MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS
UNA CURVA NO RECTIFICABLE
FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ
Resumen. Proponemos un ejemplo de curva no rectificable.
Enunciado
Se considera la curva del plano
Γ :
x = t si 0 ≤ t ≤ 1 y =
( t cos1
t si 0 < t ≤ 1 0 si t = 0.
Demostrar que no es rectificable.
Sugerencia. Considerar particiones de [0, 1] de la forma P : 0, 1
(n − 1)π, 1
(n − 2)π, . . . , 1 2π, 1
π, 1.
Soluci´on
Los puntos de la poligonal que corresponden a la partici´on P son M0= (0, 0), M1=
1
(n − 1)π, 1
(n − 1)πcos(n − 1)π
,
M2 =
1
(n − 2)π, 1
(n − 2)πcos(n − 2)π
, . . .
Mn−2 = 1 2π, 1
2πcos 2π
, Mn−1= 1 π,1
π cos π
, Mn= (1, cos 1).
La suma de las distancias de los segmentos de la poligonal es s(P ) = |M0M1| + |M1M2| + · · · + |Mn−2Mn−1| + |Mn−1Mn|
=
1
(n − 1)π, 1
(n − 1)π cos(n − 1)π
+
1
(n − 2)π − 1
(n − 1)π, 1
(n − 2)πcos(n − 2)π − 1
(n − 1)π cos(n − 1)π
+ · · · +
1 − 1
π, cos 1 − 1 πcos π
.
Key words and phrases. curva, no rectificable.
1
2 FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ
Eliminando el primer y ´ultimo t´ermino de la suma anterior, s(P ) ≥
n−2
X
k=1
1
kπ − 1
(k + 1)π, 1
kπcos kπ − 1
(k + 1)πcos(k + 1)π
≥
n−2
X
k=1
1
kπ cos kπ − 1
(k + 1)π cos(k + 1)π
≥
n−2
X
k=1
(−1)k
kπ − (−1)k+1 (k + 1)π
=
n−2
X
k=1
1
kπ + 1
(k + 1)π
≥ 2 π
n−2
X
k=1
1 k + 1. Entonces,
n→+∞l´ım s(P ) ≥ l´ım
n→+∞
2 π
n−2
X
k=1
1 k + 1 = 2
π
+∞
X
k=1
1
k + 1 = +∞,
lo cual implica que Γ no es rectificable.
Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.
M´as material en http://www.fernandorevilla.es
Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).
E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es
