EC 1311 Problema 2 Integral pdf

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(1)EC1311 TEORIA ELECTROMAGNETICA UNIDAD 2: CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL VACÍO. PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA SIMPLE EN ESTÁTICA, UTILIZANDO. LAS. ECUACIONES. DE. MAXWELL. EN. FORMA. INTEGRAL: NIVEL INTRODUCTORIO.. Problema 2. Se tiene un cilindro macizo de radio R y longitud infinita, coaxial con el eje z, el cual transporta una corriente volumétrica de densidad J = J 0 1z . a) Elaborar un bosquejo de esta distribución de corrientes. b) Explicar por qué el campo magnético producido por esta distribución de corrientes sólo depende de la coordenada radial. c) Explicar por qué las componentes Hρ y Hz del campo magnético son nulas. d) Determinar el campo magnético producido en todo el espacio por esta distribución de corrientes. Solución. a) Realización del bosquejo de la distribución de corrientes. En este caso, basta con dibujar un cilindro macizo, y dibujar una flecha ancha que representa la densidad de corriente dentro del cilindro, como se muestra en la figura 1 de la siguiente página. b) Estudio de coordenadas. El campo magnético en este sistema depende de la coordenada radial porque al desplazar un observador ficticio sobre una línea coordenada radial, éste observa que la distribución de corrientes es distinta dentro y fuera del Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ©2003 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 1.

(2) EC1311 TEORIA ELECTROMAGNETICA UNIDAD 2: CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL VACÍO. cilindro. En cambio, si se desplaza sobre una línea coordenada angular o sobre una línea coordenada axial, el observador no percibe cambios en la distribución de las corrientes. Además, la densidad de corriente es constante. Por lo tanto, el campo magnético sólo depende de ρ, y puede escribirse de la forma H = 1ρ H ρ (ρ) + 1ϕ H ϕ (ρ ) + 1z H z (ρ) . z. J R. y. x Fig. 1: Distribución de corrientes del problema 2.. c) Estudio de componentes nulas. Dado que la densidad de corriente sólo tiene componente en dirección z, por la regla de la mano derecha el campo magnético no puede tener componente Hz: Hz =0. Esto también puede demostrarse aplicando la Ley de Ampère en un contorno como el mostrado en la figura 2 de la siguiente página.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ©2003 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 2.

(3) EC1311 TEORIA ELECTROMAGNETICA UNIDAD 2: CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL VACÍO. z. ϕ=ϕ0 z=z2. y x. z=z1. L ρ=ρ 1 ρ=ρ 2. Fig. 2: Contorno para demostrar que Hz =0.. Aplicando la Ley de Ampère sobre el contorno L, se tiene: ρ1. z2. ∫ H ( ρ)dz. −. z. z1. ρ= ρ2 ϕ=ϕ0. ∫H. ρ1. z2 ρ (ρ )dρ. − z =z2. ρ2. ∫ H (ρ )dz z1. ϕ =ϕ 0. +. z. ρ =ρ1 ϕ =ϕ 0. ∫H. ρ ( ρ )dρ. =0 z= z1. ρ2. ϕ=ϕ 0. La segunda y la cuarta integral se cancelan entre ellas, por lo que queda: z2. ∫ [H. ]. (. )[. z ( ρ 2 ) − H z ( ρ1 ) dz = 0 = z 2 − z1 H z ( ρ 2 ) − H z ( ρ1 ). ]. z1. de donde H z (ρ 2 ) = H z (ρ1 ) . De aquí se concluye que Hz es constante para todo valor de ρ, incluyendo el infinito. Como en el infinito el campo magnético debe anularse (por lejanía de la fuente), entonces Hz =0. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ©2003 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 3.

(4) EC1311 TEORIA ELECTROMAGNETICA UNIDAD 2: CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL VACÍO. La otra componente nula es Hρ . Para demostrarlo, se aplica la Ley de Gauss del campo magnético a la superficie mostrada en la figura 3. z z=z2. y. ρ =ρ 0 z=z1. x. Fig. 3: Superficie para demostrar la nulidad de Hρ .. Al aplicar la Ley de Gauss, se tiene:. ∫µ. z 2 2π 0 H ⋅ da =. S=∂V. ∫ ∫µ H 0. ρ ( ρ) ρ dϕ dz. z1 0. ρ =ρ 0. ρ 0 2π. +. ∫ ∫ µ H (ρ) ρ dϕ dρ 0. ρ0 2π. −. z. 0 0. z =z2. ∫ ∫ µ H (ρ) ρ dϕ dρ 0. 0 0. =0. z. z= z1. Las dos integrales de la segunda línea se anulan entre ellas, por lo que queda: z2 2π. ∫ ∫µ H 0. z1 0. = 2π µ 0 (z 2 − z1 ) H ρ ( ρ0 ) ρ 0 = 0. ρ ( ρ ) ρ dϕ dz ρ =ρ 0. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ©2003 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 4.

(5) EC1311 TEORIA ELECTROMAGNETICA UNIDAD 2: CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL VACÍO. De aquí se obtiene que Hρ =0. d) Cálculo del campo magnético. Del análisis realizado en las partes b y c, se concluye que el campo magnético es de la forma H = 1ϕ H ϕ (ρ) . Para calcular Hϕ , se aplica la Ley de Ampère sobre una línea coordenada ϕ. Esto debe hacerse por separado para el campo dentro y fuera del cilindro de radio R, como se muestra en la figura 4 con los contornos L1 y L2. y. R L1 ρ 1. ρ2. x. L2. Fig. 4: Contornos para el cálculo de Hϕ., y distribución de la densidad de corriente dentro del cilindro.. También se muestra en la figura 4, como puntos marrones, la distribución de la densidad de corriente dentro del cilindro.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ©2003 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 5.

(6) EC1311 TEORIA ELECTROMAGNETICA UNIDAD 2: CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL VACÍO. Campo dentro del cilindro. La Ley de Ampère establece:. ∫ H ⋅ dl = I. S. L=∂ S. La circulación del campo magnético a lo largo contorno L1 es: 2π. ∫ H ⋅ dl = ∫ H. ϕ ( ρ ) ρ dϕ. L=∂ S. 0. ρ=ρ1. = 2π Hϕ (ρ1 ) ρ1. z= z0. La corriente que atraviesa el área delimitada por el contorno L1 es: 2π ρ1. IS =. ∫∫J. 2 z ρ dρ dϕ = π ρ1 J 0. 0 0. Igualando la circulación con la corriente y despejando, se tiene: ρ J Hϕ ( ρ1 ) = 1 0 , ∀ρ1 ≤ R 2 Campo fuera del cilindro. Se repite el procedimiento usado para calcular el campo dentro del cilindro, pero ahora se usa el contorno L2.. La circulación del campo. magnético es la misma, cambiando ρ 1 por ρ2.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ©2003 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 6.

(7) EC1311 TEORIA ELECTROMAGNETICA UNIDAD 2: CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL VACÍO. Para el cálculo de la corriente, ahora debe integrarse hasta R: 2π R. IS =. ∫∫. 2. J z ρ dρ dϕ = π R J 0. 0 0. Al igualar la circulación con la corriente y despejar, se tiene: 2. R J0 Hϕ (ρ2 ) = , ∀ρ2 ≥ R 2 ρ2 Finalmente, el campo magnético producido por esta distribución de corrientes es:  ρ J0 1ϕ 2 , para ρ ≤ R, 0 ≤ ϕ < 2π , z < ∞ H (ρ ) =  2 1ϕ R J 0 , para ρ ≥ R, 0 ≤ ϕ < 2π , z < ∞  2ρ. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ©2003 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 7.

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