PERSPECTIVA PIAGETIANA CONSERVACIÓN DE

LA CANTIDAD OPERACIONES LÓGICAS CONCEPTO DE NÚMERO El sujeto es capaz de identificar que los cambios operados en el aspecto perceptivo no implican necesariamente cambios en la cantidad de sustancia o de elementos REVERSIBILIDAD -Agrupación de elementos teniendo en cuenta atributos (CLASIFICACIÓN) -Ordenación de elementos teniendo en cuenta atributos (SERIACIÓN) -Relación de conjuntos de igual cantidad de elementos (CORRESPONDENCIA) El sujeto es capaz de construir una serie jerárquica de carácter inclusivo en la que cada elemento contiene el anterior y contiene al siguiente

Aunque estas adquisiciones, presuntamente, previas a la comprensión del número constituyen un referente en la gran mayoría de las monografías sobre las dificultades del aprendizaje matemático entre los 5 y los 10 años (Mialaret, 1984; Miranda, 1998; Company, 1988, Luceño, 1986, etc.), lo cierto es que su importancia real suele ser minimizada en planteamientos más recientes, que consideran más que discutible su valor como sustento y/o prerrequisito en la adquisición de la noción de número, ya que la adquisición de ésta parece asociarse más bien a las experiencias infantiles de «conteo», y a la realización de actividades, escolares o no, que tienen que ver con la verbalización / cuantificación de la realidad que rodea a los niños (Gelman y Gallistel, 1978; Gelman, 1982; Fuson, Scade y Hall, 1983; Newman y Berger, 1984; Kamii y Declark, 1985; Yoshsida y Kuriyama, 1986; Boroody, 1987; Steffe y otros, 1988; Fuson, 1990; Bell, 1990; Deaño, 1994; Martínez, 2000; Gª Vidal y Glez. Manjón, 2001d, Orrantía, 2001).

La mayoría de estos autores sostiene que los aprendizajes aritméticos están precedidos por dos tipos de adquisiciones: los principios del conteo, los esquemas protocuantitativos y la resolución informal de situaciones problemáticas.

2.1.2. LOS PRINCIPIOS DEL CONTEO.

Como acabamos de señalar hace un momento, la adquisición de la noción de número no parece que sea un proceso de todo o nada, producto de una reestructuración constructiva que tenga lugar gracias a la aparición de un nuevo tipo de pensamiento lógico en el desarrollo infantil (o lo que es lo mismo, resulta imprescindible la ejecución de las llamadas operaciones "prelógicas": conservación, correspondencia y seriación); bien al contrario, hoy existe un relativo consenso, sobre la adquisición de la noción de número, considerándose como el resultado de un proceso gradual, una adquisición progresiva relacionada con la experiencia de atender a las cantidades de

las cosas a través del "conteo" y de las actividades asociadas al mismo, como han señalado los numerosos autores citados.

Diversos autores (Gelman y Gallistel, 1978; Deaño, 1992, Orrantía, 2001, Gª Vidal y Glez. Manjón, 2005…), consideran que las experiencias de conteo posibilitan la adquisición de una serie de principios, que resultan esencial para la adquisición de la noción de número, entre los que destacan:

1) Principio de serie numérica: Este principio, cuando aparece, establece que para contar es indispensable establecer una secuencia de «palabras numéricas» (nombre de números) estable y coherente, no supone que la secuencia empleada sea la convencional (uno, dos, tres, cuatro, etc.), pero sí es ya, al menos, siempre la misma cosa que no ocurría antes.

2) Principio de cardinalidad: La noción de cardinal aparece cuando el niño comprende que la última «palabra numérica» de su secuencia de recuento significa el número total de elementos del conjunto contado, y no es sólo el nombre del último de ellos.

3) Principio de abstracción: Aparece cuando, en el proceso que describimos, el niño comprende que los números simbolizan una cualidad abstracta, que no depende en absoluto del aspecto físico de los objetos; los principios anteriores se aplican entonces tanto a conjuntos de objetos homogéneos como heterogéneos.

El consenso existente sobre el valor de estos principios se rompe de manera radical cuando se trata de encontrar el origen de los mismos, ya que los autores originales de la idea, Gelman y Gallister (1978) sostienen que dichos principios son innatos, de manera que los niños estarían dotados genéticamente para reconocer el conteo que se da en su entorno como actividad significativa y la identificación de los números (como palabras numéricas) como “etiquetas”. Por el contrario, una buena cantidad de autores (Briars y Siegler, 1984; Fuson, 1988; Fuson y Hall; 1983, Sophian, 1987, 1992; Martínez Montero, 2000; Orrantía, 2001; etc.) sostiene que los niños aprenden a contar por modelación del entorno en que viven, de manera que como señala Orrantía (2001:12): la mera intuición nos hace inclinarnos hacia un aprendizaje mecánico del conteo, o por lo menos de algunos componentes, como puede ser el aprendizaje de la serie numérica. Infinidad de experiencias del contexto que rodea a los niños no hacen sino favorecer este aprendizaje mecánico repitiendo una y mil veces secuencias como una, dos y…

La mayoría de los niños de cuatro a cinco años memorizan la secuencia numérica progresivamente (0, 1, 2, 3,...) y regresivamente (10, 9, 8,...) a través de los medios informales en que se desenvuelven. Si el aprendizaje no se ha producido a esta edad es preferible practicar en la adquisición de la habilidad de contar que dirigir los esfuerzos al desarrollo de operaciones lógicas y los conceptos básicos, contrariamente a lo que indican los modelos piagetianos, aunque ambos procedimientos pueden simultanearse (Baroody 1987).

Como señala Martínez Montero (2000:10 y ss.), en su interesante monografía sobre el cálculo, existen determinados ejercicios que facilitan la comprensión de las experiencias de conteo: a) Actividades de reparto (dealing), que permiten establecer diverso tipo de correspondencias entre dos conjuntos de objetos y que irían desde la correspondencia uno a uno (p.e.: un lápiz para cada niño), pasando por reparto uniforme (a cada elemento le corresponde la misma cantidad, p.e.: 6 entre 3, entre 2; etc.), reparto irregular (p.e. repartir de todas las formas posibles 4 lápices para 2 alumnos), reparto proporcional (p.e.: dar 2 lápices a Juan por cada uno que le demos a José), hasta el reequilibrio de repartos (p.e.: volver a repartir 8 lápices entre 2 alumnos habiéndolos repartidos previamente entre 4).

b) Actividades de mezcla de códigos: en este tipo, el alumno habría de cardinalizar las cantidades de diversas maneras (p.e. 2, II, @@, etc.).

c) Actividades con la cadena numérica: se trataría de identificar los números que se encuentran definidos por una posición, para lo que puede utilizarse la recta numérica (p.e.: Cuenta hasta el 7; cuenta 5 números a partir del 3… ¿Cuántos números hay entre el 4 y el 8?...).

2.1.3. ESQUEMAS PROTOCUANTITATIVOS.

Como señala Resnick (1992) el conocimiento representacional que implica el conocimiento de palabras numéricas en las experiencias de conteo es complementado por un conocimiento relacional que aparece de forma paralela al primer conocimiento en edades tempranas del desarrollo, que implica el conocimiento de lo que denomina esquemas protocuantitativos que servirían al sujeto para expresar juicios de cantidad que no implican la precisión numérica

Estos esquemas que denominaremos cuantificadores, serían conocimientos diferentes en función de la referencia con la que se construya la relación, así nos vamos a encontrar con identificadores (mucho / poco, nada / todo, algunos / ninguno...) cuando expresan un juicio de cantidad elaborado a partir de la comparación de una cantidad presente con otras que pueden estar presentes o ser “imaginadas”, siendo este esquema complementario en la adquisición significativa de las palabras numéricas.

Un segundo tipo de esquemas protocuantitativos son los denominados por Resnick como de incremento-decremento (más que, menos que, tantos como...) que permitirá a los sujetos establecer relaciones cuantitativas entre dos situaciones actuales, o una situación actual y otra pretérita, permitiéndoles razonar sobre las diferencias entre dos realidades o sobre los cambios operados en una situación. Este esquema es el que va a facilitar la adquisición de los conceptos de adición y sustracción.

El tercer tipo de esquema identificado por esta autora es el de partetodo (entero, partido, mitad…) mediante el cual los sujetos van a ser capaces de identificar como diferentes y relacionados las partes y el todo de cualquier cosa. De esta manera, los niños van a ser capaces de comprender que el todo es mayor que las partes, reconociendo así la propiedad aditiva, al menos, implícitamente.

Estos esquemas, por tanto, aparecen como elementos determinantes para la adquisición de los principios del conteo y para el desarrollo matemático posterior.

Aunque las dificultades relacionadas con la adquisición de la noción de número son importantes y frecuentes durante toda la Básica (una etapa en donde un importante número de alumnos no llegan a elaborar los principios citados de cardinalidad, abstracción e irrelevancia de orden), no son las únicas.

PERSPECTIVA COGNITIVA