MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

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MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

TOPOLOG´IA FINAL

FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Resumen. Definimos la topolog´ıa final y estudiamos propiedades de la misma.

Enunciado

Sea fi : (X, Ti) → Y, i ∈ I una familia de aplicaciones de los espacios to- pol´ogicos (Xi, Ti) en el conjunto Y .

1) Demostrar que TF = {V ⊂ Y : fi−1(V ) ∈ Ti ∀i ∈ Ti} es una topolog´ıa en Y . A la topolog´ıa TF se la llama topolog´ıa final determinada por las aplicaciones fi.

2) Demostrar que la topolog´ıa final TF es la mayor topolog´ıa en Y de entre todas las que hacen a las fi continuas.

3) Sea fi : (X, Ti) → Y, i ∈ I una familia de aplicaciones de los espacios topol´ogicos (Xi, Ti) en el conjunto Y . Sea (Z, T ) un espacio topol´ogico. De- mostrar que una aplicaci´on g : (Y, TF) → (Z, T ) es continua si y s´olo si todas las composiciones g ◦ fi son continuas.

4) Rec´ıprocamente, demostrar que si una topolog´ıa T0 en Y cumple g : (Y, T0) → (Z, T ) es continua ⇔ g ◦ fi es continua para todo i ∈ I entonces, T0 es la topolog´ıa final TF.

Soluci´on

1) Se verifican los tres axiomas de topolog´ıa:

(i) fi−1(∅) = ∅ ∈ Ti para todo i ∈ I luego ∅ ∈ TF. Por orta parte, fi−1(Y ) =

∅ ∈ Ti para todo i ∈ I y por tanto T ∈ TF.

(ii) Si {Vj : j ∈ J } es una colecci´on de elementos de TF, para todo i ∈ I se verifica

fi−1

 [

j∈J

Vj

= [

j∈J

fi−1(Vj

| {z }

∈Ti

) ∈ Ti, lo cual implica que ∪j∈JVj ∈ TF.

(iii) Si V1, V2 son elementos de TF, para todo i ∈ I se verifica fi−1(V1∩ V2) = fi−1(V1)

| {z }

∈Ti

∩ fi−1(V2

| {z }

∈Ti

) ∈ Ti

Key words and phrases. Topolog´ıa, final.

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lo cual implica que V1∩ V2∈ TF.

2) En efecto, sea T una topolog´ıa en Y tal que todas las fi son continuas.

Si V ∈ T , entonces fi−1(V ) ∈ Ti para todo i ∈ V y por tanto V ∈ TF. Es decir, T ⊂ TF.

3) La aplicaciones fi : (Xi, Ti) → (Y, TF) son continuas, por tanto si g : (Y, TF) → (Z, T ) es continua las g ◦ fi tambi´en lo son (composici´on de continuas). Supongamos ahora que las aplicaciones g ◦ fi son continuas. Si W ∈ T ,

fi−1(g−1(W )) = (g ◦ fi)−1(W ) ∈ Ti para todo i, con lo cual g−1(W ) ∈ TF y por tanto g es continua.

4) Consideremos las composiciones

fi: (X, Ti)−f→ (Y, Ti 0)−→ (Y, TI1 F), fi: (X, Ti)−f→ (Y, Ti F)−→ (Y, TI2 0),

en donde tanto I1 como I2 representan la aplicaci´on identidad en Y. Por el apartado anterior, la continuidad de las aplicaciones fi= I1◦ fi para todo i implica que I1 es continua, por tanto si V ∈ TF entonces I1−1(V ) = V ∈ T0, es decir TF ⊂ T0. Por hip´otesis, la continuidad de las aplicaciones fi = I2◦ fi para todo i implica que I2 es continua, por tanto si V ∈ T0 entonces I2−1(V ) = V ∈ TF, es decir T0 ⊂ TF. Concluimos que T0 es la topolog´ıa final

TF. 

Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.

as material en http://www.fernandorevilla.es

Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).

E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es

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