MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

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MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

VALORES PROPIOS Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CIRCULANTE

FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Resumen. Calculamos los valores propios y el determinante de una ma- triz circulante gen´erica.

Enunciado

Recordamos que una matriz circulante es una matriz de la forma

A =

a0 a1 . . . an−2 an−1 an−1 a0 . . . an−3 an−2 an−2 an−1 . . . an−4 an−3

... ... . . . ... ... a2 a3 . . . a0 a1

a1 a2 . . . an−1 a0

∈ Cn×n,

es decir una matriz cuadrada compleja cuyas componentes de la primera fila son n´umeros complejos cualesquiera y cada una de las sucesivas filas se obtiene de la anterior sustituyendo la ´ultima componente por la primera y trasladando las restantes. El objetivo de este problema es hallar los valores propios, vectores propios y el determinante de cualquier matriz circulante.

1) Demostrar que v =1, ω, ω2. . . , ωn−1T

con ω cualquier ra´ız en´esima de la unidad, es vector propio de A. Determinar su valor propio asociado.

2) Demostrar que A tiene n vectores propios linealmente independientes.

3) Calcular det A.

4) Para una matriz gen´erica circulante de orden 2, hallar sus valores propios, vectores propios y determinante sin usar los apartados anteriores. Verificar los resultados.

Key words and phrases. Valores propios, determinante, matriz circulante.

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2 FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Soluci´on

1) Hallemos el vector Av, es decir

Av =

a0 a1 . . . an−2 an−1 an−1 a0 . . . an−3 an−2

an−2 an−1 . . . an−4 an−3 ... ... . . . ... ... a2 a3 . . . a0 a1 a1 a2 . . . an−1 a0

 1 ω ω2

... ωn−1

 .

Llamemos λ a la primera componente del vector Av. Entonces, λ = a0+ a1ω + a2ω2+ · · · an−2ωn−2+ an−1ωn−1. La segunda componente del vector Av es

an−1+ a0ω + · · · + an−3ωn−2+ an−2ωn−1

= ω an−1ωn−1+ a0+ · · · + an−3ωn−3+ an−2ωn−2

= ω a0+ · · · + an−3ωn−3+ an−2ωn−2+ an−1ωn−1 = λω.

La i-´esima componente es

an−i+1+ an−i+2ω + · · · + an−iωn−1

= ωi−1 an−i+1ωn−i+1+ an−i+2ωn−i+2+ · · · + an−iωn−i = λωi−1. En consecuencia

Av =

 λ λω λω2

... λωn−1

= λ

 1 ω ω2

... ωn−1

= λv.

Concluimos que v = 1, ω, ω2. . . , ωn−1T

6= 0 es vector propio asociado al valor propio λ = a0 + a1ω + a2ω2+ · · · an−2ωn−2+ an−1ωn−1, y esto para todo ω ra´ız n-´esima de la unidad.

2) El razonamiento del apartado anterior es v´alido para toda ra´ız en´esima de la unidad. Si ζ = e2πi entonces, las n ra´ıces en´esimas de la unidad son ω = ζkcon k = 0, 1, . . . , n−1. Esto significa que para todo k = 0, 1, . . . , n−1 el vector

vk=1, ζk, ζ2k. . . , ζk(n−1)T

es vector propio de A asociado al valor propio

λk= a0+ a1ζk+ a2ζ2k+ · · · an−2ζk(n−2)+ an−1ζk(n−1).

Para demostrar que los vectores vk (k = 0, 1, . . . , n − 1) son linealmente independientes formamos la matriz:

P =v0, v1, v2. . . , vn−1 =

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VALORES PROPIOS Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CIRCULANTE 3

1 1 1 . . . 1 1

1 ζ ζ2 . . . ζn−2 ζn−1

1 ζ2 ζ4 . . . ζ2(n−2) ζ2(n−1) 1 ζ3 ζ6 . . . ζ3(n−2) ζ3(n−1)

... ... ... . . . ... ... 1 ζn−1 ζ2(n−1) . . . ζ(n−1)(n−2) ζ(n−1)(n−1)

 .

La matriz P es una matriz de Vandermonde y su determinante es

det P = Y

0≤i<j≤n−1

j− ζi) 6= 0.

Es decir, rg (P ) = n lo cual implica que sus columnas son linealmente inde- pendientes. N´otese que hemos demostrado tambi´en que toda matriz circu- lante es diagonalizable.

3) El determinante de A es el producto de sus valores propios, en consecuen- cia

det A =

n−1

Y

k=0



a0+ a1ζk+ a2ζ2k+ · · · + an−1ζk(n−1)

, ζ = e2πi/n. 4) Hallemos los valores propios de una matriz circulante gen´erica A de orden dos:

A =a0 a1 a1 a0



∈ C2×2, χ(λ) = λ2− 2a0λ + a20− a21 = 0

⇔ λ = 2a0±p4a20− 4a20+ 4a21

2 = a0± a1.

Llamemos λ0 = a0+ a1y λ1 = a0− a1. Se verifica λ0= λ1 si y s´olo si a1 = 0.

Entonces para a1 6= 0 tenemos dos valores propios simples y los subespacios propios y una base de cada uno de ellos son:

Vλ0 :−a1x1+ a1x2 = 0

a1x1− a1x2 = 0, BVλ0 = {v0 = (1, 1)T}.

Vλ1 : a1x1+ a1x2 = 0

a1x1+ a1x2 = 0, BVλ1 = {v1= (1, −1)T}.

Para a1= 0 tenemos Av0 =a0 0

0 a0

 1 1



= a0

1 1



, Av1=a0 0 0 a0

  1

−1



= a0

 1

−1



y por tanto v0 y v1 son tambi´en vectores propios asociados al valor propio doble λ0 = λ1 = a0. Verificamos todo esto con lo demostrado en los aparta- dos anteriores. Sea ζ = −1. Las ra´ıces cuadradas de la unidad son ζ0 = 1 y ζ1 = −1. Los valores propios son:

λ0= a0+ a1 = a0+ a1ζ0, λ1 = a0− a1 = a0+ a1ζ1,

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4 FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

y los respectivos vectores propios v0 =1

1



= 1 ζ0



, v1 =1 1



= 1 ζ1

 . Por ´ultimo,

det A = a20− a21 = (a0+ a1)(a0− a1) = a0+ a1ζ0

a0+ a1ζ1

=

2−1

Y

k=0



a0+ a1ζk

, ζ = e2πi/2= −1.



Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.

as material en http://www.fernandorevilla.es

Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).

E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es

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