1. Hallar f (x) sabiendo que su derivada es
f
'
(
x
)
=
3
x
2+
1
y que su gráfica pasa por el punto (2,6).(
)
∫
x
+
dx
=
x
+
x
+
C
→
x
3+
x
+
C
32
3
3
1
3
( )
( )
( )
4
4
6
2
2
2
6
2
3
3
−
+
=
−
=
→
=
+
+
=
→
=
x
x
x
F
C
C
F
F
2. El valor de un equipo informático decrece a un ritmo dado por (10 t –50) miles de ptas/año. Si el valor inicial del
citado equipo era de 300.000 ptas. ¿cuál será su valor al cabo de 5 años? ( t indica el tiempo en nº de años).
50
10
)
(
'
t
=
t
−
f
(
)
∫
t
−
dt
=
t
−
50
t
+
C
→
5
t
−
50
t
+
C
2
10
50
10
22
( )
( )
( )
5
50
300
300
0
0
·
50
0
·
10
0
300
0
2
−
+
=
=
→
=
+
−
=
→
=
t
t
t
F
C
C
F
F
3. Calcular f(x), sabiendo que es continua, que f (0) = 0 y además que su derivada es:
≥ < −
= sisi xx 11
1 2 1 ) (
' x x
f
(
)
≥
+
=
<
+
=
−
=
∫
∫
1
x
si
C
x
dx
1
x
si
C
x
-x
2
1 2
1
2
1
)
(
dx
x
x
F
( )
( )
( )
( )
21 1
2 1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
x
x
x
F
C
C
F
C
x
x
F
F
−
=
=
→
=
+
−
=
→
+
−
=
→
=
Para que la función sea continua, se tiene que cumplir:
F
( )
f
( )
x
f
( )
x
x
x→+
=
→−=
1 1
lim
lim
1
( )
lim
( )
1
1
1
1
lim
2 2 1 2 21
1
=
−
⇒
+
=
−
→
+
=
−
⇒
=
=→
→+
f
x
−f
x
x
x
x
C
C
C
X x
x
Por tanto, la función será:
≥
<
−
=
1
x
si
1
-1
x
si
x
x
x
x
f
2
)
(
'
4. Calcular la integral dx x
x ) x (
4 2 4
2 2 5
3 2
− + −
∫
.(
)
15
36
.
6
3
155
2
3
3
2
3
5
2
3
2
4
2
)
4
(
3 3
5
3 5
3
3 2
2 2 5
3
2
=
−
=
)
+
−
+
=
+
=
+
=
−
+
−
∫
∫
dx
x
dx
x
x
x
x
x
5. Calcular el valor de a >0 e los siguientes casos: a)
∫
+
30
1
1
dx
x
=a ;b)∫
+
a
dx
x
0
1
1
= 3 ;c)
∫
+
3 0
( )
]
( )
( )
3
( )
1
3
1
1
3
1
1
3
1
1
1
)
0 0
=
→
+
=
+
→
=
−
+
→
=
+
=
+
∫
dx
Ln
x
Ln
a
Ln
Ln
a
Ln
a
x
b
a a( )+1
=
3→
=
1
−
3=
−
1
+
20
,
08
=
19
,
08
e
a
e
e
Lna(
)
]
(
)
( )
=
→
=
→
+
→
=
−
+
→
=
+
→
=
+
+∫
5 3 3 0 3 05
3
5
3
5
5
1
)
e
e
a
a
Ln
a
Ln
a
Ln
a
x
Ln
dx
a
x
c
a a Ln02
,
0
147
3
3
148
3
·
3
+
=
5→
5=
+
→
=
+
→
=
=
a
a
a
a
e
a
e
a
a
6. Calcular la integral dx x
x x2 2
2 1
+ +
∫
( )
1
0
5
,
38
1
,
5
3
,
88
2
1
28
,
1
2
2
4
2
2
1
·
2
2
2 1 2 1 2 1 2 2 2=
−
=
+
+
−
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
∫
∫
dx
x
x
Ln
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
7. Se considera la función real de variable real definida por
1 1 2
2− + − = x x x ) x (
f . Calcular los valores de b para los
cuales se cumple que 0
0 =
∫
f(x) dxb
(
)
]
(
)
( )
(
)
=
=
=
−
→
=
+
−
→
=
=
−
+
−
→
=
+
−
→
=
+
−
−
→
=
+ −∫
∫
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
2
0
)
(
2 1 2 2 0 1 2 0 0 2 2 0 2b
b
b
b
b
b
e
e
Ln
b
b
Ln
x
x
Ln
dx
x
x
x
dx
x
f
b b Ln b b b8. Sea la función
1 ) ( 2 + = x x x
f . Calcular el valor de a >0 para el cual se verifica: ( ) 1
0 =
∫
f x dxa
(
)
]
(
) (
)
53
,
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
)
(
2 2 1 1 1 2 2 2 0 0 2 2 0 2±
=
−
±
=
→
−
=
→
=
+
→
=
→
→
=
+
→
=
+
−
+
→
=
+
→
=
+
→
=
+∫
∫
e
a
e
a
e
a
e
e
a
Ln
Ln
a
Ln
x
Ln
dx
x
x
dx
x
f
a Ln a a a9. Determinar el valor de a>0, tal que: 1 ) 1 (
4
0 + 2 2 =−
−
∫
ax x
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
]
( )
1
2
1
1
1
2
1
1
·
2
1
·
2
1
1
·
2
1
1
2
1
·
2
1
1
·
2
·
2
1
1
·
4
1
)
1
(
4
1 0 1 0 0 1 2 2 2 0 2 2 0 2 210. Calcular el área limitado por la gráfica de f(x)=x2−4x, el eje OX y las rectas x=-1 y x=4.
(
)
(
)
13
3
39
3
32
3
7
3
32
3
7
0
32
3
4
2
3
1
0
2
4
3
2
4
3
4
4
2
1
3
4
0 2 3 0
1 2 3 4
0 2 0
1 2
=
=
+
=
−
+
=
−
−
+
−
−
−
=
=
−
+
−
=
−
+
−
=
+
=
−
−
∫
∫
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
Area
Area
Area
11. Calcular el área limitado por la gráfica de f(x)=x2−9, el eje OX y las rectas x=3 y x=6.
(
)
9
·
3
(
72
54
) (
9
27
)
36
3
3
6
·
9
3
6
9
3
9
3 3
6
3 3
6 3
2
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
=
−
=
∫
x
dx
x
x
Area
(
)
(
)
29
,
75
4
119
18
4
81
32
64
2
2
·
4
4
2
2
4
·
4
4
4
2
·
4
4
4
4 4
4
2 4
4 3
3
=
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
=
−
=
∫
x
x
dx
x
x
Area
13. Sea la función f(x)=2x3−9x2+12x−5. Hallar el área delimitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x=0 y x=3.
Hallo los puntos de corte con el eje X, para determinar los límites de integración:
→
=
−
+
−
=
2
9
12
5
0
)
(
x
x
3x
2x
f
Aplicamos Ruffini:(
)(
)(
)
( )
( )
(
)
→
=
→
=
→
=
→
=
−
−
−
=
0
,
5
.
2
5
,
2
0
,
1
1
0
,
1
1
0
5
2
·
1
·
1
)
(
PtoC
x
PtoB
x
PtoA
x
x
x
x
x
f
[
]
[
]
[
]
(
)
(
)
(
)
(
2
,
34
)
1
,
5
0
,
84
0
,
84
3
,
18
15
54
81
5
,
40
5
6
3
2
1
5
,
12
5
,
37
87
,
46
53
,
19
0
5
6
3
2
1
5
6
3
2
5
6
3
2
5
6
3
2
5
12
9
2
5
12
9
2
5
12
9
2
3
5
,
2
5
,
2
1
1
0
3
5 , 2 2 3 4 5 , 2
1 2 3 4 1
0 2 3 4 3
5 , 2
2 3
5 , 2 1
2 3 1
0
2 3
=
+
−
+
−
=
−
−
−
+
−
+
−
+
−
−
−
+
−
+
−
−
+
−
=
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
↔
+
↔
+
↔
=
∫
∫
∫
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
Area
Area
Area
Area
14. Sea la función f(x)=x3−3x, hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas verticales x=-1 y x= ½
( )
(
)
( )
( )
≈
+
=
→
−
≈
−
=
→
=
→
=
−
→
=
→
=
−
→
=
−
=
→
=
73
,
1
3
73
,
1
3
3
0
3
0
,
0
0
0
3
·
0
3
0
)
(
3 2 2 2 1 2 3x
PtoB
x
x
x
PtoA
x
x
x
x
x
x
f
x
f
Los puntos de cortes están dentro del intervalo de entre mis rectas verticales solo es el punto (0,0), con lo cual ese será uno de mis límites.
[
]
[
]
(
)
(
)
61
,
1
36
,
0
25
,
1
0
37
,
0
01
,
0
2
3
4
1
0
2
3
2
2
3
4
3
3
5
,
0
0
0
1
5 , 0 0 2 4 0 1 2 4 5 , 0 0 3 0 1 3=
−
+
=
−
−
+
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
↔
+
↔
−
=
− −∫
∫
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
Area
Area
Area
15. Sea la función y=x3−9x. Hallar el área de la región que delimita dicha función con el eje OX.
Hallo los puntos de corte con el eje X:
( )
(
)
( )
(
)
( )
→
+
=
−
→
−
=
→
=
→
=
−
→
=
→
=
−
→
=
−
=
→
=
0
,
3
3
0
,
3
3
9
0
9
0
,
0
0
0
9
·
0
9
0
)
(
3 2 2 2 1 2 3PtoC
x
PtoB
x
x
x
PtoA
x
x
x
x
x
x
f
x
f
[
]
[
]
(
)
(
)
(
20
,
25
40
,
50
)
20
,
25
40
,
50
0
20
,
25
20
,
25
40
,
50
0
2
9
2
2
9
4
9
9
3
0
0
3
3 0 2 4 0 3 2 4 3 0 3 0 3 3=
+
=
+
−
+
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
↔
+
↔
−
=
− −∫
∫
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
Area
Area
Area
16. Sea la función f(x)=−(x+2)(x−2)(x−4). Hallar el área del recinto limitado por la curva y el eje de abscisas. Hallo los puntos de corte con el eje X:
( ) (
)(
)(
)
(
( )
)
( )
→
=
→
=
−
→
−
=
→
=
+
−
→
=
→
=
−
→
=
−
−
+
−
=
→
=
0
,
4
4
0
4
0
,
2
2
0
2
0
,
2
2
0
2
0
4
·
2
·
2
0
)
(
3 2 1PtoC
x
x
PtoB
x
x
PtoA
x
x
x
x
x
x
f
x
f
[
−
↔
]
+
[
↔
]
⇒
=
+
=
Area
1Area
2Area
2
2
Area
2
4
Area
(
)
3
128
64
3
64
32
8
3
32
4
32
3
3
32
4
16
2
4
3
4
4
16
4
4
2 2 2 3 4 0 2 2 3 1−
=
−
=
=
+
+
−
−
−
−
+
+
−
=
−
+
+
=
−
−
+
−
=
∫
−x
x
x
x
dx
x
x
x
Area
(
)
3
20
32
8
3
32
4
64
32
3
256
64
16
2
4
3
4
4
16
4
4
4 2 2 3 4 4 2 2 32
=
−
+
+
−
−
−
+
+
−
=
−
+
+
=
−
−
+
−
=
∫
x
x
x
dx
x
x
x
x
Area
3
,
49
3
148
3
20
3
128
3
20
3
128
2 1)
=
=
+
=
+
−
=
+
=
Area
Area
Area
Hallo los puntos de corte con el eje X:
( )
( )
( )
(
)
(
)
→
≈
+
=
−
→
−
≈
−
=
→
=
→
=
−
→
=
→
=
−
→
=
−
=
→
=
73
.
1
,
0
73
,
1
3
0
,
73
.
1
73
,
1
3
3
0
3
0
.
0
0
0
3
·
0
3
0
)
(
3 2 2
2
1 2
3
PtoC
x
PtoB
x
x
x
PtoA
x
x
x
x
x
x
f
x
f
Los puntos de cortes están dentro del intervalo de entre mis rectas verticales solo es el punto (0,0), con lo cual ese será uno de mis límites.
[
]
[
]
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
50
,
4
2
9
4
18
4
9
18
4
9
18
4
3
2
3
·
3
4
3
2
3
·
3
0
4
3
2
3
·
3
4
3
2
3
·
3
0
4
2
3
4
2
3
3
3
3
0
0
3
2 2
4 2 4
2 3
0 4 2 0
3 4 2
3 0
3 0
3 3
=
=
=
−
+
−
=
=
−
−
+
−
−
=
−
−
+
−
−
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
↔
+
↔
−
=
−
−
∫
∫
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
Area
Area
Area
18. Representar gráficamente la región limitada por las gráficas de las funcionesf(x)=9−x2, y g(x)=3+x y obtener su área.
( )
(
)
(
18
2
,
6
6
2
) (
27
9
9
4
,
5
)
20
,
90
2
3
3
9
3
9
2
3 2 3
2 3
2
=
−
−
−
−
−
+
+
−
=
−
−
−
=
+
−
−
=
− −
∫
x
x
dx
x
x
x
x
Area
19. Hallar el área del recinto plano limitado por las gráficas de la curvay=x2+8x y la recta y=x+8
−
=
−
−
=
=
+
−
=
=
±
−
=
+
±
−
=
→
=
−
+
→
+
=
+
8
2
9
7
1
2
9
7
2
9
7
2
32
49
7
0
8
7
8
8
2 1 2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
(
)
(
)
( ) ( )
85
,
8
3
181
,
3
95
,
46
2
512
3
512
64
2
64
4
3
1
81
2
1
2
8
3
8
2
8
8
1
8 2 3 2
1 8
2
=
−
=
+
−
+
−
+
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
− −
∫
x
x
x
dx
x
x
x
x
)
)
20. Calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones: f(x)=x2−x; g(x)=1−x2
Hallo los límites de integración:
−
=
−
=
=
+
=
=
±
=
+
±
=
→
=
−
−
→
−
=
−
5
.
0
4
3
1
1
4
3
1
4
3
1
4
8
1
1
0
1
2
1
2 1 2
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
( )
(
)
1
(
0
.
083
0
.
125
0
.
5
)
1
.
125
1
.
125
2
1
3
3
2
3
2
3
2
3
1
0
5 . 0 2 3 1
5 . 0 3 2 3 1
5 . 0
2
2
−
−
+
=
−
=
−
−
=
−
−
=
+
−
−
=
−
−
−
=
− −
−
∫
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
Area
21. Sean las funcionesf(x)=x2+2x−3, y g(x)=−x2+1. Hallar el área limitada por las gráficas de f(x) y g(x). Hallo los límites de integración:
−
=
−
−
=
=
+
−
=
=
±
−
=
+
±
−
=
→
=
−
+
→
+
−
=
−
+
2
4
6
2
1
4
6
2
4
6
2
4
32
4
2
0
4
2
2
1
3
2
2 1 2
2 2
x
x
x
x
x
x
(
) ( )
(
)
1
4
(
5
.
3
4
8
)
9
9
3
2
4
3
2
2
3
2
2
3
1
3
2
0
2 2
3 1
2 2 2
3 1
2
2
2
−
−
+
+
=
−
=
−
+
=
−
+
=
−
−
−
−
=
+
−
−
+
=
− −
−
∫
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
Area
22. Hallar el área del recinto acotado limitado por las curvas ( ) 2 8 y ( ) 4
2
2 2
+ + − = −
−
=x x g x x
x
f x .
Hallo los límites de integración:
=
−
−
=
=
+
−
=
=
±
−
=
+
±
=
→
=
−
−
→
=
+
−
→
+
+
−
=
−
−
2
2
6
2
4
2
6
2
2
6
2
2
32
4
2
0
8
2
0
24
6
3
4
2
8
2
2 1 2
2 2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(
)
(
48
,
1
) (
28
,
1
)
20
20
12
2
3
2
4
6
8
3
4
2
8
2
4
2 2
3 4
2 2 3 2
3 4
2
2 2
=
−
=
−
−
−
=
=
−
−
=
−
−
+
−
−
=
+
+
−
−
−
−
=
∫
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Area
23. Hallar el área del recinto acotado por la curva y=x2+4x+5 y la recta y =5.
Hallo los límites de integración:
(
)
−
=
=
→
=
+
→
=
+
→
=
+
+
4
0
0
4
·
0
4
5
5
4
2 1 2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
(
)
(
)
10
.
66
3
32
2
3
·
32
3
64
0
2
4
3
4
0
4 2 3 0
4
2
=
−
=
+
−
−
=
+
=
+
=
− −
∫
x
x
dx
x
x
Area
24. Calcular el área del recinto delimitado por las curvas f(x)=x2+2, y g(x)=x+2.
Hallo los límites de integración:
( )
=
=
→
=
−
→
=
−
→
=
+
1
0
0
1
·
0
5
2
2 1 2
2
x
x
x
x
x
x
x
( )
(
)
(
)
2
0
0
,
16
0
,
16
2
1
2
3
1
2
2
2
3
2
2
1
0 2 3
1 0
2
=
+
−
+
−
=
−
=
+
−
+
=
+
−
+
=
∫
x
x
dx
x
x
x
x
Area
25. Sea la curva
y
=
x
2, calcular el área del recinto limitado por las gráficas de la curva propuesta, la recta tangente a dicha curva en el punto (1,1) y el eje OX.( )
( )
( )
´
( )(
·
)
1
2
·
(
1
)
2
1
1
1
1
2
1
·
2
1
´
2
´
2 2
−
=
→
−
=
−
⇒
−
=
−
=
=
=
=
→
=
→
=
x
y
x
y
a
x
a
f
a
y
y
y
y
x
y
x
y
Los puntos de corte entre las rectas y el eje OX serán desde 0 a 1:
( )
(
)
(
)
3
1
3
1
1
1
3
1
2
2
3
1
2
1
0 2 3 1
0
2
=
+
−
=
−
=
−
+
=
−
−
=
∫
x
x
dx
x
x
x
26. Representar gráficamente la región acotada limitada por las gráficas de f(x)= 45x2 ; g(x)= 21(5x+20) ; )
20 5 ( )
(x = 21 − x+
h , y obtener su área. (se entiende que es el área situada por debajo de y=10)
Hallo los límites de integración entre las gráficas f(x) y g(x):
(
)
( )
−
=
−
=
=
+
=
→
=
±
=
±
=
+
±
=
−
−
±
=
→
=
−
−
→
+
=
2
5
,
2
5
,
7
5
,
2
4
5
,
2
5
,
7
5
,
2
5
,
2
5
,
7
5
,
2
2
5
25
,
56
2
5
2
5
50
4
25
2
5
4
5
·
2
10
·
4
5
·
4
2
5
2
5
0
10
2
5
4
5
20
5
·
2
1
4
5
2 1
2
2 2
x
x
x
x
x
x
x
Hallo los límites de integración entre las gráficas f(x) y h(x):
(
)
( )
−
=
−
−
=
=
+
−
=
→
=
±
−
=
±
−
=
+
±
−
=
−
−
−
±
−
=
→
=
−
+
→
+
−
=
4
5
,
2
5
,
7
5
,
2
2
5
,
2
5
,
7
5
,
2
5
,
2
5
,
7
5
,
2
2
5
25
,
56
2
5
2
5
50
4
25
2
5
4
5
·
2
10
·
4
5
·
4
2
5
2
5
0
10
2
5
4
5
20
5
·
2
1
4
5
2 1
2
2 2
x
x
x
x
x
x
x
Hallo el área sombreada:
( ) ( )
(
)
(
)
( )
( ) ( )
67
,
11
67
,
11
3
10
20
5
0
12
2
·
5
2
·
10
4
2
·
5
0
12
5
10
4
5
4
5
20
5
·
2
1
0 2 32 3 2
0 2
2 0
2
=
−
=
+
−
−
=
=
−
−
−
+
−
−
=
−
+
=
−
+
=
−
=
− −
−
∫
∫
g
x
f
x
dx
x
x
dx
x
x
x
Area
La otra mitad del área es simétrica respecto de la sombreada, con lo cual habrá que multiplicar por dos para hallar el área total:
33
.
23
67
,
11
·
2
·
2
=
=
27. Calcular el valor de a>0 para que el área de la región limitada por las gráficas de las curvas y=x3, y=ax, sea igual a 4.
Hallo los límites de integración:
(
)
−
=
+
=
=
→
=
−
→
=
−
→
=
a
x
a
x
x
a
x
x
ax
x
ax
x
3 2 1 2
3 3
0
0
·
0
(
)
(
)
2
2
2
2
8
16
2
4
4
2
4
4
4
2
4
2
2
4
2
4
2
4
2
4
0
2
·
4
2
·
4
0
2
·
4
2
4
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 4 2 4
0 2 4 2
4 0
0 3 3
=
→
±
=
→
=
→
=
→
=
=
+
=
−
+
+
−
=
−
+
+
−
=
−
+
−
−
=
=
−
+
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
− −
∫
∫
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
a
x
ax
x
dx
ax
x
dx
ax
x
Area
a
a a
a
28. Sea
> +
+ −
≤ ≤ +
< =
5 6
5
5 2 1
2
2 2
si x x
x
x si x
si x
x ) x (
f , calcular la integral
∫
6 3
dx ) x ( f
( )
(
)
(
)
(
41
,
6
62
,
5
30
)
10
,
30
3
,
10
13
,
4
36
90
72
3
2
,
4
5
5
,
12
6
2
·
5
3
2
6
5
1
6
5 2 3 5
3 2 5
3
6 5
2
=
+
=
+
+
−
−
+
+
−
+
+
−
+
=
+
+
−
+
+
=
+
+
−
+
+
=
∫
x
dx
∫
x
x
dx
x
x
x
x
x
Area
29. Sea
>
−
≤
<
−
≤
−
=
2
x
si
2
x
0
si
0
x
si
5
3
1
2
)
(
x
x
x
x
f
. Representar gráficamente la función. Hallar el área delimitada por la( )
(
)
( )
]
5
4
2
1
1
13
,
5
15
(
6
10
)
2
2
,
5
4
,
5
2
3
5
3
1
3
2 2 2 1 2 2
1
3
2
=
−
−
+
+
−
−
−
=
+
=
−
+
−
=
−
+
−
=
∫
x
dx
∫
x
dx
x
x
x
x
Area
30. Representar gráficamente la función
> +
−
≤ < +
− ≤ +
=
2 si 15 x
2 x 3 si 9
3 x si 24 x 2
2
x x
) x (
f . Calcular el área delimitado por la
gráfica de f(x) y el eje OX.
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
16
,
222
5
.
84
66
.
56
81
2
·
15
2
2
15
·
15
2
15
3
·
9
3
3
·
2
2
·
9
3
2
12
·
24
2
12
·
2
3
·
24
2
3
·
2
15
2
9
3
24
2
2
15
9
24
2
2 2
3 3
2 2
15
2 2
2
3 3
3
12 2
15 2 3
12
2 3
2
=
+
+
=
=
+
−
−
+
−
+
−
+
−
−
+
+
−
+
−
−
−
+
−
=
+
−
+
+
+
+
=
+
−
+
+
+
+
=
− −
− −
− −
∫
∫
x
dx
∫
x
dx
x
dx
x
x
x
x
x
x
Area
31. Sea la función
x x x
f( )=3− −2, definida en los reales salvo en x=0. Calcular El área de la región limitada por la gráfica de f(x) y el semieje positivo OX.
Hallo los límites de integración:
=
=
=→
±
=
−
±
=
→
=
+
−
→
=
−
−
1
2
2
1
3
2
8
9
3
0
2
3
0
2
3
2 1 2
x
x
x
x
x
x
12
.
0
2
2
2
3
2
5
2
2
4
1
2
2
1
3
2
2
2
6
2
2
3
2
3
2
1 2
2
1
=
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
∫
dx
x
x
Lnx
Ln
Ln
Ln
Ln
x
x
Area
32. Hallar el área de la región acotada por la curva y = e x y las rectas y = 1, x = 1. Hallo los límites de integración:
0 1→ =
= x
ex
]
]
(
)
( )
1
0
1
1
.
72
1
0
.
72
1
1 1 00 2 1 1
0 1
0
=
−
=
−
−
−
=
−
=
−
=
−
=
∫
e
dx
∫
dx
e
x
e
e
e
Area
x x33. Calcular el área que está limitada por las siguientes curvas en el primer cuadrante:
1 2 + =
x
y , y = x , x = 0.
Hallo los límites de integración:
=
−
=
=→
±
−
=
+
±
−
=
→
=
−
+
→
=
+
→
=
+
1
2
2
3
1
2
8
1
1
0
2
2
1
2
2 1 2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
( )
( )
0
0
.
88
2
1
2
·
2
2
1
·
2
1
2
10 2 1
0
−
=
+
=
+
+
=
+
+
=
∫
x
dx
Ln
x
x
Ln
34. Calcular la integral definida:
∫
− + +
1 1
) 1
(x x dx, donde |x| representa el valor absoluto de x.
(
)
]
0
( )
1
1
1
0
3
2
2
1
)
1
(
1
0 2 1
0
0 1 0
1
=
−
−
+
+
−
=
+
+
=
+
+
−
+
+
+
−
∫
∫
− −x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
35. Dibujar las gráficas de las funciones y = 2 e 2 x , y = 2 e - 2 x . Calcular el área comprendida entre dichas gráficas y las rectas verticales x = -1 , x = 1.
( )
]
]
( )(
2
)
10
.
50
·
2
2
2
4
2
2
2
2
·
2
·
2
·
2
·
2
·
2
·
2
·
2
)
·
2
(
2 2 2
2 2
2
0 · 2 2 1
· 2 0
· 2 1
0 2 1
0
0 1 2 2
0 1
2
=
+
−
=
+
−
=
+
+
−
=
=
−
+
−
−
=
+
−
=
+
=
− −
−
− −
− −
− − −
−
