MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

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MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

UNA CURVA NO RECTIFICABLE

FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Resumen. Proponemos un ejemplo de curva no rectificable.

Enunciado

Se considera la curva del plano

Γ :





x = t si 0 ≤ t ≤ 1 y =

( t cos1

t si 0 < t ≤ 1 0 si t = 0.

Demostrar que no es rectificable.

Sugerencia. Considerar particiones de [0, 1] de la forma P : 0, 1

(n − 1)π, 1

(n − 2)π, . . . , 1 2π, 1

π, 1.

Soluci´on

Los puntos de la poligonal que corresponden a la partici´on P son M0= (0, 0), M1=

 1

(n − 1)π, 1

(n − 1)πcos(n − 1)π

 ,

M2 =

 1

(n − 2)π, 1

(n − 2)πcos(n − 2)π

 , . . .

Mn−2 = 1 2π, 1

2πcos 2π



, Mn−1= 1 π,1

π cos π



, Mn= (1, cos 1).

La suma de las distancias de los segmentos de la poligonal es s(P ) = |M0M1| + |M1M2| + · · · + |Mn−2Mn−1| + |Mn−1Mn|

=

 1

(n − 1)π, 1

(n − 1)π cos(n − 1)π

 +

 1

(n − 2)π − 1

(n − 1)π, 1

(n − 2)πcos(n − 2)π − 1

(n − 1)π cos(n − 1)π

 + · · · +

 1 − 1

π, cos 1 − 1 πcos π

 .

Key words and phrases. curva, no rectificable.

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2 FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Eliminando el primer y ´ultimo t´ermino de la suma anterior, s(P ) ≥

n−2

X

k=1

 1

kπ − 1

(k + 1)π, 1

kπcos kπ − 1

(k + 1)πcos(k + 1)π



n−2

X

k=1

1

kπ cos kπ − 1

(k + 1)π cos(k + 1)π

n−2

X

k=1

(−1)k

kπ − (−1)k+1 (k + 1)π

=

n−2

X

k=1

1

kπ + 1

(k + 1)π

≥ 2 π

n−2

X

k=1

1 k + 1. Entonces,

n→+∞l´ım s(P ) ≥ l´ım

n→+∞

2 π

n−2

X

k=1

1 k + 1 = 2

π

+∞

X

k=1

1

k + 1 = +∞,

lo cual implica que Γ no es rectificable. 

Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.

as material en http://www.fernandorevilla.es

Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).

E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es

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