MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

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MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

TRASCENDENCIA DEL N ´UMERO e

FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Resumen. Demostramos que el n´umero e es trascendente.

Teorema

El n´umero real e es trascendente sobre Q, es decir que no existe p ∈ Q[x] no nulo tal que p(e) = 0.

Demostraci´on

Sea f ∈ R[x] de grado r y sea

F (x) = f (x) + f0(x) + f00(x) + · · · + f(r)(x).

Hallemos la derivada de h(x) = e−xF (x):

d

dx e−xF (x) = −e−x

f (x) + f0(x) + f00(x) + · · · + f(r)(x)



+e−x

f0(x) + f00(x) + · · · + f(r)(x) + f(r+1)(x)

=

|{z}

f(r+1)(x)=0

e−xf (x).

La funci´on h satisface las hip´otesis del valor medio de Lagrange en todo intervalo de la forma [0, k] con k > 0 es decir, existe ξk∈ (0, k) tal que

h0k) = h(k) − h(0)

k − 0 = e−kF (k) − F (0)

k .

Dado que ξk = θkk con 0 < θk < 1, y que h0k) = −e−ξkf (ξk) podemos escribir e−kF (k) − F (0) = −e−θkkf (θkk) k con 0 < θk < 1. Multiplicando pr ek obtenemos F (k) − ekF (0) = −e(1−θk)kf (θkk) k con 0 < θk < 1. Para k = 1, 2, . . . n obtenemos

F (1) − eF (0) = −e(1−θ1)f (θ1) = 1 F (2) − e2F (0) = −2e2(1−θ2)f (2θk) = 2

. . .

F (n) − enF (0) = −nen(1−θn)f (nθn) = n.

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Supongamos que e no es trascendente sobre Q, entonces se satisface una relaci´on de la forma bnen+ bn−1en−1+ · · · + b1e + b0 = 0 con los bj ∈ Q no

Key words and phrases. Trascendencia, n´umero e.

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2 FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

todos nulos. Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que se satisface una relaci´on de la forma

cnen+ cn−1en−1+ · · · + c1e + c0 = 0 (2)

con los cj ∈ Z y c0 > 0. En las relaciones (1) multipliquemos la primera igualdad por c1, la segunda por c2, etc. Sumando obtenemos

c1F (1) + c2F (2) + · · · + cnF (n) − F (0) c1e + c2e2+ . . . + cnen

= c11+ c22+ . . . + cnn. Usando (2) queda

c0F (0) + c1F (1) + c2F (2) + · · · + cnF (n) = c11+ c22+ . . . + cnn. (3) Todo el anterior desarrollo es v´alido para cualquier polinomio f (x). Ahora, vamos a elegir en concreto el polinomio

f (x) = 1

(p − 1)!xp−1(1 − x)p(2 − x)p· · · (n − x)p

en donde p es un n´umero primo con p > n y p > c0. Al desarrollar, obtenemos un polinomio de la forma

f (x) = (n!)p

(p − 1)!xp−1+ a0

(p − 1)!xp+ a1

(p − 1)!xp+1+ · · ·

con a1, a2. . . ., enteros. Demostremos que si i ≥ p la derivada i-´esima f(i)(x) es un polinomio con coeficientes enteros y todos m´ultiplos de p. En efecto el primer sumando es un monomio de grado p − 1 y por tanto, su derivada i-

´

esima es 0 si i ≥ p. Los dem´as monomios son de la forma mk(x) = (p−1)!ak xp+k con k ≥ 0. Hallemos sus derivadas sucesivas.

mk(x) = ak

(p − 1)!xp+k, m0k(x) = ak

(p − 1)!(p + k)xp+k−1, m00k(x) = ak

(p − 1)!(p + k)(p + k − 1)xp+k−2, . . .

m(p)k (x) = ak

(p − 1)!(p + k)(p + k − 1) . . . (p + k − (p − 1))xp+k−p

= ak

(p − 1)!(p + k)(p + k − 1) . . . (k + 1)xk = ak

(p − 1)!·(p + k)!

k! xk

= ak(p)!

(p − 1)!·(p + k)!

(p!)(k!)xk = pak

p + k k

 xk.

El coeficiente del monomio m(p)k (x) es por tanto entero y m´ultiplo de p y obviamente de la misma manera ser´a el coeficiente de m(i)k (x) para i ≥ p.

Como consecuencia, para todo entero j se verifica f(i)(j) es entero y m´ultiplo de p si i ≥ p.

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TRASCENDENCIA DEL N ´UMERO e 3

Por su propia construcci´on, f (x) tiene a x = 1, 2, . . . , n como ra´ıces de multiplicidad p. Entonces, para j = 1, 2, . . . , n se verifica f (j) = 0, f0(j) = 0, . . ., f(p−1)(j) = 0 y por tanto

F (j) = f (j) + f0(j) + · · · + f(p−1)(j) + f(p)(j) + · · · + f(r)(j)

y por lo demostrado anteriormente F (j) es entero y m´ultiplo de p para todo j = 1, 2, . . . , n. Como x = 0 es ra´ız de multiplicidad p − 1 de f (x), se verifica f (0) = f0(0) = . . . = f(p−2)(0) = 0. Para i ≥ p, f(i)(0) es entero y m´ultiplo de p y f(p−1)(0) = (n!)p. Al ser p primo y p > n, p 6| (n!)p es decir f(p−1)(0) no es divisible por p. Al ser

F (0) = f (0) + f0(0) + . . . + f(p−2)(0) + f(p−1)(0) + f(p)(0) + . . . + f(r)(0)

= f(p−1)(0) + f(p)(0) + . . . + f(r)(0) se cumple que F (0) es entero y no divisible por p. Al ser

c0> 0, p > c0, p 6| F (0), p | F (1), p | F (2) , . . . , p | F (n)

podemos asegurar que c0F (0)+ c1F (1)+ . . .+cnF (n) es entero y no divisible por p.

Las relaciones (1) expresan −iei(1−θi)f (iθi) = i para todo i = 1, . . . , n por tanto,

i = −iei(1−θi)(iθi)p−1(1 − iθi)p. . . (n − iθi)p

(p − 1)! (0 < θi < 1).

Acotemos los i en valor absoluto:

|i| ≤ ennp(n!)p (p − 1)! .

Hallemos el l´ımite de los i cuando p → +∞. Tenemos 0 ≤ |i| = en(n · n!) · (n · n!)p−1

(p − 1)! →

|{z}

si p→+∞

0

pues la exponencial es un infinito de orden menor que el factorial. Es decir,

i→ 0 cuando p → +∞.

Podemos elegir un primo mayor que n y que c0 que sea suficientemente grande para que ocurra |c11+ . . . + cnn| < 1. Pero por (3), c11 + . . . + cnn= c0F (0) + . . . + cnF (n) y por tanto ha de ser entero. Dado que en valor absoluto es menor que 1, la ´unica opci´on es que c0F (0) + . . . + cnF (n) = 0.

Pero hab´ıamos visto que p 6| c0F (0) + . . . + cnF (n) y sin embargo p | 0 lo cual es una contradicci´on. Es decir, de suponer que e no es trascendente llagamos a una contradicci´on. Concluimos pues que e es trascendente. 

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Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.

as material en http://www.fernandorevilla.es

Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).

E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es

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