1. En el cumpleaños de Pablo, Irene se tomó 2/4 de litro de coca cola, y Elena, 4/8 de litro. ¿Cuánta coca cola consumieron entre las dos?
3. Haciendo los deberes, Tatiana le dedicó ayer 1/4 de hora a cien- cias sociales, 1/3 a lenguaje, 4/12 a matemáticas y media hora a inglés. ¿Cuánto tiempo estuvo Tatiana haciendo los deberes? 4. En un sorteo, han correspondido 2/3 de tableta a Mirian, y 6/12
a Mario. ¿Quién tiene más chocolate? ¿Cuál es la diferencia? 5. ¿Cuánto he de añadir a 1/3 para obtener 2/4?
6. Si quiero repartir mis 3/4 de tableta entre cinco amigos, ¿cuánto daré a cada uno? ¿Y si fueran sólo dos amigos?
7. En una botella grande de coca cola caben dos litros, es decir, 6/3 de litro; si voy vertiéndola en vasitos de 1/6 de litro, ¿cuántos vasos podré llenar?
8. Sandra tiene en su mesa 9/12 de la tableta de chocolate; ¿puede dar a cada una de sus tres compañeras 1/4 de tableta?
9. En un grupo hay cinco niñas. Si cada una tiene 2/6 de una tableta de chocolate, ¿cuánto tienen entre todas?
10. Pablo tiene 2/16 de tableta; Antonio dice que tiene 4 veces más que Pablo. ¿Cuánto tienen entre los dos?
¿Material? El material que usamos, y que dada la brevedad de este artículo no comentaremos, es, por orden:
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Cuartillas (la unidad) de papel y subdivisiones sucesivas para las dos familias principales: medios, cuartos, octavos, dieciseisavos y tercios, sextos, doceavos. Las subdivisiones van acompañadas de su expresión en árboles1..
Juegos de cartas y dominós diversos..
Dos juegos de las dos familias anteriores en cartulina para la rea- lización concreta o simulación de problemas y, sobre todo, el sig- nificado del «denominador común» y las estrategias para conseguirlo.Pero de la operación concreta pasamos, en una segunda fase que habi- tualmente coincide con el curso segundo de ESO (según grupos), a otra idea de operación más abstracta y necesaria para secundaria: es la de operación como patrón operatorio numérico con propiedades peculiares. Ahora reto- mamos, pues, lo realizado con anterioridad, pero entramos ahora en:
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Problemas aditivos (suma o resta) con fracciones de números de más tamaño, lo que nos conduce a abandonar la anterior técnicade reducir a común denominador por la técnica del mcm de los deno- minadores.
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Trabajar la «fracción de otra fracción»..
Y aplicar a una fracción un operador fraccionario.En esta fase, la comprobación empírica va dejando su espacio a la comprobación y argumentación sobre la base de las propiedades operatorias de las operaciones mismas. Ahora, el algoritmo elegido muestra su eficacia y virtualidad.
El mayor o menor dominio adquirido en esta segunda fase nos va a permitir abordar una tercera fase en la que, alejándonos de la realidad físi- ca, nos adentramos en el exclusivo reino de lo numérico con:
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Fracciones en las que entran los negativos. Se retoman las cuatro operaciones anteriores, pero con la simbología propia de los enteros..
Dos operaciones nuevas: potenciación y radicación de fracciones en el contexto de los enteros.Será a posteriori de este largo proceso de creciente abstracción cuan- do podremos abordar en el ciclo siguiente el tratamiento de las fracciones desde la perspectiva de los números racionales con ciertas garantías de que buena parte del alumnado alcance ese grado de formalización.
El contexto
Es conocido por todos que el aprendizaje es un proceso personal, pero que se da en el seno de un grupo y dentro de un contexto. Es decir, el aprendizaje escolar es un aprendizaje «situado», que, a diferencia del apren- dizaje informal (el realizado fuera del aula en situaciones de cotidianidad), tiene, entre otras características, la de producirse en el seno de una diná- mica ritualizada.
En efecto, el rito escolar se concreta en un compendio de normas, unas tácitas, otras explícitas, que han de seguir aprendices y maestro para que el desenvolvimiento de la actividad en el aula sea provechosa: plani- ficar el trabajo y marcar unos objetivos entre alumnos y maestro; seguir las indicaciones, responsabilizarse en el trabajo, respetar el turno de palabra, etc.
El aprendizaje escolar puede ser vivo y significativo para la mayoría del alumnado si se inscribe en un contexto adecuado, pues es el contexto lo que determina la cualidad del aprendizaje. El contexto del que hablamos es el de investigación colectiva en clase. O expresado de otro modo: un ambiente de clase guiado por la idea de aprender entre todos: un ambiente cooperativo en el que el maestro organiza, propone, anima y conduce el tra- bajo centrado en la realización de, en palabras de Miera, «actividades que requieran una reflexión sobre los conceptos matemáticos a partir de situa- ciones problemáticas» (sin que por ello se menosprecie la necesaria ejerci- tación y la asimilación de rutinas).
Las actividades hay que realizarlas con algo. Ese algo es el material antes citado, que contextualiza la ejecución y el sentido, que proporciona referentes mentales para operar. El material mismo es un elemento impor- tante que contextualiza el aprendizaje. El material, los tipos de actividades que hay que realizar, la ambientación en el aula y el talante del maestro son las cuatro esquinas de ese contexto que comentamos y que nos lleva a un determinado tipo de enseñanza.