MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS
TEOREMA DE REORDENACI ´ON DE RIEMANN
FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ
Resumen. Demostramos el teorema de Riemann de la reordenaci´on de series: dada una serie real condicionalmente convergente y dado x ∈ [−∞, +∞], existe una reordenaci´on de la serie cuya suma es x.
Enunciado
Por simplicidad, denotaremosP an=P∞ n=1an.
1) Demostrar que si la serie real P an es condicionalmente convergente, entonces existen infinitos t´erminos positivos e infinitos negativos.
2) Para todo n descomponemos an = a+n + a−n con a+n ≥ 0 y a−n ≤ 0 de la siguiente manera:
a+n = an+ |an|
2 , a−n = an− |an|
2 .
Describir tal descomposici´on seg´un los casos anpositivo, negativo o nulo.
3) Demostrar queP a+n = +∞ y que P a−n = −∞.
4) Dada una serie real condicionalmente convergente y dado cualquier n´ume- ro real x, demostrar que existe una reordenaci´on de la serie cuya suma es x.
5) Dada una serie real condicionalmente convergente demostrar que existe una reordenaci´on de la serie cuya suma es +∞ y otra cuya suma es −∞
(esto completar´a la demostraci´on del teorema).
Soluci´on
1) Supongamos que existiera s´olo un n´umero finito de t´erminos positivos y sea am el ´ultimo de ellos. Entonces, al ser P an convergente, lo ser´ıa P
n>man= −P
n>m|an| con lo cual lo ser´ıa P
n>m|an| y por endeP |an|.
Llegar´ıamos al absurdo de queP anser´ıa absolutamente convergente. An´alo- go razonamiento si existiera s´olo un n´umero finito de t´erminos negativos.
2) De acuerdo con las definiciones de a+n y a−n:
an=
a+n + a−n = an+ 0 si an> 0 a+n + a−n = 0 + an si an< 0 a+n + a−n = 0 + 0 si an= 0.
Key words and phrases. Teorema, reordenaci´on, Riemann.
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3) Si ambas series fueran convergentes:
P a+n = S ∈ R P a−n = T ∈ R ⇒
P a+n = S P |a−n| = −T
⇒X
|an| =X
a+n + a−n
=X
a+n +X a−n
= S − T ∈ R y la serie P an ser´ıa absolutamente convergente (contradicci´on).
Si una de las series P a+n, P a−n fuera convergente y otra divergente, la serie sumaP (a+n + a−n) (que es la serieP an), ser´ıa divergente, en contradic- ci´on con la hip´otesis de serP ancondicionalmente convergente. Concluimos que necesariamente las seriesP a+n yP a−n son ambas divergentes.
Ademas, al serP a+n serie de t´erminos positivos yP a−n de negativos, ha de ser
Xa+n = +∞, X
a−n = −∞.
4) Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que todos los t´erminos de la serie condicionalmente convergente P an son no nulos. Sea pnel n-´esimo t´ermino positivo de P an y sea −qn su n-´esimo negativo. Seg´un el apar- tado anterior, P pn = +∞ y P −qn = −∞. Elijamos t´erminos positivos p1, . . . , pn1 hasta el primer pn1 que verifique
Sn1 = p1+ . . . + pn1 > x
con lo cual, Sn1− x < pn1. Elijamos t´erminos negativos −q1, . . . , −qn2 hasta el primer −qn2 que verifique
Sn1+n2 = p1+ . . . + pn1− q1− . . . − qn2 < x
con lo cual, x − Sn1+n2 < qn2. Adem´as, Sn1 > Sn1+1 > . . . > Sn1+n2, luego x − Sn< qn2 ∀n = n1, n2+ 1, . . . , n1+ n2.
N´otese que estamos reordenado la serie P an. De nuevo, elijamos los t´erminos positivos pn1+1, . . . , pn3 hasta el primer pn3 que verifique
Sn1+n2+n3 = p1+ . . . + pn1− q1− . . . − qn2 + pn1+1+ . . . + pn3 > x con lo cual, Sn1+n2+n3 − x < pn3. Adem´as, Sn1+n2 < Sn1+n2+1 < . . . <
Sn1+n2+n3, luego
Sn− x < pn3 ∀n = n1+ n2, n1+ n2+ 1, . . . , n1+ n2+ n3.
Procediendo de esta manera llegamos a una reordenaci´on de la serieP an de tal manera que sus sumas parciales satisfacen
Sn1 − x < pn1, x − Sn1+n2 < qn2, Sn1+n2+n3− x < pn3, . . . as´ı como las sumas parciales intermedias Sn. Por la condici´on necesaria de la convergencia deP an tenemos que pn→ 0 y qn→ 0, por tanto las sumas parciales de la serie reordenada tienen l´ımite x.
5) De nuevo y sin p´erdida de generalidad suponemos que todos los t´erminos de la serieP anson no nulos. Sea p1 < p2 < p3 < · · · la sucesi´on de ´ındices
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tales que api es t´ermino positivo de la serie y n1 < n2 < n3 < · · · la de los que ani es negativo. Cada n´umero natural aparece pues una y s´olo una vez en alguna de las sucesiones (pi) o (ni). Recordemos que seg´un se ha demostrado, P∞
i=1api = +∞. Entonces, sea k1 el menor n´umero natural tal que
k1
X
i=1
api ≥ |an1| + 1, k2 el menor n´umero natural tal que
k2
X
i=k1+1
api ≥ |an2| + 1,
y as´ı sucesivamente. Esto define la reordenaci´on de la serie
ap1 + ap2 + · · · + apk1 + an1 + apk1+1+ apk1+2+ apk2 + an2 + · · · Veamos que la serie reordenada de esta manera tiene suma +∞. Efecti- vamente, por construcci´on, la suma de los k1+ 1 primeros t´erminos de la reordenaci´on es ≥ 1 y ninguna suma parcial de entre esos t´erminos es < 0.
De manera an´aloga, la suma de los siguientes k2− k1+ 1 t´erminos es ≥ 1 y ninguna suma parcial de entre esos t´erminos es < 0. Reiterando, concluimos que la suma de la reordenaci´on es +∞. La demostraci´on de que existe una
reordenaci´on cuya suma es −∞ es similar.
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Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).
E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es
