MMAF: Espacios normados y espacios de Banach

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MMAF: Espacios normados y espacios de Banach

Licenciatura en Estad´ıstica

R. ´Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Curso 2011/2012

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Espacios vectoriales

Definici´on

Sea V un conjunto de elementos sobre el cual est´an definidas las operaciones suma “+” de dos elementos x , y de V y

multiplicaci´on “·” de un escalar (n´umero real) α por un elemento de V . V es un espacio vectorial si

1 ∀x, y ∈ V , el vector suma, w = x + y ∈ V y se cumple que:

1 x + y = y + x

2 (x + y ) + z = x + (y + z)

3 Existe un elemento “nulo” de V , tal que x + 0 = 0 + x = x

4 Cualquiera sea el vector x de V , existe el elemento (−x )

“opuesto” a x , tal que x + (−x ) = (−x ) + x = 0.

2 ∀x ∈ V , el vector w = α · x ∈ V y se cumple que:

1 α · (x + y ) = α · x + α · y

2 (α + β) · x = α · x + β · x

3 α · (β · x ) = (αβ) · x

4 1 · x = x

R. ´Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach

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Ejemplos de espacios vectoriales

1 El conjunto de los vectores de Rⁿ cuando la suma de dos vectores y la multiplicaci´on por un escalar es la est´andard.

2 El conjunto R^m×n de las matrices m × n cuando la suma de dos matrices y la multiplicaci´on por un escalar es la est´andard.

3 El conjunto Pn de los polinomios de grado a lo sumo n

Pn= {pn(t) = a0+a1t+· · ·+antⁿ, a0, ..., an n´umeros reales.}, donde definimos

p(t) = a₀+ a₁t + · · · + a_ntⁿ, q(x ) = b₀+ b₁t + · · · + b_ntⁿ,

(p + q)(t) ≡ p(t) + q(t) = (a0+ b0) + (a1+ b1)t + · · · + (an+ bn)tⁿ, (α · p)(t) ≡ α p(t) = (αa₀) + (αa₁)t + · · · + (αa_n)tⁿ.

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Subespacios vectoriales

Definici´on

Sea V un espacio vectorial. Diremos que un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si H es a su vez un espacio vectorial respecto a las mismas operaciones suma “+” y multiplicaci´on “·” que V .

Ejemplos.

1 Dado un espacio vectorial V , son subespacios vectoriales

“triviales” los subespacios H = {0} (conjunto que tiene como

´

unico elemento, el nulo) y H = V (el mismo espacio vectorial).

2 Para V = C_[a,b], H = Pn es un subespacio vectorial, para cualquier n = 0, 1, 2, ... entero.

3 Para V = Pn, H = Pk es un subespacio vectorial para todo k < n.

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Subespacios vectoriales

Teorema

Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y s´olo si se cumple que

Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector w = αx + βy tambi´en es un vector de H.

Al vector v = x1v1+ x2v2+ · · · + xpvp, x1, . . . , xp ∈ R, se le denomina combinaci´on lineal de los vectores v₁, v₂, ..., v_p. Sea span (v₁, v₂, ..., v_p) el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v1, v2, ..., vp ∈ V

Teorema

span (v1, v2, ..., vp) es un subespacio vectorial de V .

Dicho subespacio vectorial com´unmente se denomina subespacio generado por los vectores v₁, v₂, ..., v_p.

(6)

Subespacios vectoriales

Teorema

Dicho subespacio vectorial com´unmente se denomina subespacio generado por los vectores v₁, v₂, ..., v_p.

(7)

Subespacios vectoriales

Teorema

(8)

Conjuntos linealmente independientes

Definici´on

Un conjunto de vectores v₁, v₂, ..., v_p de un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuaci´on vectorial

x₁v₁+ x₂v₂+ · · · + x_pv_p = 0, x₁, x₂, · · · , x_p∈ R tiene como ´unica soluci´on la trivial x₁ = · · · = x_p= 0.

Definici´on

Un conjunto de vectores v₁, v₂, ..., v_p se denomina linealmente dependiente si existen x1, x2, · · · , xp∈ R no todos iguales a cero tales que se verifique la ecuaci´on vectorial

x1v1+ x2v2+ · · · + xpvp = 0.

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Conjuntos linealmente independientes

Definici´on

Un conjunto de vectores v₁, v₂, ..., v_p de un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuaci´on vectorial

x₁v₁+ x₂v₂+ · · · + x_pv_p = 0, x₁, x₂, · · · , x_p∈ R tiene como ´unica soluci´on la trivial x₁ = · · · = x_p= 0.

Definici´on

Un conjunto de vectores v₁, v₂, ..., v_p se denomina linealmente dependiente si existen x1, x2, · · · , xp∈ R no todos iguales a cero tales que se verifique la ecuaci´on vectorial

x v + x v + · · · + x v = 0.

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Importancias de los vectores li: Bases

Definici´on

Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto de vectores B = {b₁, b₂, ..., b_p} de V es una base de H si

i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b₁, b₂, ..., b_p), o sea, B genera a todo H.

En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo el espacio vectorial V .

Ejemplo 1: Las n columnas a₁, ..., a_n de una matriz invertible n × n, son li y adem´as Rⁿ= span (a1, ..., an). Por tanto

B = a1, ..., an es una base de Rⁿ. Si A = In, es la matriz identidad n × n, las columnas e₁, e₂, ..., e_n de la misma son la base can´onica de Rⁿ.

Ejemplo 2: El conjunto de vectores S = {1, t, t², ..., tⁿ} ∈ Pn es li, adem´as span (1, t, t², ..., tⁿ) = Pn. Luego S es una base de Pn

(can´onica).

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Importancias de los vectores li: Bases

Definici´on

B = a₁, ..., a_n es una base de Rⁿ. Si A = I_n, es la matriz identidad n × n, las columnas e₁, e₂, ..., e_n de la misma son la base can´onica de Rⁿ.

(can´onica).

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Importancias de los vectores li: Bases

Definici´on

B = a₁, ..., a_n es una base de Rⁿ. Si A = I_n, es la matriz identidad n × n, las columnas e₁, e₂, ..., e_n de la misma son la base can´onica de Rⁿ.

(can´onica).

(13)

Bases y dimensi´ on del espacio

Teorema

Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores

B = {b₁, b₂, ..., b_n}, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b₁, ..., b_n}, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V .

El menor n´umero de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intr´ınseca de dicho espacioy se denomina dimensi´on del espacio vectorial.

IUn espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. IEl espacio nulo {0} tiene dimensión 0.

ISi V no puede ser generado por una base finita, entonces V es de dimensi´on infinita: dim V = ∞.

Ejemplos: dim Rⁿ= n, dim Pn= n + 1, dim C_[a,b] = ∞.

(14)

Bases y dimensi´ on del espacio

Teorema

IUn espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. IEl espacio nulo {0} tiene dimensión 0.

(15)

Bases y dimensi´ on del espacio

Teorema

IUn espacio vectorial V es de dimensi´on finita n si V est´a generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n.

IEl espacio nulo {0} tiene dimensi´on 0.

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Bases y dimensi´ on del espacio

Teorema

(17)

Bases y dimensi´ on del espacio

Teorema

ISi V no puede ser generado por una base finita, entonces V es

(18)

Bases y dimensi´ on del espacio

Teorema

(19)

Espacios normados y de Banach

Definici´on

Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un n´umero real denominado norma, y que

denotaremos por kx k, que cumple con las condiciones

1 ∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.

2 ∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.

3 ∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + yk ≤ kxk + kyk.

Si en un espacio normado X definimos la func. ρ(x, y ) = kx − y k, esta satisface los axiomas de la definición de espacio métrico, i.e., todo espacio normado es un espacio métrico. La ρ anterior se denomina métrica inducida por la norma.

Definici´on

Un espacio normado completo (en la m´etrica inducida por la norma) se denomina espacio de Banach.

(20)

Espacios normados y de Banach

Definici´on

Un espacio normado completo (en la m´etrica inducida por la norma) se denomina espacio de Banach.

(21)

Espacios normados y de Banach

Definici´on

(22)

Ejemplos

Ejemplo

X = Rⁿ (Cⁿ), con la norma kx k =pPn

k=1|x_k|², es un espacio de Banach.

Ejercicio

¿Qu´e ocurre con X = Rⁿ (Cⁿ) si usamos las normas kxk = (Pn

k=1|x_k|^p)^1/p, p ≥ 1? ¿Y con la norma kxk = max_k=1,...,n|x_k|?

Ejemplo

Sea X = C[a,b] y definamos la norma kf k = Rb

a |f (x)|^p1/p

, p ≥ 1. Este espacio es un espacio normado pero no de Banach (¿por qu´e?).

(23)

Ejemplos

Ejemplo

Ejercicio

Ejemplo

a |f (x)|^p1/p

(24)

Ejemplos

Ejemplo

Ejercicio

Ejemplo

a |f (x)|^p1/p

(25)

Ejemplos

Ejemplo

Sea X = C[a,b]. Definamos la norma kf k = max_{x ∈[a,b]}|f (x)|. Este espacio es un espacio de Banach.

Ejemplo

Sea ahora X el espacio de todas las sucesiones x = (x₁, x₂, . . . , x_n, . . .) reales t.q. P∞

k=1|x_k|^p< +∞ con la norma kxk = (P∞

k=1|x_k|^p)^1/p, p ≥ 1. Dicho espacio lo denotaremos por l_p y es un espacio de Banach.

Ejercicio

Decide si el espacio X de todas las sucesiones reales

x = (x₁, x₂, . . . , x_n, . . .) acotadas con la m´etrica kx k = sup_k∈N|x_k|, es un espacio de Banach.

(26)

Ejemplos

Ejemplo

Sea ahora X el espacio de todas las sucesiones x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) reales t.q. P∞

Ejercicio

x = (x₁, x₂, . . . , x_n, . . .) acotadas con la m´etrica kx k = sup_k∈N|x_k|, es un espacio de Banach.

(27)

Ejemplos

Ejemplo

Sea ahora X el espacio de todas las sucesiones x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) reales t.q. P∞

Ejercicio

(28)

¿Todo espacio m´ etrico es normado?

Sea X el espacio de todas las sucesiones reales x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) con la m´etrica

ρ(x , y ) =

∞

X

j =1

1 2^j

|x_j− y_j| 1 + |x_j − y_j|.

Esta m´etrica no puede ser inducida por ninguna norma ya que de ella nunca podremos obtener la propiedad x ∀ ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk, de la norma.

Lema

Sea X un espacio normado. Entonces, la m´etrica ρ inducida por la norma satisface las condiciones

1 ρ(x + z, y + z) = ρ(x , y ),

2 ρ(λx , λy ) = |λ|ρ(x , y ).

(29)

¿Todo espacio m´ etrico es normado?

Sea X el espacio de todas las sucesiones reales x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) con la m´etrica

ρ(x , y ) =

∞

X

j =1

1 2^j

|x_j− y_j| 1 + |x_j − y_j|.

Esta m´etrica no puede ser inducida por ninguna norma ya que de ella nunca podremos obtener la propiedad x ∀ ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk, de la norma.

Lema

Sea X un espacio normado. Entonces, la m´etrica ρ inducida por la norma satisface las condiciones

1 ρ(x + z, y + z) = ρ(x , y ),

(30)

Espacios normados vs Espacios m´ etricos

En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones, suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios m´etricos con la m´etrica ρ inducida por la norma: ρ(x , y ) = kx − y k.

Algunas definiciones son algo m´as sutiles:

Definici´on

Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X. Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces se dice que es un subespacio cerrado.

Definici´on (En los espacios normados podemos definir las series:) Sea una suc. (x_n)_n de un espacio normado X definiremos la sucesi´on (s_n)_n de sumas parciales por s_n=

n

X

k=1

x_k, ∀n ∈ N. Si sn→ s ∈ X (en norma), diremos que la serie es converge en X y s es su suma. La serie converge absolutamente siPn

k=1kx_kk < +∞.

(31)

Espacios normados vs Espacios m´ etricos

Definici´on

Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X.

Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces se dice que es un subespacio cerrado.

n

X

k=1

x_k, ∀n ∈ N. Si sn→ s ∈ X (en norma), diremos que la serie es converge en X y s es su suma. La serie converge absolutamente siPn

k=1kx_kk < +∞.

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Espacios normados vs Espacios m´ etricos

Definici´on

n

X

k=1

x_k, ∀n ∈ N. Si sn→ s ∈ X (en norma), diremos que la serie es converge en X y s es su suma. La serie converge absolutamente siP_n

k=1kx_kk < +∞.

(33)

Series en espacios normados

Teorema

Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces toda serie absolutamente convergente es convergente.

El teorema anterior no es cierto si X no es completo. Ejercicio

Prueba que si X es un espacio normado, entonces toda serie absolutamente convergente es convergente si y s´olo si X es completo.

Teorema (¡Todo espacio normado se puede completar!)

Sea (X, k.k) un espacio normado. Entonces existe un espacio de Banach bX y una isometr´ıa A de X en W ⊂ bX, tal que W es denso en bX. Adem´as, bX es ´unico excepto isometr´ıas.

(34)

Series en espacios normados

Teorema

El teorema anterior no es cierto si X no es completo.

Ejercicio

Sea (X, k.k) un espacio normado. Entonces existe un espacio de Banach bX y una isometr´ıa A de X en W ⊂ bX, tal que W es denso en bX. Adem´as, bX es ´unico excepto isometr´ıas.

(35)

Series en espacios normados

Teorema

El teorema anterior no es cierto si X no es completo.

Ejercicio

Sea (X, k.k) un espacio normado. Entonces existe un espacio de Banach bX y una isometr´ıa A de X en W ⊂ bX, tal que W es denso

(36)

Base de Schauder

Definici´on

Sea X un espacio normado. Sea (en)_n una sucesión de elementos de X tal que, para todo x ∈ X, existe una única sucesión de escalares (αn)n tales que kx − (α1e1+ · · · + αnenk^n→∞−→ 0. Dicha sucesión se denomina base de Schauder.

(37)

Base de Schauder y separabilidad

Ejemplo

Sea X el espacio l^p de las sucesiones y sea (e_n)_n la sucesión ek = δi ,k, i.e., la sucesión de vectores de l^p con 1 en la posición k y 0 en el resto. Probemos que dicha sucesión es una base de Schauder. En efecto, para todo x ∈ l^p tenemos

x = (x1, x2, x3, . . . , xn, . . . ). Sea sn=Pn

k=1xkek. Como x ∈ l^p, entonces

n→∞lim ks_n− sk = lim

n→∞

∞

X

k=n+1

|x_k|^p

!1/p

n→∞−→ 0.

Ejercicio

Prueba que si un espacio normado X tiene una base de Schauder, entonces es separable.

(38)

Base de Schauder y separabilidad

Ejemplo

Sea X el espacio l^p de las sucesiones y sea (e_n)_n la sucesión ek = δi ,k, i.e., la sucesión de vectores de l^p con 1 en la posición k y 0 en el resto. Probemos que dicha sucesión es una base de Schauder. En efecto, para todo x ∈ l^p tenemos

x = (x1, x2, x3, . . . , xn, . . . ). Sea sn=Pn

k=1xkek. Como x ∈ l^p, entonces

n→∞lim ks_n− sk = lim

n→∞

∞

X

k=n+1

|x_k|^p

!1/p

n→∞−→ 0.

Ejercicio

Prueba que si un espacio normado X tiene una base de Schauder, entonces es separable.

(39)

Espacios normados de dimensi´ on finita

Lema (Lema t´ecnico)

Sean n vectores cualesquiera x1, . . . , xn linealmente independientes de un espacio normado X. Entonces, existe un n´umero real c > 0 tal que cuales quiera sean los escalares α₁, . . . , α_n,

kα₁x₁+ · · · + α_nx_nk ≥ c(|α₁| + · · · + |α_n|).

Demostraci´on: Sea s = |α1| + · · · + |α_n|. Si s = 0 el lema es trivial as´ı que asumiremos s > 0. Dividiendo por s 2 se sigue que 2 es equivalente a probar que si x1, . . . , xn son linealmente

independientes, entonces existe un n´umero real c > 0 tal que cuales quiera sean los los escalares β₁, . . . , β_n, con Pn

k=1|β_k| = 1 kβ₁x1+ · · · + βnxnk ≥ c.

(40)

Prueba del Lema t´ ecnico

Entonces ha de existir (¿por qu´e?) una sucesi´on (y_m)_m ⊂ X tal que y_m= β₁^(m)x₁+ · · · + β_n^(m)x_n,

n

X

k=1

|β_k^(m)| = 1, y ky_mk^m→∞−→ 0.

De la condici´onPn

k=1|β_k^(m)| = 1 se sigue que las n sucesiones num´ericas (β_k^(m))m, k = 1, . . . , n, son acotadas.

Sea la sucesión (β₁^(m))m acotada, entonces por el T de B-W de ella se puede extraer una subsucesión convergente β₁^(m^j⁾ ^{j →∞}−→ β₁. Escojamos de cada una de las sucesiones restantes (β_k^(m))_m, k = 2, . . . , n, las subsucesiones definidas por los ´ındices mj. Entonces (β₂^(m^j⁾)_j es acotada y por B-W y podemos extraer una subsucesión convergente β₂^(j^l⁾ ^{l →∞}−→ β₂. Además, si escogemos los

´ındices j_l definidos, la subsucesi´on (β^(j₁^l⁾)_j ^{l →∞}−→ β₁ (¿por qu´e?).

(41)

Prueba del Lema t´ ecnico

Continuando este proceso n veces V ∃ una subsucesión de ´ındices l_i t.q. β_k^(lⁱ⁾^{i →∞}−→ β_k, ∀k = 1, 2, . . . , n. Además, dicha sucesión de

´ındices define una subsucesi´on (yl_i)i de (ym)m t.q.

y_l_i =

n

X

k=1

β_k^(lⁱ⁾x_k, β_k^(lⁱ⁾ ^{i →∞}−→ β_k V lim

i →∞y_l_i =

n

X

k=1

β_kx_k := y ,

n

X

k=1

|β_k| = 1.

De lo anterior se sigue que no todos los βk = 0 al mismo tiempo.

Como los vectores x₁, . . . , x_n son li Vy 6= 0 (¿por qu´e?). La norma es una aplicaci´on continua V

i →∞lim y_l_i = y V lim

i →∞ky_l_ik = ky k, pero como kymk^m→∞−→ 0, entonces lim_{i →∞}ky_l_ik = 0, luego