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Dirección de la colección: Francesc López Rodríguez Selección de textos: Susanna Arànega
© Manolo Alcalá, Josefa M.aAldana, Claudi Alsina, Alan J. Bishop, Liliana Carbó,
Trini Colomer, Antonio Fernández Aliseda, Luis Ferrero, Ana García Azcárate, Joaquim Giménez, Juan Antonio Hans, Mariona Monterde, José Antonio Mora, José Muñoz, Manuel Pazos, Núria Ramos, Elisa Recarens, Lluís Segarra
De esta edición:
© Editorial Laboratorio Educativo
Apartado 63050 Caracas 1067-A Venezuela Tel.: 952 65 30 – 952 61 50 Fax: 952 65 30 e-mail: [email protected]
© Editorial GRAO, de IRIF, S.L. C/ Hurtado, 29. 08022 Barcelona e-mail: [email protected] www.grao.com 1.ª edición: septiembre 2004 3.ª reimpresión: julio 2010 ISBN: 978-84-7827-342-3
Diseño de cubierta: Maria Tortajada Carenys Impresión: Publidisa
Impreso en España
Quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduc-ción o almacenamiento total o parcial de la presente publicareproduc-ción, incluyendo el diseño de la portada, así como la transmisión de ésta por cualquier medio, tanto si es eléctrico como químico, mecánico, óptico, de grabación o bien de fotocopia, sin la autorización escrita de los titulares del copyright. Si necesita fotocopiar o escanear fragmentos de esta obra, diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org).
Índice
Introducción, F. López Rodríguez | 9
1. El juego matemático, juego de investigación, Ll. Segarra | 13 Educación de la matemática actual | 13
El juego de búsqueda matemática | 14 Actualización de la matemática funcional | 16 Nuevos contenidos matemáticos | 17
2. El papel de los juegos en educación matemática, A.J. Bishop | 19 Los juegos en la historia de la cultura | 21
Las matemáticas y la cultura | 23
.
Contar | 25.
Localizar | 25.
Medir | 25.
Dibujar | 25.
Jugar | 26.
Explicar | 26Los juegos y los conceptos matemáticos | 26
Juego, razonamiento matemático y representación social | 27 Juegos y juego en la educación matemática | 28
Referencias bibliográficas | 29
3. ¿Xornadas de matemática recreativa…? Sí…, por favor…, M. Pazos | 31 Matemática recreativa…, ¿qué es eso? | 32
.
Algunas características | 32.
¿Por qué debemos utilizarla? | 33.
¿Cómo empiezo…? | 34Xornadas de matemática recreativa… y su historia | 35 Xornadas de matemática recreativa | 37
.
Éstos son los objetivos | 37.
Éstas son las conclusiones | 38 Notas | 394. Matemáticas para todos, todos para las matemáticas,J. Giménez | 41 Popularizar sin menospreciar | 43
.
Ejemplo 1: la geometría real y la lectura de la imagen | 43.
Usando productos naturales. Ejemplo 2: estudio de sombras | 46.
Calidad y tecnología avanzada. Ejemplo 3: la hoja de cálculo | 47 Integración publicitaria. ¿Los intereses del cliente? | 49El control de calidad | 51
.
Vender productos de reflexión | 51.
Revisar la campaña | 52.
Mejorar la producción | 52 Referencias bibliográficas | 53Educación infantil
5. Aprender a apreciar las matemáticas, C. Alsina | 57 Unos ejemplos que llaman la atención | 58
.
Una lectura más que recomendable | 59.
Una receta mágica | 59.
Un último consejo sobre esta receta | 60 Referencias bibliográficas | 616. Los juegos de puntería: una propuesta lúdica para el aprendizaje de la numeración, L. Carbó | 63
¿Qué propuesta numérica se hace en el aula? | 64
.
Los juegos de puntería | 65.
Valoración del trabajo realizado | 70 Conclusiones | 71Referencias bibliográficas | 72
7. Materiales y recursos matemáticos en educación infantil,
T. Colomer, N. Ramos, E. Recarens | 75
Ejemplo de un recurso que se desarrolla en gran grupo | 77
.
Calendario mágico | 77Actividades familiares y en gran grupo | 80
.
Vagón viajero | 80 6Rincones lúdicos. Ejemplo para trabajar en grupos pequeños | 82
.
Tienda y cocina | 82 Bibliografía | 82Educación primaria
8. Empezar jugando. Juegos y trucos numéricos, L. Ferrero | 85 Educación primaria, primer ciclo | 86
Educación primaria, segundo y tercer ciclos | 87
.
Números mágicos | 87.
Número diana | 88.
Cuadrado numérico | 90.
A la carta | 91 Para terminar | 93 Bibliografía | 939. «El jarrón mágico»: el misterio de la multiplicación, M. Monterde | 95 El significado de la multiplicación o la relación «tanto por uno» | 96
.
La historia vivida en el aula | 99El niño como observador activo de la relación «tanto por uno» | 99 La emoción de poder interpretar los números de «El jarrón mágico» | 102 La integración curricular a través del cuento | 103
.
El castillo encantado | 104 Sobre los factoriales | 105 Notas | 10610. Un buen recurso: hacer matemáticas, AA.VV. | 107 El rechazo de las matemáticas | 107
La enseñanza de las matemáticas | 108 Materiales y recursos educativos | 109 Macedonia de recursos | 111
.
Para empezar, geometría | 111.
Juegos | 114.
Magia matemática | 116.
Poesía | 117.
Prensa | 118Y lo que se quedó en el tintero | 120 Nota | 121
Referencias bibliográficas | 121
Educación secundaria
11. Los juegos de conocimientos: un recurso para enseñar matemáticas, A. García Azcárate | 125
¿Cómo romper esta dinámica? | 126 Los juegos de conocimientos | 127
.
¿Cómo tiene que ser un buen juego de conocimientos? | 127.
Trabajar destrezas | 129.
Trabajar conceptos | 131.
Trabajar estrategias | 134 A modo de conclusión | 135 Nota | 136 Referencias bibliográficas | 13612. Las operaciones con fracciones en el primer ciclo de la ESO, M. Alcalá | 139 Hipótesis básica | 140 Planificación | 141
.
Problemas manipulativos | 143 El contexto | 145 La enseñanza indirecta | 146 Nota | 147 Referencias bibliográficas | 14713. De la calle al ordenador, J.A. Mora | 149 El gato elevador | 152 La puerta levadiza | 152 El motor de explosión | 153 El hinchador de pie | 153 Referencias bibliográficas | 155 Glosario | 157 8
Introducción
Francesc López Rodríguez
Las matemáticas son de las pocas materias de estudio que en cual-quier época de la historia, reciente o antigua, nunca han pasado desaperci-bidas en la escuela o en el instituto para el alumnado, que las ha sufrido o disfrutado, pero que en ningún caso han provocado indiferencia. ¿Por qué razón, en amplios sectores del alumnado de nuestros centros, han tenido y siguen teniendo fama de asignatura «hueso», difícil, críptica o aburrida? Algunos de los autores que hemos seleccionado para este libro apuntan diferentes causas, pero en la que coinciden todos es en que, casi siempre, es una signatura cuyos contenidos se presentan y se trabajan de manera muy apartada de los intereses de los alumnos y alumnas y, lo que es peor, alejada de su realidad, con lo que les es muy difícil atribuir significado a aquello que se pretende enseñar y aprender y, por consiguiente, es o puede llegar a ser una materia tremendamente pesada o extraña (para no abusar del adjetivo aburrida).
No obstante, leyendo la selección de textos, el lector notará –porque así se trasluce– cómo disfrutan los estudiantes con las actividades que se plantean, tanto niños y niñas de educación infantil, como chicos y chicas del último ciclo de secundaria. De la misma manera que también se perci-be la ilusión y el placer de los maestros y profesoras que enseñan matemá-ticas. A mi entender esa ilusión por enseñar es una de las claves del éxito de los docentes y, por tanto, de los estudiantes. Y esto es así porque con-curren una serie de aspectos fundamentales. Cuando a un maestro o maes-tra le gusta su área –del conocimiento que sea–, indaga en ella, asiste a jornadas, cursos, u otras actividades formativas con la intención de ampliar sus conocimientos, compartirlos, actualizarlos, conocer las experiencias de otros colegas, etc.
Cuando un maestro o maestra disfruta con su área, procura hacer extensivo ese interés, busca la manera de hacer la materia comprensiva, fácil y atractiva para sus alumnos, incluso para aquellos a los que les cues-ta más, encuentra estrategias facilicues-tadoras…; en definitiva, ese maestro y esa profesora transmiten lo que sienten. Y eso es lo que aprenden sus alum-nos y alumnas.
También hay otro aspecto que querría destacar: desde hace algún tiempo, y afortunadamente cada vez es una práctica más extendida, los docentes expertos en matemáticas se despojan de un falso y nocivo halo o complejo de espécimen raro por el hecho de tratar con una simbología y un lenguaje inusual, incomprensible y poco útil en la vida cotidiana de la mayoría. En este sentido, es una suerte comprobar que cada vez son más los profesionales que demuestran a través de su práctica que se puede enseñar matemáticas de manera divertida, atractiva y, a la vez, demostrar su utili-dad, sin perder ni un ápice de la rigurosidad epistemológica y, sobre todo, que se puede enseñar y aprender matemáticas de una forma lúdica.
Éste es el propósito de la selección de artículos y textos con que hemos confeccionado este libro. Así iniciamos el bloque introductorio con un artí-culo de Lluís Segarra, donde se parte de la idea de que el alumnado debe ser el protagonista de su propio aprendizaje, ha de dominar estrategias que le permitan discernir qué opción es más conveniente. Para esto se le ha de enseñar a pensar, pero también se le tiene que enseñar a seleccionar la información pertinente para resolver las situaciones que se puede ir encon-trando. Esta alfabetización matemática (en el conocimiento y el uso) puede lograrse a través del juego como indagación matemática. Le sigue un artí-culo muy interesante de Alan J. Bishop, que relaciona cultura, matemáticas y juegos a lo largo de la historia, además de desarrollar el concepto de
jue-go y aportar diferentes clasificaciones. A continuación, Manuel Pazos, a
tra-vés del análisis y la reflexión de unas jornadas de matemáticas recreativas, va desgranando la necesidad de plantear en las aulas unas matemáticas diferentes, más cercanas, más motivadoras, significativas y atractivas para el alumnado. Finalmente, Joaquim Giménez propone incorporar elementos cotidianos para ejemplificar y trabajar los contenidos de matemáticas des-de un punto des-de vista más motivador para el alumnado, lo que facilitará el aprendizaje significativo.
Abrimos el bloque de educación infantil con un artículo de Claudi Alsina que parte de la premisa de que los alumnos y alumnas tienen que «divertirse» y «jugar» con las matemáticas para quererlas y, así, aprender-las. Con el objetivo de ilustrar dicha opinión, hace un repaso de cómo se han planteado y trabajado las matemáticas en diferentes ámbitos desde la perspectiva de infantil y primaria. Concluye que lo verdaderamente impor-tante es la estima del docente por lo que enseña, además de la importancia que debe darse a la metodología; dentro de los recursos son especialmente
relevantes la imaginación y la creatividad como «ingredientes de la receta mágica». A continuación presentamos una experiencia muy interesante lle-vada a cabo por Liliana Carbó, donde plantea cómo se puede trabajar la numeración en el educación infantil, superando la forma tradicional; es decir, cómo de manera lúdica y creativa (a partir de un juego de puntería con bolas de papel), se revela a los niños y niñas la necesidad de contar. Además hay que destacar que con este planteamiento se trabajan otros aspectos muy importantes: la autonomía, la capacidad de negociación, o la gestión del conflicto. Finalmente y para cerrar este bloque, presentamos un artículo de varias maestras del Centro Pere Torrent que nos describen dife-rentes materiales y recursos que hacen posible que, en palabras de las pro-pias autoras, «el trabajo de las matemáticas en el educación infantil se desarrolle de una manera lúdica y dinámica, donde el niño y la niña, a par-tir de la manipulación directa de diversos materiales y objetos, van forman-do su pensamiento lógico».
El bloque de educación primaria se inicia con un artículo de Luis Ferrero, en el que destaca la importancia de los juegos y situaciones lúdi-cas en matemátilúdi-cas para motivar a los alumnos. Para ello recurre a varios ejemplos de juegos numéricos pensados para los diferentes ciclos de esta etapa. A continuación, Mariona Monterde nos explica la experiencia –muy interesante– que llevó a cabo con alumnos y alumnas de ciclo inicial al tra-bajar, entre otros aspectos, el inicio de la multiplicación a través de El
jarrón mágico de Mitsumasa y Masaichiro Anno, lo que, además, dio pie a
inventarse otros cuentos con una estrategia parecida. Para finalizar el apar-tado de primaria, proponemos un artículo de unos maestros y maestras que conforman el grupo Alquerque de Sevilla, aquí se recogen materiales y jue-gos matemáticos de diversa índole.
Iniciamos el bloque de educación secundaria con un artículo de Ana García Azcárate, en el que se desgrana la necesidad de introducir los jue-gos –en este caso los de conocimiento– en la ESO, tanto para motivar a los alumnos, como para «convencer» a algunos colegas de que jugando también se trabajan los contenidos conceptuales y procedimentales del área. A con-tinuación, presentamos una propuesta de Manolo Alcalá sobre cómo traba-jar de manera lúdica las fracciones. Finalizamos el bloque y el libro con un artículo de José Antonio Mora, que explica diversas y entretenidas activi-dades para realizar con el ordenador, así incluye un planteamiento trans-versal entre las matemáticas y la tecnología.
1
El juego matemático,
juego de investigación
Lluís Segarra
Profesor de matemáticas y miembro de recursos matemáticos El Quinzet
Educación de la matemática actual
El aprendizaje de la matemática y su metodología en la enseñanza obligatoria, tanto en educación infantil, como en primaria y secundaria, tie-ne una importancia fundamental en nuestros días, ya que esta matemática para todos es una matemática básica y, por tanto, debería englobar todo lo que se considera que ha de saber cualquier persona en nuestro país. El aprendizaje de la matemática básica para todos se denomina «alfabetiza-ción matemática», en el sentido de que a cualquier persona que desconoz-ca lo que se le enseña a lo largo de estas etapas edudesconoz-cativas obligatorias se la considera socialmente una analfabeta matemática.
Estamos acostumbrados a ver campañas universales contra el analfabe-tismo, pero, si se pretende que las nuevas generaciones no desentonen en el ámbito de la tecnología del mundo moderno y de sus consecuencias sociales, a estas campañas debería unirse la lucha contra el analfabetismo matemático. Tradicionalmente, los contenidos de la matemática en la escuela consistían en el conocimiento y el dominio de los cuatro algoritmos
mentales con números naturales, además de algunas definiciones geométri-cas y las áreas y los volúmenes de las figuras y de los cuerpos más simples y regulares.
La metodología solía estar en manos del personal docente, pero como la evaluación se centraba siempre en ejercicios de cálculo escritos y en defi-niciones, la enseñanza se reducía a la práctica del cálculo y del aprendizaje memorístico de definiciones. Lo más importante era saber sumar, restar, multiplicar y dividir. El hecho de conseguir una comprensión más amplia sobre el significado de estas operaciones pasaba a un segundo plano.
Actualmente, con la ampliación de los cursos de enseñanza obligato-ria, algunos de los objetivos que comentaremos en este artículo se han vuelto imprescindibles.
El juego de búsqueda matemática
En todos los niveles y aspectos, la matemática ha de tener un valor for-mativo y otro inforfor-mativo. Estos dos objetivos han de coordinarse de forma armónica, ya que cuando se ha experimentado la polarización en uno de ellos, los resultados no han sido satisfactorios. El hecho de formar la men-te, educando las características de deducción lógica y las capacidades de síntesis y ordenación de los conocimientos, pensando que después el estu-diante aplicará por sí mismo la formación recibida a sus problemas de la vida real, o a problemas teóricos de las distintas disciplinas o actividades laborales que se le presenten, no da el resultado esperado. El estudiante ha de ser instruido también en la aplicación en casos especiales de los cono-cimientos adquiridos, que los ejemplifiquen y que le sirvan, por analogía, en casos similares. Es decir, además de formar, la matemática ha de infor-mar. La consigna debería ser «formar informando». La enseñanza ha de almacenar conocimientos sin olvidarse de instruir sobre las reglas para la correcta ordenación y uso de éstos. Se ha de enseñar a pensar, pero también se ha de enseñar a utilizar el pensamiento adecuado en cada momento. Es necesario que los alumnos y las alumnas no sólo resuelvan operaciones mecánicas, sino que piensen, es decir, que empiecen a razonar y que ela-boren sus propias estrategias. No hay duda de que esto es posible, ya que en la escuela primaria las alumnas y los alumnos aprenden juegos que impli-can el razonamiento: cuando el niño o la niña intentan resolver un laberinto
y al primer intento no les sale, utilizan la estrategia de inversión (empezar por detrás) y sólo se trata de modelar estos razonamientos dándoles forma matemática. Leibniz escribió: «Las personas son tan ingeniosas como en la invención de juegos, el espíritu se encuentra aquí como en casa». Después de todo, los problemas matemáticos no son más que juegos que, convenien-temente escogidos y dosificados, pueden ser muy útiles para el desarrollo del pensamiento matemático. Estos problemas se presentan actualmente como una auténtica búsqueda, en el que el alumnado debe adivinar resul-tados partiendo de ciertos datos.
Al plantear a los chicos y chicas un problema o una situación con-flictiva, nos ofrecen estrategias más o menos esquemáticas de acciones y operaciones que aplicarán sobre unos datos determinados.
En estas investigaciones, el alumnado deberá conocer algunas reglas y la operatoria de estos juegos, pero después también deberá escoger, en cada caso, las estrategias apropiadas para cada situación conflictiva.
La enseñanza tradicional hacía más énfasis en las propias operaciones que en su planteamiento y en su organización previa.
Al plantearles un problema a los alumnos y alumnas, éstos no respon-dían, ya que un problema que era significativo para el personal docente según su propia estructura cognitiva, resultaba totalmente ajeno a los inte-reses del alumnado.
Hemos de relacionar la enseñanza formativa con la enseñanza activa de la matemática. Los alumnos y las alumnas han de ser los protagonistas de su propio aprendizaje, han de sentirse motivados por los problemas, es decir, ser los protagonistas y directores de su proceso cognitivo, han de intentar encontrar soluciones ellos mismos, utilizando todos los recursos que tengan a su alcance y sin plantearse el relacionar qué algoritmo o qué regla de las que han aprendido puede servirles para solucionar su proble-ma. Partiendo de sus estrategias, las alumnas y los alumnos deberán ser capaces de planificar una actividad en la que sus compañeros y compañe-ras lleguen a diferentes conclusiones para solucionar el mismo conflicto y puedan hacer preguntas sobre temas conocidos. Es necesario escuchar las opiniones de las chicas y los chicos, y deducir las posibles investigaciones a partir de esta situación.
Será necesario presentar estas situaciones conflictivas partiendo de la filosofía del juego de búsqueda, de manera que todo el mundo pueda ela-borar diversas estrategias de resolución que permitan aceptar muchas
veces diversas soluciones correctas y, al mismo tiempo, diferenciadas. En este momento, el docente invitará al alumnado a defender sus métodos y soluciones. Los distintos juegos de investigación no han de ser introduci-dos a la fuerza, sino adquiriintroduci-dos mediante la curiosidad del estudiante, quien, afortunadamente, siempre tiene curiosidad por todo aquello que se le presenta adecuadamente. Es obvio que esta enseñanza en la que se pone en juego la razón y los sentidos tiene sus dificultades, ya que para el per-sonal docente es mucho más fácil señalar determinados problemas aritmé-ticos complementarios a los algoritmos del libro o explicar un método operatorio único a todos los alumnos que servirá para que éstos lo repitan o lo realicen mecánicamente, sin poder aclarar la situación conflictiva del problema.
Por otra parte, los alumnos y las alumnas tienen menos dificultades para recordar que para razonar: la memoria es pasiva, el razonamiento es activo, y esto conlleva un mayor esfuerzo. Claro que el hecho de memo-rizar, aunque represente un mínimo esfuerzo, es muy aburrido; en cambio, el intento de encontrar la solución a un problema a partir de una actividad creativa hallará nuevos conceptos y relaciones, con los que intentará, par-tiendo del juego de investigación, elaborar y plantear nuevas relaciones que tenderán a solucionar el problema e incorporar, de este modo, el nuevo conocimiento, es decir, buscará los medios para conectar el nuevo conoci-miento dentro de la estructura cognitiva de la que disponen los chicos y las chicas.
Si el objetivo de los docentes es que el alumnado aprenda determina-dos contenidetermina-dos en un tiempo no muy largo, no hay duda de que el método memorístico es el mejor. Los alumnos y las alumnas aprenden a repetir situaciones aritméticas, contentan a la familia y a la Administración, pero lo que no queda claro es que aprendan matemáticas.
Actualización de la matemática funcional
No se debe pensar de ningún modo que la matemática actual deja de lado al cálculo. Al contrario. De lo que se trata, por un lado, es de huir del cálculo rutinario sin comprender lo que se hace y, por otro, es necesario tra-tar problemas realmente prácticos y menos idealizados. El progreso en matemática no consiste en aumentar el número de cifras de las operaciones,
sino en dominar nuevas estrategias y tener gran rapidez con las cifras pequeñas y entender el motivo de su necesidad o utilidad.
En nuestros días, se suele oír decir que, por culpa del uso de las cal-culadoras, el estudiante no aprende a calcular ni a resolver operaciones. Quizá esto haya sido cierto en algún momento, por ineficacia del docente o por una mala interpretación, pero en ningún caso los matemáticos han pretendido dejar de lado el cálculo. Sabemos muy bien que hacer mate-mática es principalmente razonar, resolver problemas, y que la matemáti-ca nunmatemáti-ca será un conjunto de definiciones axiomátimatemáti-cas aprendidas de forma descriptiva, como quien aprende los accidentes geográficos de una comarca o la anatomía de un insecto. La matemática no es un conjunto de elementos que tengan que describirse: es el motor de una acción para des-cifrar enigmas que se ha de aprender a utilizar y, si se puede, contribuir a su mejora y perfección.
Es más, la matemática actual no sólo pretende resolver los mismos problemas que la matemática de toda la vida, sino que no quiere desenten-derse de ninguno de los que se presenten en la vida cotidiana, aunque no pueda ofrecer soluciones exactas.
Nuevos contenidos matemáticos
El problema de decidir respecto a los contenidos de la matemática en el ámbito de la alfabetización, entre otros, es determinado, pero también complejo, por su variabilidad en el tiempo. No siempre se tienen las mis-mas necesidades. En el mundo actual, las ciudadanas y los ciudadanos necesitan más matemática, una matemática diferente de la que necesitaban hace cuarenta o cincuenta años. Es absurdo pensar que, con los mismos contenidos, se puede preparar a las personas que han de vivir en distin-tas épocas.
Por otro lado, como la vida cada vez es más complicada, los temas que se han de aprender son cada día más complejos, lo cual obliga a introducir nuevos métodos pedagógicos y nuevas técnicas educativas para aprovechar al máximo el tiempo del que se dispone en los primeros niveles educativos. Algunos de estos nuevos aspectos que deben introducirse son los cálculos de estadística y probabilidad, la matemática creativa y de pasatiempo, y las anécdotas de la historia de la ciencia.
Si por tradición la matemática suele distinguir entre el cálculo arit-mético y la educación de la geometría, conviene tener en cuenta que cada vez estos dos aspectos están más relacionados en el aprendizaje. La geome-tría se ha de utilizar para practicar y motivar la teoría de los números, y al mismo tiempo hacer una clara interpretación de los cálculos aritméticos con ejemplos geométricos. Si a medida que aumenta el nivel de la enseñanza, la división entre la teoría de los números y la geometría se vuelve necesaria para dejar claros los contenidos, en la educación matemática básica es necesario tener en cuenta sus dos aspectos fundamentales: calcular y repre-sentar.
Las representaciones pueden ser figuras geométricas, esquemas, tablas de valores, representaciones gráficas de funciones, gráficos, etcétera. El diseño de los gráficos estadísticos y su interpretación ha de ser frecuen-te desde los primeros niveles educativos. El desarrollo histórico no ha de ser exhaustivo y se ha de formular a partir de anécdotas extraídas de la lectura de libros y artículos sobre la historia de las matemáticas.
Los alumnos y las alumnas agradecerán que el profesor les haga ser conscientes de la historia de la ciencia, ya que la evolución que ha experi-mentado la matemática a través de los siglos ha sido la misma que han experimentado ellos, ya que este hecho es paralelo al proceso de cons-trucción de los conocimientos del alumnado.
La historia prepara un terreno donde las matemáticas presentan una actividad cultural, a la vez que nos proporciona una motivación para el aprendizaje. Además, permite realizar un compendio de los conceptos y de los problemas que han pretendido resolver, y facilitan su comprensión.
En definitiva, la matemática básica actual ha de ser funcional, cual-quier persona ha de tener un rápido dominio de los números y de las for-mas, pero sin olvidar que la matemática sirve para jugar pensando.
Para finalizar, citaremos un fragmento de una carta enviada por el gran príncipe de las matemáticas, Gauss (1777-1855), a Germain:
La afición por las ciencias exactas en general, y en especial por todos aquellos misterios de los números, es excesivamente extraño. Esto no tiene por qué sorprendernos: los encantos de esta ciencia sublime sólo se revelan a aquellos que tienen el valor de introducirse a fondo en su estudio.
2
El papel de los juegos
en educación matemática
Alan J. Bishop
Facultad de Educación, Monash University. Melbourne (Australia)
La primera situación procede de un libro de Marcia Ascher (1991, p. 88). Hace referencia a un juego que practicaban en América los indios nativos de la zona en la que ella vive actualmente: los indios cayuga. Se utilizaba un bol de madera y seis discos que en realidad eran seis huesos de melocotón pulidos y alisados que ennegrecían por una cara con fuego. Si al lanzar los huesos de melocotón, éstos caían mostrando seis caras del mismo color (seis caras negras o seis blancas), el jugador se apuntaba cin-co puntos. Si los huesos mostraban cincin-co caras del mismo cin-color (cincin-co negras y una blanca o cinco blancas y una negra), el jugador se apuntaba un punto. En cada uno de estos casos, el jugador además disponía de otra tirada. Si el resultado era cualquier otro distinto a los mencionados, el jugador no se apuntaba ningún punto y debía pasar el bol a su contrin-cante. El ganador del juego era aquél que llegaba reunir primero un núme-ro preestablecido de puntos que se determinaba entre 40 y 100.
La segunda situación procede de la tesis en PhD de Agnes Macmillan (1996, p. 396) y se sitúa en un contexto preescolar:
Ricky estaba con un grupo de niños jugando con un puzle. Otra niña le hace salir de la silla con un empujón para poder hacer el puzle. Cuando ésta ya ha acabado, Artículo publicado en Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 18, pp. 9-19, octubre-noviembre-diciembre 1998.
Ricky vuelve a su silla. El puzle sigue estando sobre la mesa, y entonces ve que Con-nie y Sophie cuchichean algo. Se miran fijamente un buen rato y después Ricky em-pieza a coger unas em-piezas del puzle. Entonces Sophie se apoya en la mesa y dice a Ricky: «Si lo vuelves a hacer, se lo diremos a la señorita». Y cuando Ricky le quita la mano de encima del puzle para coger una pieza, Connie le coge el brazo e intenta sacárse-la. Cuando Connie lo consigue, le dice a Sophie: «Vamos a decir lo que ha hecho». Ricky se las arregla para seguir con el puzle, pero Connie y Sophie han ido donde está la profesora. Ricky coge el puzle y se lo queda cuando ve que las otras dos niñas ha-blan con la profesora. Ésta llama a Ricky: «Ricky, tienes que dejar que los demás también jueguen». Ricky entrega el puzle a las otras dos niñas. Mira como lo hacen y cuando han terminado Connie dice: «Vamos a hacerlo otra vez».
Para ofrecer una visión global y una introducción a este artículo he escogido estas situaciones porque ilustran el tipo de ideas que necesitamos tener en cuenta cuando pensamos en aplicar los juegos y el juego en las cla-ses de matemáticas. Ya no pensamos en los juegos sólo como un entreteni-miento o una diversión, como algo muy útil para motivar pero poca cosa más. Actualmente, como resultado de la investigación en distintos aspectos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, somos mucho más conscientes del potencial educacional de los juegos.
La primera situación citada nos ofrece una descripción de un típico juego de azar, más o menos como lanzar dados o jugar a cara y cruz, pero la verdad es que además tiene otros aspectos. Es un juego distinto de a los que normalmente jugamos. Procede de una cultura india norteamericana. Nos muestra que los juegos que se basan en la suerte no sólo se encuentran muy difundidos geográficamente, sino también que no son exclusivos de la his-toria y la cultura «occidentales». Los juegos existen en todas partes, como comentaremos más adelante, y cuando alguien enseña en una situación multicultural necesita conocer juegos que sean universalmente conocidos y practicados. Incluso hay algunos juegos que se practican exactamente del mismo modo en distintos países y en todos los continentes. Por eso pueden constituir un punto de contacto entre niños de grupos culturales y lingüís-ticos distintos que quizás no tengan otros puntos de contacto.
Desde la perspectiva de las matemáticas, a primera vista los juegos de otras culturas quizás parezcan primitivos, pero sus posibilidades pueden ser muy interesantes, como por ejemplo el caso de la puntuación del juego de
la primera situación. El sistema de puntuación es el que escoge el grupo y se transmite generación a generación, y al hacer los cálculos se aprecia que este sistema es realmente bueno.
En la segunda situación vemos la otra cara del juego, que precisamente es muy importante para el profesorado. La situación del juego es de tipo social y en ella hay varias reglas tanto explícitas como tácitas que tienen que ser negociadas y cumplidas. Aquí vemos que Ricky está pasando un mal rato por culpa de las otras dos niñas, que están ejercitando sus poderes de interacción social para poner todas las reglas de organización a su favor. Incluso llegan a involucrar a la profesora en su propio bando, a pesar de que, o precisamente por eso, la profesora no es plenamente consciente de lo que está pasando.
En todas partes del mundo se juega, pero cuando queremos aprove-char los juegos con objetivos educativos la cosa cambia. Es verdad que siguen siendo juegos, pero se practican con un objetivo concreto, es decir, para aprender algo. Quizás se trate de aprender un concepto o de adquirir vocabulario nuevo, o de aprender a trabajar en grupo, o de competir. Los educadores en matemáticas han descubierto mediante su experiencia, que han apoyado con investigaciones teóricas, que jugar puede ser una parte integrante del aprendizaje. Esto ha hecho del acto de jugar y de la idea del juego una actividad de enseñanza y aprendizaje mucho más extendida de lo que había sido anteriormente.
En este artículo quisiera analizar algunas de las características del juego y los juegos, algunas de las cuales tienen verdadera significación en la cultura y la historia, porque han sido fundamentales en el desarrollo de las matemáticas y porque actualmente son importantes en la enseñanza de las matemáticas. En febrero de 1998 tuve la suerte de participar en el TIEM 98 en la Universidad Autónoma de Barcelona, donde un grupo de investi-gadores, dirigido por Jordi Deulofeu, se ocupa de la resolución de proble-mas matemáticos. En ese contexto tuvimos ocasión de llevar a cabo unos interesantes debates sobre la investigación de los juegos y su utilización para desarrollar habilidades que permitan resolver problemas matemáticos.
Los juegos en la historia de la cultura
Los juegos y el juego tienen una larga historia en la civilización huma-na y también en las matemáticas. Huizinga (1949) escribe:
El espíritu de competición en el juego es, como impulso social, más antiguo que la cultura misma y se extiende por todas las etapas de la vida como un fermento cultural... (Homo Ludens, p. 173)
Se refiere al juego en estos términos, y de este modo nos proporciona un contexto emocional y afectivo en el que consideramos los juegos y el jue-go en la educación matemática:
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Voluntario, libre..
No es un deber, ni habitual, ni real..
Esencialmente distendido en cuanto a los objetivos, aunque su práctica es seria..
Ajeno a las satisfacciones inmediatas, pero parte integral de la vida y una necesidad..
Repetitivo..
Estrechamente relacionado con la belleza en muchos aspectos pero no idéntico..
Crea orden y es orden; tiene reglas, ritmo y armonía..
A menudo está relacionado con el ingenio y el humor, pero no es sinónimo de ellos..
Tiene elementos de tensión, incertidumbre, riesgo..
Ajeno a la antítesis entre cordura y locura, verdad o falsedad, bue-no o malo, vicio y virtud, bue-no tiene una función moral.Así, según Huizinga jugar es una forma particular de la actividad social en la que se establecen unas reglas y en la que los participantes se convierten en jugadores. No se abre una brecha que limite lo real y lo no real, y cada uno de los jugadores está de acuerdo en no comportarse «nor-malmente». Si uno de ellos decide jugar sin seguir las normas, entonces el juego no puede continuar, como mínimo no podrá continuar hasta que se negocien las nuevas normas.
También se desprende de la descripción de Huizinga que los juegos son una especie de subconjunto del juego. Es decir, hay más formas de jugar que juegos. Los juegos se han analizado de muy distintas maneras, pero la descripción de Walter Roth (1902) en la que distingue siete cla-ses de juegos que encontró en las sociedades aborígenes que él estudió sigue siendo útil. Además, afirmó que estas formas existen en todas las culturas.
Los juegos se clasifican según sean:
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Imaginativos: implican fantasía, humor..
Realistas: se disfruta usando objetos naturales, orgánicos e inorgá-nicos, por ejemplo, jugando con animales domésticos o resbalando sobre el barro..
Imitativos: de dos tipos, el primero consiste en imitar aspectos de la naturaleza; en el otro tipo, los niños imitan el comportamiento de los adultos..
Discriminativos: el escondite, adivinanzas..
Competitivos: luchas, combates..
Propulsivos: con juguetes que incluyen movimiento, peonzas, lan-zamiento de objetos, etc..
De placer: música, canciones, danzas, etc.El juego no sólo es una actividad universal sino que podemos encon-trar el mismo juego en distintos países. Por ejemplo, Jayne (1962) escribe –y al mismo tiempo ilustra– sobre la universalidad de los juegos con cuer-das. Estos juegos se practican en todos los continentes y en todos los ambientes, incluso lo hacen los esquimales, que no tienen cuerdas de mate-rias vegetales. Ellos fabrican las cuerdas con partes del cuerpo de los ani-males, pero los juegos son muy parecidos.
Todas las personas de todo el mundo practican algún juego y lo hacen muy seriamente. El libro de Falkener (1961) o el de Bell y Cornelius (1988) son interesantes para hacerse una idea de la importancia de los juegos en la historia de la cultura. Naturalmente, no todos los juegos ni todo lo que se juega tiene importancia desde la perspectiva de la educación en matemáti-cas. Entonces, ¿cuáles son las conexiones entre los juegos, el juego y el ámbito de las matemáticas?
Las matemáticas y la cultura
El punto de partida de mi análisis es el siguiente. De la misma mane-ra que podemos ver que jugar es una actividad universal, podemos consi-derar que las matemáticas son también una área universal de conocimiento. Las etnomatemáticas son el estudio de la relación entre las matemáticas y la cultura, y en los últimos veinte años se ha demostrado que sin duda
algu-na las ideas matemáticas existen en todas partes, aunque no sean las mis-mas en todas partes.
Gran parte de esta investigación se ha hecho sobre las formas del conocimiento matemático encontrado en sociedades tradicionales, enten-diendo por «tradicional» aquel tipo de sociedad que se ha visto relativa-mente poco o nada afectada por el progreso tecnológico moderno. Claudia Zaslavsky (1973) fue la primera que llamó la atención de los educadores en matemáticas sobre esta área de trabajo. Esta línea fue después continuada por investigadores que trabajaban en la tradición antropológica en países como, por ejemplo, Papúa Nueva Guinea y Oceanía (Lean, 1992), Mozam-bique (Gerdes, 1995), con los maoríes de Nueva Zelanda (Barton y Fairhall, (1995), con los aborígenes australianos (Cooke, 1990) y con los navajos de América del Norte (Pixten, 1983). La mayor parte de esta investigación está recogida en Gerdes (1996) y en Barton (1996), y nos ha ofrecido algunos datos interesantes. Por ejemplo, ¿sabías que...?
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Hay más de 2000 sistemas distintos para contar en Papúa Nueva Guinea y Oceanía, algunos usan un método de ciclo 5 y otros de ciclo 2. Hay más de un sistema para contar con las partes del cuer-po (una ampliación del sistema de contar con los dedos), en el que el nombre de cada número es el nombre de la parte del cuerpo que se señala mientras se cuenta..
Hay distintas maneras de sumar, restar, multiplicar y dividir (¡pero dan la respuesta correcta!)..
Hay distintas maneras de encontrar el área de un rectángulo. Los campesinos del Brasil utilizan un método para encontrar el área de sus campos que consiste en encontrar la longitud media de los la -dos opuestos y multiplicar las medias obtenidas entre sí..
Los carpinteros, los navegantes, los pescadores, los sastres... todos ellos tienen diferentes conocimientos y habilidades matemáticas. También hay, naturalmente, muchos juegos diferentes, puzles, depor-tes y danzas con puntos de conexión con las matemáticas.Basándome en los datos que yo mismo he obtenido y en los que ofre-cen los trabajos anteriormente citados, he llegado a la conclusión de que no es demasiado útil definir las ideas matemáticas como algo universal porque en realidad no lo son. Más bien podemos decir que lo universal son las acti-vidades en la que la gente las involucra. Estas actiacti-vidades sí que pueden
considerarse matemáticas porque ellas son las que producen las distintas ideas matemáticas.
Ya he expuesto en otra ocasión (Bishop, 1991) que hay seis activida-des matemáticas importantes y diferentes, que realizan todos los grupos cul-turales cuyas practicas se han estudiado. Las actividades sobre las que se asientan los cimientos del conocimiento matemático en las distintas cultu-ras son las que se indican a continuación.
Contar
Es la actividad relacionada con la pregunta «¿cuántos?» en todas sus formas y variantes, en consecuencia, hay también distintos modos de con-tar y de hacer cálculos numéricos. Las ideas matemáticas derivadas de esta actividad son los números, los métodos de cálculo, los sistemas numéricos, la forma gráfica de los números, métodos numéricos, estadísticas, etc.
Localizar
Es la actividad que permite encontrar un camino en el mundo espa-cialmente estructurado de hoy en día; o, navegando, encontrar la situación propia y la de otros objetos y describir dónde está cada cosa en relación con otras. Utilizamos distintas formas de descripción incluyendo mapas, figuras, planos, diagramas y sistemas de coordenadas. Esta área de actividades es el aspecto «geográfico» de la geometría. Y entre otros, derivan de esta acti-vidad los temas matemáticos siguientes: medidas, coordenadas cartesianas y polares, ejes, cuadrículas, lugares geométricos, etc.
Medir
«¿Cuánto?» es una pregunta que se plantea y se contesta en todas las sociedades y que puede referirse a vestidos, alimentos, terreno, dinero o tiempo. Las técnicas para medir, con todos los tipos de unidades que impli-can, se hacen más complejas cuanto más compleja es la sociedad de que se trata. Algunos temas matemáticos que derivan de ella: orden, talla, unida-des, sistemas de medición, conversión de unidaunida-des, precisión, cantidades continuas, etc.
Dibujar
Las formas son muy importantes para el estudio de la geometría y apa-recen de la derivación de objetos dibujados para distintas finalidades. Lo
que nos interesa particularmente es saber cuántas formas diferentes se manejan, analizar sus distintas propiedades e investigar cómo se relacionan unas con otras. Los temas matemáticos que se derivan: formas, regularidad, congruencia, similitud, construcciones dibujadas, propiedades geométricas, etc.
Jugar
Analizaremos con más detalle esta actividad más adelante, pero ya podemos decir que los juegos y el juego encajan en la descripción matemá-tica general desde el punto de vista cultural del conocimiento.
Explicar
Intentar explicarse a sí mismo y a los demás por qué las cosas pasan del modo que pasan es otra actividad humana universal. En lo que se refie-re a las matemáticas nos interefie-resa saber, por ejemplo, por qué funcionan los cálculos numéricos y en qué situaciones, por qué algunas formas geomé-tricas no encajan entre sí, por qué un resultado algebraico lleva a otro y cómo están relacionados entre sí los distintos modos de simbolizar estas relaciones. Los temas matemáticos que se derivan son: reglas lógicas, prue-bas, gráficos, ecuaciones, etc.
Los juegos y los conceptos matemáticos
Marcia Ascher (1991), en su libro Ethnomathematics dice sobre los juegos lo siguiente:
En general, las actividades que nosotros denominamos juegos se podrían definir con más precisión como objetivos hacia los que tien-den los jugadores siguiendo unas reglas en las que todos ellos están de acuerdo. Podemos clasificar los juegos según impliquen habilidades físicas, estrategia, suerte o una combinación de ellas. Como lo que nos interesa son las ideas matemáticas, excluimos los juegos que sólo implican habilidades físicas y también los que dependen de informa-ciones que no sean exclusivamente las reglas del juego. Así pues, los juegos que consideramos de uno u otro modo matemáticos son los que dependen de la suerte o aquéllos en los que las estrategias dependen de la lógica. (p. 85)
Es cierto que no todos los juegos son significativos desde el punto de vista matemático, pero personalmente creo que la «definición» de los jue-gos de Marcia Ascher es bastante limitada. Los puzles, las paradojas, el
memory, los juegos de imitación, los juegos de apuestas, por citar sólo unos
cuantos, implican actividades que potencialmente son interesantes desde el punto de vista educativo. Aunque quizás pensemos que a priori sólo requie-ren suerte o lógica, pueden implicar otros aspectos de la actividad matemá-tica. Además de las ideas matemáticas específicas que pueden derivarse de ellos, hay también otras ideas matemáticas más generales como las reglas, los procedimientos, planes, estrategias y modelos.
Ciertamente, los juegos han sido la fuente de las principales ideas matemáticas que actualmente aceptamos como una parte central de las ma -temáticas, particularmente en la probabilidad, pero también más general-mente en la teoría de los números y, también podemos afirmar, en la geometría y en álgebra. Naturalmente, la teoría del juego es la más obvia de las conexiones matemáticas, pero tan pronto como consideramos el área general del modelo y la simulación, no tenemos más remedio que apreciar que hay varias áreas de las matemáticas con aspectos parecidos o compara-bles a las de los juegos.
Por otra parte, quizás no sea casual que en las categorías establecidas por Roth la mayor parte de los juegos sean del tipo «imitativo». Pensar que la actividad matemática consiste en el desarrollo de ciertos tipos de mode-los de realidad implica que mode-los juegos imitativos pueden ser una base importante para una gran cantidad de nuestra actividad como educadores en matemáticas. La descontextualización de una idea o de un proceso desde la realidad hasta la abstracción de la realidad es una parte impor-tante de la manera en que se han generado las ideas matemáticas, y por lo tanto los juegos de experimentación pueden ser una parte importante de la educación matemática de los estudiantes.
Juego, razonamiento matemático
y representación social
El juego tiene también una estrecha relación con el razonamiento matemático, y podemos considerar como válida la afirmación de que es la base del razonamiento hipotético. Desde la perspectiva de la capacidad
mental, parece que el juego desarrolla habilidades concretas de pensa-miento estratégico, adivinación y planificación (véase, por ejemplo, Brady 1978).
Situándonos en lo que Huizinga llama «el círculo mágico del juego», el pensamiento hipotético, la adivinación, el cálculo aproximado, la demos-tración, la verificación, serían todas ellas actividades que entrarían en lo que se llama «jugar».
En otro nivel de análisis, el proceso de autocomprobación de la gene-ración de hipótesis a través del examen de las anomalías se relaciona claramente con el desarrollo del proceso metacognitivo. En relación con todo ello, Macmillan (1997) apunta que la teoría de representación social refleja la visión de que las relaciones semióticas son inherentes a la repre-sentación social a través de procesos de significación, o marcas sociales (Moscovici, 1981).
A este respecto, quizás no sea casual que la palabra inglesa recreation (entretenimento, recreo) signifique a la vez una forma de juego y literal-mente una «re-creación». También nos vemos forzados a preguntarnos si estos procesos son todavía más predominantes y significativos en el mundo actual de tecnología de la información inspirado en actividades de realidad virtual.
Juegos y juego en la educación matemática
Así pues, hay buenas razones culturales, matemáticas, educacionales y sociopsicológicas para incluir los juegos y el juego en la educación mate-mática de los niños de hoy en día. En este artículo he hecho varias referen-cias a la investigación.
Quedan todavía muchos puntos de la investigación por explorar, y todavía también mucho por desarrollar antes de que los juegos sean plena-mente aceptados y aprovechados en las aulas de matemáticas en general.
Permitidme que para terminar esta breve introducción y estado de la cuestión haga una lista de los apartados de un capítulo de Dunford (1982) titulado «Juegos y entretenimientos en la clase de matemáticas». Es una contribución típica de un profesor de matemáticas que ve claramente cómo usar algunos aspectos de los juegos y del juego en la enseñanza actual de las matemáticas:
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¿Cómo usar los juegos y entretenimientos?.
Los juegos en las matemáticas..
Juegos para aprender las tablas..
Inventar juegos..
Juegos vectoriales..
Juegos para aprender las coordenadas..
Juegos de cartas..
Juegos para ángulos y posiciones..
Juegos de funciones..
Juegos y generalizaciones..
Otros juegos de estrategia..
Adivinanzas matemáticas..
Otras actividades: la sección áurea..
Doblar papeles, origami, tangrams..
Puntear y dibujar curvas..
Construcción de cuerpos..
Juegos comerciales..
El club de las matemáticas.Referencias bibliográficas
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mathe-matical ideas. Pacific Grove (California). Brooks/Cole.
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educa-tion. Nueva Zelanda. University of Auckland.
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mathematics education. Dordrecht (Holanda). Kluwer.
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ethnographic bulletin, 4, pp. 7-24.
ZASLAVSKY, C. (1973): Africa counts. Nueva York. Prindle, Lawrence Hill Books.
3
¿Xornadas de matemática
recreativa...? Sí...,
por favor...
Manuel Pazos
Asesor de matemáticas en el CEFOCOP de La Coruña
En las reuniones que el profesorado mantiene tanto en sus centros como en los distintos foros a los que acude, suelen oírse lamentos en abun-dancia y termina por caerse en el tópico de que el alumnado cada vez estu-dia menos, que no atiende en clase, que la gestión del aula es cada vez más difícil y que no se sabe muy bien adónde vamos a parar. Es una histo-ria bastante descorazonadora que, con una buena dosis de certeza, encierra un pesimismo peligrosamente contagioso del que muchos compañeros y compañeras quedan cautivos.
De alguna manera, es preciso rebelarse y adoptar medidas tendentes a mejorar la motivación de todos, de profesores y alumnos, de modo que los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, ya de por sí com-plicados y nada fáciles, tengan lugar con una actitud positiva capaz de contagiar al alumnado.
Seguramente no siempre nuestra reflexión sobre el quehacer diario en el aula nos lleva a un replanteamiento de las estrategias que utilizamos ni a una inversión, aunque sea fugaz, de los papeles alumno-profesor que nos
facilitaría el análisis de por qué el alumno cada vez «estudia menos» y «se aburre más».
Cuando se instala una situación de crisis en un colectivo, sea cual sea su tamaño, es preciso romperla y para ello hay que contar con la colabora-ción de todas aquellas personas que se mueven en situaciones didácticas más innovadoras y favorecer una actitud positiva en el grupo, sobre todo en los que están en el umbral en disposición de que su actitud y su práctica evolucionen en el sentido deseado.
Parece evidente que el mejor modelo es a través de una formación cen-trada en los lugares de trabajo, porque se conoce el medio, el centro y su entorno, los recursos humanos y materiales, el contexto socioeconómico, las costumbres, las necesidades, etc. Todo ello hace que la intervención sea más ajustada y que los logros respondan más y mejor a las necesidades mani-festadas. De este modo, se pueden dar pasos para que:
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Las matemáticas en el aula sean atractivas para alumnos y profesores..
Las matemáticas ayuden a comprender, plantear, resolver e inter-pretar situaciones próximas, del día a día..
El profesorado utilice, además de su ingenio y su arte, todos aque-llos recursos (materiales, lingüísticos, tecnológicos) y métodos que hagan que la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas sean agradables..
Cada vez sean más los niños y niñas a los que les gusten las mate-máticas.Pero, siendo básico el trabajo individual y grupal, es preciso que el profesorado tenga referencias más amplias sobre la actividad de otras per-sonas y grupos más o menos próximos, lo que piensan y hacen profesiona-les de relieve, los métodos y materiaprofesiona-les que utilizan, las actividades que se realizan, etc. Es preciso, más que nunca, intercambiar ideas y opiniones entre el profesorado.
Matemática recreativa..., ¿qué es eso?
Algunas características
No se trata de dar una definición de matemática recreativa, porque la definición, además de resultar difícil, seguramente no nos ayudaría a
ficar el tema. Pero considero conveniente hacer un esfuerzo reflexivo para establecer unos parámetros y fijar unas referencias que, si es posible, ayu-den a delimitar su contenido.
Acudiendo a la cada vez más abundante literatura sobre matemática recreativa, observamos que no abundan las definiciones por comprensión, sino por extensión, y van apareciendo características, contenidos, metodo-logías, recursos, modos de presentación de actividades matemáticas, etc., que unos y otros autores, articulistas y demás consideran como tal.
De este modo, parece que no sólo debemos entender por el calificati-vo recreaticalificati-vo los juegos matemáticos en sentido estricto, sino que también habría que hablar de todas aquellas situaciones didácticas activas en las que utilizamos la palabra (cuento matemático, adivinanza, jeroglífico, can-ción, narracan-ción, etc.), la representacan-ción, la construcción geométrica, el material didáctico más o menos estructurado (policubos, tangram, ábaco, espejos, regletas, BAM), los objetos cotidianos (botones, palillos, dados), el material tecnológico (calculadoras, ordenador), los juegos de diversa índo-le, las actividades de exposición en tablones de pasillo o clase (biografías, noticias de prensa, curiosidades), los problemas relevantes, etc.
Bajo el nombre de matemática recreativa suelen presentarse, pues, una variada serie de contenidos, recursos y estrategias que cualquier profesor, conociendo las necesidades e intereses de sus alumnos, debe utilizar para que el proceso de aprendizaje resulte grato y motivador, y sea motor de futu-ros aprendizajes. Por tanto, parece que todas las actividades que se realicen deben estar relacionadas con las matemáticas y tener un carácter lúdico.
En las I Xornadas de Matemática Recreativa (La Coruña, 1994), Luis Balbuena, en la conferencia inaugural («La matemática recreativa o cómo re-crear la matemática») hacía hincapié en la necesidad de que los niños recreasen las matemáticas, que volviesen a crearlas, en la medida de lo posible. Asimismo, se refería a una definición de matemática recreativa como el estudio y solución por puro pasatiempo de problemas y acertijos relacionados con las matemáticas. Pero habría que plantearse si es sólo pasatiempo, porque, como sabemos, pueden llegar a presentarse serios pro-blemas matemáticos a partir de simples pasatiempos.
¿Por qué debemos utilizarla?
Entre alumnos, ex alumnos y una parte del profesorado, suele decirse de las matemáticas que son aburridas, con excesiva carga operacional,
carentes de practicidad y no contextualizadas, excesivamente abstractas e inadecuadas para la edad, difíciles de entender por su riguroso lenguaje, lo que implica mecanización, etc. Consecuentemente, parece obvio que es preciso mejorar los resultados, el grado de satisfacción del alumnado1.
La matemática recreativa resulta interesante y útil dentro de la edu-cación matemática porque es atractiva para los alumnos, y además:
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Sirve para conectar las distintas partes de las matemáticas entre sí y con otras áreas, evitando compartimentos estancos, siempre per-judiciales para el proceso de enseñanza-aprendizaje..
Permite la puesta en práctica de recursos intelectuales y estrate-gias diversas al intentar resolver los problemas que se plantean en cualquier situación, juego, etcétera..
Ayuda a perseverar en la búsqueda de soluciones o de estrate-gias ganadoras al constituir para determinados alumnos un desa-fío e iniciarse o profundizar en la inducción, la generalización, etcétera..
Facilita al profesorado una evaluación reguladora que permite suministrar a cada alumno, en cada caso, la ayuda pertinente para seguir avanzando en la construcción de su conocimiento matemáti-co manteniéndo una estimulación adecuada..
Favorece la integración e incorporación a la actividad matemática de aquellos alumnos que tienen bajo rendimiento escolar por diver-sos motivos, pero que reaccionan positivamente en situaciones abiertas de aprendizaje fuera del marco clásico, por el que no demuestran ningún interés..
Contribuye a crear un clima distendido en clase que favorece los aprendizajes cooperativos y la regulación de comportamientos socia-les en situaciones muchas veces espontáneas.¿Cómo empiezo...?
Suele decirse que la mayoría de los conocimientos, sobre todo desde Gütenberg, están en los libros. Y hoy la producción bibliográfica sobre el tema es considerable en cualquier etapa educativa, no habiendo dificultad alguna en cuanto a información. Existen, además, revistas en las que apa-recen actividades y propuestas aprovechables para matemática recreativa2.
Lo mismo ocurre en cuanto a materiales y recursos para utilizar en clase, según el aspecto matemático que nos interese.
Pero, siendo importantes, la bibliografía y el material no bastan. Exis-te algo mucho más básico: la actitud del profesor, el querer hacerlo, el estar convencido de su importancia, creer en lo que se hace. Hasta tal punto es así que considero que una clase calificada como «normal» puede ser ver-daderamente recreativa, mientras que otra planteada como recreativa puede ser una clase sin vida y sumamente aburrida. Es el papel del profesor y la gestión que del aula haga lo que marca la diferencia.
Algunos pasos
Casi siempre introducimos modificaciones en nuestra manera de hacer las cosas porque, además de reflexionar sobre ellas, creemos que son sus-ceptibles de mejora. Ello hace que seamos receptivos a cualquier novedad material o de procedimiento. Es así que la lectura de un libro, la asistencia a un curso, a una conferencia, a una exposición, la conversación con el com-pañero recién llegado al centro, pueden provocar en un profesor la curiosi-dad y hacer que pruebe algún tipo de activicuriosi-dad que, a ser posible, ha de ser:
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Sencilla y breve..
Cuyo resultado vaya a ser satisfactorio para nosotros y para los alumnos: que deje buen sabor..
Adecuada a lo que se está trabajando en clase..
Motivadora, facilitadora, aclaratoria, impactante..
Que exija la participación del alumnado, no sólo la actuación del profesor.Poco a poco, y de una manera gradual, se van incorporando activida-des nuevas y los alumnos y el profesor se van encontrando más a gusto en clase recorriendo un camino que cada día está más transitado y con un pun-to de salida en el que podría rezar:
Súmese al grupo de los que sostienen el deseo de que no exista lugar en las aulas para las matemáticas «feas». (Pérez Gómez, 1988)3
Xornadas de matemática recreativa...
y su historia
La idea no fue producto de un momento feliz, sino inducida por una serie de circunstancias y personas. Se fue construyendo poco a poco. Por
ejemplo, en aquellos largos paseos por Barcelona con M.G. Déniz, en los que la educación matemática era un tema de conversación recurrente; muchas de las ideas esbozadas entonces fueron llevadas a la práctica en varios centros a través de talleres de visualización y geometría, aulas de matemá-tica recreativa, proyectos y seminarios nucleados en los recursos materia-les. Pero la idea clave para la decisión final habría que buscarla en un curso de matemáticas para educación primaria en el que participó El Quinzet (Barba y Segarra), cuyas sesiones constituyeron un claro ejemplo práctico de enseñar y aprender disfrutando.
En la primavera de 1993, comenzó en el centro de Formación Continua-da del Profesorado (CEFOCOP) de La Coruña la planificación de las I
Xorna-das de Matemática Recreativa. A lo largo del curso escolar se convocaron entre
el profesorado actividades tendentes a fomentar su participación como un ban-co de intercambio de juegos («¿Me cambias un juego?», «Me ensañas un juego», «Te enseño un juego», etc.) o el envío a todo el profesorado, tanto de primaria como de secundaria, de un vaciado de más de mil actividades recre-ativas clasificadas según distintos criterios y que se extrajeron de diferentes libros. En junio de 1994 asistieron a sus talleres, conferencias, comunica-ciones, mesas redondas y exposiciones algo más de cuatrocientas personas. Un número similar de docentes acudió a la edición de 1995.
En las III Xornadas4celebradas en junio de 1998, los setecientos
asis-tentes tuvieron ocasión de recrearse en la oferta de sesenta talleres distintos, cuatro conferencias plenarias, veinte comunicaciones, diez exposiciones, etc. La participación del profesorado de Galicia creció considerablemente, ya que fueron algo más de cien profesoras y profesores los que aportaron sus actividades, mientras que unas cuarenta personas de otras Comunidades (Madrid, Cataluña, Navarra, Canarias, Valencia, Andalucía, Castilla-León, Castilla-La Mancha, Aragón...) nos comunicaron su experiencia en el ámbi-to de la matemática recreativa.
De este modo, conjuntamente, vamos creciendo poquito a poco tanto en Galicia como fuera de ella, y cada vez más gente se siente atraída por esta actividad que hoy se ha convertido ya en un punto de encuentro en todo el territorio estatal, pues se ofrece un marco idóneo para una visión genérica de la recreación en matemáticas y para su análisis e investigación.
Estamos convencidos de que la enseñanza de las matemáticas debe evolucionar, adaptándonos tanto a las necesidades sociales de hoy como a las capacidades del alumnado y también a su mundo afectivo. Pensamos,
asimismo, que es preciso avanzar, no sólo en el desarrollo de programas y métodos, sino también en la manera de enseñar y aprender.
Es necesario impulsar, a través del juego y del uso de recursos mate-riales y tecnológicos, la actividad matemática recreando situaciones moti-vadoras entrelazadas que faciliten el descubrimiento de los distintos aspectos matemáticos objeto de estudio. Pero para eso no basta que sepa-mos lo que el alumno debe o puede aprender: es preciso que consigasepa-mos que quiera aprenderlo. Éste es el problema básico con que nos encontra-mos en las aulas. Y no podeencontra-mos vivir de espaldas a él; es preciso ponerlo a la proa e intentar encontrar una solución a toda costa.
¿Podemos buscar apoyo en la recreación matemática? Pensamos que sí, pero actuando de una manera sistemática, con intencionalidad en el hecho de educar y que no quede sólo en una tarea de relleno o para lanzar luminarias en clase. Estimamos que se necesita un mejor aprovechamiento de todo tipo de recursos, de las situaciones lúdicas, de la contextualiza-ción de las matemáticas en la vida diaria y en las demás áreas de conoci-miento, de los modos de enseñar y de evaluar del profesorado, porque creemos que un niño o una niña no puede odiar las matemáticas en razón directa a sus años de estancia en la escuela. Cuando eso es así, y en algu-nos casos lo es, algo falla y alguna reflexión estamos obligados a realizar. En fin, sería deseable que esta actividad, y otras que puedan promoverse en la misma línea, contribuyese de alguna manera a una tarea de mejora.
Es de resaltar el esfuerzo de las muchas compañeras y compañeros, tanto de Galicia como de otros lugares, que hicieron y hacen viable esta actividad, lo mismo con su presencia como asistentes que presentando acti-vidades y comunicando sus vivencias del día a día en el aula, lo que, como bien sabemos, exige un esfuerzo de reflexión y de síntesis que, indudable-mente, cada uno incorpora a su acervo de perfeccionamiento profesional. A todos, el equipo del CEFOCOP de La Coruña, nuestro agradecimiento.
