TEMA 3: POLINOMIOS Y ECUACIONES
1. Expresiones algebraicasUna expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones para reflejar de forma generalizada la relación que existe entre varias magnitudes y poder así realizar un cálculo de esa relación en función de los valores que tomen las diferentes magnitudes.
Expresiones algebraicas podrían ser:
- Suma de cuadrados: a2 + b2
- Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y
- Suma de varias potencias de un número: a4 + a3 + a2 + a 2. Monomios
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.
Se llama coeficiente de un monomio al número que aparece multiplicando a las letras y normalmente se coloca al principio. Se llama literal de un monomio a las letras, con sus correspondientes exponentes y se denomina grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras
Son monomios semejantes entre sí aquellos que tienen la misma parte literal con los mismos exponentes. Por lo tanto, dos monomios semejantes sólo se pueden diferenciar en el coeficiente y siempre tendrán el mismo grado.
2.1. Suma y resta de monomios
Para sumar o restar dos monomios estos tienen que ser semejantes, de manera que la suma o resta de monomios es otro monomio semejante a ellos y que tiene por coeficiente la suma o diferencia, según el caso, de los coeficientes.
2.2. Producto de monomios
Para multiplicar monomios se debe recordar el producto de potencias, que como sabemos, se puede realizar sólo si tienen la misma base.
Por lo tanto, para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes de cada uno de ellos entre si y las potencias que tengan la misma base de cada uno, dejando las de distinta base como estén.
3. Polinomios
3.1. Definición y ejemplos de polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. Son polinomios las expresiones siguientes: 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3x4 y -2x3 + 3x2 - 2x + 5
Respecto al grado de un polinomio, se dice que tiene por grado el mayor de los grados de los monomios que lo forman.
3.2. Suma y resta de polinomios
La suma de polinomios se basa en la de monomios ya que sólo se podrán sumar los términos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de la suma.
Por lo tanto, para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos.
3.3. Producto de polinomios
3.4. Igualdades notables
Se denominan así a algunas operaciones con polinomios de especial interés ya que aparecerán frecuentemente en los cálculos. Las más usuales son las siguientes:
Cuadrado de un binomio : suma (a + b)2 o diferencia (a - b)2
Naturalmente realizar un cuadrado es multiplicar el binomio por sí mismo, luego:
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
"El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más dos veces el primero por el segundo más el cuadrado del segundo”
De modo similar:
(a + b)2 = a2 - 2ab + b2 (igual que antes pero cambiando el signo central).
Suma por diferencia: se refiere al producto de la suma de dos monomios por la diferencia de ellos mismos:
(a + b) · (a - b) = a2 - ab + ba + b2 = a2 – b2
Siempre recordamos que " suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados".
Cubo de una suma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3
Cuadrado de un trinomio: (a + b + c)2 = a2+ b2 +c2 + 2ab+ 2ac + 2bc
3.5. División de polinomios
La división de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando.
3.6. Regla de Ruffini
Cuando tenemos que dividir un polinomio, P(x), por un binomio de la forma (x-a), se puede hacer de manera sencilla aplicando la regla de Ruffini, la cual nos dice:
a) El cociente de dividir un polinomio P(x) decreciente y de grado n por un binomio (x-a) es otro polinomio C(x) decreciente, de grado n-1, y tal que: Su primer coeficiente coincide con el primer coeficiente del dividendo. Cada uno de los sucesivos coeficientes del cociente se obtiene
multiplicando el anterior por a, y sumando a este producto el coeficiente del dividendo que ocupa el mismo lugar.
b) El resto R(x) de la división se obtiene multiplicando el último coeficiente del cociente por a y sumando a este producto el término independiente del dividendo.
Nota: Cuando el divisor es un binomio de la forma (x+a), se aplica la misma regla anterior, considerando que (x+a) = x-(-a).
3.7. Teorema del resto
El teorema del resto o teorema de Ruffini se enuncia de la siguiente forma: “El resto de la división del polinomio P(x) por el binomio (x-a) es el valor numérico, P(a), de este polinomio, cuando se sustituye x por a.”
Consecuencias inmediatas de este teorema son las siguientes:
a) Si el polinomio P(x) es divisible por (x-a), el valor numérico del polinomio para x=a es nulo, o sea P(a)=0.
3.8. Descomposición factorial de polinomios
Descomponer un polinomio en factores significa transformar el polinomio en productos de otros polinomios de grado inferior.
Según el caso, podemos utilizar varios métodos para descomponer polinomios en factores, siendo los más importantes los siguientes:
Sacar factor común: Es la operación inversa a la propiedad distributiva del producto respecto a la suma: ab + ac = a (b + c). El factor común tiene que multiplicar a todos los factores del polinomio y, en general, es el máximo común divisor (m.c.d.) de los términos del polinomio.
Aplicar las igualdades notables: Cuadrado de un binomio, suma por diferencia, etc.
Descomposición conociendo sus ceros: Si P(x) es un polinomio de grado n, y x1, x2, … xn son ceros de P(x), entonces éste se puede descomponer
en un producto cuyos factores son el coeficiente del término de mayor grado y los binomios (x-x1), (x-x2), (x-x3),…(x-xn) es decir:
P(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn)
4. Ecuaciones 4.1. Definiciones
Al comparar dos expresiones algebraicas mediante el signo matemático “igual” (=), creamos una igualdad. Esta igualdad puede observar tres tipos de soluciones: 1ª.- Que tenga infinitas soluciones y se denomina identidad. Una identidad es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es cierta para cualquier valor de las letras que intervienen. Las identidades sirven para transformar expresiones algebraicas en otras más cómodas de manejar.
Ejemplo: 3b = b + b + b
Podemos dar cualquier valor a “b” y siempre se cumplirá la igualdad. 2ª.- Que tenga una sola solución y se denomina ecuación.
Ejemplo: x = 3 + 1
Solamente dando el valor 4 a “x” se cumplirá la igualdad.
3ª.- Que la ecuación no tenga solución y dará igualdades del tipo 3=7 o 1=2. 4.2. Elementos de una ecuación
En toda ecuación se identifican unos elementos que la conforman: Términos: Son cada uno de los monomios que forman la ecuación.
Miembros: Son los polinomios que se encuentran a ambos lados del signo igual. El primer miembro a la izquierda del signo y el segundo a la derecha.
Incógnita: Es la parte literal (habitualmente x) que es objeto del cálculo.
Las ecuaciones se clasifican según el grado del polinomio que las componen. De este modo podemos tener:
Ecuaciones de primer grado: 2x -1 = x + 2 Ecuaciones de segundo grado: 2x + 3 = x2 – 5
4.3. Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten las mismas soluciones. Así se cumplen las siguientes propiedades:
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero obtenemos una equivalente a la primera.
Aplicando las reglas anteriores deducimos dos reglas prácticas de la Trasposición de términos:
Si un número aparece en un miembro sumando, se le puede pasar al otro miembro restando. Si está restando, pasará sumando.
Si un número está multiplicando en un miembro, pasará al otro dividiendo y al revés.
4.4. Ecuaciones de primer grado
La forma general de las ecuaciones de primer grado es: ax + b = 0 con a ≠ 0 donde se llega a la solución
Solución que siempre existe y es única.
Pasos para resolver una ecuación de primer grado
Para resolver ecuaciones de primer grado debemos de obtener la forma general de estas ecuaciones y para ello realizaremos los siguientes pasos:
1º- Eliminación de denominadores:
Si existen denominadores se eliminarán, aplicando el procedimiento del mínimo común múltiplo.
2º- Eliminación de paréntesis:
Si existen paréntesis se opera para eliminarlos, teniendo buen cuidado de ir multiplicando los signos correspondientes. Para ello hay que tener en cuenta las reglas de los signos.
3º- Transposición de términos:
Se adopta el criterio de dejar en un miembro los términos que posean la incógnita y se pasan al otro miembro los demás. La transposición de términos se rige por las reglas:
- Cualquier término que esté en un miembro sumando pasa al otro restando, y viceversa.
- Cualquier término que esté en un miembro multiplicando pasa al otro dividiendo, y viceversa.
4º- Reducción de términos semejantes: Se suman los términos de uno y otro miembro. 5º- Despeje de la incógnita:
Se deja la incógnita totalmente aislada y con signo positivo. 4.5. Ecuaciones de segundo grado
Son ecuaciones de segundo grado aquellas que tienen la incógnita elevada al cuadrado (exponente 2). La forma general de una ecuación de segundo grado es:
ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0
Al elemento D = b2 – 4ac se le denomina discriminante de la ecuación de 2º grado y se verifica que:
Si D > 0 la ecuación tiene dos soluciones. Si D = 0 la ecuación tiene un única solución.
Si D < 0 la ecuación no tiene ninguna solución real.
Ecuaciones incompletas: En las ecuaciones de segundo grado nos podemos encontrar que:
Si c=0, la ecuación se reduce a ax2 + bx = 0 y este tipo de ecuación siempre tiene dos soluciones ya que si sacamos factor común x se tiene:
Si b=0, la ecuación se reduce a ax2+ c = 0, que puede tener dos soluciones opuestas o ninguna solución dependiendo de si el radicando es positivo o negativo, ya que como solución tendremos:
4.6. Ecuaciones irracionales
Se denominan ecuaciones irracionales a aquellas en las que la incógnita aparece bajo un radical, como por ejemplo:
Para resolver este tipo de ecuaciones debemos seguir los siguientes pasos: 1º- Se aísla la raíz.
2º- Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad. 3º- Se resuelve la ecuación de segundo grado que resulta. 4º- Se comprueban las soluciones para encontrar la solución.
4.7. Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente, como por ejemplo:
22x-1 = 4
Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta las propiedades de las potencias y de los logaritmos, ya que cuando nos enfrentamos a una ecuación exponencial esta puede tener distintas formas y por ello vamos a utilizar distintos métodos y transformaciones para resolver cada uno de los tipos más comunes:
- Por Reducción a igual base:
22X-1 = 22 2x-1 = 2 x = 3/2
-Por logaritmación: Si tenemos que ax = b, hacemos:
1 0x + 2 = 5 lo g 10x + 2 = l o g 5 ( x+ 2 ) · l o g 10 = l o g 5
( x + 2 ) = l o g 5 x = l o g 5 - 2 = - 1, 30 10
- Por cambio de variable:
Se realiza el cambio de variable 3x = z, por lo que 32x = z2, y tenemos:
Se deshace el cambio de variable:
La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3x = - 2 no puede cumplirse.
4.8. Ecuaciones logarítmicas
Una ecuación logarítmica es aquella cuya incógnita forma parte de una expresión sometida a la operación logaritmo:
log x3 = log 6 + 2log x
Como ocurre con las ecuaciones exponenciales, no existe un método general que permita resolver las ecuaciones logarítmicas. Los casos más comunes se resuelven por alguno de los siguientes métodos:
a) Transformando la ecuación logarítmica en una ecuación exponencial. Para ello se aplica la definición de logaritmo:
loga x = y ay = x a > 0 y a ≠ 1
b) Aplicando en la ecuación las propiedades de los logaritmos hasta conseguir expresarla de la forma log P(x) = log Q(x) y así poder decir que P(x)=Q(x) y resolver esta ecuación.
Resolución de problemas mediante ecuaciones
5. Sistemas de Ecuaciones
Varias ecuaciones con varias incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común, así tendremos:
La solución de un sistema es un conjunto de números x1, y1, z1, etc. tales que
reemplazando x por x1, y por y1, z por z1, etc. se satisfacen a la vez ambas todas las
ecuaciones. Por ejemplo x=2 e y=3 son soluciones del sistema siguiente:
Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus soluciones: 1. Incompatible: No tiene solución.
2. Compatible: Tiene solución.
a. Compatible determinado. Única solución.
b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones.
Discutir un sistema es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.
Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.
Criterios de equivalencia en sistemas de ecuaciones
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
4º Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
5.1. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
a. Sustitución:
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo:
Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación):
Y la reemplazamos en la otra ecuación, con lo que tenemos:
Operamos para despejar la única variable existente ahora:
Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones:
Hallamos la respuesta x=4, y = 2. b. Igualación:
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo:
Tenemos que resolver el sistema:
Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y):
Luego:
Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):
Operamos para hallar el valor de y:
Y por lo tanto, y=2.
Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):
Ahora sí, podemos asegurar que x= 4 e y = 2 c. Reducción:
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo:
Tenemos que resolver el sistema:
Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero?
La respuesta es -2. Veamos:
Con lo que obtenemos:
-7y = -14 y = 2 Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:
