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EJERCICIOS con polinomios 2eso AMPLIACIÓN

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Academic year: 2020

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(1)Bloque 2. Álgebra. Tema 1 Polinomios Ejercicios resueltos 2.1-1 Realiza la suma de los siguientes polinomios: a ) p  x   x5  x 4  4 x3  6 x2  x  7 q  x   x6  2 x4  x2  5 b ) p  x   9 x 5  2 x 4  12 x 3  x 2  x  10 q  x    x 5  5 x 4  12 x 3  2 x 2  x  15 c ) p  x   5 x 4  6 x 3  2 x 2  3 x  8 q  x   2 x 4  3 x3  2 x2  4. d ) p  x   3 x 4  x 3  2 x 2  x  14 q  x   6 x 4  8 x3  2 x2  3 x r  x   2 x  14 e) p  x    x6  4 x5  2 x 4  7 x3  6 x2  x  2 q  x   3 x6  2 x5  x3  2 x2  2 x  5 r  x   2 x 6  6 x 5  2 x 4  8 x 3  8 x 2  x  3 f ) p  x   x 4  3 x 3  x 2  7 x  11 q  x   2 x5  3 x 4  x3  x2  7 r  x   3 x 5  2 x 4  5 x 3  8 x 2  3 x  4 Solución. a ) p  x   x 5  x 4  4 x 3  6 x 2  x  7   q  x   x6  2 x4  x2  5  p  x   q  x   x6  x5  3 x 4  4 x3  7 x2  x  2 b ) p  x   9 x 5  2 x 4  12 x 3  x 2  x  10   q  x    x 5  5 x 4  12 x 3  2 x 2  x  15  p  x   q  x   8 x5  3 x 4  x2  5. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 1.

(2) c ) p  x   5 x 4  6 x 3  2 x 2  3 x  8   q  x   2 x 4  3 x3  2 x2  4  p  x   q  x   3 x 4  3 x 3  3 x  4. d ) p  x   3 x 4  x 3  2 x 2  x  14   q  x   6 x 4  8 x3  2 x2  3 x   r  x   2 x  14  p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x    9 x 4  7 x 3  2 x  14   2 x  14  9 x 4  7 x 3. e) p  x    x6  4 x5  2 x 4  7 x3  6 x2  x  2   q  x   3 x6  2 x5  x3  2 x2  2 x  5   r  x   2 x 6  6 x 5  2 x 4  8 x 3  8 x 2  x  3 p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  .  2 x 6  6 x 5  2 x 4  8 x 3  8 x 2  x  3    2 x 6  6 x 5  2 x 4  8 x 3  8 x 2  x  3  0 f ) p  x   x 4  3 x 3  x 2  7 x  11.    q  x   2 x5  3 x 4  x3  x2  7   5 4 3 2 r  x   3 x  2 x  5 x  8 x  3 x  4 . p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x    2 x 5  2 x 4  2 x 3  7 x  4    3 x 5  2 x 4  5 x 3  8 x 2  3 x  4     x5  7 x3  8 x2  4 x. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 2.

(3) 2.1-2 Realiza la resta de los siguientes polinomios:. a ) p  x   x6  2 x5  3 x 4  x3  4 x2  4 x  4 q  x    x6  2 x5  5 x 4  x3  2 x2  3 x  8 b) p  x   3 x 3  7 x 2  3 x  2 q  x   5 x3  5 x2  5 x  5 c ) p  x   x 4  4 x 3  2 x 2  7 x  10 q  x   2 x 4  5 x 3  8 x 2  3 x  11 d ) p  x    x5  5 x 3  4 x2  x  1 q  x   x4  9 x3  3 x2  x 1 e ) p  x   7 x 3  x 2  12 x  2 q  x   6 x 3  3 x 2  13 x  15 f ) p  x   x 4  3 x 3  3 x 2  2 x  14 q  x    x 5  2 x 4  3 x 3  3 x  14 Solución. a ) p  x   x 6  2 x 5  3 x 4  x 3  4 x 2  4 x  4   q  x    x 6  2 x 5  5 x 4  x 3  2 x 2  3 x  8 . p  x   q  x   p  x    q  x     x6  2 x5  3 x 4  x3  4 x2  4 x  4     x 6  2 x 5  5 x 4  x 3  2 x 2  3 x  8  p  x   q  x   2 x6  2 x 4  2 x2  x  4 b ) p  x   3 x 3  7 x 2  3 x  2   q  x   5 x 3  5 x 2  5 x  5  p  x   q  x   p  x    q  x     3 x 3  7 x 2  3 x  2  5 x 3  5 x 2  5 x  5  p  x   q  x   8 x 3  2 x 2  8 x  7. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 3.

(4) c ) p  x   x 4  4 x 3  2 x 2  7 x  10.   q  x   2 x 4  5 x 3  8 x 2  3 x  11 p  x   q  x   p  x    q  x     x 4  4 x 3  2 x 2  7 x  10   2 x 4  5 x 3  8 x 2  3 x  11 p  x   q  x   3 x 4  x3  6 x2  4 x 1. d ) p  x    x 5  5 x 3  4 x 2  x  1  q  x   x 4  9 x 3  3 x 2  x  1  p  x   q  x   p  x    q  x      x 5  5 x 3  4 x 2  x  1   x 4  9 x 3  3 x 2  x  1 p  x   q  x    x5  x 4  4 x3  7 x 2  2 x  2 e ) p  x   7 x 3  x 2  12 x  2.   q  x   6 x 3  3 x 2  13 x  15  p  x   q  x   p  x    q  x     7 x 3  x 2  12 x  2   6 x 3  3 x 2  13 x  15  p  x   q  x    x 3  2 x 2  x  17. f ) p  x   x 4  3 x 3  3 x 2  2 x  14 q  x    x 5  2 x 4  3 x 3  3 x  14 p  x   q  x   p  x    q  x     x 4  3 x 3  3 x 2  2 x  14    x 5  2 x 4  3 x 3  3 x  14  p  x   q  x   x5  3 x 4  3 x2  5 x. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 4.

(5) 2.1-3 Realiza el producto de los siguientes polinomios: a ) p  x   x 4  2 x3  x2  3 x  1 q  x  2x b) p  x    x 5  x 4  x 3  x 2  x  1 q  x   5 x 4 c) p  x   2 x6  3 x 4  x2  6 q  x   x3  x d ) p  x   x2  2 x  3 q  x    x2  x  4 e) p  x   x5  3 x3  6 x q  x    x2  2 x  2 r  x   2 x3  5 x2  2 x  3 f ) p  x    x2  2 x  3 q  x   x2  x  1 r  x   x4  x3  x2  x  4 Solución. a ) p  x   x 4  2 x 3  x 2  3 x  1  q  x  2x  p  x   q  x    x 4  2 x 3  x 2  3 x  1  2 x   x 4  2 x  2 x3  2 x  x2  2 x  3 x  2 x  1  2 x   2 x5  4 x 4  2 x3  6 x 2  2 x b ) p  x    x 5  x 4  x 3  x 2  x  1  q  x   5 x 4 . . . p  x   q  x     x 5  x 4  x 3  x 2  x  1  5 x 4   5 x 9  5 x 8  5 x7  5 x6  5 x5  5 x 4. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 5.

(6) c ) p  x   2 x 6  3 x 4  x 2  6   q  x   x3  x . p  x   q  x   2 x 6  3 x 4  x 2  6    x 3  x    2 x 6  3 x 4  x 2  6   x 3  2 x 6  3 x 4  x 2  6   x   2 x 9  3 x 7  x 5  6 x 3   2 x 7  3 x 5  x 3  6 x    2 x 9  5 x7  4 x5  5 x3  6 x d ) p  x   x 2  2 x  3   q  x    x 2  x  4 . p  x   q  x    x 2  2 x  3    x 2  x  4  . . .   x 2  2 x  3   x 2   x 2  2 x  3  x   x 2  2 x  3  4    x 4  2 x 3  3 x 2  x 3  2 x 2  3 x  4 x 2  8 x  12    x 4  x 3  3 x 2  11 x  12 e) p  x   x5  3 x3  6 x.   q  x    x2  2 x  2   3 2 r  x   2 x  5 x  2 x  3 p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  . . .  . .   x 5  3 x 3  6 x   x 2  2 x  2   2 x 3  5 x 2  2 x  3 .  2 x. .   x 7  3 x 5  6 x 3  2 x 6  6 x 4  12 x 2  2 x 5  6 x 3  12 x .  2 x. 3.  5 x2  2 x  3. . . p  x   q  x   r  x    x 7  2 x 6  5 x 5  6 x 4  12 x 3  12 x 2  12 x  3.  5 x2  2 x  3. . p xq xr  x   2 x10  4 x 9  10 x 8  12 x 7  24 x 6  24 x 5  24 x 4  5 x 9  10 x 8  25 x 7  30 x 6  60 x 5  60 x 4  60 x 3  2 x 8  4 x 7  10 x 6  12 x 5  24 x 4  24 x 3  24 x 2  3 x 7  6 x 6  15 x 5  18 x 4  36 x 3  36 x 2  36 x p xq xr  x . G3w.  2 x10  x 9  2 x 8  20 x 7  22 x 6  63 x 5  78 x 4  120 x 3  60 x 2  36 x Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 6.

(7) f ) p  x    x2  2 x  3.    q  x   x2  x  1   r  x   x 4  x 3  x 2  x  4 . p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  . . .  .    x 2  2 x  3  x 2  x  1   x 4  x 3  x 2  x  4 p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  .   x. . .   x 4  2 x3  3 x2  x3  2 x2  3 x  x2  2 x  3  4.  x3  x2  x  4. . p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  . . .   x 4  x3  4 x2  5 x  3  x 4  x3  x2  x  4. . p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x     x 8  x7  4 x6  5 x5  3 x 4   x7  x6  4 x5  5 x 4  3 x3   x6  x5  4 x 4  5 x3  3 x2   x5  x 4  4 x3  5 x2  3 x  4 x 4  4 x 3  16 x 2  20 x  12. p xq  x r  x    x 8  4 x 6  9 x 5  9 x 4  16 x 3  24 x 2  23 x  12. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 7.

(8) 2.1-4 Dados los siguientes polinomios, realiza la operación que se indica: a ) p  x   x 3  6 x 2  x  2   q  x   2 x 2  4 x  3  b ) p  x   x 2  5 x  2   q  x    x 2  3 x  4 .  p  x   q  x    p  x   q  x . 3  p  x   q  x    p  x   2  q  x . Solución. a ) p  x   x 3  6 x 2  x  2   q  x   2 x 2  4 x  3 .  p  x   q  x    p  x   q  x . p  x   q  x   x 3  8 x 2  3 x  1   p  x   q  x   x 3  4 x 2  5 x  5 .  p  x   q  x    p  x   q  x    x  p  x   q  x    p  x   q  x   x. 6. 3. .  8 x2  3 x 1  x3  4 x2  5 x  5. .  8 x5  3 x 4  x3 . 4 x 5  32 x 4  12 x 3  4 x 2  5 x 4  40 x 3  15 x 2  5 x  5 x 3  40 x 2  15 x  5.  p  x   q  x    p  x   q  x   x b ) p  x   x 2  5 x  2   q  x    x 2  3 x  4 . 6.  12 x 5  30 x 4  24 x 3  21 x 2  20 x  5. 3  p  x   q  x    p  x   2  q  x . 3  p  x   q  x   3 x 2  15 x  6  x 2  3 x  4  2 x 2  12 x  2   p  x   2  q  x   x 2  5 x  2  2 x 2  6 x  8  3 x 2  11 x  10 . 3  p  x   q  x    p  x   2  q  x   2 x 3  p  x   q  x    p  x   2  q  x   6 x. 4. 2. .  12 x  2  3 x 2  11 x  10. .  36 x 3  6 x 2 . 22 x 3  132 x 2  22 x  20 x 2  120 x  20. 3  p  x   q  x    p  x   2  q  x   6 x. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. 4.  58 x 3  158 x 2  142 x  20. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 8.

(9) 2.1-5 Calcula las siguientes potencias de binomios utilizando el desarrollo del binomio de Newton: a).  x  1. b).  x  4. c).  2 x  3.  x  2 e )  x  1 f )  3 x  1. 4. d). 3. 3. 2. 5. 3. 5. 2. 4. Solución. a).  x  1. 4 4 4 4 4    x 4    x 3 11    x 2 12    x 13   14  0 1  2 3 4. 4. . 4! 4 4! 3 4! 2 4! 4!  x  x  x  x 4 ! 0 ! 3 !1 ! 2 ! 2 ! 1 ! 3 ! 0 ! 4 !.  x 4  4 x3  6 x2  4 x  1 b).  x  4. 3 3 3 3 1 2 3    x 3    x 2   4     x   4      4   0 1  2 3. 3. . 3! 3 3! 2 3! 3!  x 4 x  16 x  64 3 ! 0 ! 2 !1! 1 ! 2 ! 0 ! 3 !.  x 3  12 x 2  48 x  64. c). 2 x  3. 5.  5 5 5 5 4 1 3 2     2 x      2 x    3     2 x    3  0 1  2 5 5 5 5 2 3 1 4     2 x    3     2 x    3     3  3 4 5  32. 5! 5 5! 4 5! 3 x  48 x  72 x  5 ! 0 ! 4 !1! 3 ! 2 !. 108. 5! 2 5! 5!  x  162 x  243 2 ! 3 ! 1 ! 4 ! 0 ! 5 !.  32 x 5  240 x 4  720 x 3  1080 x 2  810 x  243. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 9.

(10) d). x. 2. 2. . 3    x2 0.  . 3. . 3. 3    x2 1 .    2 2. 1. 1 3 3 3 2    x2  2    2  2 3.  . 3! 6 3! 4 3! 2 3! x 2 x 4 x 8  3 ! 0 ! 2 !1 ! 1 ! 2 ! 0 ! 3 !.  x 6  6 x 4  12 x 2  8 e). x. 3. 1. . 5. . 5    x3 0. 5    x3 1 .  . 5    x3 3.    1. 5.    1. . 2. 3. 4. 1. 5    x3 2.    1 3. 2. . 1 5 5 5 4    x 3  1    1  4 5.  . 5 ! 15 5 ! 12 5! 9 5! 6 5! 3 5!  x  x  x  x  x  5 ! 0 ! 4 !1! 3 ! 2 ! 2 ! 3 ! 1 ! 4 ! 0 ! 5 !.  x15  5 x12  10 x 9  10 x 6  5 x 3  1. f). 3 x. 2. 1. . 4. . 4    3 x2 0. . 4    3 x2 2.    1 . . . . 4. 2. 4    3 x2 1 . . 2.    1  3. 1. . 1 4 4 3 4    3 x 2   1     1  3 4. . . 4! 4! 4! 4! 4!  81 x 8  27 x 6  9 x4  3 x2  4 ! 0 ! 3 !1! 2 ! 2 ! 1 ! 3 ! 0 ! 4 !.  81 x 8  108 x 6  54 x 4  12 x 2  1. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 10.

(11) 2.1-6 Realiza la división entera de los siguientes polinomios: a) p  x   x2  6 x  4 q  x   x2  2 b) p  x   x 5  3 x 3  6 x  2 q  x   x3  x c) p  x   x6  3 q  x   x2  2 x  4 d ) p  x   x6  2 x5  x 4  2 x3  6 x2  x  3 q  x   x 3  10 x 2  2 x  3 Solución. a ) p  x   x 2  6 x  4    p x  c  xq x  r  x q  x   x2  2 . x2  6 x  4  x2  2 6 x  6 c  x 1. x2  2 1.  2 2   x  6 x  4  1  x  2   6 x  6  r  x   6 x  6 . . . b ) p  x   x 5  3 x 3  6 x  2    p x  c  xq x  r  x q  x   x3  x . x5  3 x3  6 x  2  x5  x3 2 x3  6 x  2 2 x 3  2 x 4x 2. x3  x x2  2. c  x   x 2  2  5 3 2 3   x  3 x  6 x  2  x  2  x  x   4 x  2 r  x   4 x  2 . . G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. . . Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 11.

(12) c) p  x   x6  3.    p x  c  xq  x  r  x q  x   x 2  2 x  4 . x6  3  x6  2 x5  4 x 4 2 x 5  4 x 4  3 2 x5  4 x 4  8 x3 8 x 4  8 x3  3 8 x 4  16 x 3  32 x 2 24 x 3  32 x 2  3 24 x 3  48 x 2  96 x 80 x 2  96 x  3 80 x 2  160 x  320 256 x  323. x2  2 x  4 x 4  2 x 3  8 x 2  24 x  80. c  x   x 4  2 x 3  8 x 2  24 x  80   r  x   256 x  323 . . . .  x 6  3  x 4  2 x 3  8 x 2  24 x  80  x 2  2 x  4   256 x  323  d ) p  x   x 6  2 x 5  x 4  2 x 3  6 x 2  x  3   p x  c  xq x  r  x q  x   x 3  10 x 2  2 x  3 . x 6  2 x 5  x 4  2 x 3  6 x 2  x  3 x 3  10 x 2  2 x  3  x 6  10 x 5  2 x 4  3 x 3 x 3  8 x 2  81 x  827 8 x 5  x 4  x 3  6 x 2  x  3 8 x 5  80 x 4  16 x 3  24 x 2 81 x 4  17 x 3  30 x 2  x  3 81 x 4  810 x 3  162 x 2  243 x 827 x 3  192 x 2  244 x  3 827 x 3  8270 x 2  1654 x  2481 8462 x 2  1898 x  2484 c  x   x 3  8 x 2  81 x  827.   r  x   8462 x 2  1898 x  2484 .  x6  2 x5  x 4  2 x3  6 x2  x  3 . . .  .  x 3  8 x 2  81 x  827  x 3  10 x 2  2 x  3  8462 x 2  1898 x  2484. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. . Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 12.

(13) 2.1-7 Factoriza según sus raíces reales los siguientes polinomios: a) p  x   x2  4 x  5 b) p  x   x 3  5 x 2  6 x c ) p  x   x 4  13 x 2  36 d ) p  x   x 4  16 Solución. a) p  x   x2  4 x  5. 4  16  20 4  6   5, 1 2 2. x2  4 x  5  0  x . p  x   x 2  4 x  5   x  5    x  1 b) p  x   x 3  5 x 2  6 x. x 0  x3  5 x2  6 x  x  x2  5 x  6  0   2 x 5x  6  0. . x2  5 x  6  0  x . . 5  25  24 5  1   3, 2 2 2. p  x   x 3  5 x 2  6 x  x   x  3   x  2  c ) p  x   x 4  13 x 2  36. x 2  t  x 4  13 x 2  36  0  t 2  13t  36  0 t 2  13t  36  0  x 2  t . 13  169  144 13  5   9, 4 2 2. x   9 ,  4  3, 3, 2, 2 p  x   x 4  13 x 2  36   x  3    x  3    x  2    x  2 . . . d ) p  x   x 4  16  x 2  4  x 2  4. x. 2. .  x 2  4  0  x  2, 2  4  x2  4  0   2  2  x  4  0  x   4  . . . . . . . p  x   x 4  16  x 2  4  x 2  4   x  2    x  2   x 2  4. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. . Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 13.

(14) 2.1-8 Factoriza según sus raíces reales los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini: a) p  x   x3  3 x2  6 x  8 b ) p  x   x 3  3 x 2  13 x  15 c) p  x   x3  7 x2  x  7 d ) p  x   x 4  2 x3  x  2 e ) p  x   x 5  x 4  10 x 3  9 x 2  9 x. f ) p  x   x4 . 5 3 7 2 1 1 x  x  x 6 3 6 3. Solución. a) p  x   x3  3 x2  6 x  8 Divisores enteros del término independiente: 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8. 1 3 6 1 1 2. 8 8. 1 2 8. 0. Resto cero. . . p  x   x 3  3 x 2  6 x  8  x 2  2 x  8   x  1 Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:. x2  2 x  8  0  x . 2  4  32 2  6   4 , 2 2 2. Por tanto:. p  x   x 3  3 x 2  6 x  8   x  4    x  2    x  1 b ) p  x   x 3  3 x 2  13 x  15 Divisores enteros del término independiente: 1, 1, 3, 3, 5, 5, 15, 15. 1 1 1. G3w. 3 13 15 1 2 15 2 15. 0. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Resto cero. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 14.

(15) . . p  x   x 3  3 x 2  13 x  15  x 2  2 x  15   x  1 Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:. x 2  2 x  15  0  x . 2  4  60 2  8   3, 5 2 2. Por tanto:. p  x   x 3  3 x 2  13 x  15   x  3    x  5    x  1 c) p  x   x3  7 x2  x  7 Divisores enteros del término independiente: 1, 1, 7, 7. 1 7 1. 7. 7 0. 7. 0 1. 0. 7 1. Resto cero. . . p  x   x3  7 x2  x  7  x2  1   x  7  Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:. x 2  1  0  x 2  1  x   1 , que no son raíces reales. Por tanto:. . . p  x   x3  7 x2  x  7  x2  1   x  7  d ) p  x   x 4  2 x3  x  2 Divisores enteros del término independiente: 1, 1, 2, 2. 1 2. 0 1. 2. 1 1 1 2. 1. 1 1 1 2. Resto cero. 0. . . p  x   x 4  2 x 3  x  2  x 3  x 2  x  2   x  1 Para el polinomio de grado 3 que resulta utilizamos otra vez Ruffini con los divisores enteros del término independiente: 1, 1, 2, 2. 1 1. 1. 2. 2. 2. 2. 1. 1. 0. 2. G3w. 1. Resto cero. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 15.

(16) Por tanto:. . . p  x   x 4  2 x 3  x  2  x 2  x  1   x  2    x  1 Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:. x2  x  1  0  x . 1  1  4 , que no son raíces reales. 2. Por tanto:. . . p  x   x 4  2 x 3  x  2  x 2  x  1   x  2    x  1 e ) p  x   x 5  x 4  10 x 3  9 x 2  9 x Podemos factorizar fácilmente el polinomio sacando x factor común:. . . p  x   x 5  x 4  10 x 3  9 x 2  9 x  x 4  x 3  10 x 2  9 x  9  x Para el polinomio de grado 4 que resulta utilizamos Ruffini con los divisores enteros del término independiente: 1, 1, 3, 3, 9, 9. 1 1 10 9 9 3 3 6 12 9 1. 2. 4. 3. 0. Resto cero. . . p  x   x 5  x 4  10 x 3  9 x 2  9 x  x 3  2 x 2  4 x  3   x  3   x Para el polinomio de grado 3 que resulta utilizamos otra vez Ruffini con los divisores enteros del término independiente: 1, 1, 3, 3. 1 3. 2 4 3 3 3 3. 1 1. 1. 0. Resto cero. Por tanto:. . . p  x   x 5  x 4  10 x 3  9 x 2  9 x  x 2  x  1   x  3    x  3   x Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:. x2  x 1  0  x . 1 1 4 1 5 1 5 , que son raíces reales.  , 2 2 2. Por tanto:. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 16.

(17)  1 5   1 5  p x   x     x     x  3   x  3  x  2   2   f ) p  x   x4 . 5 3 7 2 1 1 x  x  x 6 3 6 3. Como el término independiente no es entero y aparecen términos racionales, multiplicamos todo el polinomio por 6:. 6 p  x   6 x 4  5 x 3  14 x 2  x  2 Para este polinomio de grado 4 que resulta utilizamos Ruffini con los divisores enteros del término independiente: 1, 1, 2, 2. 6 2 6. 5 14 12 14 7. 0. 1 0. 2 2. 1. 0. Resto cero. . . 6 p  x   6 x 4  5 x 3  14 x 2  x  2  6 x 3  7 x 2  1   x  2  Para el polinomio de grado 3 que resulta utilizamos otra vez Ruffini con los divisores enteros del término independiente: 1, 1. 7. 0. 1. 6. 1. 1. 1. 1. 0. 6 1 6. Resto cero. Por tanto:. 6 p  x   6 x 4  5 x 3  14 x 2  x  2   6 x 2  x  1   x  1   x  2  Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:. 6 x2  x 1  0  x . 1  1  24 1  5 1 1   ,  , son raíces reales. 12 12 3 2. Por tanto:. 1  1  6 p  x   6 x 4  5 x 3  14 x 2  x  2  6   x     x     x  1   x  2  3  2  Finalmente:. p  x   x4 . G3w. 5 3 7 2 1 1  1  1 x  x  x    x     x     x  1   x  2  6 3 6 3  3  2. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 17.

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