Calcular, si existe:

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(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO Sinodales: M.I. Mayverena Jurado Pineda

Ing. S. Carlos Crail Corzas 23 de octubre de 2015 Semestre 2015-2

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Calcular el valor medio de la función f x

( ) (

= x2

)

3 + 3 en el intervalo

0 , 4 y determinar el valor de

c

que se encuentra en el intervalo tal que se cumple el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.

15 Puntos

2. Calcular, si existe:

2 2

0

1 1

lim sec

x x x x

 − 

 

 

15 Puntos

3. Efectuar las siguientes integrales:

a )

3

d x

2

b ) x

2

1 d x c ) cos ln x d x ( )

x x x

 +  

30 Puntos

(2)

2EE15-2

4. Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de

y

2 − 2 +

x

=

0

y de

y

2

x

=

0

10 Puntos

5. Sea la función

( )

2 2

, 1

4 x y

y

f

x

+ −

=

, obtener su dominio

y trazar su región de definición.

15 Puntos

6. Calcular la derivada direccional de la función

f (

x y z, ,

)

=

x e

y z

+ x y e

z

en el punto Q

(

2, 1, 1

)

y en la dirección del vector 2 3

v = −i j+ k . Calcular la máxima variación de la función en el punto Q .

15 Puntos

(3)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SOLUCIÓN SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO

23 de abril de 2015 Semestre 2015-2

1. El valor es

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

4 4

0

3 3

3

2 3

4 4 12 4 0

4 0 4 3

3 2 3

3 2 3

2 0 2

x x

f c

si f c y f c c c

c c

+

+ +

= = =

= = +

= +

= =

15 Puntos 2. Resolviendo:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

0 0

0

1 1

1 sec cos

lim lim

sec

cos

cos 1

cos lim

x x

x

x x

x x x

x x

x

− −

=

( )

2

cos x

x

( )

( ) ( )

0 2

0 0

cos 1

lim

1 1

lim lim

2 2 2

x

x x

x x

sen x sen x

x x

= −

− = − = −

15 Puntos

(4)

3. a) Por fracciones parciales:

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

2

1

1 1 1

1 1 1

0 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

Cx

x x

A B C

x x x

x x

Ax x B x

si x si x si x

B C A

I dx

x x x

I ln ln C

x

+ +

+

+ +

+ +

= +

+

= + + +

= = − =

= = = −

=

+

= − +

b) Por sustitución trigonométrica:

2

sec 1 tan

sec tan tan sec si x

x

dx d

I

  

 

=

− =

=

= tan

sec

 d

( )

2

2

2

tan

sec 1 tan

1 sec

d

I d C

I x ang x C

 

   

=

= − = − +

= − − +

 

1

2 1 x −

x

θ

(5)

c) Por partes:

1 1

1 1

1

ln

cos

cos

cos

cos cos

cos cos

1 1

2 2 cos

ln 2

w

w

w w

w

w

w w

w

w w

w w

w w

w w

si w x

e x

e dw dx

e wdw

u e dv wdw

du e dw v sen w

I e senw e senwdw

u e dv sen wdw

du e dw v w

I e w e wdw

I e sen w e w I I e sen w e w I

I e sen w e w C

si w x I x se

=

 =

 =

= =

= =

= −

= =

= = −

= − +

 = − − +

= + +

 = + +

=

=

( )

ln cos ln

( )

n x x c

+ +

30 Puntos

(6)

4. Al hacer simultáneas las ecuaciones

( ) ( )

1 2

1 1

2 2 2

1 0

1 3

0 2

2 1 1 1

2 2 2 2

2 2 4

2 2 2 2 2

3 3 3

8 3

x x x y y y

A y y dy y dy

A y y

A u

− =  =  = = −

= − − = −

     

=   −   =   −   =    

=

 

10 Puntos 5.

( )

2 2 4

D = x, y x + y

15 Puntos

2

-2 2

-2 -2

2

2

(7)

6. Sea

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

2 1 1 2 4 4 1 2 3 1 2 3

1 4 9 14

1 2 3 2 1 1 2 4 4

14

2 8 12 2

2 1 1

14 14

4 16 16 36 6

v

yz z yz z yz z

v

v

a )

D f x, y,z f v

f x, y,z e ye ,xye xe ,xze xye

f , , e, e, e

, , , ,

v v v

, ,

D f , , e, e, e

e e e e

D f , ,

b )

f e e e e e

= 

 = + + +

 − = − −

− −

= = =

+ +

− = − − −

+ − −

− = =

 = + + = =

15 Puntos

Figure

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