UNIDAD 6 ECUACIONES SEGUNDO GRADO 4º-B

1.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:

Las ecuaciones de segundo grado son Polinomios igualados a cero donde el termino no numérico, es decir la incógnita “x” debe estar elevada al cuadrado y la cual se puede averiguar y calcular, para que se cumpla la igualdad (la ecuación). Las ecuaciones de segundo grado pueden ser de 2 tipos:

 COMPLETAS.  BICUADRADAS.

 INCOMPLETAS.  IRRACIONALES.

 RACIONALES.

 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS:

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax² + bx +c = 0 Siendo a ≠ 0 ; b ≠ 0 y c ≠ 0

Metodología de resolución de este tipo de ecuaciones:

Se resuelve mediante la aplicación de la siguiente fórmula:

x =

-b± b_2·2_a–4·a·c

Dada una ecuación de segundo grado completa: ax² + bx +c = 0 “

b² − 4 · a · c

”

se llama DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN. El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:

 b² − 4ac > 0 La ecuación tiene DOS SOLUCIONES, que SON 2 NÚMEROS REALES DISTINTOS.

 b² − 4ac = 0 La ecuación tiene DOS SOLUCIONES, que SON 2 NÚMEROS REALES IGUALES (una solución).

b² − 4ac < 0 La ecuación NO TIENE SOLUCIÓN REAL.

 Ejemplo: x2 _{- 5x + 6 = 0}

x =

-b± _2·b_a2-4ac



x =

-(-5)± (-5)

2_{–4· (1) · (6)}

2·(1)



x =

+ 5 ± 25 – 24

2



x =

5 ± √ 1

2

→ x =

5 + ₂ √ 1

→ x =

5 + ₂1

→ x =

₂6

→

x = 3

NÚMERO DE SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN

 b² − 4ac > 0 2 SOLUCIONES, 2 NÚMEROS REALES DISTINTOS.

 b² − 4ac = 0  2 SOLUCIONES, 2 NÚMEROS REALES IGUALES (una solución).

b² − 4ac < 0 NO TIENE SOLUCIÓN REAL. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO COMPLETA

ax² + bx +c = 0 Siendo a ≠ 0 ; b ≠ 0 y c ≠ 0

 Ejemplo: -x2

+ 5x - 6 = 0

x =

-b± b 2_-4ac

2·a



x =

-(5)± (5)2–4· (-1) · (-6)

2·(-1)



x =

- 5 ± 25 – 24

- 2



x =

- 5 ± √ 1

- 2

→ x =

- 5 +_{- 2} √ 1

→ x =

-5 +_{- 2}1

→ x =

_{- 2}-4

→

x = +2

→ x =

- 5 -_{- 2} √ 1

→ x =

-5 -_{- 2}1

→ x =

- 6_{- 2}

→

x = +3

 Ejemplo: 2x2

- 7x + 3 = 0

x =

-b± _2·b_a2-4ac



x =

-()± (5)_2·2–_(-1)4· (-1) · (-6)



x =

- 5 ± _{- 2}25 – 24



x =

- 5 ±_{- 2} √ 1

→ x =

- 5 +_{- 2} √ 1

→ x =

-5 +_{- 2}1

→ x =

_{- 2}-4

→

x = +2

 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS:

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficien-tes: b o c, o ambos, son iguales a cero, por tanto podemos encontrarnos con tres tipos de ecua-ciones de segundo grado incompletas.

 Primer caso si b = 0 y c = 0

ax² = 0

Metodología de resolución de este tipo de ecuaciones:

La solución es siempre

x = 0

.

 _Ejemplo: x2 _{- 5x + 6 = 0}

 Segundo caso si c = 0

ax² + bx = 0

Las soluciones son: x =0 y x = -b/a

Metodología de resolución de este tipo de ecuaciones:

 Extraer factor común x:

x · (ax + b) = 0

 Como es un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero.

x = 0

ax + b = 0  x = -b/a

 _Ejemplo: x2 _{- 5x = 0}

 Sacar factor común x  x · (x – 5 ) =0

 Al tener un producto igualado a cero un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero.

x = 0

Tercer caso si b = 0

ax² + c = 0

Las soluciones son: x = ± -_ac

Metodología de resolución de este tipo de ecuaciones:

 En primer lugar pasar el término «

c »

al segundo miembro cambiado de signo.

 Pasar el coeficiente «

a

»al 2º miembro, dividiendo.

Se efectúa la ± raíz cuadrada porque si x² = 25 entonces: Una solución es +5, ya que 5² = 25

La otra solución es (−5), ya que (−5)² = 25

 _Ejemplo: x2 _{- 25 = 0}

Pasar el término independiente al segundo miembro  x2 _{= 25}

 Pasamos el coeficiente « a »al 2º miembro, dividiendo (en este caso es 1)  x2 _{= 25}

 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO RACIONALES:

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas.

Metodología de resolución de este tipo de ecuaciones:

 En primer lugar se debe de QUITAR LOS DENOMINADORES, para ello se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Resolver la ecuación resultante.

Se recomienda el realizar una comprobación de las soluciones obtenidas, para rechazar posi-bles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.

 Ejemplo:

 Reducir a común denominador, para ello calculamos el m.c.m. de los denominadores:

 Dividir el m.c.m. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador co-rrespondiente:

1 – x = 0 x =1

 Comprobar la solución:

 ECUACIONES BICUADRADAS:

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar:

ax4 _{+ bx² + c = 0}

Metodología de resolución de este tipo de ecuaciones:

Efectuar el cambio de variable:

x² = t ; x4 _{= t²}

Con lo que se obtiene una ecuación de segundo grado con la incógnita « t »:

at² + bt + c = 0

Resolver la ecuación de segundo grado completa (cuya variable es ahora « t »):

t = -b± b

2_–4·a·c

2·a

Deshacer el cambio de variable para encontrar las soluciones de la ecuación bicuadrada: x = ± √

Por cada valor positivo de « t » habrá dos valores de « x », es decir 4 posibles soluciones:

 Ejemplo: x4 _{- 13x}2 _{+ 36 = 0}

 Realizar el cambio de variable  x² = t ; x4 _{= t²}

 Obtener la ecuación de 2º grado completa con cambio de variable realizado  t2 _{– 13t + 36 = 0}

 Resolver la ecuación de segundo grado que se ha obtenido  t2 _{– 13t + 36 = 0}

 Deshacer el cambio de variable para encontrar las soluciones de la ecuación bicuadrada:

 ECUACIONES IRRACIONALES:

Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. 

Metodología de resolución de este tipo de ecuaciones:

Aislar un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

 Elevar al cuadrado los dos miembros.

 Resolver la ecuación obtenida (recordar las propiedades de las raíces y las identidades notables).

Comprobar si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.

 Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

 Ejemplo:

 Aislar un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

Elevar al cuadrado los dos miembros.

Resolver la ecuación obtenida (recordar las propiedades de las raíces y las identidades notables).

 Comprobar si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial.

 La ecuación tiene por solución x = 2.

RESUMEN CHULETARIO DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS:

Para resolver las ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS deben tener la siguiente forma:

ax² + bx +c = 0 Siendo a ≠ 0 ; b ≠ 0 y c ≠ 0 Se resuelve mediante la aplicación de la siguiente fórmula:

x = -b± b

2_–4·a·c

2·a

Dada una ecuación de segundo grado completa: ax² + bx +c = 0 “b² − 4 · a · c” se

lla-ma DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN. El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:

 b² − 4ac > 0 La ecuación tiene DOS SOLUCIONES, que SON 2 NÚMEROS REALES DISTINTOS.

 b² − 4ac = 0 La ecuación tiene DOS SOLUCIONES, que SON 2 NÚMEROS REALES IGUALES (una solu-ción).

b² − 4ac < 0 La ecuación NO TIENE SOLUCIÓN REAL.

NÚMERO DE SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN

 b² − 4ac > 0 2 SOLUCIONES, 2 NÚMEROS REALES DISTINTOS.

 b² − 4ac = 0  2 SOLUCIONES, 2 NÚMEROS REALES IGUALES (una solución).

b² − 4ac < 0 NO TIENE SOLUCIÓN REAL. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO COMPLETA

ax² + bx +c = 0 Siendo a ≠ 0 ; b ≠ 0 y c ≠ 0

 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS:

Las ecuaciones de segundo grado incompletas pueden ser de tres tipos (el cuarto tipo es simplemente una ecuación de primer grado):

 ax2 _{= 0; si b = 0 y c = 0. (Incompleta Pura)}

 ax2 _{+ bx = 0; si c = 0. (Incompleta Binomia)}

 ax2 _{+ c = 0; si b = 0. (Incompleta Pura)}

 bx + c = 0; si ax2 _{=0 (Ecuación de 1º Grado)}

INCOMPLETA PURA ax2 _{= 0.}

Por lo tanto, las ecuaciones de la forma ax2 _{= 0 tienen como solución única x = 0.}

INCOMPLETA BINOMIA ax2 _{+ bx = 0.}

Sacando factor común x en el primer miembro, resulta: x (ax + b) = 0.

Para que un producto de dos factores x y (ax + b), dé como resultado cero, uno de ellos debe ser cero:

En consecuencia, las ecuaciones de la forma ax2 _{+ bx = 0 tienen dos soluciones:}

INCOMPLETA PURA ax2 _{+ c = 0.}

 SI EL RADICANDO ES NEGATIVO “- c _a “ ó “_{- a} c“ NO TIENE SOLUCIÓN, puesto que no existe la raíz cuadrada de un número negativo.

 SI EL RADICANDO ES POSITIVO “ c _a “ ó “c_a“ SI TIENE SOLUCIÓN, y tendrá 2 SOLUCIONES POSIBLES 

x = ± 2 c _a , por lo que las soluciones serán: x = + 2 c _a y x = - 2 c _a .

ECUACIÓN DE 1º GRADO bx + c = 0

 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO RACIONALES:

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas.

QUITAR LOS DENOMINADORES, para ello se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Resolver la ecuación resultante.

Se recomienda el realizar una comprobación de las soluciones obtenidas, para rechazar posi-bles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original

 ECUACIONES BICUADRADAS:

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar:

ax4 _{+ bx² + c = 0}

Efectuar el cambio de variable:

x² = t ; x4 _{= t²}

Con lo que se obtiene una ecuación de segundo grado con la incógnita « t »:

at² + bt + c = 0

Resolver la ecuación de segundo grado completa (cuya variable es ahora « t »):

t = -b± b_2·2_a–4·a·c

Deshacer el cambio de variable para encontrar las soluciones de la ecuación bicuadrada: x = ± √

 Por cada valor positivo de « t » habrá dos valores de « x », es decir 4 posibles soluciones:

 ECUACIONES IRRACIONALES:

Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

Aislar un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

 Elevar al cuadrado los dos miembros.

 Resolver la ecuación obtenida (recordar las propiedades de las raíces y las identidades notables).

Comprobar si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miem-bros de la ecuación.

RECORDATORIO DE ECUACIONES de 1º GRADO, TEORÍA, ESTRATEGIAS de RESOLUCIÓN, EJERCICIOS Y PROBLEMAS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES:

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

ESTRATEGIA GENERAL PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES o DE 1º GRADO:

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

ESTRATEGIA PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 1º GRADO CON UNA SOLA INCOGNITA: Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3

2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo

pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x · ½ = 56 · ½

Otros ejemplos:

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad

(hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como – 8x)

(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x)

(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”)

(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número negativo, el resultado es positivo)

(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pasa como – 1)

(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1)

(dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar 4/4 quede la x sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando.

ESTRATEGIA PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 1º GRADO CON AGRUPACIONES DE SIGNOS: Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación

considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.

Veamos el siguiente ejemplo:

Primero quitamos los paréntesis.

Reducimos términos semejantes.

Ahora quitamos los corchetes.

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

Nuevamente reducimos términos semejantes

Despejamos x pasando a dividir a – 2, luego simplificamos.

Advertencia

Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que:

a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo que esté dentro de este signo. Por ejemplo: +(3x – 5) = 3x – 5

ESTRATEGIA PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 1º GRADO CON PRODUCTOS INCLUIDOS: Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).

Observemos un ejemplo:

Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis.

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.)

Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.

Despejamos x pasando 3 a dividir.

2x - 34 = 120

2x = 120 + 34 2x = 154 x =154/2 = 77

10x + 5 = 3x + 12

10x - 3x = 12 - 5 7x = 7

x = 7/7 = 1

2(3x - 2) = 8

9(13 - x) - 4x = 5(21 - 2x) + 9x

117 - 9x - 4x = 105 - 10x + 9x - 9x - 4x + 10x - 9x = 105 - 117 - 12x = - 12

x = -12 / -12 = 1

2[3(x - 2) + 5(x - 3)] + x = - 8

2(3x - 6 + 5x - 15) + x = - 8 6x - 12 + 10x - 30 + x = - 8 6x + 10x + x = - 8 + 12 + 30 17x = 34

x = 34/17 = 2

(x + 2)2 _{- x}2 _{= 60}

x2 _{+ 4x + 4 - x}2 _{= 60} x2 _{- x}2 _{+ 4x = 60 - 4} 4x = 56

x = 56/4 = 14

x2 _{- (x - 4)}2 _{= 128}

x2 _{- (x}2 _{- 8x + 16) = 128} x2 _{- x}2 _{+ 8x - 16 = 128} x2 _{- x}2 _{+ 8x = 128 + 16} 8x = 144

x = 144/8 = 18