Discretización de reguladores y plantas
Discretización de reguladores y plantas
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0.1 0.1 0.2 0.2 Time (sec) Time (sec)
Contenido
Contenido
Discretización a partir de la función de
Discretización a partir de la función de
transferencia en tiempo continuo
transferencia en tiempo continuo
Por respuesta invariante al impulso
Por respuesta invariante al impulso
Por retenedor de orden cero (ZOH)
Por retenedor de orden cero (ZOH)
Por Tustin o transformación bilineal
Por Tustin o transformación bilineal
Por mapeo de polos (solo
Por mapeo de polos (solo para SISO)
para SISO)
Ejemplos
Ejemplos
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 Time (sec) Time (sec) A A m m p p l l i i t t u u d d e e
Esquema de un control digital
Esquema de un control digital
Computador
Computador
y(t)
y(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 Time (sec)
muestreo
El periodo de muestreo
T
s
debe ser escogido
para que sea menor que una décima parte de
la constante de tiempo dominante, del
sistema que se espera en lazo cerrado
.
10
1
dom
s
T
T
<
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
Escogencia del periodo de
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 Time (sec)
Condiciones de la conversión
Dos funciones continuas son discretizadas y se
encuentran en cascada
Dos funciones continuas en cascada son
discretizadas; G(s) = G
1
(s)G
2
(s)
G
1
(s)
G
2
(s)
T
T
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
v(t)
V(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)
G
1
(s)
G
2
(s)
T
T
T
T
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
v(t)
V(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)
{ } {
(
)
(
)
(
)
}
)
(
)
(
)
(
G
s
G
1
s
G
2
s
z
X
z
Y
z
G
=
=
Ζ
=
Ζ
{ } { }
(
)
Ζ
(
)
Ζ
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
G
1
z
G
2
z
G
1
s
G
2
s
z
X
z
Y
z
G
=
=
⋅
=
⋅
G
1
(s)
G
2
(s)
T
T
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
v(t)
V(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)
T
v*(t)
V*(s)
G
1
(s)
G
2
(s)
T
T
T
T
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
v(t)
V(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)
T
T
T
v*(t)
V*(s)
V(z)
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
Condiciones de la conversión
Procedimiento:
Combinar todos los elementos continuos que se
encuentren directamente conectados en cascada
en una única función G(s)
Considerar como si la función G(s), tiene
además, paralelamente a su salida continua, una
salida muestreada. G(z) = Y(z)/U(z)
G
1
(s)
G
2
(s)
T
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
K(z)
G(s)
T
T
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
T
u*(t)
U (z)
T
T
T
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)
T
T
y(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 0
0.1 0.2
Time (sec)
El sistema híbrido de control
G
1
(s)
G
2
(s)
T
x*(t)
X(z)
K(z)
G(s)
T
T
T
u*(t)
U (z)
T
T
T
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)
T
T
y(t)
H(s)
-+
R(s)
r(t)
{
}
{
(
)
(
)
}
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
H
s
G
z
K
s
G
z
K
z
GH
z
K
z
G
z
K
z
R
z
Y
z
T
Ζ
+
Ζ
=
+
=
=
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
Transformación por respuesta
invariante al impulso
Combinar todos los elementos continuos que se
encuentren directamente conectados en cascada
en una única función G(s)
Representar G(s) en fracciones parciales
Convertir cada fracción parcial a su forma en Z
usando la transformada Z de la función exponencial
muestreada y con ayuda de tablas.
{ } { }
1
1
1
−
−
−
−
−
=
Ζ
=
Ζ
z
e
e
e
at
akT
aT
{ }
)
(
1
a
s
e
L
at
+
=
−
Tiene problemas de
aliasing
dependiente de T
0 1 2 3 4 5 6 7 0
0.1 0.2
Time (sec)
Respuesta invariante al impulso
Para raíces simples
Para raíces repetidas
∑
=
−
−
=
n
i
T
p
i
z
e
R
z
G
i
1
1
)
1
(
)
(
∑
∑
=
−
−
−
−
=
−
∂
∂
−
−
=
i
i
m
l
T
p
l
i
l
il
l
j
i
l
p
e
z
R
z
G
1
1
1
1
1
1
(
1
)
1
)!
1
(
)
1
(
)
(
No mantiene la
respuesta ante
escalón. El factor
de escala es T
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
Ejemplo 1: Discretización de
una planta por respuesta inv.
Encuentre el modelo en tiempo discreto para
la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s
Evaluando los residuos para los polos
P = [ -4 -1]
R = [-4/3 4/3]
)
4
)(
1
(
4
)
(
+
+
=
s
s
s
P
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 Time (sec)
Ejemplo 1: cont.
Evaluando
)
1
(
3
/
4
)
1
(
3
/
4
)
1
(
)
(
4
*
0
.
1
1
1
*
0
.
1
1
2
1
1
−
−
−
−
=
−
−
+
−
−
=
−
=
∑
z
e
z
e
z
e
R
z
P
i
T
p
i
i
)
9048
.
0
(
*
3
/
4
)
6703
.
0
(
*
3
/
4
)
(
−
+
−
−
=
z
z
z
z
z
P
)
9048
.
0
)(
6703
.
0
(
31269
.
0
)
(
−
−
=
z
z
z
z
P
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
Se combina la función de transferencia del
retenedor de orden cero con la de la planta.
El resultado se descompone en fracciones
parciales y cada fracción se transforma a Z.
Por retenedor de orden cero
−
=
−
−
−
s
s
G
Z
z
s
G
s
e
Z
sT
)
(
*
)
1
(
)
(
*
1
1
y(k)
G(s)
ZOH
u(k)
y(t)
u*(t)
Método preferible
para sistemas con
0 1 2 3 4 5 6 7 0
0.1 0.2
Time (sec)
una planta por ZOH
Encuentre el modelo en tiempo discreto para
la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s
Descomponiendo en fracciones parciales
P(s)/s los residuos y polos son:
R = [ 0.3333 -1.3333 1.0000]
P = [-4 -1 0]
)
4
)(
1
(
4
)
(
+
+
=
s
s
s
P
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
Ejemplo 2: cont.
Después de transformar cada fracción parcial
aplicando el periodo de muestreo T = 0.1s
Sumamos, aplicamos el factor (1 -
z
-1
),
factorizamos y simplificamos:
s
T
.
z-.
z-.
z+
.
z
P
,
0
.
1
)
6703
0
)(
9048
0
(
)
8466
0
(
01699
0
)
(
=
=
−
+
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
)
1
(
1
)
1
(
33
.
1
)
1
(
33
.
0
)
1
(
)
(
1
(
4
*
0
.
1
)
1
(
1
*
0
.
1
)
1
0
1
z
e
z
e
z
e
z
z
P
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 Time (sec)
transformación bilineal
Partimos de la relación de definición de z
Despejamos
s
y desarrollamos la serie de
potencias del logaritmo
Finalmente aproximamos al primer término
sT
e
z
=
z
T
s
=
1
ln
L
+
+
−
+
+
−
+
+
−
=
5
5
3
3
)
1
(
)
1
(
5
2
)
1
(
)
1
(
3
2
)
1
(
)
1
(
2
z
z
T
z
z
T
z
z
T
s
)
1
(
)
1
(
2
+
−
≈
z
z
T
s
No tiene problemas
de
aliasing
dependiente de T
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
Ejemplo 2: Discretización de
una planta por Tustin
Encuentre el modelo en tiempo discreto para
la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s
Sustituyendo
)
4
)(
1
(
4
)
(
+
+
=
s
s
s
P
)
4
)
1
(
)
1
(
1
.
0
2
)(
1
)
1
(
)
1
(
1
.
0
2
(
4
)
(
+
+
−
+
+
−
=
z
z
z
z
z
P
)
9048
.
0
)(
6667
.
0
(
)
1
(
0079365
.
0
)
(
2
−
−
+
=
z
z
z
z
P
0 1 2 3 4 5 6 7 0
0.1 0.2
Time (sec)
Por mapeo de polos y ceros
Solo para sistemas SISO. Se sustituye cada polo
de la forma (s - p
i
) por ( z – e
piT
) y cada cero de
la forma (s - z
i
) por ( z – e
ziT
). Finalmente se
ajusta la ganancia K’ para una respuesta igual,
típicamente a frecuencia cero.
∏
∏
=
=
−
−
=
n
i
i
q
i
i
p
s
z
s
K
s
G
1
1
)
(
)
(
)
(
1
0
(
)
)
(
s
s
=
=
G
z
z
=
G
∏
∏
=
=
−
−
−
−
+
=
n
i
i
q
i
i
q
n
T
p
T
z
e
e
z
z
z
K
z
G
1
1
)
1
(
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
n > q
ω
=
∞
en dom.
analógico
≈ ω
= ½
ω
s
en el dom. discreto.
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
Por mapeo de polos y ceros
La ganancia K’ se calcula como
Se satisface exactamente la relación
1
1
)
1
(
1
1
)
(
)
1
(
)
(
=
=
−
−
=
∏
∏
−
+
−
⋅
=
z
T
z
T
p
q
i
i
q
n
n
i
i
B
e
e
z
z
z
K
K
∏
∏
=
=
=
−
−
=
=
n
i
i
q
i
i
B
p
z
K
s
G
K
s
1
1
0
)
(
sT
e
z
=
0 1 2 3 4 5 6 7 0
0.1 0.2
Time (sec)
una planta por mapeo z = e
sT
Encuentre el modelo en tiempo discreto para
la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s
Los datos del sistema continuo son:
P = [-4 -1 ]
n = 2; q = 0
K
B
= P(0) = 1
)
4
)(
1
(
4
)
(
+
+
=
s
s
s
P
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
Ejemplo 4: cont.
Evaluamos las fórmulas
)
e
)(z
e
z
z
z
P
-
*
.
-
*
.
-1
0
1
1
0
4
)
1
0
2
(
(
)
1
(
)
(
ˆ
−
−
+
=
)
(
ˆ
*
)
(
z
K
1
P
z
P
=
0.1s
T
,
)
9048
0
)(
6703
0
(
)
1
(
015687
0
)
(
=
=
.
z-.
z- z+
.
z
P
7486
.
63
)
1
(
ˆ
=
P
K
1
=
1
/
63
.
7486
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 Time (sec)
Respuesta al impulso
Se puede
observar que
solamente la
forma
invariante al
impulso
conserva este
tipo de
respuesta
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Impulse Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
Respuesta al escalón
Todas las
formas
conservan la
respuesta ante
un escalón
excepto la
invariante al
impulso, que lo
hace solo si es
escalada por T
0
1
2
3
4
5
6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
P
Pzoh
Ptustin
Pmatched
0 1 2 3 4 5 6 7 0
0.1 0.2
Time (sec)
Respuesta ante rampa
Todas las
formas
conservan la
respuesta ante
una rampa
excepto la
invariante al
impulso.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Respuesta ante rampa
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
P
Pzoh
PTustin
Pmatched
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
Ejemplo 5: Discretización del
regulador PID
El PID ideal se puede discretizar por los
métodos de
La aproximación trapezoidal a la integral y la
aproximación de Euler a la derivada
Transformación bilineal o método de Tustin
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 Time (sec)
aproximaciones a la I y D
Partimos de la expresión para el PID en el
dominio del tiempo continuo
Obtenemos la forma posicional del algoritmo
del PID
[
]
0
.
)
1
(
)
(
2
)
1
(
)
(
(
)
(
)
(
m
T
k
e
k
e
K
Int
T
k
e
k
e
K
k
e
K
k
m
s
d
prev
s
i
P
+
−
−
+
+
−
+
+
=
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
e
t
m
dt
d
K
d
e
K
t
e
K
t
m
D
t
I
P
+
+
+
=
∫
τ
τ
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
Discretización del PID por
transformación bilineal
Partimos de la expresión para el PID en el
dominio de la frecuencia compleja
Sustituimos
y obtenemos la forma de velocidad del
algoritmo del PID
[
(
)
(
1
)
]
(
)
[
(
)
2
(
1
)
(
2
)
]
)
1
(
)
(
=
−
+
−
−
+
+
e
k
−
e
k
−
+
e
k
−
T
T
K
k
e
T
T
K
k
e
k
e
K
k
m
k
m
s
d
P
i
s
P
P
d
P
i
P
P
PID
s
K
T
s
T
K
K
s
K
(
)
=
+
+
⋅
)
1
(
)
1
(
2
+
−
≈
z
z
T
s
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 Time (sec)
discreto
La forma de velocidad del PID se puede
simplificar a
donde las constantes A, B y C dependen de
K
P
, T
i
, T
d
y del tiempo de muestreo T
S
También se puede llegar a esta forma si
restamos la forma posicional del PID
evaluada en k y en k-1
Esta forma es menos propensa al
windup
)
2
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
k
=
m
k
−
+
A
⋅
e
k
+
B
⋅
e
k
−
+
C
⋅
e
k
−
m
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (sec) A m p l i t u d e
