Taller de Matemática

Taller de Matemáticas I 

Taller de Matemáticas I

2

Temario

1.  La igualdad matemática   1.1. Identidades y ecuaciones   1.2. Propiedades de la igualdad 

 1.3. Propiedades de los números reales    

2.  Ecuación de primer grado con una incógnita 

      2.1. Solución de una ecuación lineal mediante el método formal 

      2.2. Solución de una ecuación lineal mediante el método de transposición de            términos. 

     2.3. Solución de una ecuación lineal mediante el método gráfico        2.3.1. Ecuación de primer grado con dos incógnitas 

      2.3.2. Introducción a las funciones        2.3.3. Plano cartesiano 

      2.3.4. La función lineal y su relación con la ecuación lineal        2.3.5. Graficación mediante tabulación  

      2.3.6. Graficación a partir de la pendiente y la ordenada al origen        2.3.7. Graficación por medio de las intersecciones con los ejes   

3. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas     3.1. Clasificación de los sistemas de ecuaciones     3.2. Métodos de solución de sistemas 2×2        3.2.1. Método de suma y resta 

      3.2.2. Método de sustitución        3.2.3. Método de igualación        3.2.4. Método gráfico 

     3.2.5. Método por determinantes   

4. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas       4.1. Métodos de solución de sistemas 3×3 

      4.1.1. Método gráfico 

      4.1.2. Método por determinantes        4.1.3. Método de sustitución    

5. Ecuaciones cuadráticas 

5.1. Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas 

       5.1.1. Método de solución por despeje de ecuaciones cuadráticas puras         5.1.2. Método de solución por factorización de ecuaciones cuadráticas mixtas        5.1.3. Método de solución completando el trinomio cuadrado perfecto 

      5.1.4. Método de solución por fórmula general   

6. Funciones cuadráticas 

6.1. Características de una ecuación cuadrática         6.1.1. Elementos de la parábola 

       6.1.2. Sentido de la parábola 

       6.1.3. Tipos de soluciones a partir de sus coeficientes       6.2. Gráfica de una ecuación cuadrática  

7. Forma estándar de una función cuadrática       7.1. Desplazamiento vertical 

     7.2. Desplazamiento horizontal   

Taller de Matemáticas I

4

Semana

3

Sesión

9

Los temas a revisar el día de hoy son: 

1.  La igualdad matemática   1.1. Identidades y ecuaciones   1.2. Propiedades de la igualdad 

 1.3. Propiedades de los números reales  

2.  Ecuación de primer grado con una incógnita 

      2.1. Solución de una ecuación lineal mediante el método formal 

       2.2. Solución de una ecuación lineal mediante el método de transposición de           términos. 

      2.3. Solución de una ecuación lineal mediante el método gráfico        2.3.1. Ecuación de primer grado con dos incógnitas 

1. La igualdad matemática   

Una igualdad matemática se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.    

Matemáticamente  hablando,  dos  expresiones  algebraicas  serán  iguales  si  tienen 

precisamente el mismo valor:  

expresión 1 =  expresión 2   

Ejemplo  1.  Clasifica  las  siguientes  expresiones  algebraicas  de  acuerdo  a  sus 

componentes.  

Ahora bien, puedes visualizar una igualdad como una balanza en equilibrio, donde el 

equilibrio no se debe perder nunca; es decir, si de un lado de ésta hay determinada 

cantidad y se coloca o quita una parte, la misma parte deberá ser retirada o añadida 

del otro lado.   

  Añadiendo una

cantidad x

a ambos lados de la balanza

2

7

2

4

3

+

+

=

+

5

3

8 

−

=

(

x

+

y

)

=

x

+

2

xy

+

y

0

1

₋

₌

a

Como sólo tienen números, se denominan

igualdades numéricas, 

Ejemplo:  

Dos vendedores de agua fresca, Carlos y Claudia, tienen tres jarras con agua de frutas 

cada uno.    

Carlos ha colocado en la primera jarra medio litro de agua de jamaica, en la segunda 

tiene un tercio de litro de agua de horchata y en la tercer jarra tiene un litro de agua 

de limón.   

Claudia ha colocado tres cuartos de litro de agua de naranja en la primera jarra, un 

cuarto de litro de agua de melón en la segunda, y cinco sextos de litro de agua de 

mango en la tercera jarra.   

¿Qué harías para saber cuál de los dos vendedores tiene más agua?    

Carlos que colocó en tres jarras medio litro de agua de jamaica, un tercio de litro de 

agua de horchata y un litro de agua de limón respectivamente; o Claudia que colocó en 

tres jarras tres cuartos de litro de agua de naranja, un cuarto de litro de agua de melón 

y cinco sextos de litro de agua de mango.   

Lo  primero  que  debes  hacer  es  plantear  una  igualdad  para  cada  uno  de  los 

vendedores: 

Matemáticamente puedes decir que: , y parece bastante lógico, ¿no?

Siguiendo con la balanza, supón que le sumas (añades) una cantidad cualquiera, en este caso representada por un vaso de agua, entonces:

Observa que no es tan difícil mantener el balance en una igualdad matemática.

Ahora, la pregunta es, ¿será equivalente la siguiente expresión?

Analiza: 0.5 + 0.5 es igual a 1, por lo tanto, puedes decir que la expresión anterior sí es equivalente y que por lo tanto, esa igualdad puede ser tratada como cualquier otra.

Otra forma de presentarte una igualdad es la siguiente:

En esta expresión tienes una parte desconocida, lax, pero rápidamente sabes que el valor dexdebe

ser 0.5 para que el “equilibrio” de la igualdad se conserve.

kg 0.5 kg 0.5 kg

1 = +

x 0.5

1 = +

Cantidad de agua de Carlos

Cantidad de agua

en la jarra 1 Cantidad de aguaen la jarra 2

Cantidad de agua en la jarra 3

=

+

+

Cantidad de agua 

de Claudia Cantidad de aguaen la jarra 1 Cantidad de aguaen la jarra 2

Cantidad de agua en la jarra 3

Taller de Matemáticas I

6

Después establece una incógnita para cada uno (x para Carlos, y para Claudia), y 

resuélvelas:   

Comparando resultados, los dos vendedores tienen la misma cantidad de agua en sus 

jarras.    

1.1. Identidades y ecuaciones 

Como sabes, una igualdad algebraica se compone de números y literales. 

En la siguiente figura puedes ver su  clasificación, tomando en cuenta si la igualdad se 

verifica para todos o sólo algunos números reales.   

Se hablará de una identidad cuando la 

igualdad  se  cumpla  para  cualquier 

valor que se le dé a sus literales.   

Tendrás  una  ecuación  cuando  la 

igualdad se cumpla sólo para algunos 

valores que se le den a sus literales o 

incógnitas.   

Ejemplo. Verifica por qué la expresión        es una identidad. 

Para que una expresión algebraica sea una identidad, es necesario que la igualdad se 

mantenga, aun cuando sus literales tomen cualquier valor.   

Si arbitrariamente le das los siguientes valores a las literales: a=2, m=3   y n=‐1, 

entonces:   

1 3 1 2 1 _{+ +}

=

x

6 6 2

3+ +

=

x

6 11

=

x

6 5 4 1 4

3 _{+ +}

=

y

6 5 6+ =

y

6 11

=

y

6 5 1+ =

y

Los v ecuac  

Prác

1.2. P Las ig de fo

  Sean   Exist men Sean P R S T Pr su

valores que  ción.  

ctica

34

Propiedade gualdades t orma inmed n a, b, y c nú

e otro grup cionan a co n a, b y c nú

ropiedad Reflexiva Simétrica S ransitiva S incipio de ustitución S p c q é

hacen ciert

é la expresió

es de la igua tienen y cum diata,  las cu úmeros real

po de prop ontinuación. meros reale Represen algebr

a= a

Si a=b, enton

Si a=b y b=c a=c

Si a=b, enton pueden ser ut cualquier prop que el valor de ésta cambie.

ta la igualda

ón       

aldad 

mplen con 

uales se me es, entonce

piedades qu . 

es, entonce ntación raica

a

nces b=a

c, entonces

nces ambas tilizadas en posición sin e verdad de

3 2y− =

ad reciben e

       es 

una serie d ncionan a c es: 

ue te permi s: 

Signifi lenguaje

Todo número mismo.

Es posible in miembros de sin que ésta s

Si dos expres iguales a una entonces ést entre sí. Si dos expres iguales, ésta sustituidas e proposición s de verdad ca

5 + = x

el nombre d

una ecuaci

de propieda continuación

iten resolve icado en e coloquial

o es igual a sí

tercambiar los e una igualdad

se altere.

siones son a tercera,

tas son iguale

siones son as pueden ser

n cualquier sin que el valo ambie.

de solucione

ión. 

des que se 

n. 

er igualdade E

Si 3+ 3+ s

d S

enton

s

Si 1+3 e 1

or

Si 3+1 es lo m

3

Si obse valor d la  igu cumplir expresi identid

es o raíces 

pueden de

es, las cual Ejemplo

+x, entonces: +x = 3+x

Si 2+3=5,

nces 5=2+3

3=4 y 4=2 2 ntonces: +3 = 2 2

1=4, entonces mismo escribir

4+1=5 que 3+1+1=5

ervas, para c dado a las 

aldad  siem rá, por lo 

ión  si 

dad.  

de la 

educir 

les se  ,

s, r

cualquier 

literales, 

mpre  se 

tanto, la 

Taller de Matemáticas I

8

1.3. Propiedades de los números reales 

Por último, algunas propiedades de los números reales que necesitas conocer para 

hacer más fácil el trabajo de resolver ecuaciones se describen a continuación.   

Propiedad conmutativa 

La palabra “conmutativa” viene del verbo conmutar que significa cambiar, en este 

caso, se refiere a cambiar de lugar.   

La propiedad conmutativa dice que puedes cambiar el orden de los números en una 

suma o multiplicación y a pesar de esto obtener el mismo resultado. Por ejemplo:   

Ambas operaciones dan como resultado 5 o 5x, no importa cuál término escribas 

primero o cuál colocas después.   

Tú puedes conmutar (cambiar) el orden de cualquier suma o multiplicación sin alterar 

el resultado, pero ¡¡¡OJO!!!, jamás uses esta propiedad con restas o divisiones porque 

no siempre obtendrás el mismo resultado.    

Por ejemplo, 3‐5 no es lo mismo que 5‐3, ni 3x‐5x equivale a 5x‐3x. Por otro lado, 10 

entre 5 no es igual a 5 entre 10, o 10x entre 5x no equivale a 5x entre 10x. Para 

comprobarlo efectúa las operaciones y verás que el resultado es distinto.   

Propiedad asociativa 

La palabra “asociativa” viene del verbo asociar que significa juntar o agrupar, por eso 

también la llaman la propiedad de agrupamiento.   

Propiedad Representación algebraica

Significado en

lenguaje coloquial Ejemplo

Propiedad de la suma

Si a=b, entonces a+c=b+c

Puedes sumar el mismo número a los dos miembros de una igualdad y ésta no se altera.

Si 5+1=4+2, entonces: 5+1+3= 4+2+3

9=9

Propiedad de la resta

Si a=b, entonces a-c=b-c

Puedes restar el mismo número a los dos miembros de una igualdad y ésta no se altera.

Si 5+1=4+2, entonces: 5+1-2= 4+2-2

4=4

Propiedad de la multiplicación

Si a=b, entonces ac=bc

Puedes multiplicar el mismo número a los dos miembros de una igualdad y ésta no se altera.

Si 5+1=4+2, entonces: (5+1)3= (4+2)3

(6)3=(6)3 18=18

Propiedad de la división

Si a=b, entonces _{Puedes dividir los miembros de}

una igualdad entre el mismo número y ésta no se altera.

Si 5+1=4+2, entonces:

5

2

3

5

3

2

+

=

→

+

=

x

x

x

x

x

x

3

5

3

2

5

Esta propiedad dice que si estás sumando tres o más números o multiplicando tres o 

más números, puedes agrupar o juntar los números  en diferentes formas y a pesar de 

ello obtener el mismo resultado.  Por ejemplo:   

Si te fijas bien verás que no importa de qué manera se asocien los términos, el 

resultado siempre será el mismo. Lo mismo pasa con la multiplicación:   

Observa que el resultado siempre es el mismo, no importa como agrupes los términos. 

Tú puedes asociar (agrupar) en cualquier forma la suma o multiplicación sin alterar el 

resultado, pero  ¡¡¡OJO!!!, jamás uses esta propiedad con restas o divisiones porque no 

siempre obtendrás el mismo resultado.    

Observa que (3‐5)‐6 no es lo mismo que 3‐(5‐6); o bien, (3÷5)÷6   no es lo mismo que 

3÷(5÷6).   

Propiedad distributiva 

La palabra “distributiva” viene del verbo distribuir que significa repartir.  

Esta propiedad dice que si estás multiplicando un término por la suma de dos o más 

términos, puedes multiplicar el primer término por cada uno de los otros y luego 

sumar para obtener el resultado; es decir, distribuyes el producto en la suma. Por 

ejemplo:   

Propiedades de los neutros  

Existen dos números especiales entre los números reales: el cero y el uno.  

¿Por qué son especiales? Pues porque son completamente neutrales o neutros ante 

algunas  operaciones; es  decir, no pueden hacer nada  con    ellas,  no  cambian el 

resultado.    

El cero es neutral frente a la suma y la resta, y el uno es neutral ante la multiplicación y 

la división. Al número 0 se le conoce como neutro aditivo y al número 1 como neutro 

multiplicativo. Por ejemplo:   

m

m

0

3

3

;

8

0

8

;

6

0

6

+

=

−

=

+

=

m

m

1

3

3

;

8

1

8

;

6

1

6

×

=

×

=

×

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

4

×

5

)

×

3

=

60

→

4

×

(

5

×

3

)

=

60

(

₄

_m

_×

₅

_m

)

_×

₃

_m

₌

₆₀

_m

_→

₄

_m

_×

(

₅

_m

_×

₃

_m

)

₌

₆₀

_m

(

3

4

)

2

( )

3

2

( )

4

2

+

=

+

(

m

m

)

m

( )

m

m

(

m

)

m

3

4

2

3

2

4

Taller de Matemáticas I

10

Propiedades de los inversos 

Si recuerdas, para todo número real positivo, existe del otro lado de la recta numérica, 

a la misma distancia del cero, un número de la misma magnitud pero de signo 

contrario. Dicho número es su simétrico.   

Dichos  números tienen  la  característica  de que si se suman  siempre,  dan  como 

resultado CERO. Debido a ello, a estos números se les denomina inversos aditivos. Por 

ejemplo:   

Se dice que el inverso aditivo de 10 es ‐10 y viceversa. 

Otro número importante es aquel que multiplicando por otro nos da como resultado al 

número 1. Este número especial se conoce como inverso multiplicativo o recíproco. 

Por ejemplo: 

Como ves, el inverso multiplicativo (o recíproco) de un número entero se representa 

mediante la unidad sobre el número en cuestión, y el inverso multiplicativo de una 

fracción, es también una fracción con las partes invertidas; es decir, el numerador de 

una, es el denominador de otra y viceversa, sin importar si es negativo o positivo.   

Práctica

35

Indica que propiedad de los números reales se está utilizando en cada una de las 

siguientes expresiones algebraicas.   

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.     

7.       

1

6

5

5

6

1

1

3

3

1

1

8

1

8

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

0

2

1

2

1

0

4

4

0

10

10

+

=

−

+

=

−

+

=

−

(

m

×

n

)

×

p

=

m

(

n

×

p

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

_y

₋

_z

_x

_y

_x

_z

x

4

3

2

2

1

2

4

3

2

1

2

( )

3

×

1

+

5

=

8

11

0

8

3

+

+

=

(

−

6

+

5

) (

−

−

6

+

5

)

=

0

( )

2

1

2

1

₌

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2.  Ecuación de primer grado con una incógnita 

A partir de ésta sesión, en cada uno de los temas que verás utilizarás los conceptos 

aprendidos  en  las  sesiones  anteriores.  Tanto  el  lenguaje  algebraico,  como  las 

propiedades  de  la  igualdad,  las  operaciones  con  números  reales,  los  productos 

notables, entre otros, te servirán de base para lograr los próximos aprendizajes.   

Ecuaciones Lineales 

Las ecuaciones con una variable o una incógnita son aquellas en las que aparece sólo 

una literal o letra (normalmente la x); y se dice que son de primer grado cuando dicha 

literal está elevada a la potencia 1. Por ello, las ecuaciones se pueden clasificar de 

acuerdo a su grado como:   

Ecuación lineal o de primer grado. Ejemplo:   

Ecuación cuadrática o de segundo grado. Ejemplo:   

Ecuación cúbica o de tercer grado. Ejemplo:    

y así sucesivamente.   

Una ecuación lineal o ecuación de primer grado con una incógnita es una expresión 

de la forma    

Algunos ejemplos son:   

Cualquier otra ecuación en la que se deban realizar operaciones, pero que adopten esa 

forma, serán llamadas ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita, como 

por ejemplo:   

Las tres ecuaciones anteriores aunque no tienen la forma ax+b, son ecuaciones de 

primer grado con una incógnita, pues sólo tienen una variable y está elevada a la 

potencia 1. Sólo se tienen que simplificar para llegar a la forma deseada.   

2.1. Solución de una ecuación lineal mediante el método formal   

Existen problemas cotidianos que se resuelven por medio de ecuaciones lineales, como 

la  distancia  que  recorre  un  objeto  con  un  movimiento  uniforme,  los  costos  de 

producción, el interés simple o  las mezclas en general. No puedes concebir una 

ecuación sin que esté relacionada con la resolución de un problema, ya sea en la 

sustitución de datos o en el despeje de alguna incógnita.   

Puedes resolver una ecuación de primer grado de tres formas; por el método formal 

que ocupa las propiedades de la igualdad, por el método de transposición o de 

despejes, y por el método gráfico. En ocasiones te conviene más utilizar una técnica 

por  las  características  de  la  ecuación,  el  problema  que  deseas  resolver  o  las 

intenciones que buscas. 

8

4

3

x

−

=

0 3 5

2_x2 _{− x+ =}

0

1

6

2

3

₋

_x

₊

_x

₊

₌

x

0 con

0 ≠

=

+b a

ax

,

50

10

8

x

+

=

x

−

5

=

7

,

−

2

x

+

13

=

5

,

7

2

8

7

x

+

=

x

−

5

+

3

=

−

2

,

Taller de Matemáticas I

12

Método formal 

Para resolver ecuaciones lineales mediante el método formal deberás indicar las 

propiedades de la igualdad y de los números reales que utilices.   

Ejemplo: problema de cantidad y valor.  

Juan tiene 15 pesos y desea repartirlos entre sus dos sobrinos.  

A Pepe le da 3 pesos, ¿cuánto le toca a Javier?   Plantea la   ecuación y resuélvela 

matemáticamente.   

Solución 

La ecuación de primer grado con una incógnita por resolver es:       

Tu trabajo consiste en averiguar cuánto vale x; mentalmente ya lo sabes, pero lo debes 

demostrar matemáticamente. 

Para aislar o averiguar el valor de x debes quitar el número 3; es decir, debes hacerlo 

cero, y eso lo logras sumándolo con su inverso aditivo que es ‐3. 

Recuerda que también debes restarlo al 15 para no alterar la igualdad.   

Generalmente en este paso, se te decía “el 3 pasa restando del otro lado”, pero ahora 

ya sabes por qué.  Entonces:   

Después de efectuar la operación ‐3+3=0, has obtenido el cero, 

entonces te  basas  en  los  hechos que  viste  para el  neutro 

aditivo, con lo que 0+x=x, y del otro lado 15‐3=12:   

Conclusión 

A Javier le corresponden 12 pesos.  

De ahora en adelante cuando resuelvas cualquier tipo de ecuación, siempre deberá ser 

comprobada para verificar que la solución es correcta.   

Comprobación 

Para comprobar que un valor es solución de una ecuación, lo colocas en el lugar de la 

incógnita y realizas las operaciones para verificar que la igualdad se cumple. Para el 

ejemplo:   

Por lo tanto, la ecuación se resolvió correctamente,  

Javier recibirá 12 pesos y Pepe solamente $3.   

Práctica

36

En una panadería se hizo un pedido de 20 donas de chocolate. El panadero puso 2 

donas  en  un  plato  y  las  restantes  las  depositó  en  nueve  canastitas  adornadas.  

¿Cuántas donas hay por canastita, si hay la misma cantidad en todas?    

15

3

+

x

=

3

15

3

3

+

+

=

−

−

x

12

0

+

x

=

12

=

x

15

3

+

x

=

15

12

3

+

=

2.2.  Solución  de  una  ecuación  lineal  mediante  el  método  de  transposición  de 

términos   

La transposición de términos es un método que te permite resolver ecuaciones de 

primer  grado  de  manera  sencilla  y  ahorrar  una  cantidad  significativa  de  pasos. 

También llamado solución por despejes. En esta técnica debes agrupar en un miembro 

todos  los  términos  con  la  incógnita  (por  ejemplo x),  y  en  otro,  los  términos 

independientes.   

El método de transposición  o de despejes abrevia el método formal ya que puedes 

hacer que un término que aparece en un miembro, aparezca de forma inversa en el 

otro,  sin  necesidad  de  indicar  la  o  las  propiedades  utilizadas;  es  decir,  realizar 

despejes: 

• Si un término está sumando en un miembro, aparece restando en el otro, y si 

está restando, aparece sumando. 

• Si un término está multiplicando en un miembro, aparece dividiendo en el otro, 

y si está dividiendo, aparece multiplicando.   

Ejemplo 1. Observa la transposición de la ecuación      :   

Solución: 

Ya  no  es  necesario  indicar  cada  propiedad  que 

apliques para despejar la incógnita. 

Con la ayuda de este método sólo tienes que hacer 

los siguientes pasos: 

• El número 8 que se estaba restando del lado 

izquierdo, pasa al lado derecho sumando. 

• El  2x  que  se  estaba  sumando  del  lado 

derecho, se pasa del lado izquierdo restando. 

• Por último, el 2 que multiplica a la incógnita, 

pasa del lado derecho dividiendo al 14, y así, 

el valor de x es 7. 

Comprobación: 

Sustituye el valor de x en la ecuación original:   

Práctica

37

En una tienda de ropa para dama, una empleada coloca el precio de $900 a un 

conjunto de dos piezas, con la leyenda de que ya tiene incluido un descuento del 25% 

sobre el precio de venta. ¿Cuál era el precio del conjunto antes del descuento?   

x

x

8

6

2

4

−

=

+

x

x

8

6

2

4

−

=

+

( )

7

8

6

2

( )

7

4

−

=

+

14

6

8

Taller de Matemáticas I

14

Se  mezcla  x  cantidad de café  cuyo  precio  es de  $69.60  por kilogramo,  con  80 

kilogramos de otro café cuyo precio es de $100.80 el kilogramo, para obtener una 

mezcla que puede venderse a $88.80 el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de $69.60 

deben emplearse en la mezcla?   

2.3. Solución de una ecuación lineal mediante el método gráfico  

Si recuerdas, una ecuación lineal o ecuación de primer grado con una incógnita es una 

ecuación de la forma:   

donde x es la incógnita y el coeficiente a puede ser una cantidad numérica diferente 

de cero.   

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal tiene las mismas características que 

cualquier otra ecuación: 

a) Toda ecuación tiene dos miembros separados por el signo igual. El de la 

izquierda  se llama primer miembro y  el de  la derecha se llama segundo 

miembro de la ecuación. 

b) Se les llama términos de la ecuación a cada una de las expresiones literales o 

numéricas separadas por los signos de suma o resta (+ o ‐), y también puede 

haber ecuaciones con un sólo término. 

c) Resolver una ecuación es hallar un número que al sustituirlo en la igualdad la 

haga verdadera, este número se denomina solución o raíz de la ecuación. 

d) El grado de la ecuación está indicado por el mayor exponente de la variable, 

que en este caso, siempre será 1.    

Para introducirnos de lleno al método gráfico, que es la tercera técnica de solución de 

una ecuación lineal, primero necesitas conocer algunos conceptos matemáticos. 

2.3.1.  Ecuación de primer grado con dos incógnitas  

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal con dos incógnitas se expresa como:   

Si recuerdas, en sesiones anteriores viste que el conjunto de los números reales se 

representa por la letra R (Figura 6), y que el símbolo ∈ significa pertenencia. Esto 

quiere decir que los coeficientes A, B y C pertenecen al conjunto de los reales, lo cual 

indica que pueden tomar cualquier valor: positivo, negativo, fraccionario, entero, 

racional o irracional, pero A y B deben ser diferentes de cero.   

La ecuación anterior involucra a dos variables o incógnitas, representadas por x y y, 

por lo que es evidente que la solución de ésta ecuación es una pareja de valores que 

satisfacen la igualdad.    

0

con

0

≠

=

+

b

a

ax

0 = +

+By C

Ejemplo: determina los valores de “x” y “y” que satisfacen la siguiente ecuación lineal 

con dos incógnitas x + y = 2.   

La solución más obvia es: x=1 y y=1, ya que 1 + 1 = 2 

Sin embargo, x=1.5 y y=0.5 también es una solución. Pero, también es una solución 

x=0.5 y y=1.5. Procediendo de esta manera puedes determinar un número infinito de 

soluciones.   

El procedimiento para  encontrar todas las  parejas de valores de “x” y “y”  que 

constituyen el conjunto solución de una ecuación lineal con dos incógnitas consiste en: 

1. Despeja cualquiera de las dos variables (comúnmente, se acostumbra   

despejar la incógnita “y” para que quede en función de x). 

2. Asígnale valores a la otra variable. 

3. Determina el valor que le corresponde a la variable que despejaste.   

Práctica

38

a) Dada la ecuación 5x + 2y – 3 = 0, encuentra al menos tres soluciones.   

b) En el parque de tu colonia se estableció una cancha de tenis pero sin tomar en 

cuenta las medidas reglamentarias. Lo único que sabes es que su perímetro es 

de 120 metros. ¿Cómo puedes saber cuánto miden sus lados?   

  Hasta lo que has visto ahora, ¿ya entendiste la diferencia entre una ecuación de primer grado con una incógnita y otra con dos incógnitas?, ¿no?

Analiza los siguientes ejemplos : 

Ecuación con una incógnita Ecuación con dos incógnitas 

Si se tiene la ecuación Si se tiene la ecuación

despejando la incógnita se obtiene : Lo primero que debe hacerse es 

expresarla como función,  despejando y:

Dando diferentes valores a x se obtendrán diferentes valores para y . Algunos de ellos pueden ser:

Si observas, en la ecuación lineal con una incógnita se obtiene un sólo valorque hace válida la igualdad, mientras que en la ecuación lineal con dos incógnitas, una de ellas se convierte en la variable dependiente(y), y toma infinitos valores dependiendo de los valores que se le asignen a la variable independiente (x). 

20 

2 

9x +  =

20 

2 9x + = 

2 20 

9 x = −

9 

18

= 

x 

2 

=

x 

0 7 2

4 x +  y −  = 

0  7  2 4x+ y − = 

2  7  2  4  ₊

− = x  y

x -2 -1 0 1 2

Taller de Matemáticas I

16

Práctica

39

Instrucciones:  plantea  la  ecuación  lineal  del  problema  y  resuélvela  mediante  el 

método de despejes.    

Problema de mezclas. 

¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $1000 cada uno,   deben mezclarse 

con 6 kilogramos de otro dulce que vale $750 el kilogramo, para vender la mezcla al 

precio de $900 por kilogramo?   

Problema de mezclas. 

Una florista vende un arreglo con dos docenas de flores en $750.  

El ramo está formado por rosas cuyo precio es de $500 la docena,  y de claveles a $300 

la docena. ¿Cuántas flores de cada especie debe poner para formar el ramo? 

Sugerencia: llama x al número de rosas, y 24‐x al número de claveles.   

Sesión

10

Los temas a revisar el día de hoy son:        2.3.2. Introducción a las funciones        2.3.3. Plano cartesiano 

      2.3.4. La función lineal y su relación con la ecuación lineal          2.3.5. Graficación mediante tabulación  

      2.3.6. Graficación a partir de la pendiente y la ordenada al origen        2.3.7. Graficación por medio de las intersecciones con los ejes   

2.3.2. Introducción a las funciones 

El concepto de función implica la asociación entre los elementos de dos conjuntos, que 

por lo general son números, y cuya correspondencia se establece mediante una regla 

de asociación.   

Algunos sucesos que ocurren en tu entorno son ejemplos sencillos de funciones:   

• Cuando viajas en autobús o automóvil, en un tiempo determinado recorres 

distancias que dependen de la velocidad con que se desplaza el vehículo. La 

distancia recorrida está en función de la velocidad, y como sabes, la regla de 

asociación es: distancia=velocidad por tiempo.    

• La temperatura o el grado de humedad ambiente a lo largo de un día depende 

de la hora; es decir, con cada hora está asociada una determinada temperatura 

o cierto grado de humedad, de manera que la temperatura o humedad están 

en función de la hora del día.   

• Al depositar dinero en un banco a cierta tasa de interés, obtienes una ganancia. 

Dicha ganancia está en función de la tasa de interés.  

• Una relación establece la correspondencia o asociación entre los elementos de 

dos conjuntos de objetos.  

Ejemplo   

• A cada persona se le asocia:      una edad,           una estatura,           un peso, etc. 

• A cada automóvil se le asocia:     un modelo,  

        un número de motor,           un número de placas, etc. 

• En un almacén a cada artículo se le asocia:  un precio,  

        un número de inventario,           un volumen, etc. 

• A cada país se le asocia:         un régimen socioeconómico,  

        un nombre, 

        una superficie,  

Este 

estud un va espe

Una 

un p que 

del d

Una 

uno y algun   Para  Ejem   Ejem

En  e auto relac elem esta    Defin Si ca conju funci

Ma

18

tipo de rela dio de un d alor preciso

ra un result relación es 

rimer conju se llama co dominio le c función es y sólo un el nas relacion

distinguir e mplo: 

mplo: 

esta  relació móvil y el p cionados  co mento del do relación es nición de fu ada elemen unto Y a tr ión f de X e Dominio

arca de Autom

Fiat Renault

Citröen Toyota

sidad CNCI d

aciones tam eterminado o, o bien, pa

tado. 

una regla d unto que se ontradomin corresponde

 una relaci emento de nes no son f entre unas y

ón  la  regla país al cual 

on  un  mis ominio le c s una funció unción 

nto de un 

ravés de un en Y. 

móvil

de México 

mbién se est o fenómeno ara hacer un

de correspo e llama dom nio, rango o e uno o más ón en la qu l rango. En 

funciones. y otras revis

a  de  corre pertenece. 

smo  eleme orresponde ón. 

conjunto X

na regla de Contra P Ita Fra Ja

Taller d

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ondencia qu minio con lo o recorrido

s elemento ue a cada e

consecuenc

sa los siguie

spondencia Observa cu ento  del  co

e uno y sólo

X se asocia e asociación

adominio aís alia ancia apón

de Matem

tre las varia raleza, soci ción de los 

ue se establ os elemento o, de tal ma

s en el rang elemento d cia, toda fu

entes ejemp

a  se  estab uáles dos el ontradomin o uno del co

a con exac n o corresp En 

cor ent cap del 

y só rela

máticas I

ables que in al, etc., ya s valores ent

lece entre l os de un se anera que a go. 

del dominio nción es un

plos: 

lece  entre 

ementos de nio;  sin  em ontradomin

ctamente u pondencia, 

esta  relac respondenc tre cada pa pital. Como 

dominio le ólo uno del 

ación es una

I 

ntervienen e sea para cal tre los cuale

os element egundo con a cada elem

o le corresp na relación,

una  marc el dominio 

mbargo,  a 

nio, por lo t

n elemento esto define ción  la  re cia  se  est aís y su res

a cada ele e correspon

rango ento a función.  

 3 y 4

en el 

lcular 

es se 

tos de 

junto 

mento 

ponde 

, pero 

ca  de 

están 

cada 

tanto, 

o del 

e una 

egla  de 

tablece 

pectiva 

emento 

de uno 

• El conjunto de imágenes f(x) constituyen el conjunto “Y”, al que se le conoce como 

rango, contradominio o recorrido de la función “f”. 

• Cada elemento del dominio se asocia con exactamente un elemento del rango, en 

otras palabras, un elemento del dominio se asocia con uno y sólo un elemento del 

rango. 

• Las imágenes “y” o f(x), que corresponden a los elementos “x” del dominio, se 

determinan mediante la regla de asociación o correspondencia. 

• En una función, dos o más elementos del dominio pueden asociarse con el mismo 

elemento del rango, cumpliéndose lo mencionado en la definición acerca de que a 

un elemento del dominio sólo lo corresponde un único elemento del rango. Sin 

embargo, el mismo elemento del dominio no puede asociarse con dos elementos 

diferentes del rango.    

Los siguientes casos ejemplifican funciones: 

x

x

x

x

f(x

)

f(x

)

f(x

)

f(x

)

f(x)

Conjunto

X Conjunto _Y

Dominio Rango

M M

• 

1

•

2  • 

3

• 

4

• 

5

9

•

11  •

13

• 

20

•

•

1

•

15

•

11

•

8

•

5

•

7

•

9

•

21

4

•

8

•

12

•

20

•

16

•

•

8 • 7

•

9

• 

6

• 

1

•

2

•

3

•

4

• 

5  _• 3

CASO 1

Dos  elementos del dominio se asocian con el mismo del rango.  Observa que al elemento 2 de X le corresponde  un único 

elemento de Y, el 11 . Aun cuando al elemento 11 de

Y ,  se  cumple con la definición de función . 

X Y  A B W  Z 

CASO 2

En tres ocasiones, parejas de elementos del conjunto

Ase asocian con el mismo elemento delconjuntoB. Aun así, se cumple con la definición de función.

CASO 3 

Todos los  elementos del conjunto Wse asocian con el mismo elemento del rango; aun así, se cumple que cada elemento del dominio se asocia con un sólo elemento del rango, por lo tanto es una función. De  la  definición  anterior  conviene 

destacar lo siguiente: 

• Al conjunto “X” se le conoce como 

el dominio de la función “f”. 

• Al elemento “y” que corresponde 

a determinado elemento “x” del 

dominio  se  le  conoce  como 

imagen de “x” bajo “f” y se denota 

Taller de Matemáticas I

20

Notación de funciones 

Los símbolos más usados para denotar funciones son: 

que se leen: 

la función f de X en Y 

  f aplica x en la obtención de f(x)  

  f aplica x en la obtención de y (esta notación es la que más usarás en este curso) 

Para denotar los elementos del dominio de una función se puede usar cualquier letra 

del alfabeto (excepto “y” para evitar confusiones): x, s, t, u, v, w, l, y para denotar el 

rango se usan los símbolos:    

Ejemplo: Uso de la simbología para identificar el dominio, rango y la expresión de la 

función. 

2.3.3.  Plano cartesiano 

La definición de función implica, como ya se explicó, la asociación entre los elementos 

de dos conjuntos dados, formándose parejas de elementos que pueden representarse 

como pares ordenados de valores, donde el primer elemento del par pertenece al 

dominio y el segundo al rango.   

Pares ordenados de valores  

Al asociar los elementos de los dos conjuntos se determinan pares ordenados de 

valores; se dice que son ordenados porque el primer elemento siempre proviene del 

primer conjunto y el segundo elemento del segundo conjunto.   

Un par ordenado de valores se representa colocando los elementos que lo constituyen 

dentro de un paréntesis separando los elementos con una coma. Por lo general, se 

identifica al par mediante una letra mayúscula, como se ilustra a continuación.    

Práctica

40

Representa en el plano cartesiano los siguientes pares ordenados:   

Dominio Rango Expresión

x t u

f(x) f(t) f(u)

) ( : x f x

f →

) ( :t f t

f →

) ( :u f u

f →

Y

X

f

:

→

f

:

x

→

f

(

x

)

f

:

x

→

y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

f

s

f

t

f

u

f

v

f

w

f

l

f

,

,

,

,

,

,

( )

5

,

2

B

( )

3

,

1

C

(

−

3

,

8

)

D

(

0

,

−

6

)

A

(

)

( )

(

)

( )

0

,

0

5

.

3

,

5

.

4

5

,

6

3

,

5

D

C

B

A

De acuerdo a la definición de función puedes identificar cuándo un conjunto de pares 

ordenados es una función o no.   

Recuerda: Una función f de X en Y, es un conjunto de pares ordenados de valores (x , 

y) tal que para cada x del dominio le corresponde una única “y” del rango. 

Si en ninguno de los pares ordenados del conjunto,  un mismo elemento del dominio 

se  encuentra  asociado  con  dos  elementos  diferentes  del  rango,  este  conjunto 

representa una función. Si no se da lo anterior, concluimos que no se trata de una 

función.   

Práctica

41

Verifica si los siguientes pares ordenados representan una función. 

(‐3,2)  (4,3)  (1,0) y (7,2)   

(4,‐2)  (5,7)  (‐8,‐3) (10,3) (‐3,5) (7,4) y (‐3,6)   

2.3.4. La función lineal y su relación con la ecuación lineal 

Cuando la asociación entre los elementos de dos conjuntos de números reales se 

establece  mediante  una  ecuación  de  primer  grado  o  ecuación  lineal  con  dos 

incógnitas, que viene a ser la regla de asociación o correspondencia, se define una 

función lineal.   

La función f definida por la ecuación de primer grado o lineal con dos incógnitas recibe 

el nombre de función lineal, donde m y b son constantes.   

La ecuación anterior se interpreta como la asociación entre los elementos de dos 

conjuntos de números reales, donde f “aplica” x en la obtención de y.   

La manera más usual de expresar la ecuación es:   

Anteriormente ya viste que la ecuación de primer grado o ecuación lineal con dos 

incógnitas se expresa de la siguiente forma:   

la cual puede transformarse en la ecuación y=mx+b, de la siguiente manera: 

b

mx

y

=

+

b

mx

y

x

f

(

)

=

=

+

_L

_L

_L

_L

(

1

)

0

=

+

+

By

C

Taller de Matemáticas I

22

2.3.5. Graficación mediante tabulación 

Ya que hiciste un repaso de cómo graficar, además de que conociste un poco de 

funciones y de ecuaciones lineales, ahora sí, vayámonos de lleno con la tercera y 

última técnica de solución de ecuaciones de primer grado: el método gráfico.   

Dada una ecuación que define a una función lineal, puedes determinar infinitos pares 

ordenados de valores que pertenezcan a ella; graficados estos en un plano cartesiano 

y unidos los puntos subsecuentes mediante una línea continua, obtienes la gráfica de 

la función.   

Ejemplo. Representa la gráfica de la función lineal definida por la ecuación: 

Solución 

Recuerda que estás determinando la asociación entre los elementos de dos conjuntos 

mediante una regla de correspondencia definida por la ecuación dada.   

B C Ax

y = − −

B C x B A y = − −

B A m = −

B C

b = −

b mx

y = + _LLLL (2)

C Ax

By = − −

mrepresenta la pendiente de la recta, es decir, la inclinación que la recta forma con el eje x. En este caso es el coeficiente de x.

bes la ordenada al origen, es decir, es el valor donde la recta corta, cruza o intersecta a la ordenada o eje y, además es el valor independiente de la ecuación (no se multiplica por alguna incógnita).

Del conjunto X, llamado dominio de la 

función, elige arbitrariamente cualquier 

elemento, por eso se le conoce como 

variable  independiente;  por  ejemplo, 

elegido x=‐3, veamos con cuál elemento 

Como pudiste ver en la figura, el elemento con el que se asocia del conjunto Y es ‐7, 

asegurando que con ningún otro; a estos elementos se les conoce como variable 

dependiente porque su valor depende del asignado a “x”.   

Para trazar la gráfica de la ecuación lineal necesitas realizar una tabulación; es decir, 

debes asignar valores a la incógnita “x” para calcular el valor de “y” correspondiente a 

cada uno de  ellos  y formar los pares  ordenados que se  localizarán en el plano 

cartesiano.    

Práctica

42

Está próximo tu cumpleaños y harás una fiesta mexicana con 10 deliciosos platillos 

para una taquiza. Si el kilo de tortillas cuesta 15 pesos, completa la siguiente tabla 

colocando el precio a pagar por x kilos de tortillas.    

Si llenas la tabla y graficas su contenido, ¿qué forma tendrá la gráfica? 

Kilos de 

tortillas 

Precio a 

pagar  1   15  

2  

3  

4  

5  

6  

7  

8  

x f(x) Pares ordenados

-3 -7 A(-3, -7)

0 2 B(0, 2)

3 11 C(3, 11)

5 17 D(5, 17)

La gráfica se obtiene uniendo

los puntos A, B, C, D

mediante una línea continua, como lo puedes observar en la figura 13.

Taller de Matemáticas I

24

2.3.6. Graficación a partir de la pendiente y la ordenada al origen   

En una función lineal hay dos valores que tienen mucha importancia, el primero es “b”, 

la ordenada al origen, que es el número en el que la función intersecta al eje de las 

ordenadas o eje “y”.  

El otro valor importante en una función lineal es “m”, la pendiente, la cual se define 

como el incremento en “y”, que se representa por Δy (se lee: delta y), entre el 

incremento en “x”, representado por Δx (delta x). Esta relación determina el número 

de unidades que cambia “y” por cada unidad de cambio en “x”:   

El signo de la pendiente influye directamente en la inclinación de la recta:   

Práctica

43

Ejemplo 1. Traza la gráfica de una función lineal que pasa por el par ordenado (‐1,1) y 

que tiene pendiente        .   

2.3.7. Gráfica por medio de las intersecciones con los ejes  

Existen ciertos pares ordenados característicos que facilitan la construcción de la 

gráfica de una función lineal.   

La función lineal representada gráficamente es una línea recta, y por lo mismo, es 

posible trazarla conociendo sólo dos puntos de la misma, lo que significa que para 

construir esa gráfica debes conocer dos pares ordenados de valores únicamente. Los 

pares ordenados más sencillos de determinar son aquéllos donde la gráfica de la 

función intersecta o cruza a los ejes coordenados. 

Práctica

44

Construye la gráfica de la función lineal definida por la ecuación   

determinando únicamente sus intersecciones con los ejes coordenados. 

Si m > 0, es decir, si es positiva:

La recta está inclinada hacia la derecha La recta está inclinada hacia la izquierdaSi m < 0, es decir, si es negativa:

Gráfica de la función g(x)= -x-5

Pendiente positiva

1 = m

Gráfica de la función h(x)=x+2

Pendiente negativa

1 − = m

En la Figura 24 se representan las gráficas de dos funciones lineales identificadas por (1) y (2).

La intersección de (1) con el ejexse identifica con A, la característica de este punto es que su ordenada y o f(x)es igual a cero.

La intersección de (1) con el ejeyse identifica con B, la característica de este punto es que la abscisa x es igual a cero.

Gráfica de dos funciones lineales intersectando los ejes 2

3 −

6

3

+

Taller de Matemáticas I

26

Sesión

11

Los temas a revisar el día de hoy son: 

3. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas     3.1. Clasificación de los sistemas de ecuaciones     3.2. Métodos de solución de sistemas 2×2        3.2.1. Método de suma y resta 

      3.2.2. Método de sustitución     3.2.3. Método de igualación        3.2.4. Método gráfico   

3. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas  

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las cuales se busca una 

solución común.  

Una solución común de un sistema de dos ecuaciones con dos variables es un par 

ordenado de valores que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas.    

A un sistema de ecuaciones también se le conoce con el nombre de ecuaciones 

simultáneas debido a que la solución de un sistema satisface todas las ecuaciones al 

mismo tiempo, es decir, simultáneamente.    

Definición  

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas o sistema de ecuaciones 2×2 o 

sistema de ecuaciones simultáneas, suele representarse empleando la letra “a” con 

los correspondientes subíndices para los coeficientes; la “x”, con sus subíndices para 

las incógnitas y la “b” para los términos independientes, por lo que su representación 

es:  

donde

a1,1= Coeficiente de la ecuación 1 y de la variable x1.

a1,2= Coeficiente de la ecuación 1 y de la variable x2.

a2,1= Coeficiente de la ecuación 2 y de la variable x1.

a_2,2= Coeficiente de la ecuación 2 y de la variable x₂.

x1= Incógnita 1 o literal 1.

x2= Incógnita 2.

b1= Término independiente 1.

b2= Término independiente 2.

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= +

= +

2 2 2 , 2 1 1 , 2

1 2 2 , 1 1 1 , 1

b x a x a

b x a x a

Intersección de dos planos

⎩ ⎨ ⎧

= +

= +

f ey dx

c by ax

Pero siste

3.1. C Al m casos   •   • Este  gráfi Por de e se c es ecu Obs Si incó que una en del esta •

, ¿cómo se ma de ecua Clasificació

omento de s: 

Sistema co

Sistema 

tipo de si ca son dos 

ejemplo, las ecuaciones lin

cortan ointer

decir, la s aciones 2 2

serva la soluc ⎩ ⎨ ⎧ − recuerdas, u ógnitas repre e un sistema a representac

el plano car sistema el as dos rectas

Sistema co una solució

La represent cortan en un punto son la

Por ejemplo ecuaciones:

se muestra e

e obtuvo la aciones 2×2

n de los sis e resolver u

ompatible. 

compatible stema adm rectas coin rectas que g neales 2 2:

rsectanen el

solución de es x=2 y y

ción en la Figu = + − = + 4 2 5 y x y x una ecuación esenta una

de dos ecu ción gráfica c rtesiano, sien punto de i s.

ompatible de ón.

tación gráfica n punto; los v solución al s

o, la única so

en la Figura 2 ⎩ ⎨ ⎧ + − 4 2 4 3 y x y x

a solución? , pero prim temas de e n sistema d

Este tipo d

e indetermi mite un núm

ncidentes. L genera el siste

punto:

el sistema y=3.

ura 1. n lineal con

recta, de m uaciones perm

como dos rec ndo la soluc intersección

eterminado.

a son dos rec valores dex

istema. olución del 2. = − = 16 6

? Más adel ero conoce ecuaciones 

de ecuacion

e sistema d

inado. Tien mero infin as dos ecua

F S ema de dos modo mite ctas ción n de Tiene solo

ctas que se y yde ese

sistema de

lante verás e la forma co

nes se pued

de ecuacion

e un núme ito de solu aciones son  Figura 1. Gráfica Su solución es x

Figur cione

s 5 formas 

omo se clas

den present

es si tiene s

ro infinito d uciones; su

equivalent

a de un sistema x=2 y y=3.

ra 2. Gráfica de u es 2 2. Su soluc

de resolve sifican. 

tar los siguie

soluciones. 

de solucion u represent tes y una de

a de ecuaciones

un sistema de e ción es x=2 y y=

er un 

entes 

nes.  

ación 

e ellas  s 2 2.