Álgebra 1ro Sec - III

Prof: José Enrique Malpartida R.

Tema 19

PRODUCTOS NOTABLES I

1ro Secundaria

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa por simple observación sin necesidad de efectuar la multiplicación.

Los productos aquí mencionados se obtienen por la multiplicación de binomios iguales. Los principales productos son:

I. BINOMIO AL CUADRADO: Estre producto está dado

según sea el binomio una suma o diferencia.

< Binomio suma al cuadrado:

(a + b) = a + 2ab + b2 2 2

< Binomio diferencia al cuadrado:

(a - b) = a - 2ab + b2 2 2

OBSERVACIÓN: Al desarrollo de un binomio al cuadrado se

le denomina Trinomio cuadrado perfecto (TCP). Es decir: a ± 2ab + b2 2

ÆÅÅÅÅÅÅÅÅÅÈÅÅÅÅÅÅÅÅÅÇ

T. C. P.

Equivalencias de legendre: Son equivalencias que se

deducen de los binomios del cuadrado. A estas equivalencias se les conoce como “las identidades de LEGENDRE”

(a + b) + (a - b) = 2(a + b ) ... I2 2 2 2 (a + b) - (a - b) = 4ab ... II2 2

II. BINOMIO AL CUBO:

< Binomio Suma al cubo:

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b3 3 2 2 3

< Binomio Diferencia al cubo:

(a - b) = a - 3a b + 2ab - b3 3 2 2 3

Equivalencias de Cauchy.- Conocidas también como

identidad de Cauchy, aquí se expresa el desarrollo del binomio al cubo en su forma abreviada:

(a + b) = a + b + 3ab (a + b)3 3 3 (a - b) = a - b - 3ab (a - b)3 3 3

ACTIVIDAD

Desarrollar en cada caso:

1. (x + 2) =2 2. (x + 2) =5 2 3. ( - ) =2 4. (5x + 2y) =2

5. =

Efectuar en cada caso:

6. (3x + 2) + (3x - 2)2 2

Rpta. _____________ 7. ( + ) + (2 - )2

Rpta. _____________ 8. (x + x ) - (x - x )-1 2 -1 2

Rpta. _____________

09. ( + ) - (2 - )2

Rpta. _____________

10. Reducir la expresión:

K = (x + 1) + (x + 3) - 2(x + 2)2 2 2

Rpta. _____________

11. Reducir:

M = (x + 5) - (x - 5) + 3 + 20 x2 2

Rpta. _____________

Desarrollar los siguientes binomios al cubo:

12. (x + 1) =3 13. (x + 2) =4 3 14. (2x + 3) =3 15. ( - 1) =3

Resolver en su forma abreviada los siguientes binomios al cubo:

16. (x + 3) =3 17. (4x - 1) =3 18. (X - ) =3

19. Reducir:

K = (2x + 1) + 4x (x-1) - 8x2 2

Rpta. ______________

M = ( + 3) + (2 - 2) - 22

Rpta. ______________

21. Si: x + = 2 Calcular: x + x2 -2

Rpta. _____________ 22. Calcular:

K =

Si se sabe que: a + = 5

Rpta. _____________

PARA TU CUADERNO

D e s ar r olla r en ca d a ca so :

0 1. ( 2x - 3) =2 0 2. ( x + 2 ) =2 0 3. ( x - 1) =2 0 4. ( x + x ) =-2 2

E f ec tu a r en ca d a ca so :

0 5. ( 4x + 3 ) + ( 4x - 3)2 2

R p ta . __ __ __ __ _

0 6. ( ) + (2 )2

R p ta . __ __ __ __ _ 0 7. ( 5x + 2 ) - (5 x - 2)2 2

R p ta . __ __ __ __ _

D e s ar r olla r en ca d a ca so :

0 8. ( 2x - 2) =3 0 9. ( X + 3 ) =5 3

R e s o lv er e n s u f o rm a a b re via d a:

1 0. ( x + ) =3

11. (x - ) =3

12. S i se s ab e :

x + y = 7 62 2 xy = 12 H a lla r x + y

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Tema 20

PRODUCTOS NOTABLES II

Los productos aquí mencionados se obtienen por la multiplicación de dos binomios diferentes que tienen ciertas características.

I. Producto de la suma por la diferencia:

< Diferencia de cuadrados: (a + b) (a - b) = a - b2 2

II. Producto de multiplicar dos binomios con término común:

< Equivalencia de Steven.

(x + a) (x + b) = x + (a + b)x + ab2

III. Producto de la multiplicación de un binomio por un trinomio:

< Suma o Diferencia de cubos: Suma de cubos:

(a + b) (a - ab + b ) = a + b .2 2 3 3 Diferencia de cubos:

(a - b) (a + ab + b ) = a - b .2 2 3 3

ACTIVIDAD

01. Efectuar:

< (a + 2) (a - 2) =

< (m + 5) (m - 5) =

02. Efectuar:

< (x -3) (x + 3) =

03. Efectuar:

< (m + 1) (m - 1) =5 5

< (x - 1) (x + 1) =20 20

04. Efectuar:

< (a + b) (a - b) =15 15

05. Efectuar:

< ( x + 2 ) ( x - 2 )

06. Efectuar:

< (3 a + 4 ) (3 a - 4 )

07. Efectuar:

< (ma+3 + 2) (ma+3 - 2)

08. Efectuar:

< (2x3+c + ) (2x3+c - )

09. Efectuar:

< (

10. Efectuar:

< (3 + a ) (3 - a ) 3 3

11. Efectuar:

<

12. Efectuar:

< (x + 5) (x + 4) =

13. Efectuar:

< (x + 6) (x + 3) =

14. Efectuar:

< (x + 20) (x + 10)=

15. Efectuar:

< (x - 5) (x - 2)=

< (x - 7) (x - 8)=

< (x - 13) (x - 4)=

16. Efectuar:

< (2x + 5) (2x - 6)=

17. Efectuar:

< (2y + 6) (2y - 5)=

18. Efectuar:

< (3x + 12) (3x - 10) =

19. Efectuar:

< (3y - 5) (3y + 8)

< (5x - 10) (5x + 6)

< (4x - 7) (4x + 2)

20. Efectuar:

PARA TU CUADERNO

0 1. E fe ct u ar :

< (m + 2) (m - 2m + 4) =2

< (x + 3) (x - 3x + 4) =2

0 2. E fe ct u ar :

< (a - 5) (a + 5a + 25) =2

< (b - 4) (b + 4b + 16) =2

0 3. H a lla r el eq u iv ale n te d e :

< a + 8 =3

< m12 + y = 6

0 4. H a lla r el eq u iv ale n te :

< x - 12 5 =3

< x - 64 =6

0 5. C a lc u la r el eq u iv ale n te :

< 1 25 x y6 12 + 8 z18 =

0 6. C a lc u la r el eq u iv ale n te :

< 2 19 7x + 1 72 8y = 3 6

0 7. R e d u cir :

< ( + 1 ) ( - + 1 )

0 8. R e d u cir :

< M = (m + 1) (m - m + 1) (m - m + 1) - m2 6 3 9

0 9. C a lc u la r:

< K = (a + 1) (a - a + 1) - 12

1 0. C a lc u la r:

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Tema 21

DIVISIÓN ALGEBRAICA I

En aquella operación por la que dadas dos cantidades llamadas Dividendo y Divisor, al dividirlas se encontrará otras dos llamadas cociente y residuo.

Es decir:

D |d º D |d R q

ˆ

D = d x q + R Donde : D = dividendo

d = divisor q = cociente r = residuo

Casos de la división:

Tenemos dos casos:

1. División de Monomios.- Para dividir monomios primero

se dividen sus coeficientes y a continuación se coloca la parte literal afectada por la ley exponencial respect a la división de .... iguales.

Ejemplos:

<

<

2. División de un polinomio entre un monomio: Para

dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio separadamente entre el monomio divisor, es decir aplicar divisor común para luego sumar algebraicamente cada uno de los resultados obtenidos.

Ejemplo:

Dividir:

Solución:

= 15x y + 5xy - 2x y2 4 2 7 10

ACTIVIDAD

01. Efectuar:

< =

02. Efectuar:

< =

03. Efectuar:

< =

04. Efectuar:

< - =

05. Dividir:

< =

06. Dividir:

< =

07. Dividir:

< =

08. Dividir:

<

09. Dividir:

<

10. Dividir:

<

11. Dividir:

<

12. Dividir:

<

Calcular: k + q

13. Hallar “A - B” si:

A = ; B =

A = B = C =

15. De la división:

<

Calcular 2a + 5b

16. Dividir:

<

17. Dividir:

<

18. Dadas las divisiones:

A = - 8 m ÷ -4 4 m2 B = - 25 m ÷ 8 m6

19. Hallar A + B si:

A = B =

20. De la división:

<

Calcular el grado del cociente

PARA TU CUADERNO

0 1. H a lla r:

0 2. D iv id ir :

03 . H alla r el p ro d u ct o de los co ef icie n te s d e P y Q si:

< P = - 12 m n ÷ 6 m n6 4 4 2

< Q = 32 m n ÷ 8 m m6 8 4 5

0 4. Al d iv id ir :

<

D el c oc iente, H allar K + P.

0 5. D e la d iv is ió n :

<

C a lc u la r el gr ad o de l c o c ie nte :

0 6. D iv id ir :

<

0 7. D iv id ir :

<

0 8. Al d iv id ir :

<

C alcular: G R (x) - G R (y)

0 9. L u e go d e d iv id ir :

<

E l G R (b) del c oc iente es :

1 0. Al d iv id ir :

<

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Tema 22

DIVISIÓN ALGEBRAICA II

División de polinomios: Para dividir dos polinomios existen

diversos métodos cuyos procedimientos presentan reglas particulares que hacen fácil el cálculo del cociente y residuo.

I. Método clásico o división normal: Para dividir dos

polinomios, previamente completo y ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una misma variable, debemos seguir los siguientes pasos:

1. Se escriben en línea horizontal uno a continuación de otro utilizando el signo de la división aritmética. 2. Se divide el primer término del dividendo entre el

primer término del divisor obteniendo el primer término del cociente.

3. Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan los resultados con signos cambiados debajo de los correspondientes términos del dividendo.

4. Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente.

5. Luego se procede como en el tercer paso, es decir, se efectúan las mismas operaciones anteriores. Así hasta que el resto sea de grado menor que el del divisor.

Ejemplo:

Efectuar:

Solución: se observa que:

/[D(x)] = 4

/[d(x)] = 2

Entonces:

/[q(x)] = /[D(x)] - /[d(x)]

/[q(x)] = 4 - 2 º/[q(x)] = 2

también:

Max /[R(x)] = 2 - 1 = 1

Antes de efectuar la división tener presente que los polinomios deben estar completos y ordenados.

Luego:

q(x) = 3x + 2x + 12 r(x) = 5x + 2

II. Método de los coeficientes separados:

- Este método es recomendable para polinomios de una sola variable. Como su nombre lo indica, se debe trabaja únicamente con los coeficientes en forma

separadas, la distribución de sus términos es la misma que en el método normal, colocando ceros en los términos que faltan.

- Para determinar el grado del cociente y el resto se debe aplicar la propiedad del grado.

Ejemplo:

Dividir:

Los grados del cociente y residuo son:

/[q(x)] = 4 - 2 = 2 Max /[R(x)] = 2 - 1 = 1

Tomando la distribución en los coeficientes en la división:

6 + 13 + 5 + 6 + 1 2 + 3 - 1 -6 - 9 3 3 2 1

4 8 6 -4 -6 2

2 8 1 -2 -3 1

5 2 Luego:

q(x) = 3x + 2x + 12 R(x) = 5x + 2

III. Método de Horner:

Este método es un caso particular del método de coeficientes separados y se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado.

El procedimiento es el siguiente:

1. Se colocan los coeficientes del dividendo (horizontal) y divisor (vertical)

2. Se escriben los coeficientes del divisor en una columna, el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signos cambiados.

3. Las líneas punteadas (discontinuas) son importantes ya que separan al cociente del residuo y para su trazo sólo observaremos el grado del divisor.

4. La división comienza dividiendo el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del cociente.

5. El primer coeficiente del cociente obtenido multiplica a los demás coeficientes del divisor (coeficientes fue cambian de signos) uno a uno. 6. Los resultados se ubicarán en las siguientes

columnas, corriendo un lugar hacía la derecha. 7. Las cantidades que se encuentran en la segunda

obtener así el segundo término del coeficiente. El procedimiento se repetirá hasta llegar a las líneas punteadas.

8. Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen al residuo.

Ejemplo:

Dividir:

Solución:

Los grados del cociente y residuo serán:

/[q(x)] = 4 - 2 = 2 Máx /[R(x)] = 2 - 1 - 1

2 6 13 5 6 1 -3 -9 3

+1 -6 2

-3 1 3 2 1 5 2

ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ

coeficientes de “q” coeficientes de “R” Luego: q(x) = 3x + 2x + 12

R(x) = 5x + 2

III. Método de Ruffini: Este es un caso particular del

método de Horner.

El método de Ruffini nos permite encontrar el cociente y residuo cuando el divisor es un binomio de la forma (ax ± b) o transformable de ella.

Se debe observar y tener presente que el polinomio dividendo sea completo y ordenado, si faltase algún término lo reemplazamos con ceros hasta completarlos.

Es decir, si:

Entonces: Q(x) =

De igual forma que el método de Horner, utilizaremos solo coeficientes empleando para la división el siguiente esquema.

divisor

DIVIDENDO

9

COCIENTE Resto

PROCEDIMIENTO:

1. Se coloca en posición horizontal el dividendo (coeficientes)

2. Se iguala el divisor a cero y se despeja la variable. 3. Dicho valor despejado se ubicará en el esquema

donde se indica el divisor.

4. Se baja el primer coeficiente de D(x) que se multiplicará con el valor de despejando del segundo coeficiente de D(X).

5. Se suman los valores de la segunda columna cuyo resultado se volverá a multiplicar con el valor encontrado. Procedimiento que se repetirá hasta concluir la división (cuando se haya llegado a la última columna).

6. En la última columna se reducen los términos, el resultado obtenido será el residuo a calcular. 7. Para obtener el cociente Q(x) a los coeficientes

del cociente (obtenido) se les divide con el primer coeficiente del divisor.

Ejemplo: Dividir

5x - 1 = 0 10 3 -6 4 x =

9

2 1 -1 10 5 -5 3 ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ

Cociente obtenido Luego:

Q(x) =

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ACTIVIDAD

01. Efectuar:

< Rpta: __________

02. Efectuar:

< Rpta: __________

03. Efectuar:

< Rpta: __________

04. Efectuar:

< Rpta: __________

05. Efectuar:

< Rpta: __________

06. Efectuar:

< Rpta: __________

07. Efectuar:

< Rpta: __________

08. Efectuar:

< Rpta: __________

09. Efectuar:

< Rpta: __________

10. Efectuar:

< Rpta: __________

11. Hallar el valor de m para que la dirección sea

exacta:

< Rpta: _________

12. Hallar el residuo luego de dividir:

< Rpta: __________

13. Al efectuar la siguiente división:

<

Indicar su cociente: Rpta: _______________

14. Dividir:

< Rpta: __________

15. Dividir:

PARA TU CUADERNO

01. Dividir aplicando el método de Ruffini:

<

02. Efectuar:

<

03. Efectuar:

<

04. Efectuar:

<

05. De la división:

<

06. Efectuar:

<

07. Efectuar:

<

0 8. E fe ct u ar :

<

0 9. E fe ct u ar :

<

1 0. E fe ct u ar :

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Tema 23

FACTORIZACIÓN I

Lo que corresponde a factorización I es el estudio de los siguientes métodos de factorización que a la vez llevan consigo sus respectivas variantes:

I. Método del factor común: El método del factor común

puede ser de tres tipos:

A) Factor Común monomio: Cuando el factor común,

en todos los términos del polinomio es un monomio: Ejemplo:

Factorizar: P(x) = xa + xb + xc - Factor común : x

- Factorizando :

P(x) = xa + xb + xc = x(a + b +c)

Obs: Si la variable común es una letra con diferentes exponentes en todos los términos, extraemos dicha letra con su menor exponente.

Ejemplo

Factorizar: P(x) mx - nx + px3 2 5

- Factor común: x (letra con su menor exponente)2 - Factorizando:

P(x) = mx - nx + px = x (mx - n + px )3 2 5 2 3

Obs: Si en la expresión a factorizar existen coeficientes numéricos y letras con diferentes exponentes entonces el factor común monomio está formado por el máximo común divisor (M.C.D.) De los coeficientes y las letras comunes elevadas a su menor exponente:

Ejemplo:

Factorizar: P(x, y) = 3x y - 12x + 9x2 5 7 Cálculo del M.C.D.: (3, 12, 9) = 3 - Factor común: 3x2

- Factorizando:

P(x,y) = 3x y - 12x + 9x = 3x (y - 4x + 3x )2 5 7 2 3 5

B) Factor común polinomio: Cuando existe un

polinomio contenido en todos los términos del polinomio considerado.

Al extraer este polinomio común (factor común) procederemos en la misma forma que un factor común (monomio) cuidando que nuestro polinomio común esté encerrado bajo un signo de colección (paréntesis o corchete).

Ejemplo:

Factorizar: P(x, y) = (x - y) a + (x - y)b Factor común: x - y

Factorizando:

P(x, y) = (x - y) a + (x - y)b = (x - y) (a + b)

C) Factor común por agrupación de términos: Se

agruparon los términos de 2 en 2, o de 3 en 3, etc., de acuerdo con el número exacto de grupos que se pueden formar, de modo que resulte un factor común

polinomio. Ejemplo:

Factorizar: P(x,y) = ax - bx + ay - by agrupando:

P(x,y) = ax - bx + ay - by = x(a-b)+y(a-b) = (a-b) (x+y)

II. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES:

Este método se basa en los productos notables, a los que también se les llama IDENTIDADES ALGEBRAICAS.

A) DIFERENCIAS DE CUADRADOS:

Reglas práctica:

a2m - m = (a + n ) (a - b )2n m n m n

9

9

%& %&

a bm n

Según la regla práctica, se extrae la raíz cuadrada a los dos términos, siendo los factores, la suma y la diferencia de los resultados (raíces) obtenidos.

Ejemplo:

Factorizar: P(x) = x - y2 4 x - y = (x + y ) (x - y )2 4 2 2

9

9

%& %&

x y2

B) Trinomio cuadrado perfecto (T.C.P)

Regla práctica:

a2m± 2amC b + b = (a ± b )n 2n m n 2

9

8

9

%&: am bn 2(a )(b )m n

Según la regla práctica se le extrae la raíz cuadrada a los extremos. Si el doble producto de los resultados obtenidos es igual al término central entonces la factorización procede. (Esto representa la forma de reconocer un T.C.P.)

Ejemplo:

Factorizar: P(x,y) = x + 8xy + 16y2 2 Sol:

Comprobando si. P(x,y) es T.C.P. P(x,y) = x + 8xy + 16y = (x + 4y)2 2 2

9

8

9

%&: x 4y 2(x)(4y)

C) Suma de Cubos:

Regla práctica

a3m + b = (a + b ) (a3n m n 2m - a b + b )m n 2n

9

9

%&: a b

3 m n

forma dos factores, uno será un binomio y el otro un trinomio según la regla indicada:

Factorizar: P(x) = x + 89

P(x) = x + 8 = (x + 2) ((x )) - (x ) (2) +2 )9 3 3 2 3 2

9

9

%&: x 2 = (x + 2) (x - 2x + 4)

3 3 3 6 3

D) Diferencia de cubos:

Regla práctica:

a3m - b = (a - b ) (a3n m n 2m + a b + b )m n 2n

9

9

%&: a b

3 m n

Ejemplo:

Factorizar: P(x) = x - 273

P(x) = x - 27 = (x - 3) (x + (x) (3) + 3 )3 2 2

9

9

%&: x 3 = (x - 3) (x

2

+ 3x + 9)

3

ACTIVIDAD

01. Factorizar:

< a + ab = 2

< m + m =4 2

02. Factorizar:

< 3x - 3y = 4 3

< 5m + 4mn =2

03. Factorizar:

< 2x + 4x + 8xy =6 3

< 25a - 30a + 15a =8 4 9

04. Factorizar:

< 6x y + 12xy - 18x y =2 3 6 7

< 9a + 3a - 18a =3 2

05. Factorizar:

< 120x y z + 60x y z10 20 30 40 30 45

06. Factorizar:

< 40a b - 48a b + 56a b15 15 20 20 13 62

07. Factorizar:

< 2 a b + 32 8 b d - 54 6 b c6 3

08. Factorizar:

<

Rpta: ____________

11. Factorizar:

Rpta: ____________

12. Factorizar:

Rpta: ____________

13. Factorizar:

2a(a + b) + m(a + b) Rpta: ____________

14. Factorizar:

a(x + 2) - 5(2 + x) Rpta: ____________

15. Factorizar:

x(a + 1) - a - 1 Rpta: ____________

16. Factorizar:

a + 1 - p (a + 1)2 2 Rpta: ____________

17. Factorizar:

Prof: José Enrique Malpartida R.

19. Factorizar:

(x + 2) (a - 2) . (x - 2) (a - 2) Rpta: ____________

20. Factorizar:

(x + m) (x + 1) - (x + 1) (x - m) Rpta: ____________

PARA TU CUADERNO

0 1. F ac to r iz a r :

( m + n ) (a - 2 ) + ( m - n ) (a - 2 )

0 2. F ac to r iz a r :

( x + 4 ) (x - 3) + (x - 3) ( x - 4)

0 3. F ac to r iz a r :

(a + b - c) (x - 3) - (b - c - a) (x - 3)

0 4. F ac to r iz a r :

x (n + 1) - b (n + 1) - n - 1

0 5. F ac to r iz a r :

x (a + 2) - a - 2 + 3 (a - 2 )

06. Factorizar:

(3x + 2) (x + y - z) - (3x + 2) - (x + y - 1) (3x + 2)

07. Factorizar:

ax + bx + ay + by

08. Factorizar:

a + ab + ax + bx2

09. Factorizar:

4a + 1 - a + 4a3 2

10. Factorizar:

Tema 24

FACTORIZACIÓN II

FACTORIZACIÓN POR ASPA SIMPLE

Si un polinomio a factorizar no tiene las características de un trinomio cuadrado pefecto (T.C.P.) Entonces podría ser factorizando por aspa simple. El método de aspa simple se emplea para factorizar trinomios (cuando estos no sean T.C.P.) Y para ello debemos indicar lo siguiente:

- Se adecua la expresión en una forma que veremos, luego se descompone convenientemente los términos extremos incluyendo signos.

- Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados, si esto coincide con el término central de la expresión (se concluye señalando que los factores serán las sumas horizontales).

Luego podemos decir que el resultado de aspa simple sirve para factorizar trinomios de la forma:

ax2m + bx y + cym n 2m O

ax + bx + c2n n

Para trinomios de la forma: ax + b + c; tener presente2n xn que el polinomio es de una sola variable (x) y debe estar ordenado en cuanto a los exponentes se dicha variable.

Ejemplo:

Factorizar: P(x) = 3x + 2x - 52 Sol:

P(x) = 3x + 2x - 5 = (3x + 5) (x - 1)2

9

9

3x +5º 5x x -1 º -3x

+2x

Explicación:

1. Se descompone verticalmente los extremos: 3X = (3x) (x)2

-5 = (+5) (-1)

2. Se verifica si la suma de los productos en aspa, coincida con el término central:

+5x - 3x = +2x

3. Luego los factores se toman con forma horizontal.

ACTIVIDAD

01. Factorizar:

< a - 1 =2

< 1 - m = 2

< b - 1 =2

< 4a - 1 = 2

02. Factorizar:

< 25 - 36x = 4

< 1 - 49x y = 2 3

< a b - 144 = 2 8

< 25x - 81 =2

03. Factorizar:

< a - 49b = 10 12

< 25a b - 121 = 2 4

< 100x - 169y =2 6

04. Factorizar:

< a m n - 144y = 2 4 6 2

< 196x y - a b =4 2 2 4

< 256a - 289b = 12 4

05. Factorizar:

06. Factorizar:

< =

< =

< =

07. Factorizar:

< a - 2ab + b = 2 2

< x - 2x + 1 = 2

< y + 1 + 2y = 4 2

08. Factorizar:

< a - 10a + 25 =2

< 9 - 6x + x = 2

< 16 - 40x + 25x =2 4

09. Factorizar:

< 36 + 12x + x = 2 4

< 12x + x = 3 6

Prof: José Enrique Malpartida R.

< 49m - 70am n + 25a n = 6 3 2 2 4

12. Factorizar:

< 121 + 198x + 81x = 6 12

< a - 24am x + 144m x = 2 2 2 4 4

< 400x + 40x + 1 =10 5

13. Factorizar:

< a - a b +4 2 2 =

< =

< 16x - 2x y + 6 3 2 =

14. Factorizar:

< n + 2mn + 9m =2 2

< a + 2a (a + b) + (a + b) =2 2

< 4 - 4 (1 - a) + (1 - a) =2

15. Factorizar:

< (a + b) - c = 2 2

< 4x - (x + 4) =2 2

16. Factorizar:

< x - x y = 10 4 4 Rpta: ____________

17. Factorizar:

< m + 2m - 2m - 14 3 Rpta: ____________

18. Factorizar:

< (a + 3) + 2(a + 3) + 12 Rpta: ____________

19. Factorizar:

< (2a - b) - 273 Rpta: ____________

20. Factorizar:

< x + (3 - x)6 3 Rpta: ____________

PARA TU CUADERNO

0 1. F ac to r iz a r :

< 1 + a = 3

< 1 - m = 2

< x + y = 3 3

0 2. F ac to r iz a r :

< a - 1 =3

< 8 a + 1 = 3

< x + 2 7 =3

0 3. F ac to r iz a r :

< 2 7a - b = 3 3

< 6 4 + a = 6

< a - 12 53

0 4. F ac to r iz a r :

< 1 - 2 16 m = 3

< 8 a + 2 7 =3

< x - b =6 9

0 5. F ac to r iz a r :

< 1 + 34 3n = 3

< 6 4a - 72 9 = 8

< x - 8 = 6

06. Factorizar:

< y - 27m n = 12 3 6

< a b c - 8y =3 3 9 12

< x - 8y z = 6 12 15

07. Factorizar:

< x - 216y = 3 9

< 343x + 512y =3 6

< 8a b - 125c =3 6 3

08. Factorizar:

< 1 000x - 1 = 3

< a + 25b = 6 15

< 216 - x y = 12 24

09. Factorizar:

< (m + n) + 1 =3 Rpta: ____________

10. Factorizar:

< 8 - (x - y) =3

Tema 25

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Es aquella ecuación que puede reducirse a la siguiente forma general:

ax + b = 0

Siendo a y b : coeficientes x : incognita Luego: ax + b = 0 º ax = -b

x = -

Discusión de la solución: Observamos que el valor de “x” es

decir, la solución la raíz de la ecuación, depende de los valores de a y b.

(1) Si: a

…

0; b

…

0, se tendrá: x = - (2) Si: a

…

0; b = 0, se tendrá: x = 0

(3) Si: a = 0; b

…

0, se tendrá que no hay solución (ecuación incompatible)

(4) Si: a = 0; b = 0, se tendrá que la solución es un n ú m e r o c u a l q u i e r a ( e c u a c i ó n indeterminada)

COMO RESOLVER ECUACIONES:

- Como resolver una ecuación:

Significa hallar la solución o raíz de una ecuación es decir, el valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación.

- Reglas para la resolución:

(1) Se realizan las operaciones indicadas (suprimimos signos de agrupación si las hay). (2) Se hace la transposición de términos. (3) Se reducen términos semejantes en cada

miembro.

(4) Despejamos la incognita

ACTIVIDAD

01. Resolver:

A) 3x + 6 = 12 B) 5x -- 5 = 15 C) 2x + 8 = 16

02. Resolver:

A) 15x - 45 = 5 B) 32x - 2 = 62 C) 7x + 21 = 70

03. Resolver:

A) = 3

B) y - 5 = 3y - 25

05. Resolver:

A) 21 -6x = 27 - 8x B) 11x + 5x -1 = 65x - 36

06. Resolver:

A) 8x - 4 + 3x = 7x + x + 14 B) 8x + 9 - 12x = 4x - 13 - 5x

07. Resolver:

Prof: José Enrique Malpartida R.

09. Resolver:

14 - 12x + 39x - 18x = 256 - 60x - 657x Rpta: ___________

10. Resolver:

8x - 15x - 30x - 51x = 53x + 31x - 172 Rpta: ___________

11. Resolver:

8 - (3x + 3) = x - (2x + 1) Rpta: _____________

12. Resolver:

15x - 10 = 6x - (x + 2) + (-x + 3) Rpta: _____________

13. Resolver:

x - [5 + 3x - {5x - (6 + x)}] = -3 Rpta: _____________

14. Resolver:

9x - (5x + 1) - {2 + 8x - (7x - 5)} + 9x = 0

Rpta: _____________

15. Resolver:

3(x - 4) + 6 = 5(x + 1) - 13 Rpta: ______________

16. Resolver:

5 (x + 5) - 2 (x - 3) = 3(x + 1) + 4 (2x - 1)

Rpta: _____________

17. Resolver:

71 + [-5x + (-2x + 3)] = 25 - [-(3x + 4) - (4x + 3)] Rpta: _____________

18. Resolver:

-{3x + 8 - [-15 + 6x - (-3x + 2) - (5x + 4)] - 29} = -5 Rpta: _____________

19. Resolver:

Rpta: _____________

20. Resolver:

PARA TU CUADERNO

01. Resolver:

A) 4x + 12 = x + 24 B) 8x - 16 = 88

02. Resolver:

= 1

03. Resolver:

2(x + 1) = x - 5

04. Resolver:

05. Resolver:

06. Resolver:

07. Resolver:

3(x - 1) + = 1

08. Resolver:

09. Resolver:

Prof: José Enrique Malpartida R.

Tema 26

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Es aquella que puede reducirse a la forma general: ax + bx + c = 02

Donde:

a : coeficiente del término o cuadrático a

…

0. b : coeficiente del término lineal.

c : término independiente. x : variable (incógnita)

Ejemplo:

De la siguiente ecuación: 2x - x - 3 = 02 Comparando:

º a = 2

º b = -1

º c = -3

Clasificación:

(I) Ecuación de segundo grado completa.- Cuando no falta ninguno de sus términos, es decir tiene la forma general:

ax + bx + c = 02

(II) Ecuación de segundo grado Incompleta.- Cuando falta algún término en la forma general, es decir:

Si b = 0 º ax + c = 02 Si c = 0 º ax + bx = 02 Si b = c º ax = 02

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2DO GRADO COMPLETA

Tenemos los siguiente métodos:

(1) Método práctico por factorización.- Este método se emplea sólo cuando la factorización del polinomio de 2do grado puede efectuarse.

Se dice entonces que la ecuación dada es factorizable.

Pasos:

(1) Se trasladan todos los términos a un solo miembro (para dar la forma general)

(2) Factorizar el polinomio de segundo grado, aplicando la regla de aspa simple.

(3) Cada uno de los factores que resultan se igualan a cero y se halla en cada igualdad el valor de la raíz.

Ejemplo:

Resolver:

3x - 2x + 1 = 5x - x - 22 2 Sol: Ordenando

3x + x - 2x - 5x + 1 + 2 = 02 2 4x - 7x + 3 = 02

Factorizando (Aspa simple) 4x - 7x + 3 = 02 4x -3 = -3x x -1 = -4x -7x

º (4x - 3) (x - 1) = 0

1

4x - 3 = 0 º x =

2

x - 1 = 0 º x = 1 (2) Por la fórmula general.-

Dada la ecuación: ax + bx + c = 02

º x =

Donde: las dos soluciones o raíces son: x1 = ; x2 =

Ejemplo:

Resolver: x - 4x + 1 = 02 Solución:

a = 1; b = -4; c = 1 En la fórmula: X =

X = = = = 2 ±

1 2

x = 2 + ; x = 2 - ; C.S. = {2- ; 2 + }

ESTUDIO DE LA NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE 2DO GRADO.

Dada la ecuación de 2do grado: ax2 + bx + c = 0

Observemos que las raíces de la ecuación depende de la cantidad subradical: b - 4ac, la cual representamos2

ª

=b -4ac, donde se 2

ª

llama discriminante.

Se establece que:

(1) Si

ª

> 0; la ecuación tiene dos soluciones reales y diferentes.

(2) Si

ª

= 0; la ecuación tiene dos soluciones iguales. (3) Si

ª

< 0; la ecuación tiene dos soluciones

complejos conjugados.

ACTIVIDAD

01. Resolver las siguientes ecuaciones:

(Método práctico por factorización)

A) x + x - 2 = 02 CS = { , } B) 2x + x - 1 = 02 CS = { , }

02. Resolver utilizando la fórmula general:

A) x - 4x + 1 = 02 CS = { , } B) 9x - 12x - 1 = 02 CS = { , }

03. Resolver a través del T.C.P.

A) x - 4x + 4 = 02 B) 4x + 4x + 1 = 02 C) 25x + 20x + 4 = 02

04. Resolver:

A) 6x + 3x - 165 = 02 B) 15x - 75x + 40 = 02

05. Resolver:

9x + 48x + 13 = 02

06. Resolver:

08. Resolver:

z + 2

09. Resolver:

10. Resolver:

(x + 6) - 5(x + 6) = 142

11. Resolver:

12. Resolver:

x +

13. Resolver:

x + 2

14. Resolver:

Prof: José Enrique Malpartida R.

3x - 2 = 8x - 2

17. Resolver:

(x - 2) - 4(x - 2) = 02

Indicar el producto de las raíces

18. Resolver:

x - 2 + 3 = 0

Resolver el producto de las raíces.

19. De la ecuación:

x - 6x + 13 = 02

Calcular la diferencia de las raíces

20. Formar una ecuación de raíces igual a:

y2

A) 3x + 5x + 2 = 02 B) 3x - 5x + 2= 02

PARA TU CUADERNO

01. Resolver: (método práctico de factorización)

A) 3x + 4x + 1 = 02 B) 2x + 3x + 1 = 02

02. Resolver utilizando la fórmula general:

A) x - 3x + 1 = 02 B) 5x + 6x + 2 = 0

03. Resolver a través del T.C.P.

16x + 40x + 25 = 02

04. Resolver:

A) 25x - 10x + 2 = 02 B) 5x + 6x + 2 = 02

05. Resolver:

(x - 3) + (x + 1)(x - 3) = 3(1 - x )2 2

06. Resolver:

07. Resolver:

6x + 3x - 1652

08. Formar la ecuación de raíces:

5y - 1/2

Rpta: __________

09. Forma la ecuación de 2do grado que dio como

raíces:

2 + y 2 - Rpta: __________

10. Hallar la ecuación de 2do grado cuyas raíces son:

2

1

x = 5 x = -2 Rpta: __________

Tema 27

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDAD: Es aquella relación de orden que se

establece entre dos cantidades “Reales”.

Su representación se da mediante los símbolos: “>” : que se lee mayor que

“<“ : que se lee menor que

luego la nomenclatura a emplear es: a > b se lee “a es mayor que b” a < b se lee “a es menor que b”

Ley de la Tricotomía: Da los dos números reales a y b entre

ellos será posible establecer una y sólo una de las siguientes relaciones:

a > b w a = b w a < b Obs. Si se tiene:

a $ b; que se lee “a es mayor o igual que b” a # b; que se lee “a es menor o igual que b” Se cumple:

a $ b ] a > b w a = b a # b ] a < b w a = b

Recta numérica real:

Es aquella recta geométrica en la cual a cada punto geométrico se le hace corresponder un único número real, así mismos a cada número real le corresponde un único punto geométrico.

Número mayor que otro:

Dados dos números reales a y b

“a” es mayor que “b” si y solo si “a” está ubicado “a” la derecha de “b” en la recta numérica.

También: a > b

]

b - a < 0

Número menor que otro:

Dados dos números a y b

“b” es menor que a si y solo si “b” está ubicado a la izquierda de “a” en la recta numérica.

También: b < a

Propiedades Generales de las desigualdades.

Sean a, b y c tres números reales (1) Si a < b v b > c

]

a > b > c (2) Si a> b v m

0

ú

(3) Si a > b

º a . m > b . m

Inecuación: Es una desigualdad condicional de dos

expresiones reales, es decir aquella relación que se verifica sólo para ciertos valores de sus incógnitas.

Inecuación de Primer grado:

Son aquellas que al reducir las expresiones toma una de las formas siguientes:

ax + b > 0 ax + b < 0 Donde:

- a … b y a; b son números reales x : es la incógnita a y b : son coeficientes

Resolución de una Inecuación.- De resolver una inecuación

vamos a hallar su conjunto de todos los valores de “x” que convierten el enunciado en una proposición verdadera.

Pasos:

(1) Si hubiese signos de colección debemos suprimirlos. (2) Si hubiese fracciones en la inecuación reducirlos a

través de un común denominador.

(3) Reunir las incógnitas en un miembro y los términos que no están afectados por ella en el otro miembro. (4) Reducir los términos semejantes.

(5) Despejar luego la incógnita. Ejemplo:

Hallar el conjunto solución de la inecuación:

Solución:

Calculo MCM (2; 3; 6 = 6

Como 6 > 0 º el sentido de la desigualdad no cambia. Multiplicamos miembro a miembro en la inecuación por 6.

3x + 2x - 2 + 30

$

2x + 1 - 6x 5x + 28

$

-4x + 1

Prof: José Enrique Malpartida R.

ACTIVIDAD

01. Resolver:

A) 2x - 4 > -2 B) 6x + 8 > x + 28

02. Resolver:

A) x + 6 > 3x - 10 B) 4x + 8 > 12x + 6

03. Resolver:

A) 5x + 2

$

3x + 8 B) 5x - 2 > + 2

04. Resolver:

A) 2x + 1/4

$

x - 1 B) x +

$

+1

05. Resolver:

3(x + 2) - 12 > 2 (x - 4) - 4

06. Resolver:

4 - 6 (2x - 1) < 3 (x + 4)

07. Resolver:

(x - 4) + 2x 2

$

(x + 4) (x - 4) - 10

08. Resolver:

(x + 5) (x - 4)

#

(x + 2) (x - 2) -16

09. Resolver:

10. Resolver:

11. Resolver:

5x - 2 < + 2

12. Resolver:

13. Resolver:

2 + $ - 5

14. Resolver:

15. Resolver:

16. Resolver:

3 (2x - 1) + 5 > 2 (x + 3) -8

17. Resolver:

18. Resolver:

19. Resolver:

PARA TU CUADERNO

01. Resolver:

3x + 7x - 4 # 8x + 6

02. Resolver:

x + (3x + 4) # 12 - (5x + 1)

03. Resolver:

3(x - 4) $ 2(x - 5)

04. Resolver:

x + < 3x - 1

05. Resolver:

06. Resolver:

07. Resolver:

15 (x - 1) -

$

08. Resolver:

09. Resolver: