SEMANA 6 CONTROL 2 PREGUNTA 01 PAUTAS

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA

FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

JUEVES 31 DE JULIO DE 2008: 14:15-15:35

CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)

NOMBRE_______________________________SECCIÓN__11__

PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 1:

Considere los siguientes subconjuntos de c_$БÑ: W œ +  ,B  -B  .B −˜ # $ c ‘Ñ$Ð Î+  , œ !™ ß

X œ 1/8 "  B  B  B ß "  B  B ß "  B  B  #B˜ # $ # # $™ (1.1)

a) Encuentre una base de W Þ

b) Encuentre la dimensión de X Þ

(1.2) Encuentre W ’ X .

PONDERACIONES: (1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL

DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA

PAUTA DE CORRECCIÓN SECCIÓN 11

PREGUNTA 1: (1.1)

a) SOLUCIÓN:

1º) Notar que W œ +  ,B  -B  .B −˜ # $ c ‘Ñ$Ð Î+  , œ !™ W œ +  +B  -B  .B −˜ # $ c ‘$Ð ÑÎ+ß -ß . − ‘™

W œ +Ð"  BÑ  -B  .B Î+ß -ß . −˜ # $ ‘™

W œ 1/8 Ð"  BÑ à B à B˜ # $™ " 2º) ˜Ð"  BÑ à B à B# $™ es "candidato" a base de W.

Solo basta verificar que es linealmente independiente.

+Ð"  BÑ  -B  .B œ !# $ c$ Í +  +B  -B  .B œ !# $ c$

Ê + œ - œ . œ !Þ

Por lo tanto es linealmente independiente. " 3º) Luego;

es base de

˜Ð"  BÑ à B à B# $™ WÞ "

b) SOLUCIÓN:

1º) Veamos si

˜"  B  B  B ß "  B  B ß "  B  B  #B# $ # # $™ es L.I. "

2º)

!Ð"  B  B  B Ñ  Ð"  B  B Ñ  Ð"  B  B  #B Ñ œ !# $ " # # # $ c$

Ê   œ ! Ê œ  # à œ "

  œ !

   œ !

  # œ !

! " # ! # " #

! " # ! " #

! #

Luego, no es linealmente independiente. Por lo tanto, sacando un vector: ˜"  B  B  B ß "  B  B# $ #™ es obviamente L.I. ya que uno no es múltiplo del otro; y como además:

X œ 1/8˜"  B  B  B ß "  B  B ß "  B  B  #B# $ # # $™

X œ 1/8˜"  B  B  B ß "  B  B# $ #™

se tiene que ˜"  B  B  B ß "  B  B# $ #™ es base de XÞ "

3º) Por lo tanto:

(1.2) SOLUCIÓN:

1º) +  ,B  -B  .B# $ − W ’ X Í

+  ,B  -B  .B# $ − W • +  ,B  -B  .B# $ − X

Í !Ð"  BÑ  B  B œ Ð"  B  B  B Ñ  Ð"  B  B Ñ" # # $ - # $ % # $ 2º) lo que determina el siguiente sistema de ecuaciones:

! - %

! - %

" - %

#

-  œ !   œ !   œ !

 œ !

#

Ê Ä

" ! !  "  " " ! !  "  " " ! !  "  " ! ! ! ! ! ! " ! " " ! " ! " " ! ! " " ! ! ! " " !

Î Ñ Î Ñ

Ð ÓÐ Ó

Ð ÓÐ Ó

Ï Ò Ï Ò

Ä

" ! !  "  " ! " ! " " ! ! " " !

! ! ! ! !

Î Ñ

Ð Ó

Ð Ó

Ï Ò

Ê ! œ- % à " œ  Ð  Ñ à- % # œ - # 3º) Por lo tanto:

W ’ X œ ˜-Ð"  B  B  B Ñ  Ð"  B  B ÑÎ ß# $ % # - % − ‘™

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA

FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

JUEVES 31 DE JULIO DE 2008: 15:45-17:05

CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)

NOMBRE_______________________________SECCIÓN__12__

PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 1:

Considere los siguientes subconjuntos de ‘%:

W œ ÐBß Cß Dß >Ñ −˜ ‘%ÎC  > œ !™ ß

X œ 1/8 Ð"ß "ß  "ß  "Ñß Ð"ß "ß  "ß !Ñß Ð"ß "ß  "ß  #ј ™ (1.1)

a) Encuentre una base de W Þ

b) Encuentre la dimensión de X .

(1.2) Encuentre W ’ X .

PONDERACIONES: (1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL

DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA

PAUTA DE CORRECCIÓN SECCIÓN 12

PREGUNTA 1:

(1.1)

a) SOLUCIÓN:

1º) Notar que W œ ÐBß Cß Dß >Ñ −˜ ‘%ÎC  > œ !™ W œ ÐBß Cß Dß CÑ −˜ ‘%ÎBß Cß D − ‘™

W œ BÐ"ß !ß !ß !Ñ  CÐ!ß "ß !ß "Ñ  DÐ!ß !ß "ß !ÑÎBß Cß D −˜ ‘™

W œ 1/8 Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !ß "Ñß Ð!ß !ß "ß !ј ™ " 2º) ˜Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !ß "Ñß Ð!ß !ß "ß !Ñ™es "candidato" a base de W

Solo basta verificar que es linealmente independiente. BÐ"ß !ß !ß !Ñ  CÐ!ß "ß !ß "Ñ  DÐ!ß !ß "ß !Ñ œ Ð!ß !ß !ß !Ñ Ê B œ C œ D œ !Þ

Por lo tanto es linealmente independiente. " 3º) Luego;

es base de

˜Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !ß "Ñß Ð!ß !ß "ß !Ñ™ WÞ "

b) SOLUCIÓN:

1º) Veamos si

˜Ð"ß "ß  "ß  "Ñß Ð"ß "ß  "ß !Ñß Ð"ß "ß  "ß  #Ñ™ es L.I. "

2º) !Ð"ß "ß  "ß  "Ñ  Ð"ß "ß  "ß !Ñ  Ð"ß "ß  "ß  #Ñ œ Ð!ß !ß !ß !Ñ" #

Ê   œ ! Ê œ  # à œ "

  œ !

   œ !

  # œ !

! " # ! # " #

! " # ! " #

! #

Luego, no es linealmente independiente. Por lo tanto, sacando un vector: ˜Ð"ß "ß  "ß  "Ñß Ð"ß "ß  "ß !Ñ™ es obviamente L.I. ya que uno no es múltiplo del otro; y como además:

X œ 1/8˜Ð"ß "ß  "ß  "Ñß Ð"ß "ß  "ß !Ñß Ð"ß "ß  "ß  #Ñ™ X œ 1/8˜Ð"ß "ß  "ß  "Ñß Ð"ß "ß  "ß !Ñ™

se tiene que ˜Ð"ß "ß  "ß  "Ñß Ð"ß "ß  "ß !Ñ™ es base de X "Þ

3º) Por lo tanto:

(1.2) SOLUCIÓN:

1º) ÐBß Cß Dß CÑ− W ’ X ÍÐBß Cß Dß CÑ− W •ÐBß Cß Dß CÑ− X

ÍÐBß Cß Dß CÑœ!Ð"ß !ß !ß !Ñ"Ð!ß "ß !ß "Ñ#Ð!ß !ß "ß !Ñ− W # œ-Ð"ß "ß  "ß  "Ñ%Ð"ß "ß  "ß !Ñ− X " 2º) !Ð"ß !ß !ß !Ñ"Ð!ß "ß !ß "Ñ#Ð!ß !ß "ß !Ñœ

œ-Ð"ß "ß  "ß  "Ñ%Ð"ß "ß  "ß !Ñ lo que determina el siguiente sistema de ecuaciones:

! - %

" - %

# - %

"

-  œ !   œ !   œ !

 œ !

#

Ê Ä

" ! !  "  " " ! !  "  " ! " !  "  " ! " !  "  " ! ! " " " ! ! " " "

! " ! " ! ! ! ! # "

Î Ñ Î Ñ

Ð ÓÐ Ó

Ð ÓÐ Ó

Ï Ò Ï Ò

Ä

Î Ñ

Ð Ó

Ð Ó

Ð Ó

Ï Ò

" ! ! !  ! " ! !  ! ! " ! ! ! ! "

Ê œ œ à œ œ  #

" # " # " # " #

" "

# #

! " % # - %

3º) Por lo tanto:

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA

FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MARTES 29 DE JULIO DE 2008: 15:45-17:05

CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)

NOMBRE_______________________________SECCIÓN__13__

PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__

(1.1) (1.2)

TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 1:

Considere los siguientes subconjuntos de `_{# B #}БÑ:

W œ B C − Ð ÎC  D œ !

D >

˜_{Œ } `_{# B #} ‘Ñ ™ ß

X œ 1/8  "  " ß  "  " ß  "  "

" " " ! " #

˜_{Œ  Œ  Œ }™

(1.1)

a) Encuentre una base de W Þ

b) Encuentre la dimensión de X Þ

(1.2) Encuentre W ’ X .

PONDERACIONES: (1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL

DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA

PAUTA DE CORRECCIÓN SECCIÓN 13

PREGUNTA 1: (1.1)

a) SOLUCIÓN:

1º) Notar que W œ B C − Ð ÎC  D œ !

D >

˜_{Œ } `_{# B #} ‘Ñ ™

W œ B C − Ð ÎBß Cß > −

C >

˜_{Œ } `_{# B #} ‘Ñ ‘™

W œ B " !  C ! "  > ! ! ÎBß Cß > −

! ! " ! ! "

˜ _{Œ  Œ  Œ } ‘™

W œ 1/8 " ! ß ! " ß ! ! "

! ! " ! ! "

˜_{Œ  Œ  Œ }™

2º) ˜Œ" ! Œ! " Œ! !™ es "candidato" a base de

! ! ß " ! ß ! " W.

Solo basta verificar que es linealmente independiente. B " !  C ! "  > ! ! œ ! !

! ! " ! ! " ! !

Œ  Œ  Œ  Œ 

Ê B œ C œ > œ !Þ

Por lo tanto es linealmente independiente. " 3º) Luego;

es base de

˜_Œ" !_{ Œ}! "_{ Œ}! !_™

! ! ß " ! ß ! " WÞ "

b) SOLUCIÓN:

1º) Veamos si

es L.I.

˜_Œ  "  "_{ Œ}  "  "_{ Œ}  "  "_™

" " ß " ! ß " # "

2º)

!Œ  "  " "Œ  "  " #Œ  "  " Œ! !

" "  " !  " # œ ! !

Ê    œ ! Ê œ  # à œ "

   œ !

  œ !

 # œ !

! " # ! # " #

! " # ! " #

Luego, no es linealmente independiente. Por lo tanto, sacando un vector: ˜_Œ  "  "_{ Œ}  "  "_™ es obviamente L.I. ya que

" " ß " !

uno no es múltiplo del otro; y como además:

X œ 1/8  "  " ß  "  " ß  "  " " " " ! " #

˜_{Œ  Œ  Œ }™

X œ 1/8  "  " ß  "  " " " " !

˜_{Œ  Œ }™

se tiene que ˜_Œ  "  "_{ Œ}  "  "_™ es base de

" " ß " ! X "Þ

3º) Por lo tanto:

.37 ÐX Ñ œ # "

(1.2) Encuentre W ’ X . SOLUCIÓN:

1º) _ŒB C_{ Œ}B C_{ Œ}B C_

D > − W ’ X Í D > − W • D > − X

Í B C œ " !  ! "  ! ! − W D > ! ! " ! ! "

Œ  !Œ  "Œ  #Œ  #

œ  "  "   "  " − X " " " !

-_{Œ } %_{Œ } "

2º)

!Œ" ! "Œ! " #Œ! ! -Œ  "  " %Œ  "  "

! !  " !  ! " œ " "  " !

lo que determina el siguiente sistema de ecuaciones:

! - %

" - %

" - %

# -  œ !   œ !   œ !  œ ! # Ê Ä

" ! ! " " " ! ! " " ! " ! " " ! " ! " " ! " !  "  " ! ! !  #  # ! ! "  " ! ! ! "  " !

Î Ñ Î Ñ

Ð ÓÐ Ó

Ð ÓÐ Ó

Ï Ò Ï Ò

Ä Ä

" ! ! " " " ! ! ! ! ! " ! " " ! " ! ! ! ! ! "  " ! ! ! " ! " ! ! ! " " ! ! ! " "

Î Ñ Î Ñ

Ð ÓÐ Ó

Ð ÓÐ Ó

Ï Ò Ï Ò

Ê ! œ ! à " œ ! à # œ % à - œ % # 3º) Por lo tanto:

W ’ X œ  ! ! Î − œ 1/8 ! ! "

! " ! "