MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS
FACTOR INTEGRANTE DE LA FORMA µ = µ(xy2)
FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ
Resumen. Resolvemos una ecuaci´on diferencial usando un factor inte- grante de la forma µ = µ(xy2).
Enunciado
(a) Demostrar que la ecuaci´on diferencial
xdy + ydx + (3x3y4)dy = 0 (E)
tiene un factor integrante de la forma µ = µ(xy2) y calcularlo.
(b) Verificar que la ecuaci´on obtenida al multiplicar la ecuaci´on (E) por µ, es una ecuaci´on diferencial exacta.
(c) Resolver la ecuaci´on (E).
Soluci´on
(a) Podemos escribir la ecuaci´on diferencial en la forma P dx + Qdy = 0, siendo
P (x, y) = y, Q(x, y) = x + 3x3y4.
Llamando z = xy2y multiplicando por µ(z), obtenemos µ(z)P dx+µ(z)Qdy = 0. Obliguemos a que esta ecuaci´on sea diferencial exacta:
(µ(z)P )y = µ0(z)2xy · y + µ(z) · 1,
(µ(z)Q)x= µ0(z)y2· (x + 3x3y4) + µ(z)(1 + 9x2y4).
(µ(z)P )y = (µ(z)Q)x⇔ µ0(z) 2xy2− y2x − 3x3y6 = µ(z) 9x2y4 . Queda por tanto
µ0(z)
µ(z) = 9x2y4
xy2− 3x3y6 = 9xy2
1 − 3x2y4 = 9z 1 − 3z2, log |µ(z)| = −3
2log
1 − 3z2
, µ(z) = e− log(1−3z2)3/2,
µ(z) = 1
(1 − 3x2y4)3/2.
Key words and phrases. Factor integrante, µ = µ(xy2).
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(b) Multiplicando la ecuaci´on diferencial dada por el factor integrante ha- llado, queda en la forma
y (1 − 3x2y4)3/2
| {z }
M
dx + x + 3x3y4 (1 − 3x2y4)3/2
| {z }
N
dy = 0.
Veamos que es diferencial exacta. En efecto
My = 1 · (1 − 3x2y4)3/2− (3/2)(1 − 3x2y4)1/2(−12x2y3)y (1 − 3x2y4)3
= (1 − 3x2y4)1/21 − 3x2y4+ 18x2y4
(1 − 3x2y4)3 = 1 + 15x2y4 (1 − 3x2y4)5/2.
Nx= (1 + 9x2y4)(1 − 3x2y4)3/2− (3/2)(1 − 3x2y4)1/2(−6xy4)(x + 3x3y4) (1 − 3x2y4)3
= (1 − 3x2y4)1/2(1 + 9x2y4)(1 − 3x2y4) + 9xy4(x + 3x3y4) (1 − 3x2y4)3
= 1 − 3x2y4+ 9x2y4− 27x4y8+ 9x2y4+ 27x4y8
(1 − 3x2y4)5/2 = 1 + 15x2y4 (1 − 3x2y4)5/2. Se verifica My = Nx, por tanto M dx + N dy = 0 es diferencial exacta.
(c) Encontremos una funci´on u = u(x, y) tal que ux= M y uy = N, con lo cual la soluci´on general de la ecuaci´on (E) ser´a u(x, y) = C con C constante.
Tenemos
ux = M, u = Z
M dx =
Z y
(1 − 3x2y4)3/2dx = xy
p1 − 3x2y4 + ϕ(y).
Derivando u respecto de y uy = x
1 ·p
1 − 3x2y4− 1
2
√
1−3x2y4 · (−12x2y3)y
1 − 3x2y4 + ϕ0(y)
= x1 − 3x2y4+ 6x2y4
(1 − 3x2y4)3/2 + ϕ0(y) = x + 3x3y4
(1 − 3x2y4)3/2 + ϕ0(y) = N + ϕ0(y).
Entonces, uy = N implica que ϕ0(y) = 0, es decir ϕ(y) = C. La soluci´on general de (E) en forma impl´ıcita es por tanto
xy
p1 − 3x2y4 + C = 0.
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Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).
E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es
