas without links to the sequential processes of computation and proof are insights which lack mathematical fulfilment. On the other hand, logical sequential processes without a vision of the total picture, are blinkered and limiting. It is therefore a worthy goal to seek the fruitful interaction of these very different modes of thought (Tall, 1991, p. 18).

Esta aproximación teórica enfatiza la definición formal. Sin embargo, en este estudio, la definición formal se contemplará como una forma más de pensar en el concepto –la institucional– y no como un elemento destacado del concepto imagen. Los procesos de enseñanza-aprendizaje también deben ofrecer diversidad de elementos que incorporar en el concepto imagen, asegurando la conexión adecuada en la mente del individuo. De este modo los aprendices podrán dar sentido al concepto y mirarlo desde distintos puntos de vista. Al mismo tiempo, esta imagen mental rica ofrece un nuevo punto de partida, cognitivamente superior, que hace posible avanzar hacia el PMA. En palabras de la teoría APOS (Asiala, Brown, Devries, Mathews, & Thomas, 1996), el concepto se encapsula para formar un objeto que puede incorporarse, de forma más o menos coherente, en un esquema y, en definitiva, en la imagen mental del individuo asociada a ese concepto. De ese modo, el individuo logra alcanzar mayores niveles de abstracción y avanzar en el desarrollo de su pensamiento matemático. En este sentido, parece más adecuado el término “esquema conceptual” propuesto desde los trabajos realizados dentro del proyecto “Procesos de pensamiento matemático avanzado” desarrollado por el Departamento de Didáctica de las Matemáticas y de las CCEE de la UAB (Azcárate & Camacho, 2003; Moreno & Giménez, 1997; Romero, 1996). Éste término –esquema conceptual– será el que usemos en esta investigación, en lugar de imagen mental, para referirnos a la imagen mental rica que un individuo construye en su mente para poder pensar y dar sentido a un concepto matemático.

En este proceso de enseñanza-aprendizaje, que debe favorecer la construcción de esquemas mentales ricos, aparecen obstáculos de diversa naturaleza: epistemológica, cognitiva o didáctica (ver Figura 3. 2). Estos obstáculos deben identificarse (este es uno de los principales objetivos del Estudio Inicial) y tenerse en cuenta a la hora de diseñar secuencias didácticas. En la superación de dichos obstáculos consideramos especialmente importante el acento que pone la teoría proceptual en el manejo flexible de los símbolos, ya que la única forma de acceso a los conceptos matemáticos es a través de sus diferentes representaciones (ver sección 3.2.2).

3.2.1.2 Hacia Enfoques más Globales. La Transición de Secundaria a la