Ejemplos de σ-´ algebras

Sigma-´ algebras

Objetivos. Definir la noci´on de σ-´algebra y estudiar sus propiedades b´asicas.

Requisitos. Operaciones con conjuntos, operaciones con familias de conjuntos.

1. Notaci´on (conjunto potencia, conjunto de los subconjuntos). Sea X un con- junto. Entonces denotemos por 2^X al conjunto de todos los subconjuntos de X.

2. Definici´on (σ-´algebra). Sea X un conjunto. Un conjunto F ⊂ 2^X se llama σ-´algebra sobre X si cumple con las siguientes condiciones:

1. ∅ ∈ F.

2. F es cerrado bajo complementos: si A ∈ F, entonces X \ A ∈ F.

3. F es cerrado bajo uniones numerables: si Ai ∈ F para todo i ∈ N y B = S_i∈NA_i, entonces B ∈F.

3. Propiedades elementales de σ-´algebras. Sea F una σ-´algebra sobre X. Entonces:

1. X ∈ F.

2. F es cerrada bajo intersecciones numerables:

si A_i ∈F para todo i ∈ N, entonces T_i∈NA_i ∈F.

3. F es cerrada bajo uniones finitas:

si A_i ∈F para todo i ∈ {1, . . . , m}, entonces S^m_i=1A_i ∈F.

4. F es cerrada bajo intersecciones finitas:

si A_i ∈F para todo i ∈ {1, . . . , m}, entonces T^m_i=1A_i ∈F.

5. F es cerrada bajo la operaci´on de diferencia de conjuntos:

si A, B ∈F, entonces A \ B ∈ F.

Sigma-´algebras, p´agina 1 de 2

Ejemplos de σ-´ algebras

4. Ejemplo de una σ-´algebra: conjunto potencia. Sea X un conjunto. Entonces 2^X es una σ-´algebra sobre X.

5. Propiedades de conjuntos finitos o numerables (repaso). Recuerde c´omo se demuestran las siguientes proposiciones:

Sea (A_k)_k∈N una sucesi´on de conjuntos a lo m´as numerables. Entonces la uni´on S

k∈NA_k tambi´en es un conjunto a lo m´as numerable.

Sea B un conjunto a lo m´as numerable y sea C ⊂ B. Entonces que C tambi´en es a lo m´as numerable.

6. Ejemplo de una σ-´algebra: subconjuntos a lo m´as numerables y sus com- plementos. Sea X un conjunto no numerable. Denotemos por N al conjunto de todos los subconjuntos finitos o numerables de X:

N := Y ⊂ X : Y es finito o numerable .

Denotemos porF al conjunto que consiste en todos los subconjuntos finitos o numerables de X y todos los subconjuntos de X cuyos complementos son finitos o numerables:

F := Y ⊂ X : Y ∈ N ∨ Y^c ∈N . Entonces F es una σ-´algebra.

Indicaci´on acerca de la demostraci´on. En la demostraci´on de la propiedad 3 hay que con- siderar dos casos: 1) A_i ∈N para todo i ∈ N; 2) A^cj ∈N para alg´un j ∈ N.

Sigma-´algebras, p´agina 2 de 2