Diseño de un Controlador Desacoplante y Dos Difusos Para una Planta Multivariable de Dos Entrada y Dos Salidas-Edición Única

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Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey

Monterrey, Nuevo León a 22 de Agosto de 2003

Lic. Arturo Azuara Flores;

Director de Asesoría Legal del Sistema

Por medio de la presente hago constar que soy autor y titular de la obra titulada:" Diseño de un controlador desacoplante y

dos difusos para una planta multivariable de dos entradas y dos salidas", en los sucesivo LA OBRA, en virtud de lo cual autorizo a el

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (EL INSTITUTO) para que efectúe la divulgación, publicación, comunicación pública, distribución y reproducción, así como la digitalización de la misma, con fines académicos o propios al objeto de EL INSTITUTO.

El Instituto se compromete a respetar en todo momento mi autoría y a otorgarme el crédito correspondiente en todas las actividades mencionadas anteriormente de la obra.

De la misma manera, desligo de toda la responsabilidad a EL INSTITUTO por cualquier violación a los derechos de autor y propiedad intelecutal que cometa el suscrito frente a terceros.

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Diseño de un Controlador Desacoplante y Dos Difusos Para una

Planta Multivariable de Dos Entrada y Dos Salidas-Edición

Única

Title Diseño de un Controlador Desacoplante y Dos Difusos Para una Planta Multivariable de Dos Entrada y Dos Salidas-Edición Única

Authors Iván Juárez Brindis Affiliation ITESM

Issue Date 2003-07-01

Item type Tesis

Rights Open Access

Downloaded 18-Jan-2017 22:09:37

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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE

MONTERREY

CAMPUS MONTERREY

DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

DISEÑO DE UN CONTROLADOR DESACOPLANTE Y DOS DIFUSOS PARA UNA PLANTA MULTIVARIABLE DE DOS ENTRADAS Y DOS SALIDAS.

TESIS

PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADEMICO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN AUTOMATIZACIÓN INGENIERÍA DE CONTROL

POR:

IVÁN JUÁREZ BRINDIS

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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE

MONTERREY

CAMPUS MONTERREY

DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

Los miembros del comité de tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis presentado por el Ing. Iván Juárez Brindis sea aceptado como requisito parcial para obtener el grado académico de Maestro en Ciencias con especialidad en:

INGENIERÍA DE CONTROL

Comité de Tesis:

José de Jesús Rodríguez Ortiz, Ph. D. Asesor

Rogelio Soto Rodríguez, Ph. D. Jorge Limón Robles, Ph. D.

Sinodal Sinodal

Aprobado:

Federico Viramontes Brown, Ph. D.

Director del Programa de Graduados en Ingeniería

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Reconocimientos

Gracias a Dios por darme la vida, salud, energía y permitirme vivir y aprender de las experiencias que he tenido.

Gracias a mi Madre y mi Padre por su apoyo, por su confianza, y el amor que me han dado. Gracias a mis hermanitas Dulce y Nohemí por su cariño y consejos.

Gracias al Dr. José de Jesús Rodríguez por su ayuda, consejos, coordinación y guía en el desarrollo de esta Tesis.

Gracias a mis amigos, por su amistad, por sus consejos, ánimo y apoyo.

Iván Juárez Brindis

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Resumen

DISEÑO DE UN CONTROLADOR DESACOPLANTE Y DOS DIFUSOS PARA UNA PLANTA MULTIVARIABLE DE DOS ENTRADAS Y DOS SALIDAS

Iván Juárez Brindis, M.C.

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Julio del 2003

Asesor de la tesis: Dr. José de Jesús Rodríguez Ortiz

En esta tesis se hace la comparación de controladores que se desarrollaron para un proceso multivariable acoplado de dos entradas y dos salidas. La comparación de los controladores se hace en simulación utilizando el modelo matemático de un proceso de nivel y temperatura donde las variables de entrada son la apertura de la válvula de agua fría y la apertura de la válvula de agua caliente. Las salidas del proceso son el nivel y la temperatura del agua en un tranque de flujo constante [2].

Se diseñó un controlador desacoplante que contiene bloques que desacoplan al proceso dentro de su acción de control estableciendo para los lazos desacoplados un esquema similar al de Dahlin para lazos univariables. También se diseñaron dos controladores difusos, uno que utiliza el error y el cambio del error de las salidas del proceso y tres conjuntos difusos por cada variable de entrada al controlador generando un conjunto de 81 reglas IF-THEN. El otro controlador difuso utiliza únicamente el error de las salidas del proceso y cinco conjuntos difusos por cada variable de entrada generando 25 reglas IF-THEN.

Parte importante de este trabajo es la selección del tiempo de muestreo para generar acciones de control adecuadas. Además, para el caso de los controladores difusos se utiliza un método para la obtención de las reglas IF-THEN basado en pruebas escalón en el nivel y la temperatura. Esta metodología se basa en la referencia [17]. Dicho método ayuda de manera parcial en la obtención de las reglas del controlador que utilizó el error y el cambio del error.

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Índice General.

Reconocimientos ... ix

Resumen ... xi

Índice de Figuras. ... xvii

Índice de Tablas... xxi

Capítulo 1 Introducción... 1

Capítulo 2 Procesos Multivariables Acoplados. ... 3

2.1 Introducción... 3

2.2 Descripción del proceso. ... 4

2.3 Ganancias relativas y pareo. ... 7

Capítulo 3 Diseño del Control Desacoplante. ... 9

3.1 Introducción... 9

3.2 Diseño de Controlador Desacoplante. ... 9

3.3 Desarrollo de los controladores mediante la técnica del control desacoplante... 13

3.3.1 Obtención de las respuestas propuestas. ... 13

3.3.2 Demostración de fórmula para discretizar una función de transferencia en el dominio de la Laplace... 16

3.3.2.1 Caso de tiempo muerto entero... 17

3.3.2.2 Caso de tiempo muerto con parte fraccionaria... 19

3.3.2.3 Demostración de selección del T en base al tiempo muerto. ... 20

3.3.3 Discretización de las funciones de transferencia de la planta y de las respuestas propuestas. ... 24

3.3.4 Obtención de los controladores mediante la técnica del control desacoplante. ... 28

(13)

Capítulo 4 Diseño de los Controladores Difusos. ... 45

4.1 Introducción [12]. ... 45

4.2 Sistemas Difusos. ... 46

4.2.1 Conjuntos difusos y sus operaciones básicas. ... 46

4.2.2 Operaciones con conjuntos difusos. ... 48

4.2.3 Relaciones difusas, proyecciones, extensiones cilíndricas y composiciones. ... 51

4.2.4 Variables Lingüísticas y reglas IF-THEN. ... 55

4.2.5 Lógica difusa y razonamiento aproximando. ... 60

4.2.6 Base de reglas difusas y máquina de inferencia difusa. ... 64

4.2.7 Fusificadores y defusificadores... 71

4.2.8 Ejemplo de aplicación de máquina de inferencia producto... 74

4.3 Diseño de los controladores difusos. ... 78

4.3.1 Desarrollo de un controlador difuso de 81 reglas. ... 79

4.3.1.1 Desarrollo del control difuso... 79

4.3.1.2 Variables de entrada y salida... 81

4.3.1.3 Desarrollo de Conjuntos Difusos. ... 84

4.3.1.4 Construcción de reglas IF-THEN... 91

4.3.1.5 Simulaciones del CLD de 81 reglas. ... 99

4.3.2 Desarrollo de un controlador difuso de 25 reglas. ... 114

4.3.2.1 Desarrollo del control difuso... 114

4.3.2.2 Variables de entrada y salida... 115

4.3.2.3 Desarrollo de conjuntos difusos. ... 116

4.3.2.4 Construcción de reglas IF-THEN... 119

4.3.2.5 Simulación del CLD de 25 reglas. ... 121

Capítulo 5 Evaluación de controladores y pruebas de robustez... 131

5.1 Introducción... 131

5.2 Comparación del desempeño de los controladores. ... 131

5.2.1 Comparación de resultados ante cambios en referencia... 131

5.2.2 Comparación de resultados ante cambios por perturbaciones... 134

5.3 Pruebas de robustez. ... 136

5.3.1 Pruebas de robustez para el control desacoplante. ... 137

5.3.2 Pruebas de robustez para el control difuso con 81 reglas... 140

5.3.3 Pruebas de robustez para el control difuso con 25 reglas... 142

5.4 Comparación de resultados para las pruebas de robustez. ... 145

5.4.1 Comparación de resultados ante cambios por referencia... 145

5.4.2 Comparación de resultados ante cambios por perturbaciones... 146

(14)

Capítulo 6 Conclusiones y Recomendaciones Finales... 151

6.1 Conclusiones y resultados finales... 151

6.2 Recomendaciones finales. ... 155

Bibliografía. ... 159

Apéndice A Programa para obtener las ecuaciones del controlador desacoplante... 161

Apéndice B Procedimiento para obtener las d’s a partir de la salida del programa de MATLAB. ... 163

Apéndice C Ejemplo de desarrollo de una d en SIMULINK. ... 165

Apéndice D Desarrollo del bloque del proceso de nivel y temperatura en SIMULINK. ... 169

Apéndice E Modulo de lógica difusa de SIMULINK. ... 175

(15)

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Índice de Figuras.

Figura 2.1 Proceso multivariable con interacción... 3

Figura 2.2 Esquema de la planta de nivel y temperatura de donde se extrajo el modelo bajo estudio. Tomado de [2]... 5

Figura 2.3 Diagrama de bloques de un proceso multivariable de dos entradas y dos salidas, del proceso de nivel y temperatura. ... 6

Figura 3.1: Configuración del control desacoplante de procesos acoplados... 10

Figura 3.2 Controlador y proceso en lazo cerrado. ... 14

Figura 3.3 Relación de f/T con respecto a diferentes valores de T/τ. ... 22

Figura 3.4 Bloque d11 del controlador desacoplante... 36

Figura 3.8 Diagrama de simulink utilizado para realizar las simulaciones con el control desacoplante... 37

Figura 3.10 Bloque utilizado para simular el proceso de nivel y temperatura... 38

Figura 3.10 Comportamiento del nivel y mF ante una entrada escalón en la referencia del nivel y disturbios en mF. ... 39

Figura 3.11 Comportamiento de la temperatura y mC ante una entrada escalón en la referencia del nivel y disturbios en mF... 39

Figura 3.12 Comportamiento de la temperatura y mC ante una entrada escalón en la referencia de la temperatura y disturbios en mC. ... 40

Figura 3.13 Comportamiento del nivel y mF ante una entrada escalón en la referencia de la temperatura y disturbios en mC. ... 40

Figura 4.1 Configuración básica de un sistema difuso con fusificador y defusificador... 46

Figura 4.2. Conjuntos difusos de la variable velocidad de un auto... 56

Figura 4.3 Inferir y=b de x=a y y=f(x)... 62

Figura 4.4 Inferir el intervalo b del intervalo a y el intervalo de una función evaluada f(x)... 62

Figura 4.5 Inferir el conjunto difuso B’ del conjunto difuso A’ y la relación difusa Q. ... 63

Figura 4.6 Representación gráfica del defusificador de centro promedio... 73

Figura 4.7 Conjuntos difusos A ⊂ U de entrada. ... 74

Figura 4.8 Conjuntos difusos B ⊂ V de entrada... 74

Figura 4.9 Conjuntos difusos C ⊂ W de salida. ... 75

Figura 4.10 Función de pertenencia µC’(z) dada por máquina de inferencia producto... 77

Figura 4.11 Arquitectura de un control difuso multivariable... 78

Figura 4.12 Arquitectura de un controlador difuso PI multivariable. ... 80

Figura 4.13 Conjuntos difusos del eN. ... 84

(17)

Figura 4.15 Funciones de membresía del error del nivel. ... 85

Figura 4.16 Funciones de membresía de la derivada del error del nivel... 86

Figura 4.17 Funciones de membresía del error de la temperatura. ... 86

Figura 4.18 Funciones de membresía de la derivada del error de la temperatura... 86

Figura 4.19 Funciones de membresía de la manipuladora de agua fría. ... 90

Figura 4.20 Funciones de membresía de la manipuladora de la temperatura. ... 90

Figura 4.21 Análisis de la respuesta a partir del error y la derivada del error. ... 91

Figura 4.22 Diagrama de simulink utilizado para realizar las simulaciones... 101

Figura 4.27 Conjuntos difusos que se disparan para eN. ... 108

Figura 4.28 Conjuntos difusos que se disparan para ∆eN... 108

Figura 4.29 Conjuntos difusos que se disparan para el eT... 108

Figura 4.30 Conjuntos difusos que se disparan para ∆eT. ... 109

Figura 4.31 Conjuntos difusos de salida para mF. ... 111

Figura 4.32 Conjuntos difusos de salida para mC... 113

Figura 4.33 Arquitectura de un control difuso PI que utiliza el error como entrada... 114

Figura 4.34 Funciones de membresía del error del nivel. ... 117

Figura 4.35 Funciones de membresía del error de la temperatura. ... 117

Figura 4.36 Funciones de membresía de la manipuladora de agua fría. ... 119

Figura 4.37 Funciones de membresía de la manipuladora de agua caliente. ... 119

Figura 4.38 Diagrama de simulink utilizado para realizar las simulaciones del FLC de 25 reglas. ... 123

Figura 5.1 Bloque de SIMULINK utilizado para simular el proceso de nivel y temperatura para las pruebas de robustez... 137

(18)

[image:18.612.108.524.73.528.2]

Figura 5.3 Comportamiento de la temperatura y mC ante una entrada escalón en la referencia del nivel y disturbios en mF para le

proceso modificado. ... 138 Figura 5.4 Comportamiento de la temperatura y mC ante una entrada

escalón en la referencia de la temperatura y disturbios en mC

para el proceso modificado. ... 139 Figura 5.5 Comportamiento del nivel y mF ante una entrada escalón en la

referencia de la temperatura y disturbios en mC para el proceso

modificado... 139 Figura 5.6 Comportamiento del nivel y mF ante una entrada escalón en la

referencia del nivel y disturbios en mF para el proceso

modificado... 140 Figura 5.7 Comportamiento de la temperatura y mC ante una entrada

escalón en la referencia del nivel y disturbios en mF para le

modificado... 142 Figura 5.10 Comportamiento del nivel y mF ante una entrada escalón en la

referencia del nivel y disturbios en mF para el proceso

modificado... 143 Figura 5.11 Comportamiento de la temperatura y mC ante una entrada

escalón en la referencia del nivel y disturbios en mF para le

(19)

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Índice de Tablas.

Tabla 2.1 Ganancias relativas del proceso de nivel y temperatura. ... 7

Tabla 3.1: Evaluación y modificación de tiempos muertos. ... 25

Tabla 3.2 Comportamiento del nivel y temperatura para cambios de referencia en el nivel. ... 42

Tabla 3.3 Comportamiento del nivel y la temperatura ante disturbios en mF. ... 42

Tabla 3.4 Comportamiento del nivel y temperatura para cambios de referencia en la temperatura... 43

Tabla 3.5 Comportamiento del nivel y la temperatura ante disturbios en mC. ... 43

Tabla 4.1. Tabla de verdad de p→q. ... 57

Tabla 4.2 Variables de entrada del control difuso... 81

Tabla 4.3 Variables de salida del control difuso. ... 82

Tabla 4.4 Factores de normalización para el control de nivel y temperatura... 83

Tabla 4.5 Manipulaciones de la válvula de agua fría (mF). ... 88

Tabla 4.6 Manipulaciones de la válvula de agua caliente (mC)... 88

Tabla 4.9 Normalización y etiquetas de las manipulaciones de agua fría... 89

Tabla 4.10 Normalización y etiquetas de las manipulaciones de la temperatura... 89

Tabla 4.11 Análisis de los estados de la salida de un proceso para cambios en referencia... 92

Tabla 4.12 Reglas para un controlador difuso univariable... 94

Tabla 4.13 Manipuladoras de estado estable para los cambios en referencia propuestos... 95

Tabla 4.14 Reglas IF-THEN de FLC de 81 reglas. ... 98

Tabla 4.15 Comportamiento del nivel y temperatura para cambios de referencia en el nivel. ... 105

Tabla 4.17 Comportamiento del nivel y temperatura para cambios de referencia en la temperatura. ... 106

Tabla 4.19 Variables de entrada del control difuso... 115

Tabla 4.24 Normalización y etiquetas de las manipulaciones de agua fría... 118

Tabla 4.25 Normalización y etiquetas de las manipulaciones de agua caliente... 118

Tabla 4.26 Etiquetas para manipulaciones de la válvula de agua fría (mF)... 120

Tabla 4.27 Etiquetas para manipulaciones de la válvula de agua caliente (mC). ... 120

(21)

Tabla 4.29 Comportamiento del nivel y temperatura para cambios de

referencia en el nivel. ... 127

Tabla 4.31 Comportamiento del nivel y temperatura para cambios de referencia en la temperatura. ... 128

Tabla 5.1 Comparación de resultados de los controladores ante un cambio en referencia en el nivel de 30cm a 60cm. ... 132

Tabla 5.2 Comparación de resultados de los controladores ante un cambio en referencia en la temperatura de 35°C a 45°C. ... 133

Tabla 5.3 Comparación de resultados de los controladores ante perturbaciones en la manipuladora de agua fría, mF. ... 134

Tabla 5.4 Comparación de resultados de los controladores ante perturbaciones en la manipuladora de agua caliente, mC... 135

Tabla 5.5 Comparación de resultados de los controladores ante un cambio de referencia en el nivel de 30cm a 60cm para el proceso modificado... 145

Tabla 5.6 Comparación de resultados de los controladores ante un cambio de referencia en la temperatura de 35°C a 45°C para el proceso modificado... 146

Tabla 5.7 Comparación de resultados de los controladores ante perturbaciones en la manipuladora de agua fría, mF, para el proceso modificado... 147

Tabla 5.8 Comparación de resultados de los controladores ante perturbaciones en la manipuladora de agua caliente, mC, para el proceso modificado... 147

Tabla 5.9 Tabla de comparación de controladores para cada prueba... 148

Tabla 5.10 Tabla de evaluación final de los controladores para el proceso sin modificar. ... 149

Tabla 5.11 Tabla de evaluación final de los controladores para el proceso modificado... 150

Tabla 5.12 Tabla global de evaluación final de los controladores. ... 150

Tabla 6.1 Tabla de comparación de controladores para cada prueba... 153

Tabla 6.2 Tabla de evaluación final de los controladores. ... 154

Tabla 6.3 Tabla de evaluación final de los controladores para el proceso modificado... 154

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Capítulo 1 Introducción.

En la industria existe un gran número de procesos donde más de una variable de entrada y más de una variable de salida requieren ser medidas y controladas, algunas veces, por la naturaleza del proceso, otras, para optimizar el uso de recursos y energía. El control de dichos procesos se realiza mediante técnicas de control convencional o de manera manual, es decir, uno o más operadores se encargan de manipular las variables de control. En el primero de los casos, algunas veces se utilizan métodos que no son del todo eficaces, ya que algunos, muy simples, controlan al proceso de manera deficiente, incluso olvidándose de interacciones y acoplamientos, pero son de algún modo fáciles de sintonizar. Otros métodos más complicados, pero efectivos, pierden su capacidad de control cuando el proceso cambia con el tiempo, ya sea porque se define otra zona de operación, porque cambia su comportamiento, es decir, hay un cambio en las constantes del modelo matemático de la planta o por cambios que se realizan al proceso mismo. Esto implica un rediseño de dichos controladores que, como se mencionó, es complicado y requiere estar haciendo pruebas en el proceso.

Además de los métodos tradicionales, los sistemas difusos también han sido o pueden ser aplicados para controlar procesos multivariables. Una de las características más importantes de los sistemas difusos es que pueden tomar el conocimiento de los operadores sobre el control del proceso y de los manuales de operación para desarrollar un control automático. La implementación de dicho conocimiento es posible debido a que los sistemas difusos basan su diseño en variables que toman valores lingüísticos, tales como rápido, lento, caliente, frío, etc. y utilizan reglas IF-THEN(si entonces) que de una manera sencilla expresan las acciones que deben ser ejecutadas para llevar al proceso al estado deseado. De esta manera, las variables lingüísticas y las reglas IF-THEN en conjunto representan un método para expresar el conocimiento empírico de los operadores. Otra característica que tienen los controladores difusos es la capacidad de afrontar los cambios en el comportamiento de los procesos de una manera más flexible y no sufren grandes modificaciones en su diseño.

En esta tesis se desarrollaron tres controladores para automatizar el proceso multivariable de nivel y temperatura estudiado en [2], donde se desarrolló el modelo matemático del proceso. Los controladores diseñados son los siguientes:

• Control desarrollado por la técnica de control desacoplante.

• Control difuso de 81 reglas, utilizando el error y el cambio del error de las variables de salida.

• Control difuso de 25 reglas, utilizando el error de las variables de salida.

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multivariables, tales como el acoplamiento y el pareo. El pareo, es decir, la obtención de los pares entrada-salida más adecuados, se obtiene mediante la técnica de ganancias relativas que es explicada en [15]. En el capítulo dos también se describe el proceso de nivel y temperatura y se presenta el modelo matemático que lo representa.

El capítulo tres muestra el desarrollo del controlador desacoplante para el proceso de nivel y temperatura. Ahí se puede ver el desarrollo matemático para la obtención de las funciones de transferencia discretas y sus ecuaciones de diferencia resultantes que realizan el control desacoplante. Para la obtención de las funciones de transferencia discretas a partir de las funciones de transferencia del proceso y de las funciones de transferencia deseadas para el sistema, se utilizó Matlab. Del mismo modo, se muestran aspectos importantes de la discretización de la planta y las respuestas propuestas, tales como la selección del tiempo de muestreo. También se explica cómo se propusieron las respuestas deseadas del sistema y como se fue afinando el controlador mediante la eliminación de polos de timbre para obtener los mejores resultados. Además, se presentan las simulaciones del controlador desacoplante haciendo uso de SIMULINK y se hace una descripción de cómo se llevo a cabo la simulación. En los Apéndices C y D se muestra en detalle la programación de los bloques de SIMULINK.

En el capítulo cuatro se desarrollaron los controladores difusos. En la primera parte del capítulo se cubren algunos aspectos teóricos de los sistemas difusos que están ligados con el desarrollo de los controladores que se utilizaron. Posteriormente, se estudia la manera en que se aplican los sistemas difusos al proceso de nivel y temperatura. De esta manera, se hace un análisis sobre las variables a utilizar, las adecuaciones que deben tener los datos para que puedan ser evaluados por los sistemas difusos, la forma de evaluar los datos entregados por el proceso, fusificación, y cómo se desarrollaron los datos de salida, defusificación, es decir, las manipulaciones y sus transformaciones para que puedan repercutir de la forma deseada en el control de la planta. El desarrollo de los controladores difusos se baso en la teoría de [11] y [12] y para la obtención de las funciones de membresía de las variables de entrada y salida de los controladores y algunas reglas IF-THEN se utilizó como apoyo [17]. Finalmente se hacen las simulaciones del control del proceso con ayuda del SIMULINK y se explican qué ajustes se dieron para obtener los mejores resultados.

Las tablas comparativas del desempeño de los controladores y las pruebas de robustez de los mismos se presentan en el capítulo cinco. En éste se explica qué factores se tomaron en cuenta para medir el comportamiento de los controladores y se hace una evaluación y comparación de los mismos. Posteriormente se hacen modificaciones al modelo matemático del proceso para probar la robustez de los controladores ante posibles variaciones del 50% en los parámetros del proceso.

(24)

Capítulo 2 Procesos Multivariables Acoplados.

2.1 Introducción.

Los sistemas multivariables son aquéllos en los que una entrada afecta a más de una salida. Estos sistemas contienen más de una entrada y más de una salida y existe acoplamiento en ellos. Se dice que un sistema multivariable está acoplado cuando una entrada afecta a más de una salida y se dice que un sistema interactúa cuando cada una de las entradas del proceso afecta a todas las salidas de éste. En la Figura 2.1 se muestra un esquema que utilizamos para ejemplificar el concepto de un sistema multivariable con interacción.

Figura 2.1 Proceso multivariable con interacción.

En la Figura 2.1, las m’s son las señales de entrada al proceso y las c’s las salidas del sistema. En la industria existen muchos procesos multivariables, particularmente en la industria química. El control de calidad, la seguridad, la optimización del uso de la energía y minimizar costos son algunos de los aspectos que se deben tomar en cuenta a la hora de implementar una estrategia de control en los procesos multivariables. De ahí la importancia de un diseño adecuado de la estrategia de control.

(25)

• Variaciones en el diseño y operación del proceso existente.

• No linealidades del proceso. Variación de las ganancias del proceso.

• Grandes tiempos muertos aparentes y ruido en el proceso.

• El diseño de los PID’s no funciona del todo bien en los sistemas multivariables sobretodo cuando existe mucha interacción, pero si se cuenta con desacopladores se podría llegar a utilizar este método.

• Los procesos multivariables frecuentemente se operan cerca de los niveles críticos.

Un punto muy importante a tomar en cuenta en los procesos multivariables cuando se diseña una estrategia de control es la interacción que existe en el sistema. En los sistemas univariables estábamos acostumbrados a que la salida era un reflejo de una entrada al sistema. En los sistemas multivariables, cuando se pretende mover una salida hasta cierto nivel, se debe tomar en cuenta que al variar las entradas para conseguir dicho fin, también se varía el resto de las salidas. Un control ideal para los sistemas multivariables es aquel que permite variar las entradas de tal manera que se puede mover una o más salidas hasta el nivel deseado sin afectar al resto de las salidas a menos que se desee lo contrario. De esta manera, los sistemas de control para sistemas multivariables además de automatizar el proceso, deben tomar en cuenta el acoplamiento y la interacción. En [13] se explica como un proceso multivariable 2x2 que utiliza 2 PID’s para su control partiendo del supuesto de dos lazos independientes, no es la estrategia de control mas adecuada, ya que no toma en cuenta la interacción.

El primer paso para desarrollar una estrategia de control multivariable es encontrar cuales son las entradas que afectan en mayor medida a las salidas, es decir, se tiene que encontrar que para cada salida la variable de entrada que más afecta a dicha salida. Esta tarea es conocida como pareo y el método utilizado para llevarla acabo es el de ganancias relativas el cual puede encontrarse ampliamente explicado en [15]. De esta manera se optimiza el control del proceso y evitamos desarrollar una estrategia de control que haga inestable el desempeño de la planta. En la sección 2.2 se describe el modelo del proceso utilizado para el desarrollo de los controladores de procesos multivariables y en 2.3 se desarrolla brevemente la técnica de ganancias relativas para encontrar los pares entrada-salida del proceso.

2.2 Descripción del proceso.

(26)

válvulas se comunican a un sistema de computo por medio de una tarjeta de adquisición de datos. El sistema de computo se utiliza para desarrollar los programas con los controladores de la planta. En la Figura 2.2 se muestra un esquema de la planta de nivel y temperatura que fue tomado de [2].

Figura 2.2 Esquema de la planta de nivel y temperatura de donde se extrajo el modelo bajo estudio. Tomado de [2].

(27)

1 125 40 . 6 8 11 + = − s e g s

( 2.1 )

1 121 10 . 2 6 12 + = − s e g s

( 2.2 )

1 17 40 . 0 19 21 + − = − s e g s

( 2.3 )

1 32 35 . 0 11 22 + = − s e g s

( 2.4 )

Como se puede notar, el proceso que estamos analizando tiene dos entradas, flujo de agua caliente y flujo de agua fría; y tiene dos salidas, el nivel y la temperatura. La relación de las entradas con las salidas implica el desarrollo de cuatro funciones de transferencias, dos de ellas modelan el comportamiento del nivel y la temperatura ante una variación en el flujo de agua fría, g11 y g21. Las otras dos funciones de transferencia

modelan el comportamiento del nivel y la temperatura ante el flujo de agua caliente, g12 y g22. En la Figura 2.3 se puede ver un diagrama de bloque de la planta que ejemplifica de

manera gráfica como cada uno de los flujos afecta tanto al nivel como a la temperatura. Además se pueden ver las funciones de transferencia que modelan el comportamiento de las salidas ante las entradas.

(28)

Una vez que ya tenemos el modelo del proceso de nivel y temperatura, lo que falta para poder comenzar a diseñar las estrategias de control para la planta es encontrar los pares variable de control-variable de salida más adecuados, es decir, encontrar qué manipulación afecta en mayor medida a qué salida. En la siguiente sección se utiliza el método de ganancias relativas para encontrar estos pares entrada-salida.

2.3 Ganancias relativas y pareo.

En [15] se puede encontrar una explicación del método de ganancias relativas el caul es utilizado para encontrar los mejores pares de entrada-salida del proceso de nivel y temperatura. La matriz 2.5 muestra las ecuaciones para calcular las ganancias relativas del proceso.

( 2.5 )

Después de encontrar las ganancias de estado estable de cada una de las funciones de transferencia del proceso y de sustituirlas en 2.5 se obtiene la Tabla 2.1.

Tabla 2.1 Ganancias relativas del proceso de nivel y temperatura.

Se puede concluir que el flujo de agua fría tiene un efecto mayor para el control del nivel que el flujo de agua caliente. La ecuación 2.1 representa dicho efecto. También se puede ver cómo la manipulación de agua caliente puede ayudar a controlar de una forma más apropiada a la temperatura. La ecuación 2.4 modela dicho efecto. La acción provocada por el agua fría sobre la temperatura y la acción provocada por el agua caliente sobre el nivel serán consideradas a partir de este análisis como las perturbaciones o las interacciones a desacoplar y su efecto es representado por las ecuaciones 2.2 y 2.3.

(29)

(30)

Capítulo 3 Diseño del Control Desacoplante.

3.1 Introducción

En esta sección se presenta el desarrollo de un controlador bajo el método de control desacoplante para el modelo de la planta de nivel y temperatura presentado en el Capítulo 2. Primero se desarrolla la demostración de las ecuaciones que componen al control desacoplante. Luego, como parte del control desacoplante, se desarrollan las funciones de transferencia de las respuestas de lazo cerrado deseadas para el proceso de nivel y temperatura. Posteriormente se explican las fórmulas utilizadas para discretizar las funciones de transferencia que componen al modelo de la planta y las funciones de transferencia de la respuesta de lazo cerrado deseada. Después se explican algunos conceptos relacionados con la selección del tiempo de muestreo, los tiempos muertos de la planta y la respuesta de lazo cerrado deseada y la discretización de funciones de las funciones de trasferencia. A continuación se muestran las operaciones desarrolladas para discretizar las funciones de transferencia para proceder a utilizarlas en la obtención del control desacoplante.

Cabe señalar, que además de discretizar las funciones de transferencia de manera manual, también se utilizó un programa en MATLAB, Apéndice A, que ayudó no sólo a la obtención de las funciones de transferencia en su forma discreta, sino que también se utilizó para obtener las ecuaciones del control desacoplante. Partiendo de la salida del programa en MATLAB, se realizaron algunas operaciones de manera manual para obtener las funciones de transferencia del controlador desacoplante. A partir de dichas funciones, se afinaron algunos detalles para mejorar el desempeño del controlador, como la eliminación de polos y ceros iguales, así como la eliminación de polos de timbre. Finalmente se procedió a desarrollar simulaciones del control del modelo de la planta de nivel y temperatura mediante el control desacoplante haciendo uso de SIMULINK y se hacen algunos comentarios relacionados con el desarrollo de dicha simulación. En el Apéndice B se muestra como obtener la factorización en términos de primer orden. En el Apéndice C se muestra la programación de los bloques del controlador en SIMULINK.

3.2 Diseño de Controlador Desacoplante.

El diagrama de bloques general del sistema de control desacoplante de un proceso con dos entradas y dos salidas con acoplamiento se muestra en la Figura 3.1 [6]. Ahí se puede ver, que la planta o proceso se representa mediante cuatro funciones de transferencia, g11, g21, g12 y g22. El objetivo del diseño del control es seleccionar un

conjunto de controladores(funciones de transferencia) d11, d21, d12 y d22 que eliminen los

(31)

Figura 3.1: Configuración del control desacoplante de procesos acoplados.

La planta se puede presentar en forma global por la siguiente notación matricial:

            =       2 1 22 21 12 11 2 1 m m g g g g c c

( 3.1 )

o de una forma más general,

c = Gm ( 3.2 )

donde c es un vector de salida del proceso n X 1, G, que es una matriz n X n, son las funciones de transferencia del proceso, m, que es un vector de n X 1, es el vector de manipulaciones de entrada del proceso, y n es el número de variables de salida. Ahora bien:             =       2 1 22 21 12 11 2 1 e e d d d d m m

( 3.3 )

o

(32)

donde D, que es una matriz n X n, contiene las funciones de transferencia del controlador a ser encontradas y e es un vector de errores n X 1.

Las ecuaciones de error de los lazos independientes pueden ser escritas de la siguiente forma:       −       =       2 1 2 1 2 1 c c r r e e

( 3.5 )

o

e = r– c ( 3.6 )

donde r es el vector de entradas n X 1, que sustituyéndolo en la ecuación anterior obtenemos:

m = D(r - c) ( 3.7 )

y sustituyendo este resultado en c = Gm da:

c = GD(r - c) ( 3.8 )

y resolviendo la ecuación para c

-1

= ( + )

c I GD GDr ( 3.9 )

donde I es la matriz identidad n X n.

Para el sistema mostrado en la figura anterior, las funciones de transferencia de lazo cerrado deseadas pueden ser expresadas de la siguiente forma:

            =       2 1 22 21 12 11 2 1 r r q q q q c c

( 3.10 )

Q puede ser definida como una matriz n X n de función de transferencia deseada donde:

c = Qr ( 3.11 )

Comparando las ecuaciones 3.9 y 3.11 se tiene:

(33)

La matriz de funciones de transferencia del controlador puede ser encontrada resolviendo la ecuación anterior para D. El resultado es:

D=G-1Q(I-Q)-1 ( 3.13 )

Eliminación del acoplamiento.

Para el sistema mostrado en la Figura 3.1, el objetivo del diseño es eliminar los efectos de la interacción, es decir, el acoplamiento. Esto se logra haciendo q21=q12=0. La

ecuación 3.14, por lo tanto, debe ser satisfecha: c1 = q11r1 + 0r2

c2 = 0r1 + q22r2

o

Q = _

     22 11 0 0 q q

( 3.14 )

En el caso de la planta:

G = _

     22 21 12 11 g g g g

Realizando las operaciones indicadas en la ecuación 3.13 se tiene:

D =

            − −       − − ∆ 22 22 11 11 11 21 12 22 1 0 0 1 1 q q q q g g g g

Donde ∆ = g11g22 – g12g21 y se obtiene la ecuación 3.15.

D =

            − − − − − − ∆ 22 22 11 11 11 21 22 22 12 11 11 22 1 1 1 1 1 q q g q q g q q g q q g

( 3.15 )

(34)

) 1 ( ₁₁ 11 22 11 q q g d − ∆

= ( 3.16 )

) 1 ( ₂₂ 22 12 12 q q g d − ∆ −

= ( 3.17 )

) 1 ( ₁₁ 11 21 21 q q g d − ∆ −

= ( 3.18 )

) 1 ( ₂₂ 22 11 22 q q g d − ∆

= ( 3.19 )

Es de esta forma como se obtienen las ecuaciones para los controladores de la planta que permiten eliminar el efecto del acoplamiento y darle una respuesta deseada al sistema desacoplado. Se utilizó Matlab para obtener las ecuaciones de los controladores en forma discreta tal y como lo muestra el Apéndice A.

3.3 Desarrollo de los controladores mediante la técnica del control

desacoplante.

El desarrollo de los controladores, como se puede ver en las ecuaciones mencionadas arriba, parte de un modelo de la planta multivariable representado por las ecuaciones 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 y de las respuestas deseadas para los lazos independientes de los pares de entrada-salida de la planta mostrado por la ecuación 3.14.

Este modelo fue obtenido de la identificación de un proceso de nivel y temperatura de [2]. Ahora bien, las respuestas deseadas de los procesos desacoplados se obtienen a partir de varios criterios. En realidad la respuesta deseada, es una respuesta propuesta y que se va ajustando de acuerdo a las limitaciones del sistema y ciertos criterios como la selección del tiempo de muestreo, constante de tiempo y tiempo de establecimiento. Para la obtención de las respuestas propuestas, nos basamos en el diseño de controladores de Dahlin[5]. A continuación presentamos el procedimiento y aspectos que se tomaron en cuenta en la selección de las respuestas propuestas.

3.3.1 Obtención de las respuestas propuestas.

(35)

lazo cerrado univariable con una función de transferencia de primer orden con tiempo muerto [5]. De hecho, en su configuración, el control desacoplante construye los controladores, basándose en respuestas de lazo cerrado univariable.

Ahora bien, un lazo cerrado de la forma que se presenta en la Figura 3.2 con su planta y controlador, se puede representar mediante la ecuación 3.20. Despejando esa fórmula podemos obtener la función de transferencia del controlador que se muestra en la ecuación 3.21.

Figura 3.2 Controlador y proceso en lazo cerrado.

( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

c

G s G s y s

r s = +G s G s ( 3.20 )

1 ( ) / ( ) ( )

( ) 1 [ ( ) / ( )]

c

y s r s G s

G s y s r s

= ⋅

− ( 3.21 )

Para procesos de primer orden con tiempo muerto de la forma representada por la ecuación 3.22:

( )

1

s p p

K e G s

s

θ

τ

−

=

+ ( 3.22 )

y utilizando el controlador de Dahlin que requiere una función de transferencia deseada igual a la ecuación 3.23:

( )

( ) 1

s

y s Ke

r s s

θ

λ

−

=

+ ( 3.23 )

(36)

la información necesaria para desarrollar las respuestas propuestas para los lazos univariables que se forman del sistema MIMO.

En cuanto al tiempo muerto, ya se menciono que debe ser igual al del proceso, en nuestro caso, como el proceso se representa por cuatro funciones de transferencia donde dos representan el efecto de las entradas sobre una salida y las otras dos representan el efecto de las mismas entradas sobre la otra salida, se tomo el tiempo muerto de la función de transferencia que tenía un tiempo muerto mayor para una salida dada. Por ejemplo, el nivel, es afectado por g11 y g12 cuyos tiempos muerto son 8 y 6. En este caso g11 tiene el

tiempo muerto mayor sobre el nivel, por lo tanto, el tiempo muerto de la función que representa al lazo cerrado se definió como 8. En cuanto a la temperatura, las funciones de transferencia que la afectan son la g21 y la g22, donde la g21 tiene el tiempo muerto

mayor, es decir, 19, por lo que se asigno dicho tiempo muerto a la función de transferencia que representa al lazo cerrado donde la salida es la temperatura.

Finalmente, la constante de tiempo que es el único parámetro que se puede utilizar para sintonizar el controlador, se definió después de hacer algunas pruebas. Para comenzar cada constante de tiempo que se revisaba se obtenía promediando las constantes de tiempo de las funciones de transferencia que representaban un efecto sobre cada salida. Por ejemplo:

11 12 11 125 121 123 2 2 τ τ λ = + = + = 21 22 22 17 32 24.5 2 2 τ τ λ = + = + =

Después de que se revisaba el funcionamiento de dichas constantes de tiempo, se procedía a hacer otra prueba con constantes menores que se obtenían dividiendo las anteriores entre 2. De esta manera, la función de lazo cerrado para el nivel quedo con una constante de tiempo de 30.75 y la función de lazo cerrado de la temperatura con una constante de tiempo de 12.25. Las ecuaciones 3.24 y 3.25 representan la respuesta deseada de los lazos cerrados del nivel y de la temperatura respectivamente.

1 75 . 30 8 11 + = − s e q s

( 3.24 )

1 25 . 12 19 22 + = − s e q s

( 3.25 )

(37)

transferencia de la planta. Posteriormente, se obtendrán las funciones de la planta en su forma discreta.

3.3.2 Demostración de fórmula para discretizar una función de transferencia en el dominio de la Laplace.

El modelo discreto general se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

      ₋ Ζ = − ) ( 1 )

( Gp s

s e z

HGp

sT

( 3.26 )

pero como esT= z, podemos sacar el factor 1 – e -sT = 1 – z-1

      Ζ − = − s s Gp z z

HGp( ) (1 1) ( ) ( 3.27 )

Ahora, considerando un proceso con tiempo muerto, factorizando el tiempo muerto de la siguiente forma:

( )Gp s =G_pst( )s e−θs ( 3.28 )

La función de transferencia de pulso del proceso + ZOH sería:

1 ( )

1

( ) Z ( ) (1 )

st s

sT

p

sT s

p

G s e

e

HGp z G s e z

s s θ θ − − − −    ₋    =  = − Ζ       

( 3.29 )

Ahora bien, ya que en las tablas no aparecen expresiones en Laplace que involucren al tiempo muerto e-θs, se requiere utilizar la transformada Z modificada:

{

( )

}

=Ζ

{

( ) (1 )

}

0< <1

Ζ_m G s G S e− −mTs m ( 3.30 )

Expresando θ de la siguiente manera: θ = NT + f donde N sea el mayor entero tal que

f < T. De esta manera:

          Ζ − = − − − s e e s G z z HGp fs NTs st

p ( )

) 1 ( )

( 1 ( 3.31 )

pero e-NTs = (eTs)-N = z-N. Además, definiendo f mT T

f

(38)

          Ζ − = − − − − s e s G z z z HGp Ts m st p N ) 1 (

1 ( )

) 1 ( )

( ( 3.32 )

por lo que finalmente:

          Ζ − = − − s s G z z z HGp st p m

N ( )

) 1 ( )

( 1 ( 3.33 )

donde: _

     = T

N θ , f =θ −NT ,

T f

m=1− y Gst_p es la función de transferencia sin el tiempo muerto.

3.3.2.1 Caso de tiempo muerto entero.

Asumiendo que el sistema es lineal o que puede aproximarse alrededor de su punto de operación, se utiliza la función de tranferencia pulso para discretizar las funciones de transferencia en el dominio de Laplace. Abajo se muestra la fórmula general de una función de transferencia discretizada.

na na d nb nb d d z a z a z a z b z b z b z U z Y z

HGp ₋ ₋ ₋

− − − − − − + + + + + + + = = ... 1 ... ) ( ) ( ) ( ₂ 2 1 1 2 2 1 1

( 3.34 )

Los órdenes de los polinomios na y nb quedan definidos por el orden del proceso continuo bajo análisis y su tiempo muerto. Para el caso de un proceso de primer orden continuo con tiempo muerto tal que NT = θ como se muestra en la ecuación 3.35, se obtendran sus polinomios, así como las fórmulas para obtener los valores de las a’s y las b’s. 1 ) ( + = − s Ke s Gp s τ θ

( 3.35 )

partiendo de la ecuación 3.27 y la ecuación 3.28 para discretizar una función de transferencia en el dominio de s con tiempo muerto, se sustituye 3.35 y se obtiene la ecuación 3.36:

1

( ) (1 )

1

( )

N

HGp s K z z

s s τ τ − −     = − Ζ   ₊   

(39)

donde NT = θ por lo que el tiempo muerto se representa por N retrasos de un tiempo T

mediante el término z−N que se factoriza de la función de transferencia del proceso, ecuación 3.35 y se saca multiplicando a la función que resulte del cálculo de la transformada Z en la ecuación 3.36.

De la tabla de transformadas Z se tiene que:

) ( 1 ) ( a s s s E +

= _{( )} 1 1

1

aT

e E z

a z z e

− −   =  −  − −  

A partir de la ecuación 3.36 y de la fórmula extraida de las tablas de transformada Z se obtiene la ecuación 3.37:

1

1 1

( ) (1 )

1 ₁

T N

T

K e

HGp z z z

z z e τ τ τ τ − − − −     = − _ − _ −  ₋   

( 3.37 )

donde

τ

1

=

a . Haciendo algo de álgebra se obtiene la ecuación 3.38 y 3.39:

) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 1 − − − − − − − = z e z e K z HGp _T N T τ τ

( 3.38 )

) 1 ( ) ( ₁ 1 1 1 − − − + = z a z b z HGp N

( 3.39 )

donde: ) 1 ( 1 τ T e K

b = − − ( 3.40 )

τ

T

e

a₁=− − ( 3.41 )

(40)

3.3.2.2 Caso de tiempo muerto con parte fraccionaria.

Para el caso de un proceso de primer orden continuo con un tiempo muerto tal que

NT + f = θ, se obtendran sus polinomios, así como las fórmulas para obtener los valores de las a’s y las b’s. Teniendo en cuenta la fórmula 3.33 para discretizar una función de transferencia en el dominio de s con tiempo muerto, se sustituye Gp(s) y obtenemos la ecuación 3.42:           + Ζ − = − − ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( 1 τ

τ z z _s _s

K z

HGp N _m ( 3.42 )

donde _

     = T

N θ y NT≠θ, entonces f =θ −NT ≠0 y

T f

m=1− donde 0<m<1.

De la tabla de transformadas Zm se tiene que:

) ( 1 ) ( a s s s E + = _      − − − = ₋ − aT amT e z e z a m z E 1 1 1 ) , (

Por lo que a partir de la ecuación 3.42 y de la fórmula extraida de las trablas de transformada Zm se obtiene la ecuación 3.43:

          − − − − = − − − − T mT N e z e z z z K z HGp τ τ τ τ 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( )

( ( 3.43 )

donde

τ

1

=

a y

T f

m=1− . Haciendo algo de álgebra se obtienen las ecuaciones 3.44 y 3.45: 1 2 1 1 ) ( ) 1 ( ) ( − − − − − − − − − − − + − = z e z e e K z e K z HGp _T N T T m N T m τ τ τ τ

(41)

1 1 2 2 1 1 1 ) ( ₋ − − − − + + = z a z b z b z HGp N N

( 3.45 )

donde: ) 1 ( 1 τ T m e K

b = − − ( 3.46 )

) ( 2 τ τ T T m e e K

b = − − − ( 3.47 )

τ

T

e

a₁=− − ( 3.48 )

De esta manera, a partir de las ecuaciones 3.45, 3.46, 3.47 y 3.48 se van a discretizar las funciones de transferencia de primer orden con tiempo muerto con parte fraccionaria. Es así, como quedan demostradas las fórmulas que se utilizaran más adelante para discretizar las funciones de transferencia de la planta, así como las funciones de transferencia propuestas para los lazos cerrados independientes y desacoplados.

3.3.2.3 Demostración de selección del T en base al tiempo muerto.

El tiempo de muestreo utilizado en un sistema discreto tiene un efecto sobre el comportamiento del proceso en lazo cerrado. De este modo, resulta importante observar que además de tomar en cuenta las recomendaciones para la selección de un tiempo de muestreo también se debe notar que éste afecta la ubicación de los ceros del proceso pudiendo hacer que queden fuera del círculo unitario. Esto es especialmente importante cuando en el diseño del controlador se utilizan polos de cancelación, es decir, que los polos del controlador son igulaes a los ceros de la planta. De esta manera, si el controlador tiene polos fuera del círculo unitario, se tendra un controlador inestable.

Tomando en cuenta lo anterior, se debe hacer un análisis que permita seleccionar un tiempo de muestreo de tal modo que los ceros del proceso se mantengan dentro del círculo unitario y de esta manera garantizar un controlador estable. La relación f T/ es de gran utilidad para realizar dicho análisis. A continuación se mostrara que cuando

/ 0.5

f T < se obtiene una función de transferencia discreta de un proceso de primer orden con ceros dentro del círculo unitario. Sea Gp(s) una función de transferencia de primer orden con tiempo muerto como se muestra en la ecuación 3.49:

1 ) ( + = − s Ke s Gp s τ θ

(42)

A partir de las ecuaciones 3.45, 3.46, 3.47 y 3.48 se obtiene la HGp(z) que es la representación discreta de 3.49 con tiempo muerto que incluye fracción del tiempo de muestreo. Ahora bien, el cero de HGp(z) se puede deducir igualando a cero el numerador de 3.45 como se ve a continuación:

1 2

1 2 0

b z− +b z− =

y el cero de esta ecuación es el que se muestra en la ecuación 3.50.

2

1

b z

b

= − ( 3.50 )

de esta manera el cero estara dentro del circulo unitario sí y sólo sí |b2| < |b1|. A partir de

3.50 se analizan las condiciones en las cuales el cero queda dentro del círculo unitario. Sustituyendo las ecuaciones 3.46 y 3.47 en 3.50 se obtiene la ecuación 3.51 que es la 3.50 igualada a –1 garantizándose que el cero de la planta esté dentro del circulo unitario.

( ) 1 (1 ) T T m T m

K e e

z K e τ τ τ − − − − = − = − −

( 3.51 )

despejando m se tiene:

1 ln 2 T e m T τ τ  + −  = − _ _    

( 3.52 )

tomando en cuenta que

T f

m=1− y sustituyendo en 3.52 se tiene la ecuación 3.53:

1 1 ln 2 T f e T T τ τ  + −  = + _ _    

( 3.53 )

(43)

que /f T debe ser menor o igual a 0.5 para que el cero este dentro del circulo unitario y el controlador sea estable.

Figura 3.3 Relación de f/T con respecto a diferentes valores de T/ττττ.

Cabe mencionar que la ecuación 3.53 únicamente estable la relación de f T/ para ceros en el círculo unitario, es decir la línea que resulta de evaluar la ecuación 3.53 muestra cual es la relación f T/ para que los ceros del proceso estén en el círculo unitario. Por otro lado, la relación de f T/ para un cero fuera del círculo unitario se ubica arriba de la línea dada por la ecuación 3.53. Para mostrar esto se utiliza el siguiente ejemplo. Supóngase que se tiene un T=5 entonces

8 1 5

N T

θ

   

=_{ }=_{ }=

    y f = −θ NT = −8

( )( )

1 5 =3

por lo tanto,

f T/ =0.6 y 1 1 3 0.4

5

f m

T

= − = − =

(44)

( ) ( ) 5 5 0.4 125 125 2 5 0.4 1 125 ( ) 1.47

(1 ) 1

T T

m

T m

b K e e e e

z b

K e e

τ τ τ − − − − − − − − = − = − = − = − − −

Como se puede ver la relación f T/ fue mayor a 0.5 y esto generó un cero fuera del círculo unitario. Ahora, para mostrar que para valores f T/ debajo de la línea dada por la ecuación 3.53 se obtienen ceros dentro del círculo unitario, se utiliza el siguiente ejemplo. Suponga un tiempo de muestreo, T=6 entonces

8 1 6 N T θ     =_{ }=_{ }=

    y f = −θ NT = −8

( )( )

1 6 =2

por lo tanto,

f T/ =0.333 y 1 1 2 0.667

6

f m

T

= − = − =

entonces de la ecuación 3.50 y 3.51 se tiene lo siguiente:

( ) ( ) 6 6 0.667 125 125 2 6 0.667 1 125 ( ) 0.4881

(1 ) 1

T T

m

T m

b K e e e e

z b

K e e

τ τ τ − − − − − − − − = − = − = − = − − −

Como se puede ver, la relación f T/ es menor que 0.5, es decir es menor que los valores dados por la ecuación 3.53. Además, el cero que se obtuvo está dentro del círculo unitario. De manera general se puede decir que para discretizar una función de transferencias de primer orden con tiempo muerto con parte fraccionaria debe cumplir la siguiente desigualdad para garantizar la estabilidad del sistema.

0.5

f T ≤

(45)

3.3.3 Discretización de las funciones de transferencia de la planta y de las respuestas propuestas.

En esta sección se presenta el proceso de discretizar las funciones de transferencia de la planta y las funciones de transferencia deseadas, así como algunos aspectos que se tomaron en cuenta para llevarla acabo. Para discretizar las funciones de transferencia de primer orden se pueden utilizar las ecuaciones 3.39, 340 y 3.41, donde la ecuación 3.39 ofrece un modelo general para transformar una función de transferencia de primer orden continua en una discreta donde el tiempo muerto no tenga parte fraccionaria, es decir, que

0

f = −θ NT = . Las ecuaciones 3.40 y 3.41 se utilizan para obtener los coeficientes de la ecuación 3.39.

Por otro lado, la ecuación 3.45 es utilizada para discretizar las funciones de transferencia de primer orden continuas a discretas donde el tiempo muerto, θ, tiene parte fraccionaria, es decir, f = −θ NT ≠0. Esta ecuación se extrae de la fórmula para obtener la transformada Z modificada. Las ecuaciones 3.46, 3.47 y 3.48 se utilizan para obtener los coeficientes de la ecuación 3.45.

(46)

(47)

En la Tabla 3.1 se puede ver que se calcularon las modificaciones necesarias en los tiempos muertos para tiempos de muestreo de 2, 4, 5 y 6 segundos. Los tiempos de muestreo de 2 y 4 segundos no se utilizaron, ya que la N que resulta de utilizar dichos tiempos de muestreo origina una explosión de términos, es decir, las ecuaciones de los controladores resultantes utilizando esos tiempos de muestreo, tendrían muchos términos, polos y ceros, que pueden originar inestabilidad en el sistema, así como el efecto de timbre. A partir de esto, se observó que un T de 5 ó 6 segundos podía ser utilizado. Después de hacer varias simulaciones del control desacoplante con estos tiempos de muestreo en SIMULINK, se observó que los mejores resultados se obtenían con un tiempo de muestreo de 6s. Es por esto, que se utilizó ese tiempo de muestreo para mostrar el proceso de discretización de la planta y las funciones de transferencia de lazo cerrado deseadas.

Calculo de la matriz del proceso HGp(z) para T=6 siguiendo las indicaciones de la Tabla 3.1

El cálculo de las funciones de transferencia discretas de la planta se puede obtener a través del programa de MATLAB mostrado en el Apéndice A.

Calculo de G11(z) utilizando las ecuaciones 3.46, 3.47 y 3.48:

1 125 40 . 6 8 11 + = − s e g s 201 . 0 ) 1 ( 40 . 6 125 6 ) 6667 . 0 (

1= − =

− e b 0984 . 0 ) ( 40 . 6 125 6 125 6 ) 6667 . 0 (

2 = − =

− − e e b 9531 . 0 125 6

1 =− =−

− e a 1 3 2 11 9531 . 0 1 0984 . 0 201 . 0 ) ( ₋ − − − + = z z z z G

Calculo de G12(z) utilizando las ecuaciones 3.40 y 3.41:

1 121 10 . 2 6 12 + = − s e g s 1016 . 0 ) 1 ( 10 . 2 121 6 ) 1 (

1= − =

− e b 9516 . 0 121 6

1 =− =−

(48)

Calculo de G21(z) utilizando las ecuaciones 3.46, 3.47 y 3.48: 1 17 40 . 0 19 21 + − = − s e g s 102 . 0 ) 1 ( 40 . 0 17 6 ) 8333 . 0 (

1=− − =−

− e b 017 . 0 ) ( 40 . 0 17 6 17 6 ) 8333 . 0 (

2 =− − =−

− − e e b 7026 . 0 17 6

1 =− =−

− e a 1 5 4 21 7026 . 0 1 017 . 0 102 . 0 ) ( ₋ − − − − − = z z z z G

Calculo de G22(z) utilizando las ecuaciones 3.40 y 3.41:

1 32 35 . 0 11 22 + = − s e g s 0598 . 0 ) 1 ( 35 . 0 32 6 ) 1 (

1= − =

− e b 8290 . 0 32 6

1 =− =−

− e a 1 3 22 8290 . 0 1 0598 . 0 ) ( ₋ − − = z z z G

Calculo de la Matriz del proceso Q(z) para T=6 siguiendo las indicaciones de la Tabla 3.1

Para eliminar el acoplamiento q₁₂ =q₂₁ =0

Calculo de q11(z) utilizando las ecuaciones 3.46, 3.47 y 3.48:

1 75 . 30 8 11 + = − s e q s 122 . 0 ) 1

( 30.75 6 ) 667 . 0 (

1= − =

− e b 0552 . 0 )

( 30.75

6 75 . 30 6 ) 667 . 0 (

2 = − =

− − e e b 8227 . 0 75 . 30 6

1 =− =−

(49)

Calculo de q22(z) utilizando las ecuaciones 3.46, 3.47 y 3.48: 1 25 . 12 19 22 + = − s e q s 3351 . 0 ) 1

( 12.25 6 ) 8333 . 0 (

1= − =

− e b 0521 . 0 )

( 12.25

6 25 . 12 6 ) 8333 . 0 (

2 = − =

− − e e b 6128 . 0 25 . 12 6

1 =− =−

− e a 1 5 4 22 6128 . 0 1 0521 . 0 3351 . 0 ) ( ₋ − − − + = z z z z q

A partir de estas ecuaciones discretizadas, se puede proceder con el desarrollo de las ecuaciones de los controladores.

3.3.4 Obtención de los controladores mediante la técnica del control desacoplante.

El cálculo de las ecuaciones de los controladores se hizo utilizando el Matlab, ver Apéndice A y Apéndice B. Cabe mencionar que se simplificó la salida dada por Matlab eliminando algunos términos comunes en unos casos y en otros cancelando los polos de timbre, es decir, los que hacen oscilar mucho la manipuladora. A continuación se explica en que consiste el fenómeno de timbre y como es eliminado, posteriormente se muestran las ecuaciones de los controladores y algunos ajustes hechos a estos.

Timbre. Juzgar el comportamiento de un algoritmo de control únicamente por la salida y(t), generalmente no es suficiente. Otro aspecto a tomar en cuenta, es el comportamiento de la señal m(t), es decir, de la manipuladora, ya que si ésta presenta mucho movimiento u oscilaciones(fenómeno conocido como timbre), puede ocasionar un desgaste del elemento de control. Por ejemplo, si un algoritmo de control acciona una válvula, con mucho movimiento, para controlar determinado proceso, puede ocasionar un deterioro de esta en un plazo más corto.

La localización de polos y ceros tiene un efecto sobre el timbre en la manipulación. El punto z = -1 es llamado el nodo de timbre y el polo en z = -1 es conocido como el polo de timbre. Además, de un análisis de las manipuladoras, modificando el polo z = -1 a valores entre -1 y 0 se llega a la conclusión de que los polos entre más cercanos a –1, más propician el timbre en la manipuladora. Los ceros en la parte positiva del circulo unitario también tienen cierto efecto de timbre en la manipuladora [16].