Calcular, si existe:

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO

Sinodales: M.E.M. Margarita Ramírez Galindo

Ing. S. Carlos Crail Corzas 17 de marzo de 2017 1221 Semestre 2017-2

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Escribir el número decimal periódico infinito 0.7777. . . como una serie y determinar su carácter. Si es convergente, calcular su suma.

15 Puntos

2. Calcular, si existe:

 

2

lim 1 cos

x

x

 





15 Puntos

3. Efectuar las siguientes integrales:

2

 

2

2

2

6 1

x

x

x e

a ) d x b ) d x c ) ln x d x

x   x  e

  

30 Puntos

1EE17-2

4. Calcular la longitud de la gráfica de la función el ³

4

( ) 3

f x  x

intervalo ^{0, 1 .}

4

 

 

 

10 Puntos

5. Calcular

3 2

(ln2,2)

y x



g

  de la función

g ( , x y )

e

e

.

15 Puntos

6. Obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función





f



^,

^{, 2} 

15 Puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

1221

Solución del Primer Examen Extraordinario Semestre 2017 – 2

1.-

1

1

7 7 7 ...

10 100 1000

entonces el número puede ser expresado como 7 1

10 10

1 1 10 por lo tanto converge y la suma es:

7 7

10 10 7

1 9 9

1 10 10

Si 0.77777...

que es una serie geométrica donde

n

n

r

S

 



 

 

 

 

  



 











15 puntos

2.-

 

 

 

1

2

1

Si reescribimos la función como

1 1 sea

1 1

cos x x

cos x

lim cos x ,

y cos x ln cos x ln y cos x







 

 

  



S1EE17-2

 

 

2 2

2 2 2

2

1 0

alaplicar L'Hôpital 0

1 1 1

1 por lo tanto

1 1

x x

x x x

sec x x

ln cos x lim ln y lim

cosx sen x

cos x

ln lim y lim lim

sen x cos x

lim cos x

e

 

  



 

  



   

 

 

    

          

       

 

   

 

 

  



15 puntos

1.

  

   

   

   

2

2 3

5

a) Por fracciones parciales:

, entonces

2 3 2 3

3 2

3 2

3 5 2 5

3 2

5 5

Por lo que la integral queda

2 3

6 5 2 5 3

2 3

ln 2 ln 3

5 5

ln 2 3

x A B

x x x x

x A x B x

si x si x

B A

B A

x dx dx

I dx

x x x x

I x x C

I x x C

 

   

   

  

   

 

 

        

    

   

  

3.

S1EE17-2

     

1

1 2

2 2 2 2 2 2

2

2

2

2 2

b) Es de la forma :

1 1 1 2 = 1

2 c)Por partes

ln 2 ln

2 ln

2 1

2 ln

ln 1

2

n

x x x x x

x

u du

e e dx e e dx e C

x dx x xdx

u x dv x

du dx v x

x

I x x x dx

I x x x C

 

       



 

 

 

  



 

 



30 puntos

4.-

   

 

 

2

14 1

3 4 0 0

Sea

' 2 ' 4

1 1

1 4 1 4 8 1

6 6

1 2 2 1 6

f x x f x x

L x dx x

L u

 

 

  

  



  

     

 



10 puntos

S1EE17-2

 

2 3

2

3

ln 2 2

ln 2,2

Si z ye

, ,

2

x y

x y x y x

xe

z z z

e xe e e e

y y x y x

z e

y x

 

  

     

    

   

 

15 puntos

    ^{ }

  ^{ }

 

     ^{  }

 

2

2

2

5 2

La ecuación tiene la forma

0

4, 5, 2 , 9

, , z 9

4 0 5 2 1 0

9

5 2 0

5 5

2 0, por lo que

2 2

5 9

0, 5 2 9 0

2 2

p p p

F F F

x a y b z c

x y z

Si P y f x y y

F x y y z

x y y z

y

y z

y z

y z y z



 

 

 

 



 

  

     

  

 

  

       



   

   

     

15 puntos 5.

6.