ıa de Ejercicios para PEP N ◦1

(1)

Departamento de Matem´

atica y C.C.

Ingenier´

ıa Civil

Gu´

ıa de Ejercicios para PEP N

◦

₁

Coordinador de ´

Algebra

Ricardo Santander Baeza

Mayo del 2010

La matemática viene impresa en el cerebro y, sólo se hace carne cuando palpita en el corazón.

Objetivo de la gu´ıa

Estimados estudiantes, los profesores de nuestra coordinación les proponemos estos ejercicios con el objetivo de que a través del trabajo que significa analizarlos, comprenderlos y finalmente resolverlos, consigan en primera instancia, en el más breve plazo desarrollar competencias adecuadas que les permitan de manera eficiente

[1] Operar con polinomios

[2] Demostrar el valor de verdad de proposiciones l´ogicas, usando tablas de verdad o bien propiedades

[3] Demostrar la validez de fórmulas proposicionales usando el método de Inducción matemática

[4] Determinar rápida y eficientemente los elementos de sucesiones numéricas que poseen las propiedades de progre-siones aritméticas y geométricas

[5] Determinar r´apida y eficientemente cualquier t´ermino de un desarrollo binomial

Y en segunda instancia, la competencia más importante para nosotros es que consigan expresar de manera clara precisa y estructurada sus conclusiones, sin duda esta es la parte más compleja y dif´ıcil de realizar, pero tengan certeza que esta propiedad no viene en el ADN, y por tanto quien ya la obtuvo lo hizo sólo persistiendo en el trabajo, y una buena idea será imitarlo.

Algunas sugerencias

[1] Lea cuidadosamente el problema

[2] Reconozca lo que es informaci´on, de lo que es ”incognita”, o lo que a usted se le consulta y debe hacer.

[3] Gestione de forma eficiente la informaci´on

1. Ejercicios Propuestos

1.1. De las Bases Num´ericas.

[1] Exprese en base 2: (a)x= 45 (b)x= 318 (c)x= 2402

[2] Exprese en el sistema decimal: (a)x= 24512 (base 7) (b)x= 1231231(base 4) [3] Sin pasar por el sistema decimal, realice las siguientes conversiones:

Escriba en base 8: (a)x= 321322 (base 4) (b)x= 2122(base 4) (c)x= 12321(base 4) Escriba en base 3: (a)x= 666666 (base 9)

(2)

[4] Demuestre que en cualquiera sea la baseB, el n´umero 101010101 no es primo [5] Demuestre que 121(m)= ((m+ 1)2)(10), enti´endase 10 como base decimal.

1.2. De los polinomios.

[1] ¿(a+b)m

−am₋bm es divisible por (a+b), simes impar?. Justifique su respuesta. [2] Demuestre que el polinomio (a₋3)2n_{+ (}_a

−2)n

−1 es divisible por (a₋3)(a₋2) [3] Determinemynde modo que el polinomioq(x) =x4₊_mx3_{+ 29}_x2₊_nx_{+ 4}

sea un cuadrado perfecto

[4] Factorizaci´on directa de trinomios. Descomponga en factores

(a) p(x) =x5₋x

(b) p(x) = 2x3+ 6x2+ 10x

(c) p(x) = 2x3+ 6x2₋10x

(d) p(x) =x4

−5x2

−36

(e) p(x, y) = 3xy+ 15x₋2y₋10 (f) p(x) = 2xy+ 6x+y+ 3

[5] Factorizaci´on de trinomios usando sustituci´on. Ideas para resolver

Consideremos el trinomio;p(x) = (x₋2)2_{+ 3(}_x

−2)₋10 entonces podemos desarrollar el siguiente procedimiento o algoritmo:

• Seau=x₋2

• Sustituyendo enp(x) tenemos que

p(x) = (x₋2)2_{+ 3(}_x

−2)₋10_⇐⇒q(u) =u2+ 3u₋10

• Resolvemos la ecuaci´on de segundo grado para la variableu.

q(u) = 0 _⇐⇒ u=−3±

√

9 + 40 2

⇐⇒ u=−3±7

2

⇐⇒ u=

  

 

u= 2

∨

u=₋5

⇐⇒ q(2) = 0_∨q(₋5) = 0

⇐⇒ q(u) = (u₋2)(u+ 5)

• Volvemos a la variable original y obtenemos:

(3)

Usando el procedimiento anterior factorice los siguientes:

(a) p(x) = (x₋3)2_{+ 10(}_x

−3) + 24

(b) p(x) = (x+ 1)2

−8(x+ 1) + 15 (c) p(x) = (2x+ 1)2_{+ 3(2}_x_{+ 1)}

−28

(d) p(x) = (3x₋2)2

−5(3x₋2)₋36 (e) p(x) = 6(x₋4)2_{+ 7(}_x₋₄₎₋₃

[6] Planteamiento y resoluci´on de ecuaciones polinomiales

A modo de ejemplo, consideremos el problema:

Una sala de clases posee 78 sillas universitarias. Si el número de sillas por fila es uno más que el doble del número de filas entonces determine el número de filas y de sillas por fila.

• Planteamiento del problema

Si xes la variable que representa el n´umero de filas entoncesx(2x+ 1) representa el n´umero de sillas por fila, as´ı que

x(2x+ 1) = 78 representa el n´umero total de sillas

• Resolvemos la ecuaci´on 2x2₊_x₋_{78 = 0}

2x2+x₋78 = 0 _⇐⇒ x=−1±

√

1 + 624 4

⇐⇒ x=−1±25

4

⇐⇒ x= 6_∨x=₋13

2

• Decidimos la factibilidad de los resultados:

Como el n´umero de filas es un natural, as´ı que desechamos x=₋13

2 y x= 6 es el resultado posible y hay 13 sillas por fila.

Resuelva los siguientes problemas:

(a) Determine dos enteros consecutivos cuyo producto sea 72

(b) Determine dos enteros cuyo producto sea 105 y uno de ellos debe ser uno m´as que el doble del otro.

(c) El per´ımetro de un rect´angulo mide 32 cm y su ´area es de 60 cm2_{. Determine las dimensiones del rect´}_angulo.

(d) Si el largo de un rectángulo excede en 2 cm al triple de su ancho y su área es 56 cm2_{. Determine las} dimen-siones del rectángulo.

(e) La suma de las ´areas de dos c´ırculos es 65πcent´ımetros cuadrados. Si el radio del c´ırculo mayor mide un cent´ımetro menos que el doble del radio del c´ırculo menor entonces determine el radio de cada c´ırculo.

[7] Divisi´on de polinomios. Realice las divisiones que se indican:

(4)

(b) (2x3+x2₋3x+ 1)÷(x2+x₋1) (c) (5a3+ 7a2₋2a₋9)_÷(a2+ 3a₋4) (d) (2n4+ 3n3₋2n2+ 3n₋4)_÷(n2+ 1) (e) (x5+ 1)_÷(x+ 1)

(f) (x5₋1)_÷(x₋1)

[8] Ecuaciones con radicales. Resuelva las ecuaciones

(a) √x+ 2 = 7−√x+ 9 (b) √x2_{+ 13}_x_{+ 37 = 1} (c) √3

x+ 1 = 4 (d) √3

3x₋1 =₋4 (e) √3

3x₋1 =√3 2₋5x

1.3. De la L´ogica.

[1] Usando una tabla de verdad muestre que la proposici´on es una equivalencia

(p=⇒q) ⇐⇒ [(p_{∧ ∼}q) =⇒(r_{∧ ∼}r)]

[2] Usando una tabla de verdad muestre que la siguiente proposici´on es una equivalencia

(p=_⇒[q_∨r]) _⇐⇒ (_∼[q_∨r] =_⇒∼p)

[3] Demuestre que la proposici´on siguiente es una tautolog´ıa

[((∼p_∨q) =⇒r)∧(r=⇒(s_∨t))∧(∼s_{∧ ∼}u)∧(∼u=⇒∼t)] =⇒p

[4] Muestre usando propiedades que la siguiente proposici´on es una inferencia l´ogica

∼(p=_⇒q) =_⇒(_∼ p=_⇒∼ q)

[5] Sip, q,rytson proposiciones que satisfacen:

◦ (p_∧q) =⇒∼ res una proposici´on falsa

◦ q_⇐⇒ t es una proposici´on falsa

entonces determine el valor de verdad de la proposici´on:

(5)

[6] Muestre justificando paso a paso, (usando propiedades, no tablas de verdad), que la siguiente proposici´on es una inferencia l´ogica:

∼[{(∼q=⇒∼p)∧(r=⇒s)} ∧(∼q_{∨ ∼}s)] =⇒[(p_∧r)]

[7] Si para las proposiciones l´ogicaspyq, se define el conectivo l´ogico_∗como sigue:

p_∗qes Falsa si y s´olo sipyq son verdaderas, caso contrariop_∗qes verdadera

Demuestre usando propiedades, que la siguiente proposici´on es una tautolog´ıa

[(p=⇒q)∨q]⇐⇒[(p_{∧ ∼}q)∗ ∼q]

[8] Seanpyqdos proposiciones l´ogicas. Si definimos el nuevo conectivo l´ogico:

p#q_≡[(q_∧p) =⇒∼p]∧ ∼q

Entonces demuestre que

{q_∧[p=_⇒(p#q)]_{}∨ ∼}p_≡∼p

[9] Seanpyqdos proposiciones l´ogicas. Si definimos los dos nuevos conectivos l´ogicos: (p_∗q=_∼p=_⇒∼q) _∧ (p#q=_∼p_∧q) Entonces demuestre que

(∼p_∗q)#(∼q#p)≡p_∧q

[10] Demuestre usando propiedades que

{[p=⇒(q_{∧ ∼}r)]∧[p_∧(q=⇒r)]} ∨ {(p_∧q)∨[r_∧(∼r_∨q)∧p]} ≡p_∧q

[11] Se define el conectivo l´ogico # y se ha hecho as´ı: q#p= [p_⇒(_∼q_{∧ ∼}p)]_∨q_∨p, entonces demuestre que (_∼p_⇒q)#[(p_{∧ ∼}q)#_∼q)#_∼q]_≡T

Es decirT es una Tautolog´ıa

[12] Determine el valor de verdad de las proposicionesp, q, r yssi se sabe que la siguiente proposici´on es verdadera. [s_⇒((∼r_⇒r)∨(r_⇒∼r)))]⇒[∼(p_⇒q)∧s_{∧ ∼}r]

[13] Demuestre usando propiedades que

{[p=⇒(q_{∧ ∼}r)]∧[p_∧(q=⇒r)]} ∨ {(p_∧q)∨[r_∧(∼r_∨q)∧p]} ≡p_∧q

[14] Seanp(x) yq(x) dos funciones proposicionales. Muestre que si (_∃!x)(p(x))_∧(_∃!x)(q(x)).

entonces la siguiente proposici´on es verdadera

(6)

[15] ParaAyB conjuntos: Determine la veracidad o falsedad de las proposiciones (a) A_⊂(A_∪B)

(b) (A_∩B)_⊂(A_∪B) (c) (A_∩B)c

⊂Bc

(d) (A_∪B)c

⊂(A_∩B)c

(e) B_⊂(A_∩B) (f) (A_∪B)c

⊂Ac

(g) (A_∩B)∪B=B

[16] ParaAyB conjuntos: Simplifique las proposiciones (a) (A_∩B)_∪(Ac

∩B) (b) (A_∪B)c

∪(Ac

∩B) (c) A_∪B_∪A

(d) (A_{∪ ∅})_∪A)c

(e) (A_∪B)_∩(A_∪Bc₎

∩(A_∪B) [17] ParaAyB conjuntos: Demuestre que

(a) A_∪(A_∩B) =A

(b) A_∩[B₋(A_∩B)] =_∅ (c) [(A_∩Bc₎c

−(A_∪Bc_)]

∪(A_∩B) =B

1.4. De la Inducci´on Matem´atica.

Demuestre usando Inducción Matemática que las siguientes fórmulas son verdaderas (_∀n;n_∈N₎

[1] F(n) :

n X

i=1

i2= n(n+ 1)(2n+ 1) 6

[2] F(n) :

n X

i=1

i3=

n(n+ 1) 2

2

[3] F(n) :

n X

i=1 1

i2₊_i₎=

n n+ 1 [4] F(n) :

n X

i=1

i4= n(n+ 1)(6n

3_{+ 9}_n2₊_n₋₁₎ 30

[5] F(n) :

n X

i=1

i(i+ 1)

2 =

n(n+ 1)(n+ 2) 6

[6] F(n) :

n X

i=1

(7)

[7] F(n) :

n X

i=1

i2i−1_{= 1 + (}_n₋₁₎₂n

[8] F(n) :

n X

k=0 (₋1)k

_n k

= 0

[9] F(n) : (0_≤r_≤n) =_⇒

n r

∈N

[10] F(n) : 2n−1≤_n! [11] F(n) : 3n_≤3n

[12] F(n) : 4n3_{+ 5}_n_{es divisible por 3} [13] F(n) : n3₋_n_{es divisible por 6} [14] F(n) : 5n3_{+ 7}_n_{es divisible por 6} [15] F(n) : 10n_{+ 3}

·4n+2_{+ 5 es divisible por 9}

[16] F(n) : 52n_{+ (}

−1)n+1 _{es divisible por 13}

[17] F(n) : n_∈N_{impar =}_⇒₇n_{+ 1 es divisible por 8}

[18] F(n) : 72n_{+ 16}

n₋1 es divisible por 64

[19]

n+1

X

k=2

k

2

=

n+ 2

3

.Donde

n k

= n!

k!(n₋k)!. [20] 2(√n+ 1₋1)_≤

n X

k=1 1

√

k.

1.5. De las Progresiones.

[1] Si el conjuntoA=_{ 3

2, a2, a3, a4,· · · , a2n}es una Progresi´on Aritm´etica que satisface las siguientes condiciones:

◦ a1+a3+a5+a7+· · · +a2n₋1= 24

◦ a2+a4+a6+a8+· · · +a2n= 30

◦ a2n=a1+21₂

entonces determine, si es posible, el número de términos de la progresión aritmética.

[2] Si en una progresi´on geom´etricau1= 4, un=

243 8 ,Sn=

665

8 entonces determineny su raz´onr

[3] La suma de tres números en progresión aritmética es 27 y la suma de sus cuadrados es 293. Determine tales números

[4] Si en una progresión aritmética el quinto término es 15 y el décimo término es 30 entonces determine la progresión

[5] Si la suma de tres números en progresión geométrica es 26 y su producto es 216 entonces determine tales números.

(8)

[7] Determine 5 números reales en progresión geométrica, tales que la suma de los dos primeros es 24, y la razón es la cuarta parte del primer número.

[8] Si en una progresión aritméticaA, se verifica que: El producto del segundo con el quinto término es 364, y además la diferencia de estos mismos términos es 15 entonces determine, si es posible la progresiónA.

[9] Dada la progresi´onT =

a+b

2 , a, 3a₋b

2 , . . .

.

(a) CalculeS21. La suma de los primeros 21 t´erminos. (b) ExpreseSn usando el operador sumatoria.

[10] SeaS=_{b1, b2, . . .}una sucesi´on de numeros reales, tales que: (a) bm=n;bn =myn6=m

(b) Si además construimos una progresión aritméticaA=_{a1, a2, . . . ,} tal queai=

1

bi

(_∀i;i_∈N₎

entonces demuestre que la diferencia de la progresi´on esd= 1

mn

[11] La suma de tres números en progresión geométrica es 70. Si se multiplican los números ubicados en los extremos por 4 y el número ubicado en el centro 5, se obtiene una progresión aritmética. Determine ambas progresiones.

[12] Si se tienen tres términos en progresión geométrica, y se resta 8 del segundo término se obtiene una progresión aritmética, y si en ”esta” se resta 64 del tercer término resulta nuevamente una progresión geométrica. Determine, si es posible, todas las progresiones involucradas en el problema.

[13] Considere las progresiones

⋄ G=_{g1, g2, g3, . . .} progresi´on geom´etrica

⋄ A=_{3, a2, a3, . . .} progresi´on aritm´etica tal que

◦ g3= 12 yg7= 192

◦

11

X

i=1

gi=

50

X

i=1

ai

Determine la diferencia de la progresi´onA

[14] Si {a, b, c_{} ⊂} R+ _{es una progresi´}_{on aritm´etica entonces demuestre que}

1

√

b+√c,

1

√

a+√c,

1

√

a+√b

es

también una progresión aritmética

[15] Si {ai | i ∈ N} ⊂ R− {0} es una progresi´on aritm´etica entonces demuestre que ₁

a(i₋1)ai

es tambi´en una

progresi´on aritm´etica

[16] Si A= _{xi | i ∈N} ⊂R es una progresi´on aritm´etica tal que n X

i=1

xi =a y n X

i=1

x2i =b

2_{, entonces determine la}

progresi´onA

[17] Si_{ai|i∈N} ⊂Res una progresi´on geom´etrica tal queam+n=A6= 0 yam−n=B6= 0 entonces determine am yan.

(9)

[19] Si{ai|i∈N} ⊂R+− {0} es una progresi´on aritm´etica entonces demuestre que n−1

X

k=1

1

√_a

k−√ak+1

=_√ n−1

a1+√an

[20] Resuelva la ecuaci´on 9x3

−36x2_{+ 44}_x

−16 = 0 si sus ra´ıces están en progresión aritmética

[21] Resuelva la ecuación 3x3₋₂₆_x2_{+ 52}_x₋_{24 = 0 si sus ra´ıces están en progresión geométrica}

1.6. Del Teorema del Binomio.

[1] Determine el s´eptimo t´ermino en el desarrollo binomial (2x₋y)12

[2] Determine el noveno t´ermino en el desarrollo binomial2 + x 4

15

[3] Determine el decimocuarto t´ermino del desarrollo binomial4x2y₋₂_xy12

20

[4] Determine el t´ermino que contiene a x2 en el desarrollo binomial

3

√

x₋ 2 x2

27

[5] Determine el t´ermino que contiene x 2

y2 en el desarrollo binomial

_x y −

y2 2x2

8

[6] Determine el t´ermino que contiene a xr _{en el desarrollo binomial}

x+1

x n

[7] Si uno de los t´erminos en el desarrollo binomial 2x2₋1

x 60

es de la formaa_·x−54. Determine el valor dea [8] Determine el t´ermino independiente dex(si existe) en el desarrollo binomial x3₋ 1

x2

30

[9] Determine el valor deaen el desarrollo binomial

x a+ 1 x 20

, de tal forma que el t´ermino independiente dexsea igual al coeficiente dex2

[10] En el desarrollo binomial

x√x+ 1

x2

n

el coeficiente binomial del 3er _{t´ermino es mayor que el coeficiente}

bino-mial del 2do _{t´ermino en 44 unidades. Determine, si existe, el t´ermino independiente de}_x_.

[11] Muestre que el coeficiente del t´ermino central del desarrollo binomial (1 +x)2n_{, es igual a la suma de los}

coefi-cientes de los dos t´erminos centrales del desarrollo binomial (1 +x)2n₋1

[12] Dados los desarrollos binomiales

x2+ 1

x n

, y

x3+ 1

x2

n

. Determine el conjunto

T = _{n_∈N_| _{Los terceros t´erminos de los binomios sean iguales}_}

[13] Si en el desarrollo binomial (1 +x)43_{, los coeficientes de la posici´on (2}_m_{+ 1) y (}_m_{+ 2) son iguales. Determine,} si es posible, el valor dem

[14] Determine el coeficiente dexn _{en el desarrollo binomial (1}

−x+x2_{)(1 +}_x₎2n+1

[15] En el desarrollo binomialx

a−y

215_{, el t´ermino que contiene a}

y22 presenta el coeficiente num´erico₋455 27 . De-termine el valor dea

[16] Demuestre que

n X

i=0

(10)

[17] Considere los reales positivospyqtales que,p+q= 1. Demuestre que

rk =

n k

·pk

·qn−k ₍₀≤_k≤_n_{) =}⇒

n X

k=0

(k_·rk) =n·p.

[18] Determinebpara que el coeficiente del t´ermino enx4sea ocho veces el coeficiente del t´ermino enx3en el desarrollo de (2x+b)5

[19] En el desrrollo de

ax

−1

2 +xa

−1

2

n

se tiene que: coeficiente deT3 coeficiente deT2

= 11

2 , Calcule n

[20] En el desarrollo de x2₊_x−1n el coeficiente deT₄yT₁₃son iguales. Determine el t´ermino independiente de x

[21] En el desrrollo de

z−

3 2

−z

1 3

n

la raz´on entre el coeficiente binomial deT3 y deT5 es 2

7. Determine el t´ermino

que tiene az−

5 2