MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS
OPERADOR DE STURM-LIOUVILLE
FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ
Resumen. Estudiamos el operador de Sturm-Liouville.
Enunciado
Sea C[a, b] el espacio vectorial de las funciones reales continuas en [a, b] y p ∈ C[a, b] fijo. Sea C2[a, b] el espacio vectorial de las funciones reales de clase 2 en [a, b]. Se define el conjunto:
E = {f ∈ C2[a, b] : p(a)f (a) = 0 ∧ p(b)f (b) = 0}.
1) Demostrar que E es un subespacio vectorial de C[a, b].
2) Si q ∈ C[a, b] fijo se define la aplicaci´on T : E → C[a, b] de la forma T (f ) = pf00
+ qf.
Demostrar que T es lineal (se la llama operador de Sturm-Liouville).
3) Se considera en C[a, b] el producto escalar hh1, h2i =Rb
ah1h2dx. Demos- trar que
hT (f ), gi = hf, T (g)i ∀f, g ∈ E es decir, el operador de Sturm-Liouville es sim´etrico.
4) Sean λ y µ autovalores de T con correspondientes autofunciones f y g.
Demostrar que si λ 6= µ, las autofunciones f y g son ortogonales.
Soluci´on
1) Claramente E ⊂ C[a, b]. La funci´on nula 0 es de clase 2 y satisface p(a) · 0(a) = p(b) · 0(b) = 0, luego 0 ∈ E. Si α1, α2 ∈ R y f1, f2 ∈ E entonces α1f1+ α2f2 es de clase dos en [a, b] y
p(a) (α1f1+ α2f2) (a) = p(a) (α1f1(a) + α2f2(a))
= α1p(a)f1(a) + α2p(a)f2(a) = α1· 0 + α2· 0 = 0
y an´alogamente cambiando b por a, luego α1f1+α2f2∈ E, y E es subespacio de C[a, b].
2) La aplicaci´on est´a bien definida pues para todo f ∈ E, la aplicaci´on T (f ) es continua en [a, b]. Si α1, α2∈ R y f1, f2∈ E entonces
T (α1f1+ α2f2) = p (α1f1+ α2f2)00
+ q (α1f1+ α2f2)
= p α1f10 + α2f200
+ α1(qf1) + α2(qf2)
= α1 pf10 + α2 pf200
+ α1(qf1) + α2(qf2)
Key words and phrases. Operador, Sturm-Liouville.
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= α1 pf100
+ α2 pf200
+ α1(qf1) + α2(qf2)
= α1
pf100
+ qf1
+ α2
pf200
+ qf2
= α1T (f1) + α2T (f2) luego T es lineal.
3) Tenemos por una parte hT (f ), gi =
Z b a
T (f )g dx = Z b
a
pf00
+ qf g dx
= Z b
a
pf00
g dx + Z b
a
qf g dx.
Aplicando integraci´on por partes a la primera integral con u = g, dv = (pf0)0 obtenemos du = g0dx y v = pf0, con lo cual
hT (f ), gi =gpf0b a−
Z b a
pf0g0dx + Z b
a
qf g dx.
Procediendo de la misma manera obtenemos hf, T (g)i =f pg0b
a− Z b
a
pg0f0dx + Z b
a
f qg dx.
Queda entonces hT (f ), gi − hf, T (g)i = [gpf0− f pg0]ba. Pero al ser f y g funciones de E se verifica p(a)f (a) = p(b)f (b) = p(a)g(a) = p(b)g(b) = 0 con lo cual hT (f ), gi − hf, T (g)i = 0 y la propiedad queda demostrada.
4) Dado que el operador de Sturm-Liouville T satisface hT (f ), gi = hf, T (g)i, tenemos hλf, gi = hf, µgi o bien λhf, gi = µhf, gi o bien (λ − µ)hf, gi = 0.
Al ser λ − µ 6= 0, queda hf, gi = 0.
Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.
M´as material en http://www.fernandorevilla.es
Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).
E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es
