MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

VALORES PROPIOS Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CIRCULANTE

FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Resumen. Calculamos los valores propios y el determinante de una ma- triz circulante gen´erica.

Enunciado

Recordamos que una matriz circulante es una matriz de la forma

A =



















a₀ a₁ . . . a_n−2 a_n−1 a_n−1 a₀ . . . a_n−3 a_n−2 an−2 an−1 . . . an−4 an−3

... ... . . . ... ... a2 a3 . . . a0 a1

a₁ a₂ . . . a_n−1 a₀



















∈ C^n×n,

es decir una matriz cuadrada compleja cuyas componentes de la primera fila son n´umeros complejos cualesquiera y cada una de las sucesivas filas se obtiene de la anterior sustituyendo la ´ultima componente por la primera y trasladando las restantes. El objetivo de este problema es hallar los valores propios, vectores propios y el determinante de cualquier matriz circulante.

1) Demostrar que v =1, ω, ω². . . , ωⁿ⁻¹T

con ω cualquier ra´ız en´esima de la unidad, es vector propio de A. Determinar su valor propio asociado.

2) Demostrar que A tiene n vectores propios linealmente independientes.

3) Calcular det A.

4) Para una matriz gen´erica circulante de orden 2, hallar sus valores propios, vectores propios y determinante sin usar los apartados anteriores. Verificar los resultados.

Key words and phrases. Valores propios, determinante, matriz circulante.

1

2 FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Soluci´on

1) Hallemos el vector Av, es decir

Av =



















a₀ a₁ . . . a_n−2 a_n−1 an−1 a0 . . . an−3 an−2

a_n−2 a_n−1 . . . a_n−4 a_n−3 ... ... . . . ... ... a₂ a₃ . . . a₀ a₁ a1 a2 . . . an−1 a0































 1 ω ω²

... ωⁿ⁻¹













 .

Llamemos λ a la primera componente del vector Av. Entonces, λ = a₀+ a₁ω + a₂ω²+ · · · a_n−2ωⁿ⁻²+ a_n−1ωⁿ⁻¹. La segunda componente del vector Av es

a_n−1+ a₀ω + · · · + a_n−3ωⁿ⁻²+ a_n−2ωⁿ⁻¹

= ω an−1ωⁿ⁻¹+ a0+ · · · + an−3ωⁿ⁻³+ an−2ωⁿ⁻²

= ω a0+ · · · + an−3ωⁿ⁻³+ an−2ωⁿ⁻²+ an−1ωⁿ⁻¹
= λω.

La i-´esima componente es

a_n−i+1+ a_n−i+2ω + · · · + a_n−iωⁿ⁻¹

= ωⁱ⁻¹ an−i+1ωⁿ⁻ⁱ⁺¹+ an−i+2ωⁿ⁻ⁱ⁺²+ · · · + an−iωⁿ⁻ⁱ
= λωⁱ⁻¹. En consecuencia

Av =













 λ λω λω²

... λωⁿ⁻¹















= λ













 1 ω ω²

... ωⁿ⁻¹















= λv.

Concluimos que v = 1, ω, ω². . . , ωⁿ⁻¹T

6= 0 es vector propio asociado al valor propio λ = a0 + a1ω + a2ω²+ · · · an−2ωⁿ⁻²+ an−1ωⁿ⁻¹, y esto para todo ω ra´ız n-´esima de la unidad.

2) El razonamiento del apartado anterior es v´alido para toda ra´ız en´esima de la unidad. Si ζ = e^2πi entonces, las n ra´ıces en´esimas de la unidad son ω = ζ^kcon k = 0, 1, . . . , n−1. Esto significa que para todo k = 0, 1, . . . , n−1 el vector

v_k=1, ζ^k, ζ^2k. . . , ζ^k(n−1)T

es vector propio de A asociado al valor propio

λ_k= a0+ a1ζ^k+ a2ζ^2k+ · · · an−2ζ^k(n−2)+ an−1ζ^k(n−1).

Para demostrar que los vectores v_k (k = 0, 1, . . . , n − 1) son linealmente independientes formamos la matriz:

P =v₀, v₁, v₂. . . , v_n−1 =

VALORES PROPIOS Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CIRCULANTE 3



















1 1 1 . . . 1 1

1 ζ ζ² . . . ζⁿ⁻² ζⁿ⁻¹

1 ζ² ζ⁴ . . . ζ²⁽ⁿ⁻²⁾ ζ²⁽ⁿ⁻¹⁾ 1 ζ³ ζ⁶ . . . ζ³⁽ⁿ⁻²⁾ ζ³⁽ⁿ⁻¹⁾

... ... ... . . . ... ... 1 ζⁿ⁻¹ ζ²⁽ⁿ⁻¹⁾ . . . ζ^{(n−1)(n−2)} ζ^{(n−1)(n−1)}

















 .

La matriz P es una matriz de Vandermonde y su determinante es

det P = Y

0≤i<j≤n−1

(ζ^j− ζⁱ) 6= 0.

Es decir, rg (P ) = n lo cual implica que sus columnas son linealmente inde- pendientes. N´otese que hemos demostrado tambi´en que toda matriz circu- lante es diagonalizable.

3) El determinante de A es el producto de sus valores propios, en consecuen- cia

det A =

n−1

Y

k=0



a₀+ a₁ζ^k+ a₂ζ^2k+ · · · + a_n−1ζ^k(n−1)

, ζ = e^2πi/n. 4) Hallemos los valores propios de una matriz circulante gen´erica A de orden dos:

A =a₀ a₁ a1 a0



∈ C^2×2, χ(λ) = λ²− 2a₀λ + a²₀− a²₁ = 0

⇔ λ = 2a₀±p4a²₀− 4a²₀+ 4a²₁

2 = a0± a₁.

Llamemos λ₀ = a₀+ a₁y λ₁ = a₀− a₁. Se verifica λ₀= λ₁ si y s´olo si a₁ = 0.

Entonces para a1 6= 0 tenemos dos valores propios simples y los subespacios propios y una base de cada uno de ellos son:

V_λ0 :−a₁x₁+ a₁x₂ = 0

a1x1− a₁x2 = 0, B_Vλ0 = {v₀ = (1, 1)^T}.

V_λ1 : a₁x₁+ a₁x₂ = 0

a1x1+ a1x2 = 0, B_Vλ1 = {v₁= (1, −1)^T}.

Para a1= 0 tenemos Av0 =a₀ 0

0 a₀

 1 1



= a0

1 1



, Av1=a₀ 0 0 a₀

  1

−1



= a0

 1

−1



y por tanto v0 y v1 son tambi´en vectores propios asociados al valor propio doble λ₀ = λ₁ = a₀. Verificamos todo esto con lo demostrado en los aparta- dos anteriores. Sea ζ = −1. Las ra´ıces cuadradas de la unidad son ζ⁰ = 1 y ζ¹ = −1. Los valores propios son:

λ₀= a₀+ a₁ = a₀+ a₁ζ⁰, λ₁ = a₀− a₁ = a₀+ a₁ζ¹,

4 FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

y los respectivos vectores propios v0 =1

1



= 1 ζ⁰



, v1 =1 1



= 1 ζ¹

 . Por ´ultimo,

det A = a²₀− a²₁ = (a₀+ a₁)(a₀− a₁) = a₀+ a₁ζ⁰

a₀+ a₁ζ¹

=

2−1

Y

k=0



a₀+ a₁ζ^k

, ζ = e^2πi/2= −1.



Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.

M´as material en http://www.fernandorevilla.es

Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).

E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es