• No se han encontrado resultados

Cancel·lació i Automillora

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2023

Share "Cancel·lació i Automillora"

Copied!
31
0
0

Texto completo

(1)

Cancel·lació i Automillora

Artur Nicolau UAB

10 d’octubre de 2007

(2)

Exemples

• Dimensió d’un punt és 0

• Dimensió d’una corba regular és 1

• Dimensió d’un disc és 2

(3)

Conjunt de Cantor

La dimensió és log2/log3

(4)

La dimensió és log4/log3

Corba de Von Koch

( Snowflake)

(5)

Conjunt de Mandelbrodt

La dimensió de la vora és 2

(6)

Funcions contínues no derivables

Funcions de Weierstrass (1872)

(7)

En els darrers anys hem estat observant una massa de funcions estranyes, creades per assemblar-se el mínim possible a les

funcions honestes que serveixen per alguna cosa… Abans les funcions s’inventaven amb algun propòsit. Avui en dia, les

funcions s’inventen per mostrar els errors en els raonaments dels nostres pares…

(H. Poincaré, L’enseignement Mathématique, 1899)

.

Em giro amb espant i horror davant aquesta plaga lamentable de funcions contínues que no tenen derivada. (C. Hermite)

(8)

K. Weierstrass ( 1815-1897) G. Hardy ( 1877-1947)

(9)
(10)
(11)

Intervals Diàdics

0 1

0 ½ 1

0 ½ 1

0 ½ 1

Generació 0

Generació 1

Generació 2

Generació 3

I

n

(x) interval diàdic de generació n que conté a x

(12)

Teorema de Besicovicht

Teorema ( Besicovitch, 39).

(13)

A. Besicovicht ( 1891-1970)

(14)

Generació 0

Generació 1

Generació 2 1

p 1-p

0 1

0

½

1

0

½

1

p2 p(1-p) (1-p)p (1-p)2

La mesura

(15)

Estimació de la mesura

• Estimació trivial:

• Estimació bona:

• Encara millor:

(16)

Passeig Aleatori

= Posició a temps n =

Guany acumulat a la partida n

0 +2 +3 +4

-3 -2 -1 +1

p=1/2

p=1/2 p=1/2p=1/2 p=1/2

p=1/2 p=1/2p=1/2 p=1/2p=1/2 p=1/2p=1/2p=1/2p=1/2 p=1/2p=1/2

Joc

Cara: Guanya 1€

Creu: Perd 1€

(17)

http://webphysics.davidson.edu/

WebTalks/clark/

onedimensionalwalk.html

(18)

Creixement

A. Khintchine ( 1894-1959)

(19)

Recurrència

(20)

1. és constant a cada

2. Mitja de a (Cancel.lació)

és una martingala diàdica si:

Martingales Diàdiques

(21)

Martingala: aposta el doble de la pèrdua

Els increments de la martingala són les diferències ,

La meva amiga em va prometre que apostariem junts a la ruleta.

Vam pendre tot l’or que vam trobar a casa seva i vam jugar

doblant les apostes amb el sistema conegut com Martingala…

(Casanova, Historia de la meva vida, 1754).

(22)

Variació Quadràtica

(23)

Passeig Aleatori :

• Hausdorff (1913):

• Hardy-Littlewood (1914):

• Khintchine (1923):

V.A.I. : Kolmogorov (1929), Hartman- Wintner(1941)

Martingales: Levy (1954), Stout (1970)

Moviment Brownià: Khintchine (1933)

Sèries Lacunars: Salem-Zygmund (1954), M.

Weiss(1959)Funcions harmòniques: Bañuelos-Klemes- Moore(1989)

Llei del Logaritme Iterat

(24)

Teoria de Funcions Martingales

El concepte clau és Un principi general:

Cancel·lació Automillora

Martingales i Funcions

Cancel·lació !!

(25)

Diccionari: Martingales-Funcions

h=2

-n

f(x)

<f>

(26)

Classe de Zygmund

Una funció f(x) és de la classe de Zygmund si

Exemple: Funció de Weierstrass

(27)

Derivabilitat

Teorema ( Makarov, 89). Sigui f(x) una

funció de la classe de Zygmund. Aleshores:

I en dimensions superiors?

(28)

Sigui f(x) una funció de la classe de Zygmund al pla.

?

Dimensions Superiors

Problema: Quina és la mida de

(29)

MOLT DIFÍCIL

(30)

FALS

Exemple de David Preiss

(31)

Teorema (2007). Sigui f(x) una funció de

la classe de Zygmund al pla. Aleshores

Referencias

Documento similar

L’objectiu del treball ´ es descriure les representacions irreductibles dels grups de Lie compactes com representacions en espais de funcions (teorema de Peter i

Aquest és el repte, aquest és l’esperit i aquesta és la voluntat del projecte ‘Sabadell a debat’ al qual els animo a participar ja sigui en la seva fase de debat intern en la qual

Amb el desenvolupament de la unió neuromuscular i gràcies a aquesta configuració, el terminal gran guanya el petit i passa a ser el terminal simple de les unions monoinnervades,

Me’n vaig anar a jugar amb el Brakhamis, però ell va amagar encara més el morro entre les potes i, fastiguejat, em rondinà, com si em digués:.. —Deixa’m, no em ve de gust estar

Amb funcions d’oferta i demanda de mercat ben comportades, no hi ha cap parell (p, q) consistent amb la regla del costat curt del mercat on la suma de l’excedent dels consumidors

Igualment, amb la participació en aquesta convocatòria els autors que reben un premi o una menció autoritzen de forma expressa i gratuïta a la Universitat de Barcelona la difusió i

Autoritzar i registrar la instal—lació i l'obertura de salons recreatius i de joc com a establiments autoritzats per a l’explotació i instal—lació de màquines recreatives

Registrar l’obertura de salons recreatius i de jocs com a establiments autoritzats exclusivament per a l’explotació i instal—lació de màquines recreatives de pur