Funciones continuas entre espacios m´ etricos

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Funciones continuas entre espacios m´ etricos

En este tema suponemos que (X, dX) e (Y, dY) son espacios m´etricos. Denotamos por τX

y τY las topolog´ıas inducidas correspondientes.

Dado x en X, denotamos por τX(x) al conjunto de las vecindades abiertas del punto x:

τX(x) := {V ∈ τX: x ∈ V }.

De manera similar, dado y en Y , denotamos por τY(y) al conjunto de las vecindades abiertas del punto y.

1 Definici´on. Sea f : X → Y . Se dice que f es continua si para cualquier conjunto A, abierto en Y , su preimagen bajo f es un conjunto abierto en X.

2 Definici´on. Denotamos por C(X, Y ) al conjunto de todas las funciones continuas X → Y .

De manera formal,

C(X, Y ) :=f ∈ YX: ∀A ∈ τY f−1[A] ∈ τX .

3 Definici´on. Sea f : X → Y y sea x ∈ X. Se dice que la funci´on f es continua en el punto x si para cada W en τY(f (x)) existe V en τX(x) tal que f [V ] ⊆ W .

4 Proposici´on. Sea f : X → Y y sea x ∈ X. Entonces f es continua en x si y solo si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que f [B(x, δ)] ⊆ B(f (x), ε).

Repaso de algunas propiedades de im´ agenes y preim´ agenes

En este repaso suponemos que f : X → Y , donde X, Y son algunos conjuntos.

5 Proposici´on (sobre la im´agen de la preim´agen). Sea Q ⊆ Y . Entonces f [f−1[Q]] ⊆ Q.

6 Proposici´on (sobre la preim´agen de la imagen). Sea P ⊆ X. Entonces P ⊆ f−1[f [P ]].

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7 Proposici´on (monoton´ıa de la imagen). Sean P1, P2 ⊆ X tales que P1 ⊆ P2. Entonces f [P1] ⊆ f [P2].

8 Proposici´on (monoton´ıa de la preimagen). Sean Q1, Q2 ⊆ Y tales que Q1 ⊆ Q2. Entonces

f−1[Q1] ⊆ f−1[Q2].

9 Proposici´on (sobre contenciones, im´agenes y preim´agenes). Sean X, Y algunos con- juntos, f : X → Y una funci´on, P ⊆ X, Q ⊆ Y . Entonces

f [P ] ⊆ Q ⇐⇒ P ⊆ f−1[Q].

Demostraci´on. 1. Supongamos que f [P ] ⊆ Q. Usando la proposici´on sobre la preimagen de la imagen y la propiedad mon´otona de la preimagen, obtenemos

P ⊆ f−1[f [P ]] ⊆ f−1[Q].

2. Supongamos que P ⊆ f−1[Q]. Usando la proposici´on sobre la imagen de la preimagen y la propiedad mon´otona de la imagen, obtenemos

f [P ] ⊆ f [f−1[Q]] ⊆ Q.

Criterios de continuidad

10 Teorema (criterio de la continuidad en t´erminos de la continuidad local). Sea f : X → Y . Entonces f es continua si y solo si para cada x en X la funci´on f es continua en el punto x.

Demostraci´on. 1. Supongamos que f es continua. Sea x ∈ X. Demostremos que f es continua en x. Sea W ∈ τY(f (x)). Pongamos V := f−1[W ]. Entonces, por la suposici´on que f es continua, tenemos que V ∈ τX. Adem´as, como f (x) ∈ W , tenemos que x ∈ f−1[W ] = V . Luego V ∈ τX(x). Finalmente,

f [V ] = f [f−1[W ]] ⊆ W.

2. Supongamos que f es continua en cada punto del espacio X. Sea A un conjunto abierto en Y . Demostremos que f−1[A] es un conjunto abierto en X. Sea x ∈ f−1[A]. Entonces f (x) ∈ A. Luego A ∈ τY(f (x)). Como f es continua en x, existe V en τX(x) tal que f [V ] ⊆ A. Entonces V ⊆ f−1[A].

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Para un punto arbitrario x del conjunto f−1[A] hemos mostrado que existe V en τX(x) tal que V ⊆ f−1[A]. Con esto hemos probado que f−1[A] ∈ τX.

11 Proposici´on (criterio de continuidad en t´erminos de conjuntos cerrados). Sea f : X → Y . Entonces f es continua si, y solo si, para cada conjunto C cerrado en Y , el conjunto f−1[C] es cerrado en X.

Demostraci´on. Aplicar la propiedad f−1[Y \ G] = X \ f−1[G].

12 Proposici´on (criterio de continuidad en t´erminos de los interiores y las preim´agenes).

] Sea f : X → Y . Entonces f es continua si y solo si para cada G ⊆ Y se cumple que f−1[intY(G)] ⊆ intX(f−1[G]). (1) Demostraci´on. 1. Supongamos que f es continua. Como intY(G) ∈ τY, obtenemos que f−1[intY(G)] ∈ τX. Adem´as, como intY(G) ⊆ G, por la propiedad mon´otona de las preim´agenes

f−1[intY(G)] ⊆ f−1[G].

Hemos mostrado que f−1[intY(G)] es un conjunto abierto contenido en f−1[G]. Luego f−1[intY(G)] ⊆ intX(f−1[G]).

2. Supongamos que para cada G ⊆ Y se cumple que (1). Mostremos que f es continua.

Sea G ∈ τY. Entonces

f−1[G] = f−1[intY(G)] ⊆ intX(f−1[G]) ⊆ f−1[G].

Hemos mostrado que el conjunto f−1[G] coincide con su interior. Luego f−1[G] ∈ τX. Otra demostraci´on de la Proposici´on 12, usando la continuidad local. 1. Sea f continua.

Sea G ⊆ Y . Sea x ∈ f−1[intY(G)]. Entonces f (x) ∈ intY(G). Elegimos ε > 0 tal que BY(f (x), ε) ⊆ G. Por el Teorema 10, f es continua en el punto x. Encontramos δ > 0 tal que f [BX(x, δ)] ⊆ BY(f (x), ε). Entonces f [BX(x, δ)] ⊆ G. Por la Proposici´on 9, BX(x, δ) ⊆ f−1[G]. Hemos mostrado que x ∈ intX(f−1[G]).

2. Ahora supongamos que para cada G ⊆ Y se cumple (1). Mostremos que f es continua en cada punto x. Sea ε > 0. Pongamos G = B(f (x), ε). Entonces G ∈ τY, luego intY(G) = G.

Aplicando (1) obtenemos

x ∈ f−1[G] = f−1[intY(G)] ⊆ intX(f−1[G]).

Luego existe δ > 0 tal que B(x, δ) ⊆ f−1[G]. Esto significa que f [B(x, δ)] ⊆ G.

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(4)

13 Proposici´on (criterio de continuidad en t´erminos de las cerraduras y las preim´agenes).

Sea f : X → Y . Entonces f es continua si, y solo si, para cada G ⊆ X se cumple que clX(f−1[G]) ⊆ f−1[clY(G)]. (2) 14 Proposici´on (criterio de continuidad en t´erminos de las cerraduras y las im´agenes).

Sea f : X → Y . Entonces f es continua si, y solo si, para cada A ⊆ X se cumple que

f [clX(A)] ⊆ clY(f [A]). (3)

15 Proposici´on. Sea c ∈ Y . Definimos f mediante la regla f (x) := c (x ∈ X).

Entonces f es continua.

Demostraci´on. Sea x ∈ X. Entonces f (x) = c. Elegimos ε > 0. Pongamos δ = 1. Entonces f [B(x, δ)] ⊆ {c} ⊆ B(c, ε).

16 Ejemplo. Consideremos los espacios m´etricos X = R e Y = Z con las distancias comunes. Definimos f : R → Z mediante la regla

f (x) := 0 (x ∈ R).

Consideremos el conjunto A := {5}. Entonces f [A] = {0},

intR(A) = ∅, f [intR(A)] = ∅, intZ(f [A]) = {5}.

Notamos que

intY(f [A]) * f [intX(A)].

17 Ejemplo. Consideremos los espacios m´etricos X = Z e Y = R con las distancias comunes. Definimos f : Z → R mediante la regla

f (x) := 0 (x ∈ Z).

Consideremos el conjunto A := {5}. Entonces f [A] = {0},

intZ(A) = {5}, f [intZ(A)] = {0}, intR(f [A]) = ∅.

Notamos que

f [intX(A)] * intY(f [A]).

Los Ejemplos16y17muestran que la continuidad de f no se puede describir en t´erminos de una contenci´on entre los conjuntos intY(f [A]) y f [intX(A)].

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