Las ideas que tenemos sobre cómo se produce el aprendizaje matemá- tico son determinantes a la hora de planificar y realizar nuestro trabajo; ideas que, habitualmente, van imbricadas con otras concernientes a la concepción misma que tengamos del conocimiento matemático. Es decir, qué son las matemáticas escolares y cómo se aprenden: psicología del aprendizaje y epistemología forman un sustrato ineludible sobre el que se
asientan nuestras actuaciones en el aula (secuenciación, selección de con- tenidos, evaluación...). Pues bien, en nuestro caso partimos de la hipótesis de aprendizaje (que luego se convertirá en verdadera tesis) de que las ope- raciones con fracciones se aprenden como las operaciones con naturales y, por tanto, conviene afrontarlas como una extensión de las operaciones con
números naturales.
Así como las operaciones con naturales aprendidas tras un largo proceso (varios cursos) de construcción personal a partir de situaciones problemáticas con cantidades, a partir de hechos concretos (y también gracias al trabajo numérico, vale decir, simbólico: cálculo escrito, cálculo mental, etc., pero sabiendo que el resultado obtenido es siempre susceptible de comprobación empírica), así las operaciones con fracciones también son aprendidas gracias a la resolución de situaciones reales con cantidades concretas y teniendo como telón de fondo la comprobación empírica del resultado obtenido.
Por tanto, y como en el ámbito de los naturales, la actuación con mate-
rial físico y la reflexión personal en el seno del grupo sobre lo que hacemos para
resolver determinada situación, para encontrar la solución a un interrogante, serán los dos pies sobre los que los aprendices van construyendo, inicial- mente, las operaciones con fracciones. Y seguimos un recorrido que tiene como inicio los dos pies citados y como centro la construcción del código ope-
ratorio (simbología y normas operatorias) para, una vez elaborado el modelo
operacional y su transcripción notacional, aplicarlo a la resolución de otras situaciones, matizándolo, ampliándolo y, progresivamente, convirtiéndolo en herramienta de nuestro propio pensamiento. Pues, como es sabido, en el aprendizaje matemático tan importante es la resolución de situaciones como la construcción significativa del código expresivo (verbal o notacional), ya que, con el tiempo, los aprendices irán abandonando la manipulación con- creta y se irán apoyando sólo en el código notacional para resolver problemas. Esas ideas que conforman el núcleo de la hipótesis básica, junto con la experiencia de años, nos llevan a establecer una planificación, una secuen- ciación de la actividad a lo largo del ciclo que, grosso modo, es como sigue.
Planificación
El aprendizaje compresivo de las operaciones con fracciones requiere unos conocimientos previos, entre los que son claves dos que casi todos los
alumnos, en mayor o menor medida, poseen a su llegada a la ESO: la noción de equivalencia y la generalización de las estrategias operatorias del siste- ma métrico decimal. Y en ellos nos apoyaremos para descubrir y convenir estrategias para la resolución de problemitas concretos y para la convención de vías algorítmicas.
Al igual que en el mundo de los naturales, en el ámbito fraccionario trabajamos con cantidades de magnitudes ya continuas, ya discretas: un cuarto de hora, la cuarta parte de sesenta minutos, respectivamente, por ejemplo. De modo que al resolver un problema actuamos sobre subdivi- siones de un todo continuo o bien sobre unidades sueltas de un todo discon- tinuo. Y nos valemos para ello de la imprescindible noción de equivalencia, noción que los niños vienen trabajando desde los primeros cursos y en diferentes contextos operacionales.
Gracias a la idea de equivalencia descomponemos y recomponemos, y resolvemos con éxito problemitas básicos en los que intervienen agrupa- mientos o particiones diferentes. Así calculamos con monedas de distinto valor («Si pagas con una moneda de 10 duros y te devuelven veinte pesetas, ¿cuánto te gastaste?»), o expresamos una cierta porción de tiempo («Ha tardado tres horas menos quince minutos en recorrer el camino»), o medi- mos una longitud («Si de esa cuerda que mide 2 metros cortamos 40 cm, ¿cuánto queda?»). Es un aprendizaje fundamental saber que da igual decir diez decenas que una centena, diez duros que cincuenta pesetas...; escri- bir 1/2 o bien 4/8; 0,5 m que 50 cm, etc. En definitiva, nos vamos habituan- do a aplicar estrategias operatorias mediante las que pasamos rápidamente de las expresiones complejas a las incomplejas y viceversa. Es decir, la des- composición en unidades menores o, inversamente, la recomposición en otras mayores es una estrategia operatoria típica del mundo de los natura- les en el currículum escolar que, por necesidad, pasa al ámbito de los fraccionarios. Pero pasa con una diferencia fundamental: el código. Tanto a nivel verbal como notacional, el código fraccionario es más complejo y, por menos usado, extraño.
En el itinerario que hay que seguir estableceremos tres fases. En la primera fase, la idea de operación con fracciones es la de operación con- creta, la misma que con naturales. Comenzaremos por las operaciones adi- tivas antes de adentrarnos en las multiplicativas. Y trabajaremos los mismos tipos de problemitas y de situaciones que, habitualmente, se traba- jan con naturales para que transfieran al ámbito fraccionario los aprendiza-
jes con naturales, especialmente las estrategias de descomposición y/o recomposición derivadas de la noción de equivalencia. Como en el ámbito de lo natural, resolveremos mediante adición problemitas de cambio y/o transformación; mediante la resta, problemas de diferencia entre cantidades fraccionarias, de sustracción, de igualación; mediante división, problemitas en los que la acción sea repartir, agrupar, incluir, etc.
A lo largo de esta primera fase vamos realizando, ejecutando la acción concreta con el material (o el apoyo gráfico de los árboles) que más adelan- te comentaremos acompañándola de su transcripción a código aritmético. Es el mejor modo de ir dotando de significado a la expresión matemática. Pero a medida que van obteniendo agilidad en la resolución de situaciones gracias al cada vez mayor manejo de estrategias de cálculo numérico, es acon- sejable ir abandonando la manipulación del material (o el dibujo) y acer- carse a la algoritmización. En este sentido, y en lo que se refiere a suma y resta, una estrategia fundamental es la construida para convertir las fraccio - nes en otras equivalentes, pero con el mismo denominador (reducir a común denominador multiplicando los numeradores entre sí). Lo comenta- do antes sobre la noción de equivalencia muestra en este momento todo su potencial.
Los problemitas del formato típico de multiplicación y división son, quizá, de más fácil resolución si su formulación se asemeja a los proble- mas realizados en cursos anteriores con naturales. Su resolución manipu- lativa persigue la comprensión real de la situación problemática y la búsqueda de soluciones reales. Y el que esa actividad vaya acompañada de transcripción numérica nos va llevando a descubrir qué técnicas opera- torias numéricas (qué «trucos») son las mejores para agilizar la resolución. Una vez encontradas, y practicadas, podemos decir que la primera fase está cubierta.
Los problemas propios de esta primera fase son problemas que se resuel- ven teniendo como telón de fondo la acción concreta, aunque al final de la fase los resolvamos ya sólo a nivel numérico.