Valoración de expresiones algebraicas

Apunte N° 1: BACH 1107

Términos algebraico

- Un término algebraico es el producto de un factor núemrico por una o más variables literales. - En cada término algebraico se distinguen el coeficiente numérico (que incluye el signo y constantes matemáticas) y la parte literal (que incluye variables).

- Se define el grado de un término algebraico como la suma de los exponentes de cada factor de la parte literal.

Ejemplo:

Término algebraico Coeficiente numérico Parte literal Grado

+ ,$ " + ,$ $  "  " œ &

$

(, , œ , BC #  "  Ð  "Ñ œ #

 "ß '+,  "ß ' +, "  " œ #

< <

#B $ #B # "

C ( C

% %

$ $ $

1 1 $

7 8 "# $ +

$

&"# $ + & 7 8 $  +

Expresiones algebraicas

- Una

- De acuerdo con el número de términos que componen una expresión algebraica,

estas se clasifican en: monomios (un término) y multinomios (dos términos o más). A los multinomios con dos términos se les llama binomios, y los de tres términos, trinomios.

- Si los exponentes de la parte literal son todos positivos, llamaremos a la expresión algebraica polinomio.

Monomios Binomios Trinomios Multinomios

,  #$ß "#4  '4 7  #78  8 + ,   %+ 

 2 4  *  

<

# # $ $

#BC #BC #+: +:

& & ." # +, # +$ %

8#

# # $

+  ,# # E E E $=>  <=  #  =>

$ $

%

" # $

- El grado de una expresión algebraica corresponde al mayor de los grados de los términos que la componen.

Ejemplo:

Los términos del multinomio

B C D  &B CD $ # * # ) B C  C  D  #!&B C D"% $ # $ *

D (

'

"&

tienen grados 14, 11, 15, 14, 3 y 14, respectivamente. Luego, el grdo del multinomio es 15.

Valoración de expresiones algebraicas

Valorar una expresión algebraica consiste en asignar un valor numérico a cada variable que aparece en la expresión y resolver las operaciones aritméticas que correspondan para obtener el valor numérico final de la expresión.

Ejemplo:

Al remplazar B œ  "ß en #B  $B  Ð%BÑ  &B ß# $ $ & resulta

#B  $B  Ð%BÑ  &B œ # † Ð  "Ñ  $ † Ð  "Ñ  Ð% †  "Ñ  & † Ð  "Ñ# $ $ & # $ $ &

œ # † Ð  "Ñ  $ † Ð  "Ñ  Ð  %Ñ  & † Ð  "Ñ# $ $ &

œ # † "  $ † Ð  "Ñ  '%  & † Ð  "Ñ$

œ #  $  '%  & œ  (!

Luego, el valor numérico de #B  $B  Ð%BÑ  &B# $ $ & para B œ  " es  (!Þ

Reducción de términos semejantes

- Dos o más términos de una expresión algebraica serán términos semejantes si sus partes literales son idénticas.

Ejemplos:

2) En  !ß #7 8  !ß "78  '78  7 8$ # # $ , hay dos pares de términos semejantes:  !ß #7 8$ con 7 8$ y  !ß "78#con  '78 Þ#

$ÑLa expresión B  B C  BC  C$ # # $no tiene términos semejantes.

- La reducción de términos semejantes consiste en agrupar todos los términos semejantes de una expresión en uno solo, sumando los coeficientes numéricos de cada término semejante y conservando la parte literal común.

Ejemplo:

Para reducir la expresión '+, # È$ #+,  %+,  +,  +,  ""+  "# # , se reduce cada grupo de términos semejantes.

Reducir los términos con parte literal +, À#

'+,  %+,  +, œ Ð'  %  "Ñ+, œ " † +, œ +,# # # # # #

Los términos È$ #+, +, y , al reducir resulta: ÐÈ$ #  "Ñ+,Þ

El resto de los términos de la expresión original no tiene términos semejantes. Entonces la expresión reducida es:

+,  Ð# È$ #  "Ñ+,  ""+  "

Uso de paréntesis

- Los paréntesis se utilizan para agrupar términos e indicar, cuando es necesario, el orden en que deben realizarse las operaciones.

- Cuando se usan varios paréntesis en una misma expresión es conveniente utilizar distintos tipos de ellos para mayor claridad. Por ejemplo: (), {}, []. En este caso, se deben resolver las operaciones "desde dentro hacia fuera".

- Un paréntesis precedido por un signo  puede eliminarse sin alterar los términos que contiene. Un paréntesis precedido por un signo se elimina cambiando los signos de todos los términos que contiene.

Ejemplos:

#Ñ +  Ð  ,  .  +Ñ œ +  ,  .  +

$Ñ D  ÖBA  Ð  D  #ABÑ× œ D  ÖBA  D  #BA× œ D  BA  D  #BA œ BA

4) Suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes. a) +  Ð,  Ñ  $Ð  ,Ñ  #Ð+  Ñ

b)  B  Ð  B  CÑ  #Ð  C  BÑ  C

c)  :  # :  $Ð;  :Ñ  Ð  #:  $;Ñc d

d) #7  Ö  8  7  8  Ð#8  $7 Ñ  8  8 ×  7# # c # # # # #d # #

e) (ÐA  $Ñ  #ÐA  "Ñ  $ÐA  %Ñ

f) Ð  +BÑ  Ð+B  +Bc ")Ñ  Ð  +B Ñ  #DB  !Þ!&DB Ö#B  $+B ×* c * $ dd

5) Calcular cada uno de los siguientes productos:

a) El cuadrado de , multiplicado por el triple del cubo de + +

b) El triple de 7 por la suma del duplo de más el quíntuplo de 8 :

c) El doble del cubo de &B por la diferencia entre el cuadrado de $B y el cubo de 'C d) La diferencia entre el cubo de 7y el cuadrado de , por el cuadrado de 8 7 6) Calcular los productos, suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes.

a) $ÐB  %Ñ  ÐB  "Ñ b) &B  %ÐB  CÑ  #ÐB  &CÑ  #ÐB  $BCÑc d #

c) &Ð%Ð:  Ð;  $ÑÑ  'Ð:  ;ÑÑ d) #Ð+  $,Ñ  $Ð&+  ,Ñ  &Ð,  +Ñ  'Ð+  #,Ñ

e)  !Þ%+ # &!+ #!+  "&  +  ',

!Þ#+

Š # $ ‹

Adición y sustracción de expresiones algebraicas

Para calcular adiciones y sustracciones de expresiones algebraicas se anotan con parentesis unas a continuación de otras, utilizando los signos y , según correspondan, eliminando paréntesis y reduciendo los términos semejantes de la expresión resultante.

Ejemplos:

"Ñ Ð)B C  B CÑ  Ð  BC  %B CÑ  $C œ )B C  B C  BC  %B C  $BC$ # # $ # # œ )B C  Ð  "  %ÑB C  Ð  "  $ÑBC$ # œ )B C  $B C  #BC$ #

#Ñ Ð#8  "ß &78Ñ  Ð  !ß $78  #ß &7 Ñ œ #8  "ß &78  !ß $78  #ß &7# # # # œ #8  "ß )78  #ß &7# #

3) Hallar la suma ÐB  #B  &B  (Ñ  Ð%B  &B  $Ñ$ # $ #

4) Hallar la diferencia Ð$B  #B  'B  #Ñ  Ð#B  %B  $Ñ$ # $ #

Multiplicación de expresiones Algebraicas

Ejemplo: Multiplicación de binomios: Hallar el producto de Ð'B  %ÑÐ#B  $Ñ

Ejemplo: Multiplicación de dos polinomios

Hallar el producto de ÐB  &B  %ÑÐ#B  $B  "Ñ# $

Ejemplo: División de un polinomio entre un monomio Expresa como polinomio en e :B C

'B C %B C "!BC #BC

# $ $ #

Lenguaje Algebraico

Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, pueden hacerse las mismas operaciones que con los números aritméticos. Como se muestra mediante los

siguientes ejemplo: Ejemplo:

a) Escriba la suma del cuadrado de con el cubo de + ,Þ

Solución: +  , Þ# $

b) Un hombre tenía $ , después recibió $8 y después pagó una cuenta de $c. ¿Cuánto le+

queda?

Solución:$+  )  Þ

c) Compré 3 litros a $ cada uno; 6 sombreros a $ cada uno y + , 7 trajes a $ cada uno.B

¿Cuánto he gastado? Solución:

d) Compro libros iguales por $B 7. ¿Cuánto me ha costado cada uno? Solución: Cada libro ha costado $7_BÞ

Ejercicios:

1) Escriba la suma del cuadrado de 7, el cubo de y la cuarta potencia de , BÞ

2) Siendo un número entero, escriba los dos números enteros consecutivos+

3) Siendo un número entero par, escriba los tres números pares consecutivosC

posteriores a .C

4) Pedro tenía $ , cobró $ y le regalaron $+ B 7. ¿Cuánto tiene Pedro?. 5) Escriba la diferencia entre 7 8Þ y

6) De una jornada de Km. ya se han recorrido B 7 Km. ¿Cuánto falta por andar?. 7) Escriba la suma del duplo de con el triple de y la mitad de + , Þ

8) Exprese la superficie de una sala rectangular que mide metros de largo y metros+ ,

de ancho.

9) ¿Cuál será la superficie de un cuadrado de m. de lado?B

10) Compro Ð+  )Ñ caballos a ÐB  %Ñ dólares cada uno. ¿ Cuánto dinero obtengo por la venta?

11) La superficie de un campo rectangular es 7 m . y el largo mide 14 m. Exprese el#

ancho.

12) Si un tren ha recorrido B  " Km. en horas, ¿ Cuál es su velocidad por hora?+

13) Tenía $ y cobré $ . Si el dinero que tengo lo empleo todo en comprar + , Ð7  #Ñ

libros, ¿ A cómo sale cada libro?

14) En el piso bajo deun hotel hay habitaciones. En el segundo piso hay doble númeroB

de habitaciones que en el primero; en el tercero la mitad de las que hay en el primero. ¿Cuántas habitaciones tiene el hotel?

15) Pedro tiene euros; Juan tiene la tercera parte de lo de Pedro;Enrique la cuarta+

parte del duplo de lo de Pedro. La suma de lo que tienen los tres es menor que 1000 euros. ¿Cuánto falta a esta suma para ser igual a 100 euros?

Productos Notables

1) ÐB  CÑ œ B  #BC  C# # # 2) ÐB  CÑ œ B  #BC  C# # #

3) ÐB  CÑÐB  CÑ œ B  C# # 4) ÐB  CÑ œ B  $B C  $BC  C$ $ # # $

5) ÐB  CÑ œ B  $B C  $BC  C$ $ # # $ 6) ÐB  CÑÐB  BC  C Ñ œ B  C# $ $ $

7) ÐB  CÑÐB  BC  C Ñ œ B  C# $ $ $

Ejemplos: Efectuar los siguientes productos:

a) Ð$+  #,ÑÐ$+  #,Ñ œ *+  %,# # b) Ð&+  #,Ñ œ #&+  #!+,  %,# # #

c) Ð'<  &=Ñ œ $'<  '!<=  #&=# # # d) Ð$+  ,Ñ œ #(+  #(+ ,  *+,  ,$ $ # # $

Actividad

1) Desarrollar los siguientes cuadrados de binomio:

a) a#B  &b# e) a$+  'Bb#

b) Ð%B C  $, CÑ$ # # f) Ð"  %8 Ñ$ #

c) Ð"  $+ B Ñ# $ # g)Ð&+ B  #Ñ# #

d)Š+7 B_$B&#  $+(‹# h)Š_#C&  #C$‹#

2) Desarrollar los siguientes sumas por diferencia:

a) a$B  & $B  &ba b d)a%B C  & %B C  && ba & b

b) aC  (7B C  (7Bba b e) a&B  $ $  &Bba b

c) Ð#B  %8ÑÐ%8  #B Ñ$ $ f) "  $7 $7  "

&8 &8

Š #‹Š # ‹

3) Desarrollar los siguientes cubos de binomio:

a) Ð$B  #CÑ# $ c) Ð#B C  BC Ñ# $ # $

b) Š7_%8$  $8₇#‹$ d) Ð_%BC$  BÑ$

4) Desarrollar aplicando los productos notables:

a) ˆ$_%+  ,‰# b) a#+  B# b$

c) a "  B  #C# #b d) a#  Bb$  B #  Ba b#

e) a<  !ß % <  !ß %5 ba 5 b f) aB  C$ $b a B  Cb$

g) aB  "b# B  " B  "a ba b h) aB  C  # B  C  #ba b

i) ( $7  8a b# 7  8a b# # %7  &8a b#

5) Efectuar las siguientes multiplicaciones: a) a%+  & $+  #  '+  B $B  +ba b a ba b

b) a (7  $b$  $+  7a $b $ #7  " (  &7a ba b

c) a&C  #b# &  #  $+,a b# $C  &+, %+,  (Ca ba b d) a (  BCb# $B %C  #Ca # b

e) a'7  +ba '+  7  $+  &7 $+  &7b a # ba # b

f) a#+  $, $+  ,  &  )+  *,  $+  ,# ba # b a b a b#

Factorización de expresiones Algebraicas

Ejemplos:

a) )B  %BC œ %BÐ#B  CÑ#

b) %B C  *B C œ B CÐ%B  *C Ñ œ B CÐ#B  $CÑÐ#B  $CÑ& $ $ $ # # $

c) #&B  #&B  "&! œ #&ÐB  B  'Ñ œ #&ÐB  $ÑÐB  #Ñ# #

Fórmulas de Factorización

À

1) Diferencia de cuadrados: B  C œ ÐB  CÑÐB  CÑ# #

Ejemplo: "'+  #& œ Ð%+  &ÑÐ%+  &Ñ#

2) Factorización de un Cuadrado de Binomio: Ejemplo:*+  '+,  , œ Ð$+  ,Ñ# # #

3) Diferencia de dos cubos: B  C œ ÐB  CÑÐB  BC  C Ñ$ $ # #

Ejemplo:)+  #( œ Ð#+  $ÑÐ%+  '+  *Ñ$ #

3) Suma de dos cubos: B  C œ ÐB  CÑÐB  BC  C Ñ$ $ # #

Ejemplo:"#&+  " œ Ð&+Ñ  Ð"Ñ œ Ð&+  "ÑÒÐ&+Ñ  Ð&+ÑÐ"Ñ  Ð"Ñ Ó œ$ $ $ # # Ð&+  "ÑÐ#&+  &+  "ÑÞ#

Ejemplos: Factoriza el polinomio:

a) #&<  %*=# # b) )"B  C% % c) "'B  ÐC  #DÑ% #

Ejemplo: Factoriza el polinomio: a) +  '%,$ $ b) ) ' #(.*

Factorización de un trinomio Mónico:

La factorización de un trinomio mónico de la forma B  ;B  <ß# donde ;ß < son enteros, debe ser de la forma ÐB  +ÑÐB  ,Ñß donde y son enteros. Es decir+ ,

B  ;B  < œ ÐB  +ÑÐB  ,Ñ Ê B  ;B  < œ B  Ð+  ,ÑB  +,Þ# # # _{Por igualdad de}

polinomios, +  , œ ; y +, œ <Þ Luego, para factorizar un trinomio mónico, debemos hallar, si existen, dos números enteros cuya suma sea igual al coeficiente de y cuyaB

Ejemplo: Factorizar el trinomio B  $B  "! À# B  $B  "! œ ÐB  #ÑÐB  &ÑÞ#

Ejemplo: Factorizar el trinomio B  %B  #" À#

.

B  %B  #" œ ÐB  $ÑÐB  (Ñ#

Máximo Común Divisor

Factor común o divisor común de dos o más expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que está contenida exactamente en cada una de las primeras. Así, esB

divisor común de $B B à y # y &+ ,# es divisor común de "!+ ,$ # y "%+ ,Þ%

Una expresión algebraica es prima cuando sólo es divisible por ella misma y por la unidad. Así, +ß ,ß +  ,ß #B  " son expresiones primas.

Dos o más expresiones algebraicas son primas entre sí cuando el único divisor común que tienen es la unidad, como #B $,à +  , +  BÞ y y

Máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas, denotado m.c.d, es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que está contenida exactamente en cada una de ellas. Así el máximo común divisor de "!+ ,# y

#!+# _es "!+#_{; el m.c.d. de} )+ 8 ß #%+8$ # $_y %!+ 8 :$ % _es )+8#

M.C.D. de Monomios

Regla: Se halla el m.c.d. de los coeficientes y a continuación de éste se escriben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que tenga en las expresiones dadas.

Ejemplo: Hallar el máximo común divisor de + B# # y $+ ,BÞ$

Ejemplo: Hallar el m.c.d. de $'+ , ß %)+ ,# % $ $ y '!+ , 7Þ% $

Actividad Hallar el m.c.d. de :

a) + Bß +B# # b) +, ß + ,# #

c) #B Cß B C# # $ d) ")78 ß #(+ 7 8# # $ %

e) "&+ , ß #%+, Bß $', B# $ # % # f) "#B CD ß ")BC Dß #%B CD Þ# $ # $ #

g) 28+ ,# $ %ß $&+ ,$ % &ß %#+ ,% & h) (#B C D ß *'B C D ß "#!B C D$ % % # # $ % & (

Al hallar el m.c.d. de dos o más olinomios puede ocurrir que los polinomios puedan factorizarse fácilmente, en este caso, se halla el m.c.d. factorizando los polinomios dados.

Regla: Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El m.c.d. es el producto de los factores comunes con su menor exponente.

Ejemplos:

1) Hallar el m.c.d. de %+  %+, #+  #+ ,# y % # #.

2) Hallar el m.c.d. de B  %ß B  B  '# # y B  %B  %Þ#

3) Hallar el m.c.d. de *+ B  *B ß '+ B  "#+ B  ")+B ß '+ B  #"+ B  "&+ BÞ$ # # $ # # # # % $ #

4) Hallar el m.c.d. de B  B ß B  B  B  B' # & % $ # y #B  #B  #B  #BÞ' % $

Ejercicio: Hallar, por descomposición en factores, el m.c.d. de :

1) #+  #+,ß %+  %+,# # 2) 'B C  'B Cß *B C  ")B C$ # $ # # #

3) "#+ , ß %+ ,  )+ ,# $ $ # # $ 4) $!+B  "&B ß "!+BC  #!B C# $ # # #

5) ")+ B C ß '+ B C  ")+ BC# $ % # # % # % 6) $B  "&B ß +B  &+B$ # #

7) +  , ß +  #+,  ,# # # # 8) #+B  %+Bß B  B  'B# $ #

9) %+  %+,  , ß #+  #+,  +,  ,# # # #

10) B  #B  )ß B  B  "#ß B  *B  #!BÞ# # $ #

11) #B  #B  %ß #B  )B  'ß #B  #Þ# # $

12) +B  #+B  )+Bß +B  +B  '+ß + B  $+ B  "!+ BÞ$ # # # $ # # #

13) ÐB  "Ñ ß B  %B  &ß B  "# # # %

Actividad

Factorizar:

a) B  'BC  *C# # b) )7  #%7  ")7$ #

c) #B  &B  "## d) # # * .  %.#

e) *B  %#BC  %*C  %+  %+  "# # # f) "!!B # " C% g) C  <  #A <  A  D%! % "$ # #' #) #C D#! "% h) ₇%*)  _"'*8

# i) B C  #B C D  D  :  #: ;  ;' % $ # % ) ) % # % j) #(+  ),$ $

k) +  ""' l) #B $B  #a b#"  B# "ˆ ‰_# a$B  #b"#· $

m) %C  $'C  )!# n) B#8" #B8" B

ñ) %  %ÐB  CÑ  ÐB  CÑ# o) ÐB  7Ñ  ÐC  8Ñ# #

p) "  +%_* ) q) '+B  $B  #+  "

r)#BÐ+  "Ñ  +  " s) )"B  Ð+  BÑ# #

t) "  'B  *B$ ' u) B C  %B C  *'% % # #

Fracciones

El cociente de dos números reales+Î, o con +_, , Á !, se llama fracción. " " es el+

numerador y " " es el , denominador de la fracción. Si el numerador es menor que el denominador se llama fracción propia, en caso contrario se llama fracción impropia. Dos fracciones son equivalentes, si tienen el mismo valor.

Propiedades fundamentales de las fracciones:

1) El valor de la fracción no cambia al multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número. Este proceso se conoce com amplificación de la fracción:

+ 5+

, œ 5,ß 5 −‘y 5 Á !Þ

Ejemplo: #_$ œ %_' œ "!_"&ÞÞÞÞ

2) El valor de la fracción no cambia al dividir el numerador y el denominador por el mismo número. Este proceso se conoce com simplificación de la fracción:

+

, œ ß 5 − 5 Á !Þ

+ 5 , 5

‘_y

Ejemplo: $#_'% œ $#"' œ #_% œ ## œ "_#

'% %

"' #

3) Suma y resta: i) +_,„ œ_, +„_, ii) +_,„ œ_. +.„,_,.

5) División: +_, À _. œ +_, ‚ . œ +._,

Si el numerador y el denominador son expresiones algebraicas, también se satisfacen las fórmulas anteriores.

Actividad

1) Realice las operaciones indicadas y simplifíque: :

a) $_#+  "$_$ +  !Þ(&+ b) $_&,  $Þ%,  ,(_#

c) _%(+Ð ,  ,Ñ*_{# %}$ d) &B  B $ #_$ $ %B_*$ ƒ #_$

e) _$#,  B _&% "$_%,  "$_$B f) $"_# +  , #_$ %(_"!+  ,*₍

2) Resuelva las siguientes operaciones y simplifíquelas:

a) _{B "}#B  _{B B#}# " b) _#+B  _{$+ B}%#

c) _+,$B#  _{+ ,}B#  ₊$$ d) _+,+  _{+ ,}#, #

e) B_#  _&B"&B  _"!B$!B" f) B#C_"&B  BC_#!C

g) BC_"#  #BC_"&  C%B_$! h) B#_$B  B #_&B# #  #B_*B$$

i) _$B"  _*$B"  _$B" j) BC_BC  _BCCB#C#  _{B BC}#C

k) _+#+"  _+$+#  _+"" l) _&&B"  _&&B"  _"!"!B" #

3) Reducir a su mínima expresión estableciendo las restricciones pertinentes: a) #B &B##_{B %}# · _{#B *B%}B %B## b) B "%B"&_{B %B%&}## À B "#B%&_{B 'B#(}##

c) _{Ð+ , Ñ}Ð+ , Ñ Ð+ +,, Ñ$$ $$ _{+ +,, Ñ}## ## d) BC  B C_{B CBC}# $# $

$ (

· ·

a b a b

e) '%: ; D_{B %}# ## # ÐB#Ñ_{):;D ÐB#Ñ}B % f) B B#!_{B #&}# _{B #B)}B B## _{B &B}B"#

# # # #

· À 2 · À

g) B  $B  "!#_{B  %}# · _{B  #B  %}B  B  '## B  #B  "&#_{B  )}$ h) $B #B"_{*B B}# $ : _{$B ""B%}B $B%##

i) %B B"%_{'BC"%C ÐB %ÑÐ%B(Ñ}%B ÐB#Ñ _{$B B"%}#B %B j) $B$C · _)"B)"CBC B C #BC_#(B#(C

BC

# # #

# # #

# #

· À _{a b} À

k) +,₊  _+,#+  _{, +,a}#,# _b l) B$C_$  BC_%  BC_'

m) ˆ_B#"  _B$# ‰ˆ_#B#  _$B" ‰:_{B &B'}# " n) ,B $_{*+ "}# :, B $,_$+"

# $ # #

a b a b

ñ) Š_{$'+ ,}&# _'+,( "",_"#+‹ o) Š_B" "_C "_D‹

#

  † ")+,   BCD

p) É_{+ $+ ,$+, ,}+, É +, q) É&7₈ "!7₈

+ $+ ,$+, ,

$ # # $ _$$ _{# # $} % #

#

À   &

4) Simplificar las siguientes expresiones :

a) (B2Ñ B₂$ $ b) ₂

B2 B B#2 B#

c) d)

" " B2 # B#

a b 

2 aB" C" "b

e) B C_{B C}#" #" f) · _{+  +  # } +  " "

+ + +

" " "

+ + " # # +# À

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·

Ecuaciones

Una ecuaci´on es una igualdad donde intervienen una o m´as inc´ognitas y que es verdadera s´olo para algunos valores de las inc´ognitas.

Ejemplos.

a) 4x−5 = 3

b) 2x+ 3y−5 = 0

c) x2−5x+ 6 = 0

d) y−mx−n= 0

Elgradode una ecuaci´on corresponde al que presenta el t´ermino con mayor grado, una vez que se han reducido t´erminos semejantes.

Ejemplos.

a) 3x−1 = 5 tiene grado 1.

b) 3x+ 4y−5 = 0 tiene grado 1.

c) x2−4x+ 3 = 0 tiene grado 2.

d) xy = 1.

tiene grado 2.

Una ra´ız o soluci´on de la ecuaci´on es todo valor de la inc´ognita que haga ver-dadera la igualdad.

Resolver una ecuaci´on significa encontrar todos los valores de la(s) inc´ognita(s) para los que la igualdad es verdadera. Para lograr este objetivo, ocuparemos las siguientes propiedades:

1. Se pueden trasladar t´erminos de un lado a otro de la igualdad modificando su signo.

2. Al multiplicar o dividir ambos lados de la igualdad por un n´umero distinto de cero la igualdad se mantiene.

Ecuaciones de primer grado o lineales con coeficientes enteros.

a) Resolver la ecuaci´on 4x−4 = 2−2x.

Soluci´on. Primero, agrupamos todos los t´erminos con x en el lado izquierdo y el resto en el lado derecho. Para esto ocupamos la propiedad 1:

4x+ 2x= 2 + 4

Al reducir t´erminos semejantes se obtiene

6x= 6.

Aplicando la propiedad 2:

6x

6 = 6 6. Simplificando se obtienex= 1.

Para comprobar que nuestra soluci´on es correcta reemplazamos x = 1 en cada lado de la ecuaci´on. El lado izquierdo es 4x−4 = 4·1−4 = 0 mientras que el lado derecho es 2−2x= 2−2·1 = 0.Por lo tanto, x= 1 es soluci´on .

b) Resolver la ecuaci´on 2(x−1) = 3(x−2)−5(x+ 1).

Soluci´on.En este caso es conveniente realizar primero las operaciones indicadas:

2x−2 = 3x−6−5x−5

Aplicamos la propiedad 1 y reducimos t´erminos semejantes posteriormente:

2x−3x+ 5x=−6−5 + 2

4x=−9

Aplicamos la propiedad 2 y simplificamos:

4x

4 =− 9 4

x=−9

4.

Ejercicio.Comprobar que x=−9₄ es soluci´on.

Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios.

Ejemplo.Resolver la ecuaci´on

x

3 + 3 4−

5x

6 + 2 =

x

Soluci´on. El m´ınimo com´un m´ultiplo de los denominadores es 60. Aplicamos la propiedad 2:

60

x

3 + 3 4 −

5x

6 + 2

= 60

x

5 −3

20x+ 45−50x+ 120 = 12x−180.

Al resolver esta ´ultima ecuaci´on con coeficientes enteros se obtiene x= 115₁₄.

Ejercicio.Comprobar que x= 115₁₄ es soluci´on de la ecuaci´on original.

Ecuaciones de primer grado fraccionarias.

Para resolver este tipo de ecuaciones ser´a ´util recordar que a

b =

c

d si a·d=b·c.

a) Resolver la ecuaci´on 2

x +

3 2x =

1 3x +

13 12

Soluci´on.Al sumar las fracciones que aparecen en cada lado se obtiene:

2·6 + 3·3 6x =

1·4 + 13x

12x

21 6x =

4 + 13x

12x

Luego:

12x·21 = 6x(4 + 13x)

2·21 = 4 + 13x

Resolviendo la ´ultima ecuaci´on tenemos x= 38₁₃.

Ejercicio.Comprobar que x= 38₁₃ es soluci´on de la ecuaci´on original.

b) Resolver la ecuaci´on:

1

x−1 +

1

x+ 1 =

4

x2₋₁.

Soluci´on.Al sumar las fracciones en el lado de recho se obtiene:

2x

x2₋₁ =

4

Luego

2x(x2−1) = 4(x2−1) (∗) 2x= 4

x= 2.

(*) Es posible simplificar el factorx2_{−1 puesx= 1 ox=−1 no pueden ser soluci´on}

de la ecuaci´on original. (¿Por qu´e?)

Actividad

1. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 2x−5 = 7

b) 4x−5 +x= 3 + 2x+ 4

c) 49x−105 + 16x= 48x−301−8

d) 2(x+ 3) = 5(x−1)

e) (x+ 2)−(3x+ 2) = 5(x+ 4)−1

f) 2[(3x+ 1)−2(x+ 4)]−(3x+ 5) = 0

g) 2x−3−(x+ 1) =−[x+ 3(x+ 2)]−(x+ 4)

h) −3 +x−5[2x+ 4−(x+ 2)] =x+ 2

i) 2x−10−[2x−(x+ 3) + 5] = 0

j) −[2(2−x)−(2x−3)]−5x= 4(x+ 3)

k) 3−[5x+ 2(x−1) + 4] = 5−[2(x−3)−3(x−2)]

l) −x+ [12x−3(x+ 1)−(3x+ 2)] = 15x−16

m) 2x−[14x−2(x+ 3)−(2x+ 3)] = 16x+ 9

n) −[2(3x−3)−(1 +x)]−[5(3−2x)−(1 +x)] = 0

2. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 5x

3 + 2x

5 =

x

4 + 109

20

b) 3

4 − 8x

3 + 7x

5 + 3x

2 = 7 12

c) (x+ 3,5)−(4,2−2,3x)−(4,8x+ 2,1) =−1,3

d) x−3

4 − 1 3 =

x−1

e) 4−3x 5 −

2x−3 15 + 1 2 = 3x 10 − 1 20 f)

3−x 4

+

x−x

3

+ 7 =

1−3x 2

− 7 12

g) 3

4

x+1

2 −4 3 x 3 − 5 4

= 2 +5 3 x 2 + x 4

h) 7x

4 − 5x 3 + 6x 5 + 5 6 =−

9 20

i) 3x

4 − x 2 + 1 8 = x 3 + 1 12

j) 3−x

4 +

2x−1 5 + 1 =

x+ 1

3 +

2x+ 6 4 +

2 5

k) 8−2x

3 −

x+ 3

6 − 26 27 =

3x+ 2 3 −

1−x

9

l) 4x−2x+ 1

3 −3 = 3x−

x−1

5 + 11 15

m) 3−2x

5 + 2 +x

2 3 +

11 60 =

5−4x 3 4

n) 12−x

6 −

4−2x 5

9 +

13 +x 4 18 =

1 9

o) x(x+ 5)

2

4 −

(x−1)3

3 =

(7x+ 3)(x−1)

2 +

51 2 +

64−x3

12

p) (2x−1)

2

3 +

(x−2)3

4 −

(x+ 1)2

4 =

1−5x2

12 +

x3−1

4 − 7 12

3. Un n´umero multiplicado por 5, sumado con el mismo numero multiplicado por 6, da 55. ¿Cu´al es el n´umero?

4. El doble de un n´umero aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cu´al es el n´umero?

5. Tres n´umeros impares consecutivos suman 81. ¿Cu´ales son los n´umeros?

6. El doble de un n´umero m´as el triple de su sucesor, m´as el doble del sucesor de ´este es 147. Encuentre el n´umero.

7. La diferencia entre los cuadrados de dos n´umeros consecutivos es 103. ¿Cu´ales son los n´umeros?

9. Un padre tiene 20 a˜nos mas que su hijo. Dentro de 12 a˜nos, el padre tendr´a el doble de la edad del hijo. ¿Cu´antos a˜nos tiene cada uno actualmente?

10. Las edades de un matrimonio suman 62 a˜nos. Si se casaron hace 10 a˜nos y la edad de la novia era 3₄ de la edad del novio, ¿qu´e edad tienen actualmente?

11. La edad de Mar´ıa es el triple de la de Ester y excede en 5 a˜nos a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 a˜nos, hallar la edad de cada una.

12. Hace 6 a˜nos un padre ten´ıa el cu´adruple de la edad de su hijo. En 10 a˜nos m´as tendr´a solo el doble. Hallar l edad actual del padre e hijo.

13. Un padre tiene 52 a˜nos y su hijo 16. ¿Hace cu´antos a˜nos el hijo ten´ıa la s´eptima parte de la edad del padre?

14. Se compran 25 l´apices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $16.990. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada gma, m´as $20 y cada l´apiz cuesta el doble de cada goma, m´as $8, ¿cu´anto cuesta cada material?

15. Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cu´anto tardar´ıan si la pintaran entre los 3?

16. Para cortar el c´esped de una cancha de f´utbol una persona tarda 4 horas y otra lo hace en 6 horas. Calcule cu´anto tiempo demorar´ıan si trabajaran juntas.

17. Una llave puede llenar un estanque en 6 horas. Otra puede hacerlo en 7 horas. Estando lleno, el desaq¨ue puede vaciarlo en 10 horas. ¿En cu´anto tiempo se llenara el estanque si estando vac´ıo y con el desag¨ue abierto se abren las dos llaves?

18. ¿A qu´e hora entre las 11 y las 12 los punteros del reloj formar´an un ´angulo de 90◦.? ¿A qu´e hora coincidir´an?

19. ¿A qu´e hora entre las 3 y las 4 los punteros de un reloj formar´ıan un ´angulo extendido? ¿A qu´e hora coincidir´an?

20. El numerador de una fracci´on excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma 3, la fracci´on queda igual a 3₄.Encuentre la fracci´on.

21. Un estudiante de cierto curso tiene un 4,9 en su nota de presentaci´on a examen. ¿Qu´e nota debe tener en el examen para aprobar el curso si este vale un 30 % y para aprobar el curso se necesita tener nota 4,0 como m´ınimo?