TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

(1)

1 TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

EJERCICIO 1 : Desarrolla y simplifica: a)







2

 

2 5 4 3 2



1 5

     

x x x x x x x b)





2



2







2x3  2x 4x1 x2

c)

_

2

_



 



2

2 3 2 1 4 1

    

x x x x d) _ _



 



 



 

2

1 3 6 1 1 2

3x x  x x  x Solución:

a)



x1





x2x

 

2 x55x4x3x2







x1





x42x3x2

 

 x55x4x3x2





 5 4 3 4 3 2 5 4 3 2  4 3

2 2 5 6 2

x x x x x x x x x x x x

b)



2x3



2

_

2x24x1

_



x2





_

4x212x9

_{ }

 2x34x2x4x28x2

_







 2   3   2   3    3 2 

4x 12x 9 2x 7x 2 4x 12x 9 2x 7x 2 2x 4x 5x 11

c)

_

2 

_





 

 



2 



3 2 2  

 

 2 





2 3 2 1 4 1 2 4 2 6 3 16 8 1

x x x x x x x x x x x

2x33x24x3 16 x28x 1 2x319x212x2

d) _  _





 

 





 

 







  

 

 

 

  





 

2 2 2 2

2

1 3 6 1 1 2 2 4 3 6 1 4 4

3x x x x x x x x x x x

2x2x6x2 1 x24x42x23x11

EJERCICIO 2

a Opera y simplifica:





2



₂



2 3 2 4

x  x  x

b Halla el cociente y el resto de esta división:

_

5 3

_{ }

2

_

4x 2x 3x1  x 2

Solución:









  2 2  2   2   2 

a x 2 3 x 2x 4  x 4x 4 3x 6x 12 2x 10x 8

b 4x5  2x3  3x  1 x2  2

 4x5  8x3 4x3  1 0x

1 0x3  3x  1

 1 0x3  2 0x

1 7x  1

Cociente  4x3 10x Resto  17x  1

EJERCICIO 3

a Opera y simplifica: 1    2

1 2 2 1

2x x x

 

   

 

 

b Halla el cociente y el resto de esta división:

_

5 3

_{ }

2

_

7x 2x 3x2  x 2

Solución:



 







 

 _  _           

 

2 2 2

1

a 1 2 2 1 2 2 2 1

2x x x x x x x x        

2 2

3 2 2 1 1

x x x x x

b 7x5  2x3  3x 2 x2 2

 7x5  14x3 7x3 16x

 16x3  3x 2 16x3  32x

35x  2

(2)

EJERCICIO 4 : Calcula el cociente y el resto de cada división:



5 4 2

 

3



a) 2x 3x 2x x1 : x 2x1



5 3







b) 2x 3x 2x1 : x2

Solución:

a) 2x5 3x 4  2x 2  x  1 x 2 2  1

2x5  4x3 2x2 2x23x 4

3x4  4x3  x  1 3x4  6x2 3x

4x36x2 2x  1

4x3  8x 4

6x2  10x  3

Cociente  2x2 3x  4 Resto  6x2 10x 3 b) Aplicamos la regla de Ruffini:

2 0 3 0 2 1

2 4 8 10 20 44 2 4 5 10 22 45

Cociente  2x4  4x3 5x2  10x  22 Resto 45

EJERCICIO 5 : Halla el cociente y el resto de cada división:



4 3 2

 

2



a) 2x 7x 3x 1 : x 2



4 2







b) 3x 6x x2 : x1

Solución:

a) 2x4 7x3 3x2  1 x2 2

2x4  4x2 2x 2 7x  1

7x3 x2  1 7x3  14x

 x2 14x 1 x2  2

14x 1

Cociente  2x 2 7x  1 Resto  14x 1 b) Aplicamos la regla de Ruffini:

3 0 6 1 2 1 3 3 3 4

3 3 3 4 2

Cociente  3x3 3x2  3x 4 Resto  2

EJERCICIO 6 : Halla el valor de k para que la siguiente división sea exacta:

_

2

_





3x kx2  x2

(3)

Tema 2 – Polinomios y fracciones algebraicas 3

Para que la división sea exacta, ha de ser P(2)  0; es decir: P(2)  12  2k 2  10  2k 0 k 5 EJERCICIO 7

a) Halla el valor numérico de P(x) 2x3 x2 3x  6 para x 1 b) ¿Es divisible el polinomio anterior, P(x), entre x  1?

Solución:

a) P(1)  2  1  3 6  0

b) Sí. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división P(x) : (x 1) coincide con P(1). En este caso P(1)  0; por tanto, P(x) es divisible entre x  1.

EJERCICIO 8 : Dado el polinomio P(x)  4x 3 8 x 2 3x  1: a) Halla el cociente y el resto de la división: P x

  

: x2



b) ¿Cuánto vale P(2)?

Solución:

a) Aplicamos la regla de Ruffini:

4 8 3 1

2 8 0 6

4 0 3 5

Cociente  4x 2 3 Resto  5 b) Por el teorema del resto, sabemos que P(2)  5. EJERCICIO 9

a) Halla el valor numérico de P(x)  3x 4 2x 3 2x  3 para x  1. b) ¿Es divisible el polinomio anterior, P(x), entre x  1?

Solución:

a) P(1)  3  2  2  3  0

b) Si. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división P(x)  (x 1) coincide con P(1). En este caso P(1)  0, por tanto, P(x) es divisible entre x 1.

EJERCICIO 10 : Opera y simplifica cada una de estas expresiones: a 2x2x  12x  32 b 4

2 x

x x

  

c x  3x  3 x3x  7  

2 3

5 5

b :

3

x x

 



Solución:

a 2x2x  12x  32 4x2 2x 4x2 12x  9 4x2 2x  4x2 12x  9  10x  9

















    

     

    

2 2 2

2

4 2

4 4 8 4 8

b

2 2 2 2 2

x

x x x x x x

x x x x x x x x x x

c x  3x  3 x3x  7 x2 9  3x2 7x  2x2 7x  9

















  

      



2 ₃ 2

2 3 2

3

5 5 3 5

b : 3 5 3 15

5 3

x x x x

x x x x

(4)

a 3x  22 x2x  9 b 3 5

2 2

x

x x

 

  c 2x  1

2_

x1  2x

 

4 2

2

5 10

b :

6 ₆

x x

x _x



 _

Solución:

a 3x  22 x2x  9 9x2 12x  4  x3 9x2 x3 12x  4



























      

     

        

2 2

2

3 2 5 2

3 5 3 6 5 10 3 11 10

b

2 2 2 2 2 2 2 2 4

x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x

c 2x  12 x1  2x 2x2 2x  1 x  2x2 2x2 4x  2  x  2x25x  2

















  

   

  

2

4 2

4 2 3 2

2 2

5 6 6

5 10 6

b :

6 6 10 6 2 2

x x x x

EJERCICIO 12 : Factoriza los siguientes polinomios:

a) x5 5x4 x3 5x2 b) x5 x4 4x3 4x2 c) x4 2x3 9x2 18x d) x4 6x3 x2 6x e) x4 6x3 x2 6x f) x4 6x3 8x2 6x  9

Solución:

a) x5 5x4 x3 5x2

 Sacamos x2 factor común: x2x3 5x2 x  5

 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x3 5x2 x  5:

1 5 1 5

1 1 6 5

1 6 5 0

1 1 5

1 5 0

Por tanto: x5 5x4 x3 5x2 x2x  1x  1x  5

b) x5 x4 4x3 4x2

 Sacamos x2 factor común: x2x3 x2 4x  4

 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x3 x2 4x  4:

1 1 4 4

1 1 0 4

1 0 4 0

2 2 4

1 2 0

Por tanto: x5 x4 4x3 4x2 x2x  1x  2x  2

c) x4 2x3 9x2 18x

 Sacamos x factor común: x x3 2x2 9x  18

 Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x3 2x2 9x  18:

1 2 9 18 3 3 15 18 1 5 6 0

(5)

Por tanto: x4 2x3 9x2 18x  x x  3x  3x  2

d) x4 6x3 x2 6x

 Sacamos x factor común: x x3 6x2 x  6

1 6 1 6

1 1 7 6

1 7 6 0

1 1 6 1 6 0

Por tanto: x4 6x3 x2 6x  x x  1x  1x  6

e) x4 6x3 x2 6x

 Sacamos x factor común: x x3 6x2 x  6

1 6 1 6

1 1 7 6

1 7 6 0

1 1 6 1 6 0

Por tanto: x4 6x3 x2 6x  x x  1x  1x  6

f Usamos la regla de Ruffini:

1 6 8 6 9

1 1 5 3 9

1 5 3 9 0

1 1 6 9

1 6 9 0

3 3 9

1 3 0

Luego: x4 6x3 8x2 6x 9 x 1x 1x 32

EJERCICIO 13

a Halla el cociente y el resto de la siguiente división: 3x5 16x3 6x 2 7x  2 : 3x 2 1

b Factoriza este polinomio: 2x4 4x 2

Solución:

a) 3x5  16x3 6x2 7x 2 3x2 1

3x5 x 3 x3 5x 2

 15x3 6x2 7x

15x3  5x

6x2 2x 2

 6x2  2 2x

(6)

b 2x4 4x2 2x2x2 2 El polinomio x2 2 no tiene raíces reales.

EJERCICIO 14

a Calcula y simplifica: x  3x  3 2xx 2 5x

b Descompón en factores este polinomio: 3x3 16x 2 23x  6

Solución:

a x 3x 3 2xx2 5xx2 9  2x3 10x22x3 11x2 9 b Utilizamos la regla de Ruffini:

3 16 23 6 2 6 20 6 3 10 3 0 3 9 3

3 1 0

Luego: 3x3 16x2 23x 6 x 2x 33x 1

EJERCICIO 15 : Factoriza los siguientes polinomios:

a) 2x4 18x 2 b) x 4 x 3 x 2 x  2 c) x 3 13x 2 36x d) 2x 3 9x 2 8x  15 e) x 5 x 4 2x 3 e) x 3 3x  2

Solución:

a) Sacamos factor común y tenemos en cuenta que a2b2 (ab) (ab): 2x4  18x22x2x 2 9 2x2 (x 3) (x  3)

b) Utilizamos la regla de Ruffini:

1 1 1 1 2

1 1 2 1 2 1 2 1 2 0

2 2 0 2

1 0 1 0

x4x3x2x 2 x 1x 2x2 1 El polinomio x2 1 no tiene raíces reales). c) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación de segundo grado:





x x x x x x

x

x x x

x

    



   

      



3 2 2

2

13 36 13 36

9 13 169 144 13 25 13 5

13 36 0

2 2 2

4

 

Por tanto: x3 13x2 36 xx x 9x 4

d) Utilizamos la regla de Ruffini:

2 9 8 15

1 2 7 15

2 7 15 0

5 10 15

2 3 0

2x3 9x2 8x 15 x 1x 52x  3

e) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación:

(7)

Tema 2 – Polinomios y fracciones algebraicas 7                  2 1

1 1 8 1 9 1 3

2 0

2 2 2

2

x

x x x

x

 



Por tanto: x 5x4 2x3x 3x 1x 2

f) Utilizamos la regla de Ruffini:

1 0 3 2

1 1 1 2

1 1 2 0

1 1 2

1 2 0

x3 3x 2 x 12x 2

EJERCICIO 16 : Opera y simplifica:

2 2 2 a 1 1 x x x     2 2

2 1 1

b

3 9

x x x

x x        2 2 1 2 a 1 x x

x x x

 

 

 

 2 2

2

2 1

b

2 2 1

x x

x x x

       2 2 1 1 a 2 4 x x x x        2 2 1 b

2 4 2

x x x

x x

 



 

2

2 1 3

a 3 9 x x x       2 2 3 2 2 b 4

x x x

x x     2 2

3 1 2

a 1 x x x x x     1 1

b 1 1

1 x

x x x

     _  _{ }  _      Solución:















 





                   2 2 2 1

2 2 2 2 2 2 2

a

1 1 1 1 1 1 1

1 1

x

x x x x

x x x x x x x

x x





















 











                     2 2 2 2

1 1 1 3 3

2 1 1

b

3 9 3 3 3 3 1

x x x x x

x x x

x x x x x x x 











  

2

1 3 4 3

x x x x

















                   

2 2 2 2

2 2

1

1 2 2 2 2

a

1 1 1 1

x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x x x





























                      2 2 2 2 2 2

2 1 1 2 1 2

1 2

b

2 2 1 2 ₁ 1 1

x x x x x x

x x x

x x x x _x x x











 











                         

2 2 2 2 2

2 2

1 2

1 1 1 2 1 2 1

a

2 4 2 2 2 2 2 2 4

x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x



































                      

2 2 ₁ ₁ ₁ ₁ ₂

1 b

2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2

x x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x















 





                      2 2 3 3

2 1 3 2 1 2 1 3 9 5 8

a

3 3 3 3 3 3 3

9 9

x

x x x x x

x x x x x x x

x x











          

2 2 2

3 2 3

2

2 1

b

2 2 2

4

x x

x x x x

x x x













    

     

   

 

2 2 2 2 2 2

2 2

3 1 2 3 1 2 3 1 2 1

a

1 1 1 1

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x











          _  _{ }  _ _  _                2

2 2 2

1 1

1 1 1 1

b 1 1 1

1 1 1 1

x x

x x x x x

x x x x x x x x x



 x 1 1 1

(8)

EJERCICIO 17 : Calcula y simplifica si es posible: a)





2

2 3

1 2 2 1

x x

x x x



 

  _ b) :

x x x

x x x x

2 2

9 6 9

2 4 4 1

  

   c)

2

2 3

1 1 2 6

2

x x

x x x

 

d) _ _:

 

4 2

2 3

2 4 8

5

x x

x

x x x

 

 e)

2

2 5 5 6 5

5 5 3 15

x x x

 

   f)

3 2

2

2 5 3

2 6

x x x

x x     g) 3 2 3 2 7 12

3 16 48

x x x

 

   h)

3 5

3x 3x

x x



 i)

3 2

2 10 16 8

4 8 4 8

x x x

  

   j)

3 4 3 49 7 x x x x   Solución:

a) Observa que 2x 2  2x 1, por tanto: m.c.m. x 1, 2x 2, x  12 2x 12

Así:



























2 2 2 2

4 1 3 1

2 3 2

1 2 2 ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁

  



     

  _ _ _ _

x x x

x x _x _x _x _x

















2 2

2 2 2 2

4 4 4 3 2 4 4 4 3 2

2 1 2 1 2 1 2 1

x x x x x x x x

x x x x

       

    

   

b)













2 2

2 2 2 2

9 4 4 1

9 6 9

:

2 4 4 1 2 6 9

  

  



     

x x x

x x x x x x x x

Factorizamos para simplificar:















2 2 2 2 2

9 3 3

4 4 1 2 1 Productos notables

6 9 3

x x x

           _      _

2x2xx2x 1

Así:



































2

2 2 ₂

2 2

9 4 4 1 ₃ _{3 2} ₁ _{3 2} ₁ ₂ ₇ ₃

3 3

2 6 9 2 1 3

x x x _x _x _x _x _x _x _x

x x x x

x x x x x x x

         

  

 

    

c) m.c.m. x, x2, 2x3 2x3





2 2 2

2 3 3 3 3

2 1

1 1 2 6 2 2 6

2 2 2 2



  

 x  x  x  x x  x 

x x x x x x

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

2 2 2 2 6 2 2 6 3

2 2 2 2

x x x x x x x x

x x x x x

     

    

d)











3 2 3

4 3 4

2

2 3 2 3 4

2 5

2 4 8 2 4 8

: :

5 5 4 8

x x x

x x x x x

x

x x x x x x x x x

                

Factorizamos para simplificar:

x 2 5x3 2

x 1  5x

4x4 8x 4xx3 2

Luego:























3 2 3 3 2

4 3

2 5 2 1 5 _{1 5}

4

4 8 4 2

x x x x x x _x

x x x x x x

    _

 

  

e) Como 3x 15  3x 5, se tiene que: m.c.m. x 5, x 5, 3x 5 3x 5x 5

Así:



































2

2 _{3 2} ₅ ₅ ₁₅ ₅ ₆ ₅ ₅

2 5 5 6 5

5 5 3 15 3 5 5 3 5 5 3 5 5

x x x x x x

x x x

x x x x x x x x x

                     























2 ₃ ₂ ₂

3 2 5 25 ₁₅ ₇₅ ₆ ₂₅ ₂₅

3 5 5 3 5 5 3 5 5

x x _x _x _x _x

x x x x x x

  _ _ _

   

     













2 3 2 2 3 2

6 15 75 15 75 6 25 25 15 75 40 50

3 5 5 3 5 5

x x x x x x x x x

x x x x

         

  

   





3 2

2

15 75 40 50

3 25

x x x

x

  





(9)



  

 



6 3 4 2 5 25 24 5 1

4 4

4 1 4

x 



Luego:   







_  _

 

3 2 3

2 5 3 1

2

x x x x x x





 

    _  _

 

2 3

2 6 2 ya que:

2

x x x x



      

  

  

6 3 4 2

1 1 48 1 49 1 7

4 4 4

8 2 4

x 



Por tanto:













3 2

2

3 1

1

2 5 3 2

3 2

2 6

2 2

x x x

x x

x x x

x x

 

    _

   

 



  _  _ 

 

 

g)

 Numerador  Sacamos factor común y descomponemos en factores el polinomio de grado 2 que nos queda:

x3 7x2 12xxx2 7x  12

 

    

 

  

8 4 2

7 49 48 7 1

2 2

6 3 2

x 





Así: x 3 7x 2 12xxx 4x 3

 Denominador  Descomponemos aplicando Ruffini:

1 3 16 48 4 4 28 48 1 7 12 0

x 2 7x 12 es una expresión de 2º grado cuyas raíces se calculan resolviendo la

ecuación: x 2 7x 12  0, que coincide con la del numerador. Así, finalmente, el denominador descompuesto en factores será: x3 3 x2 16x 48 x 4x 4x 3

 Simplificación de la fracción algebraica:













 

 

   

  

3 2

4 3

7 12

4 4 3 4

3 16 48

x x x

x x x x

x x x

h)



















 



  

    

2 2

3

5 4 2 2 2

3 1 3 1

3 3 3

1

1 1 1

x x x x

x x

x x x x x x x x

En el primer paso sacamos factor común y en el segundo paso aplicamos el producto notable

a2b2aba b a la expresión x4 1.

i) Descomponemos factorialmente el numerador y el denominador:

 Numerador  Sacamos factor común 2 y aplicamos la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de 2º grado:

2x3 10x2 16x  8  2x 3 5x 2 8x 4

1 5 8 4

(10)

                2 4 2 2

3 9 8 3 1

3 2 0

2 2

2 1 2

x x x 





Así: 2x3 10x2 16x  8  2 x 2 2x 1

 Denominador  Sacamos factor común 4 y aplicamos la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de 2º grado:

4x3 8x2 4x  8  4x3 2x 2x 2

1 2 1 2

2 2 0 2 1 0 1 0

x2 1  0  x 2 1  x 1

Así: 4x3 8x2 4x  8  4 x 2x 1x 1

 Simplificación:



 

















                  2 3 2 3 2

2 2 1 2

2 10 16 8 2

4 2 1 1 2 1 2 2

4 8 4 8

x x x

x x x x

x x x x x

x x x

Se obtiene dividiendo numerador y denominador entre el M.C.D. del ambos, que es 2x 2x 1.

j)



















           2 3

4 3 3 3 2

49 7 7

49 7

7 7 7

x x x x x

x x x

x x x x x x x

En el primer paso sacamos factor común; en el segundo paso aplicamos la identidad notable

a2b2abab a la expresión x2 49, y finalmente dividimos numerador y denominador entre el M.C.D. de ambos, que es x (x 7).

EJERCICIO 18 : Opera y simplifica: a) x 1₂ x 1₂

x x

   

  

   

    2

1 2

b)

2 4

x x

x x x x

 



  

Solución:

a) Observamos que tenemos el producto notable ab · aba2b2. Así: _   _{ }  _   

   

6 2

2 2 4 4

1 1 1 x 1

x x x

x x x x



x





x x





x



     

 

2 2

b) Calculamos el m.c.m. 2 , 4 4 que es 2 .

x 2 4x 4 x 22 Luego:



























                _ _ _ _ _ 2 2

2 2 2 2 2

1 2

1 2 2 2 2 2

2 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

x x

x x x x x x x x

x _x _x _x _x _x

EJERCICIO 19 : Calcula y simplifica: a) ₂1 2 1 3 1 1 x x x x x x       2 2 2

6 9 2 10

b) :

2 15 25

x x x

  

  

Solución:



2











a) m.c.m._ x x , x1 ,x_x x1























                2

2 1 3 1 1

1 2 1 3 1 1

1 1 1 1

x x x x

x x

x x x x x x x x

x x

















         

    

   

2 2 2 2

1 2 3 3 1 1 2 3 3 1

1 1 1 1

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x













            2 ₃ 3 3

1 1 1

x x

x x x

x x x x x

b) Efectuamos el cociente:















              2 2 2

2 2 2

6 9 25

6 9 2 10

2 15 25 2 15 2 10

x x x

x x x x x x

(11)

 x 2 25 x 5x 5  Producto notable 2x 10  2(x 5)

 x2 6x 9  (x 3)2, ya que las raíces de x2 6x 9  0 son:

 

6 36 36  63Raíz doble

2 2

x

 x2 2x 15 x 5x 3, ya que las raíces de x2 2x 15  0 son: 

 

      

  



10 5 2

2 4 60 2 64 2 8

2 2 2

6 3 2

x 



Así:

















 









 



      

 

  

2

2 2

2

6 9 25 3 5 5 3

5 3 2 5 2

2 15 2 10

x x x x x x x

x x x