MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

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MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

UN ESPACIO VECTORIAL NO USUAL

FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Resumen. Construimos un espacio vectorial no usual.

Enunciado

Sea el conjunto H = R × R>0.

1) Demostrar que (H, ⊕) es grupo abeliano, estando ⊕ definida mediante (x, y) ⊕ (z, w) = (x + z − 2, yw).

2) Demostrar que la operaci´on

R × H → H, λ ⊗ (x, y) = (λx − 2λ + 2, yλ)

dota al grupo abeliano H del apartado anterior, de estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo R.

Soluci´on

1) Interna. Dado que para todo (x, y), (z, w) ∈ H, se verifica x, z ∈ R, tambi´en x + z − 2 ∈ R. Al ser y, w ∈ R>0 tambi´en yw ∈ R>0 y por tanto, (x, y) ⊕ (z, w) ∈ H.

Asociativa. Para todo (x, y), (z, w), (u, v) ∈ H tenemos

(x, y) ⊕ [(z, w) ⊕ (u, v)] = (x, y) ⊕ (z + u − 2, wv) = (x + z + u − 4, ywu), [(x, y) ⊕ (z, w)] ⊕ (u, v) = (x + z − 2, yw) ⊕ (u, v) = (x + z + u − 4, ywu).

Se verifica la igualdad.

Elemento neutro. El par (a, b) es elemento neutro en H si y s´olo si para todo (x, y) ∈ H se verifica

(x, y) ⊕ (a, b) = (a, b) ⊕ (x, y) = (x, y)

o equivalentemente (x + a − 2, yb) = (a + x − 2, by) = (x, y). Es claro que (a, b) = (2, 1) ∈ H y satisface la relaci´on anterior para todo (x, y) ∈ H. Es por tanto el elemento neutro de H.

Elemento sim´etrico. El elemento (x0, y0) ∈ H es sim´etrico de (x, y) ∈ H si y s´olo si se verifica

(x, y) ⊕ (x0, y0) = (x0, y0) ⊕ (x, y) = (2, 1)

Key words and phrases. Espacio vectorial, no usual.

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o equivalentemente (x + x0− 2, yy0) = (x0+ x − 2, y0y) = (2, 1). Es claro que (x0, y0) = (4 − x, 1/y) es elemento de H y satisface la relaci´on anterior.

Conmutativa. Para todo (x, y), (z, w) ∈ H tenemos

(x, y) ⊕ (z, w) = (x + z − 2, yw) = (z + x − 2, wy) = (z, w) ⊕ (x, y).

Concluimos pues que (H, ⊕) es grupo abeliano.

2) Para todo λ, x ∈ R se verifica λx − 2λ + 2 ∈ R y para todo y ∈ R>0existe yλ > 0. Es decir, λ ⊗ (x, y) ∈ H est´a bien definida. Veamos ahora que se cumplen los cuatro axiomas de ley externa para espacios vectoriales.

(i) Para todo λ ∈ R y para todo (x, y), (z, w) ∈ H tenemos λ ⊗ [(x, y) ⊕ (z, w)] = λ ⊗ (x + z − 2, yw) =

λx + λz − 2λ − 2λ + 2, (yw)λ . Por otra parte,

[λ ⊗ (x, y)] ⊕ [λ ⊗ (z, w)] = (λx − 2λ + 2, yλ) ⊕ (λz − 2λ + 2, wλ)

= (λx − 2λ + 2 + λz − 2λ + 2 − 2, yλwλ) =

λx + λz − 4λ + 2, (yw)λ . Se verifica la igualdad.

(ii) Para todo λ, µ ∈ R y para todo (x, y) ∈ H tenemos (λ + µ) ⊗ (x, y) =



(λ + µ)x − 2(λ + µ) + 2, yλ+µ

 . Por otra parte,

[λ ⊗ (x, y)] ⊕ [µ ⊗ (x, y)] =



λx − 2λ + 2, yλ)



⊕ (µx − 2µ + 2, yµ)

= (λx − 2λ + 2 + µx − 2µ + 2 − 2, yλyµ).

Se verifica la igualdad.

(iii) Para todo λ, µ ∈ R y para todo (x, y) ∈ H tenemos λ ⊗ [µ ⊗ (x, y)] = λ ⊗ (µx − 2µ + 2, yµ) =

λ(µx − 2µ + 2) − 2λ + 2, (yµ)λ . Por otra parte,

(λµ) ⊗ (x, y) =



(λµ)x − 2(λµ) + 2, yλµ

 . Se verifica la igualdad.

(iv) Para todo (x, y) ∈ H se verifica

1 ⊗ (x, y) = (1x − 2 · 1 + 2, y1) = (x, y).

Concluimos que H es espacio vectorial sobre el cuerpo R con las operaciones

dadas. 

Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.

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as material en http://www.fernandorevilla.es

Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).

E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es

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