MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS
POLINOMIOS DE LEGENDRE Y OPERADOR SIM ´ETRICO
FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ
Resumen. Respecto de una base formada por polinomios de Legendre, determinamos la matriz diagonal de un operador sim´etrico.
Enunciado
En el espacio vectorial E = Rn[x] de los polinomios reales de grado ≤ n se define la aplicaci´on
T : E → E, T (f ) = pf00
con p(x) = x2− 1.
(a) Demostrar que T es lineal.
(b) Hallar la matriz de T en la base can´onica de E.
(c) Determinar el espectro de T y estudiar si T es diagonalizable.
(d) En el espacio vectorial eucl´ıdeo que se obtiene al dotar a E del producto escalar
hf, gi = Z 1
−1
f (x)g(x) dx,
estudiar si el endomorfismo T es sim´etrico y determinar la matriz de T respecto de la base
BL= (p0, p1, . . . , pn)
formada por los polinomios de Legendre de grados 0, 1, 2, . . . , n.
Soluci´on
(a) La aplicaci´on est´a bien definida pues si f 6= 0,
grad f = k ⇒ grad pf0 = 2 + (k − 1) = k + 1
⇒ grad pf00
= k ⇒ grad T (f ) = k,
y si f = 0, T (f ) = 0, por tanto T transforma elementos de E en elementos de E. Veamos que T es lineal. En efecto, para todo α, β ∈ R y para todo f, g ∈ E
T (αf + βg) = p(αf + βg)00
= p(αf0+ βg0)0
= αpf0+ βpg00
= α pf00
+ β pg00
= αT (f ) + βT (g).
(b) Hallemos los transformados de la base can´onica B = (1, x, x2, . . . , xn).
Tenemos para 2 ≤ k ≤ n T (xk) =
(x2− 1)(xk)0
0
=
k(x2− 1)xk−10 Key words and phrases. Polinomios, Legendre, operador, sim´etrico.
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=
kxk+1− kxk−10
= k(k + 1)xk− k(k − 1)xk−2. Por otra parte, T (1) = 0 y T (x) = 2x. Entonces,
T (1) = 0 T (x) = 2x T (x2) = 6x2− 2 T (x3) = 12x3− 6x
. . .
T (xn) = n(n + 1)xn− n(n − 1)xn−2 y la matriz M de T en B es
M =
0 0 −2 0 . . . 0
0 2 0 −6 . . . 0
0 0 6 0 . . . 0
0 0 0 12 . . . 0
... ...
0 0 0 0 . . . n(n + 1)
.
(c) La matriz M es triangular, por tanto el espectro de T es Spec (T ) = {0, 2, 6, 12, . . . , n(n + 1)}.
Los valores propios son todos reales y simples, en consecuencia T es diago- nalizable.
(d) Recordemos que los polinomios de Legendre pn(x) = 1
2kk!
dk dxk
h
(x2− 1)ki
(k = 0, 1, . . . , n),
forman una base ortogonal en el espacio eucl´ıdeo dado. Sean f, g ∈ E tales que f =Pn
0 αipi y g =Pn
0 βjpj. Entonces, hT f, gi = h
n
X
0
αiT pi,
n
X
0
βjpji =
n
X
i,j=0
αiβjhT pi, pji.
An´alogamente obtenemos hf, T gi =Pn
i,j=0αiβjhpi, T pji. Por otra parte, T [pk(x)] = [(x2− 1)p0k(x)]0 = 2xp0k(x) + (x2− 1)p00k(x)
= . . . = k(k + 1)pk(x). (∗) hT pi, pji =
Z 1
−1
i(i + 1)pi(x)pj(x) = 0 si i 6= j,
hpi, T pji = Z 1
−1
j(j + 1)pi(x)pj(x) = 0 si i 6= j.
POLINOMIOS DE LEGENDRE Y OPERADOR SIM ´ETRICO 3
En consecuencia, para todo f, g ∈ E hT f, gi =
n
X
i=0
αiβihT pi, pii =
n
X
i=0
αiβihpi, T pii = hf, T gi,
lo cual implica que T es sim´etrico. De la igualdad (∗) deducimos que la matriz de T en BL es
D = diag (0, 2, 6, 12, . . . , n(n + 1)).
Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.
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Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).
E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es
