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EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO

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Academic year: 2020

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APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra

UNIDAD 6

EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO

Cuerpo rígido

Como ya se ha señalado, un cuerpo rígido, es aquel que no se deforman cuando es sometido a fuerzas muy extremas, pero se acotó, que no existen cuerpos indeformables. Sin embargo, definimos como cuerpo rígido, a todo cuerpo ideal cuyas partículas que lo forman tienen posiciones relativas fijas entre sí cuando se somete a fuerzas externas, es decir, no se deforma. Con esta definición se elimina la posibilidad de que el objeto tenga movimiento de vibración. Este modelo de cuerpo rígido es muy útil en muchas situaciones en las cuales la deformación del objeto es despreciable.

El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento de traslación y de rotación. Para hacer su descripción es conveniente estudiar en forma separada esos dos movimientos. Sólo la acción de fuerzas externas sobre un cuerpo rígido puede producir cambio en el movimiento de traslación, rotación o ambos.

El efecto de una fuerza externa en un sólido rígido es exactamente el mismo cuando la fuerza se aplica en cualquier punto a lo largo de su línea de acción, como podemos ver en la figura, la acción de la fuerza que ejerce la cuerda sobre el camión cuando los hombres tiran de ella, sería la misma si empujaran con la misma fuerza en la

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Momento de una fuerza

Es posible que un cuerpo se mueva en una trayectoria circular, lo que se conoce como movimiento rotacional, este se presenta cuando un cuerpo describe un movimiento circular cuando gira alrededor de un punto fijo central llamado eje de rotación, ejemplo: las ruedas, poleas, destornillador, llaves de cualquier tipo, etc.

Consideremos como cuerpo rígido a la llave de tubo que se muestra en la figura fija en un punto un extremo del tubo, la cual puede tener una rotación, y describamos el efecto que alguna fuerza que se aplique en la llave, esta fuerza actúa en distintos puntos, produce sobre el tubo la rotación esperada.

Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Se prefiere usar el nombre torque y no momento, porque este último se emplea para referirnos al momento lineal, al momento angular o al momento de inercia, que son todas magnitudes físicas diferentes para las cuales se usa el mismo término.

Se define el torque τ o Momento de una fuerza F que actúa sobre algún punto del cuerpo rígido, en una posición r respecto de cualquier origen O, por el que puede pasar un eje sobre el cual se produce la rotación del cuerpo rígido, al producto vectorial entre la posición r y la fuerza aplicada F, dada por la siguiente expresión:

𝝉 = 𝒓 × 𝑭

El torque es una magnitud vectorial, si α es el ángulo entre r y F, su valor numérico, por definición del producto vectorial, es:

𝝉 = 𝒓𝑭 𝐬𝐢𝐧 𝜶

Donde τ es el momento o torque que se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotación, F es la fuerza aplicada y r es el brazo, es decir la distancia perpendicular entre la línea de acción de la fuerza y el eje de giro.

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Condición de equilibrio de un cuerpo rígido

Como se ha señalado, un cuerpo está en equilibrio si se encuentra en reposo o se mueve con velocidad constante. Por definición una partícula puede tener solo movimiento de traslación. Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con velocidad constante o está en reposo; en este último caso se dice que está en equilibrio estático.

Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y de rotación. En este caso, si la resultante tanto de las fuerzas como de los torques que actúan sobre el cuerpo rígido son cero, el cuerpo está en reposo, por tanto estará en equilibrio estático.

Para que un cuerpo rígido este en equilibrio estático se deben cumplir dos requisitos de forma simultánea, llamados condiciones de equilibrio.

Primera condición de equilibrio o Equilibrio de translación:

Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero, la partícula está en equilibrio.

𝐹

𝑖

𝑛

𝑖=1

= 0 ⇒ 𝐹

1

+ 𝐹

2

+ ⋯ + 𝐹

𝑛

= 0

Una partícula sobre la cual actúan dos fuerzas, estará en equilibrio si las dos fuerzas tienen la misma magnitud y la misma dirección, pero en su sentido son opuestas.

Las condiciones necesarias y suficientes para que una partícula esté en equilibrio de traslación son:

𝐹

𝑥

= 0 𝑦 𝐹

𝑦

= 0

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Segunda condición de equilibrio o Equilibrio rotacional:

La suma vectorial de todos los torques externos que actúan sobre un cuerpo rígido

alrededor de cualquier origen es cero.

𝜏

𝑖

𝑛

𝑖=1

= 0 ⇒ 𝜏

1

+ 𝜏

2

+ ⋯ + 𝜏

𝑛

= 0

La condición necesaria y suficiente para que una partícula esté en equilibrio de rotación es:

𝜏 = 0

Centro de gravedad

El centro de gravedad es un punto fijo característico de todo cuerpo en el que se encuentra aplicado todo su peso, es el punto de un cuerpo en el cual se considera ejercida la fuerza de gravedad que afecta a la masa de dicho cuerpo, es un punto imaginario que puede o no pertenecer al mismo, con la condición siguiente:

El centro de gravedad de un sistema de partículas es un punto del sistema en el cual se considera aplicada la fuerza peso total del sistema P, de tal modo que el momento que produce dicha fuerza respecto a un punto cualquiera es igual a la resultante de los momentos de los pesos individuales Pi que constituyen el sistema, de forma tal que la ubicación viene dada por la expreción:

𝑟

𝑐𝑔

=

𝑃

𝑖

∗ 𝑚

𝑖

𝑛 𝑖=1

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Apoyos y máquinas simples

Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pueden ser divididas en tres grupos que corresponden a tipos diferentes de apoyos y conexiones:

1. Reacciones equivalente a una fuerza cuya línea de acción es conocida. 2. Reacciones equivalente a una fuerza de magnitud y dirección desconocidas. 3. Reacciones equivalente a una fuerza y un par.

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Máquinas simples

Una máquina simple es un dispositivo que transforma en trabajo útil la fuerza aplicada, en ella el trabajo de entrada se realiza mediante la aplicación de una sola fuerza y la máquina realiza el trabajo de salida a través de otra fuerza única. Durante una operación de este tipo ocurren tres procesos:

1. Se suministra trabajo a la máquina. 2. El trabajo se realiza contra la fricción. 3. La máquina realiza trabajo útil o de salida.

De acuerdo con el principio de la conservación de la energía, estos procesos se relacionan en la siguiente forma, la operación de cualquier máquina simple se puede describir como una fuerza de entrada que actúa a través de una distancia 𝑟𝑒 realizando un trabajo𝐹𝑒𝑟𝑒. Al

mismo tiempo una fuerza de salida 𝐹𝑠 que actúa a través de una distancia 𝑟𝑠 realizando un trabajo 𝐹𝑠𝑟𝑠. La ventaja mecánica real 𝑉𝑀 de una máquina se define como la relación de la fuerza de salida entre la fuerza de entrada.

𝑉

𝑀

=

𝐹

𝑠

𝐹

𝑒

Cuando 𝑉𝑀 > 1 indica que la fuerza de salida es mayor que la fuerza de entrada, además, la

eficiencia de una máquina aumenta en la medida en que los efectos de la fricción se vuelven más pequeños. La máquina más eficiente que pudiera existir no tendría pérdidas debidas a la fricción.

De lo anterior se desprende, que las máquinas simple son dispositivos mecánicos sencillos que facilitan la realización de un trabajo, entre ellas se pueden mencionar las palancas, las poleas, el torno, el plano inclinado, el tornillo, entre muchas otras.

Palanca

Es la máquina más antigua y las más comúnmente usada es la palanca simple. Una palanca consiste en cualquier barra rígida apoyada en uno de sus puntos al que se le llama fulcro, las propiedades de este dispositivo fueron propuestas por Arquímedes, que para referirse a ellas señaló “ demen un punto de apoyo y moveré la tierra”.

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Planca de primer género:

En este género de palancas el punto de apoyo se encuentra entre la fuerza de entrada y la fuerza de salida, es decir, entre el punto donde se aplica la fuerza y el objeto que se quiere levantar, tal como se observa en la figura, la condición de equilibrio para este género de palancas viene dada por la siguiente ecuación:

𝐹 ∙ 𝑑

1

= 𝑃 ∙ 𝑑

2

En este género de palancas, la fuerza aplicada podrá ser menor o mayor a la fuerza a vencer dependiendo de la ubicación del fulcro, algunos ejemplos de ellas son:

Planca de segundo género:

En este caso el punto de apoyo se encuentra en uno de los extremo, la fuerza de entrada en el otro extremo y entre ambos la fuerza de salida, es decir, entre el fulcro y la fuerza que se aplica, tal como se observa en la figura, la condición de equilibrio para este género de palancas viene dada por la siguiente ecuación:

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En este tipo de palancas, la fuerza aplicada siempre será menor a la fuerza a vencer ya que la distancia al fulcro siempre será mayor, algunos ejemplos de ellas son:

Planca de tercer género:

En esta palanca el punto de apoyo se encuentra en uno de los extremo, la fuerza de salida en el otro extremo y entre ambos la fuerza de entrada, es decir, entre el fulcro y la fuerza de salida, tal como se observa en la figura, la condición de equilibrio para este género de palancas viene dada por la siguiente ecuación:

𝐹 ∙ 𝑑

1

= 𝑃 ∙ 𝑑

2

En este tipo de palancas, la fuerza aplicada siempre será mayor a la fuerza a vencer ya que la distancia al fulcro siempre será menor, algunos ejemplos de ellas son:

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Palancas compuestas

No son un genero de palanca, sino que son dispositivos que involucran varios generos de palancas actuando simultáneamente, por ejemplo:

Poleas

Son ruedas que pueden girar alrededor de su eje y tiene una canaleta en su perímetro por el cual pasa una cuerda. Una polea simple es tan solo una palanca cuyo brazo de palanca entrada es igual a su brazo de palanca de salida. A partir del principio de equilibrio, la fuerza de entrada igualará la fuerza de salida y la ventaja mecánica

ideal será 1. La única ventaja de este tipo de dispositivo es que ofrece la posibilidad de cambiar la dirección de la fuerza de entrada. Si el eje de la polea no se mueve se denominan poleas fijas y si se desplaza se llaman poleas móviles.

Polea fija

Como se puede ver en la figura anterior, la polea fija se asemeja a una palanca de primer género, cuyo punto de apoyo está en el eje siendo los brasos iguales, aplicando la ley de la palanca, obtenemos:

𝐹 ∙ 𝑑

1

= 𝑃 ∙ 𝑑

2

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑

1

= 𝑑

2

⇒ 𝐹 = 𝑃

De la expresión anterior se deduce que en este tipo de poleas la fuerza aplicada es igual a la fuerza de salida, es decir, sólo sirven para cambiar el sentido de la fuerza aplicada, siendo muy útiles cuando se quiere levantar un cuerpo.

Polea móvil

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palanca de segundo género, aplicando la ley de la palanca, obtenemos:

𝐹 ∙ 𝑑

1

= 𝑃 ∙ 𝑑

2

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑

2

=

𝑑

1

2

⇒ 𝐹 =

𝑃

2

De la expresión anterior se deduce que en este tipo de poleas la fuerza aplicada es igual a la mitad de la fuerza de salida, es decir, que no sólo sirven para cambiar el sentido de la fuerza aplicada sino que permite disminuir a la mitad el esfuerzo.

El Torno

Es una máquina simple, constituida por un cilindro de radio 𝒓, que gira sobre un eje por medio de una palanca o manivela de longitud 𝒅, a la que se le aplica una fuerza que hace enrrolar una cuerda en el cilindro permitiendo subir la carag, es una palanca de primer género, por tanto cumple con la ley de la palanca:

𝐹 ∙ 𝑑 = 𝑃 ∙ 𝑟

De la relación se desprende que en la medida que la longitud de la manivela sea mayor en relación con el radio del cilindro, la fuerza aplicada será menor.

Plano inclinado

Si se desea elevar una carga desde el piso hasta cierta altura es posible utilizar un plano inclinado, con el cual será mas fácil mover dicha carga que elevarla directamente, con lo que se logra que con una fuerza aplicada menor se produzca la misma fuerza de salida, sin embargo, esta la fuerza aplicada menor se logra recorriendo una mayor distancia.

El plano inclinado es una máquina simple que

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𝐹 ∙ 𝐿 = 𝑃 ∙ ℎ ⇒ 𝐹 = 𝑃 ∙

𝐿

Teniendo presente que un plano inclinado es un triángulo rectángulo donde L es la hipotenusa y h es el cateto opuesto al ángulo de inclinación se tiene que ℎ

𝐿 = sin 𝛽, por

tanto, la relación es:

𝐹 = 𝑃 ∙ sin 𝛽

Referencias

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