1
CURSO 15-16
1.-Calcular los siguientes límites:
a) (4 p.)𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎
𝟐+𝒆𝟏/𝒙
𝟏+𝒆𝟐/𝒙 b) (3 p.)𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)−𝒆−𝒙−𝒙
𝒙·𝒔𝒆𝒏(𝒙) c) (3 p.)𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎( 𝒆𝒙+𝟐𝒙
𝟐 ) 𝟏/𝒙
2.-a)(4 p.)Calcular el valor de a, sabiendo que 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎
𝒆𝒂𝒙−𝟏−𝒂𝒙 𝒙𝟐 = 𝟖.
b) Dada la función 𝒇(𝒙) =𝟑𝒙+𝑳𝒏(𝒙+𝟏) √𝒙𝟐−𝟑 , hallar:
b.1)(2 p.) Dominio de f(x) b.2) (4 p.) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞𝒇(𝒙)
3.-a) (4 p.)Dada la función 𝒇(𝒙) = {
𝑳𝒏(𝟏+𝒂𝒙)−𝒃𝒙
𝒙𝟐 𝒔𝒊 (𝟏 + 𝒂𝒙) > 0 𝑦 𝑥 ≠ 0
−𝟏
𝟐 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟎
. Hallar el valor de los parámetros a y b
para que sea continua en x=0.
b) Sea la función 𝒇(𝒙) =𝒙·(𝟏−𝒙) 𝒙𝟐−𝟏 .
b.1) (2 p.)Estudiar los puntos y tipos de discontinuidad. b.2) (4 p.)Estudiar y calcular sus asíntotas
4.-a) (5 p.)Calcular el valor de a, a>0 para que la función 𝑓(𝒙) = { 𝒆𝒙−𝒆−𝒙
𝒂𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 0 (𝟐𝒙+𝟕
𝟐𝒙+𝟏) 𝒙
𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎 se continua en x=0.
b) (5 p.)Calcula los valores de a, b para que la función 𝒇(𝒙) =𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙
𝒙+𝟏 tenga como asíntota oblicua la recta y=2x+3.
5.-Sea f(x)=x2-|x|. Se pide:
a) (2 p.)Estudiar la derivabilidad de f(x)
b) (4 p.)Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento. c) (4 p.) Extremos relativos.
6.-Dada la función f(x)= Ln (1+x2). Se pide:
a) Estudiar los extremos relativos y los puntos de inflexión.
b) Estudiar si la recta r de ecuación y=-x-1+Ln2 es tangente a la gráfica de f(x) en algún punto de inflexión de la misma.
7.-a) (5 p.)Determinar las asíntotas de la función 𝒇(𝒙) =𝟑𝒙𝟑−𝟓𝒙−𝟐 𝒙𝟐−𝟑𝒙−𝟓
b) (5 p.)Determinar las asíntotas verticales y horizontales de la función 𝒈(𝒙) = 𝒙−𝟏𝟑 √𝒙𝟐−𝟏
8.-a)(3 p.)Calcular: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎(𝐜𝐨𝐬 𝒙)
(𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙); b) (4 p.)Calcular: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+(𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒆
𝒙)𝒕𝒂𝒈𝒙
c) (3 p.)Calcular: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞
𝟐𝒙−𝟖 𝟐𝒙+𝟏
9.-a) (5 p.)Estudiar la continuidad de la función: 𝒇(𝒙) = {𝒙 − 𝒙
𝟐 𝒔𝒊 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏 𝑳𝒏𝟐𝒙
𝒙−𝟏 𝒔𝒊 𝟏 < 𝑥 ≤ 2
2
b) (5 p.)Estudiar la continuidad en función de los parámetros a y b, siendo: 𝒈(𝒙) = { 𝒙+𝒂
𝟏+𝒆𝟏/𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≠ 𝟎
𝒃 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟎
10.-a) (4 p.)Sabiendo que 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎
𝒎·𝒔𝒆𝒏𝒙−𝒙·𝒆𝒙
𝒙𝟐 es finito, calcular m y el valor del límite.
b) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎
𝑳𝒏(𝟏+𝒙)−𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙·𝒔𝒆𝒏𝒙 c) 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎 √𝒙𝟐+𝟏−𝟏
𝒙𝟐 d) 𝑥→2lim
√𝑥2−2𝑥−(𝑥−2)
𝑥−2 .
11.-Sabiendo que 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙−𝟒
𝒙𝟑+𝒃𝒙𝟐+𝟖𝒙−𝟒 es discontinua en x=2, calcular b y justificar razonadamente el comportamiento de la función en la proximidad de los puntos de discontinuidad.
12.-Se sabe que la recta y = 9 es una asíntota de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
𝒂𝒙𝟐−𝟒. Calcular el valor de a. Estudiar si para
dicho valor del parámetro tiene otras asíntotas.
13.-a) Sea la función 𝒇(𝒙) = {𝑳𝒏 𝒙 𝒔𝒊 𝟎 < 𝑥 < 1
𝒂𝒙𝟐+ 𝒃 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟏, se sabe que f(2)=3 y que es continua. Obtener los valores de a
y b.
14.-a) Calcular las asíntotas verticales y horizontales de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥−1 √𝑥2−1
b) sea la función 𝑓(𝑥) = log √1+𝑥 1−𝑥
𝑥
. Se pide:
b.1. Dominio de f(x)
b.2. Calcular sus asíntotas verticales.
15.-Considera la función f: →, definida por 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐· 𝒆−𝒙𝟐. Se pide:
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f(x).
b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. ¿Existe algún punto de inflexión?
c) Esboza la gráfica de f(x).
16.- Sea la función f: →, definida por f(x)=x3+ax2+bx+c. Hallar a, b y c para que f(x) tenga un punto de
inflexión en el punto de abscisas x=𝟏
𝟐 y que la recta tangente en el punto de abscisas x=0 tenga por ecuación y+6x=5.
17. Descomponer el número “e” en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma.
18.-Con 60 cm. de alambre se construyen 2 triángulos equiláteros cuyo lado miden x e y respectivamente. ¿Qué valores de x e y hacen que la suma de sus áreas sea mínima?
19.-a) Sea f(x)= x·Ln(x)–x. Determina el punto de f(x) para el cual la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Escribe la ecuación de dicha recta tangente.
b) (5 p.)Considera la función f: → derivable, definida por 𝒇(𝒙) = { 𝒆𝒙−𝒆−𝒙
𝟐𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 0
𝒂𝒙 + 𝒃 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎.Calcular a y b.
20.-Sea la función f(x)=2x·|4-x|. Se pide:
3
b) (2p) Dibujar la gráfica de f(x)
c) (4p) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f(x), las rectas x=0 y x=5 y el eje OX.
21.-Sea la función 𝒇(𝒙) =(𝟐𝒙−𝟏)𝟐
𝟒𝒙𝟐+𝟏. Se pide:
a) (4p) Calcular las asíntotas, los extremos relativos (puntos completos). b) (2p) Esbozar la gráfica.
c) (4p) Hallar el área del recinto limitado por la función f(x) y la recta 4x+5y-5=0.
22.- Calcular el valor del parámetro a, tal que a>0 para que el área de la región comprendida entre
f(x)=-x2+a2 y g(x)=-4x2+4a2 sea 32 unidades de superficie.
23.-Se pide:
a.- (6p) Si la media aritmética de dos números reales positivos es 24, calcular el valor de dicho números para que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.
𝑏.2) (4p) lim 𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥·𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑥3
24.- a) (5p) Sea la función f:→, definida por f(x)=x3+ax2+bx+c. Calcular a, b, c , sabiendo que tiene un
punto de inflexión en x=1/2 y que la recta tangente por x=0 tenga por ecuación y=5-6x.
b) (5p) Sea la función 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐+ 𝒙 + 𝟏. Se pide estudiar si tiene asíntotas oblicuas cuando x→+∞.
25.- a) (6p) Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 10 m3. El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta 3 euros el metro
cuadrado. El material para los costados cuesta 2 euros el metro cuadrado. Encuentre las dimensiones para tener el más barato de esos recipientes.
b) (4p) Estúdiese la derivabilidad de la función f (x) = x +| 1- ln x|.
26.-a) El área del recinto encerrado por f(x)=a·(x2-2x), donde a, tal que a>0 y el eje de abscisas es 12 u2.
Calcular el parámetro a.
b) Representa gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la coordenada x es positiva, por la recta x = 1, la hipérbola x·y= 1, y la recta 6y - x + 1 = 0. Calcula su área.
27.- Determina una función f:→ derivable, sabiendo que f(1)=-1 y que 𝒇′(𝒙) = {𝒙𝟐− 𝟐𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎 𝒆𝒙− 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎.
28.-Sea la función 𝑓(𝑥) =2𝑥2
𝑥−1. Se pide:
a) (4p) Asíntotas
b) (4p) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos, mínimos. Intervalos de concavidad y
convexidad y puntos de inflexión. c) (2p) Gráfica de f(x)
29.- Determinar:
a) (5p) Calcular el área delimitada por 𝑓(𝑥) =1
𝑥, 𝑔(𝑥) = 1
𝑥2 y la recta x=e.
30.-Se pide:
a) (5p) Hallar el valor de los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa 6√2 cm. para que el área del triángulo sea máxima.
b) (5p) Hallar el valor de k para que: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎
4
31.-Sea f: ℝ→ ℝ la función definida por 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝒙𝟐+𝟏.
a) (3 p.) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas
asíntotas con la gráfica de f.
b) (5 p.) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de f (abscisas
donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) (2 p.) Esbozar la gráfica de f.
32.-Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en el punto de abscisa x=1 sabiendo que
f(0)=0 y 𝒇′(𝒙) =(𝒙−𝟏)𝟐
5
CURSO 14-15
1.-Dada la función𝒇(𝒙) =𝒙𝟐(𝟏−𝒙)
𝒙𝟐−𝟏 . Se pide:
a) (5 p.)Dominio de f(x), determinar los puntos de discontinuidad y tipos de discontinuidad que se dan. b) (5 p.)Estudiar y determinar las asíntotas de f(x).
2.-Calcular, si existen, los siguientes límites:
a) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+(𝒔𝒆𝒏 𝒙)
𝒕𝒂𝒈 𝒙 b)𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏𝒙
|𝒙| c) 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎( 𝟏 𝑳𝒏 (𝟏+𝒙)−
𝟏 𝒙)
3.-a) (5 p.)Hallar a y b para que la función 𝒇(𝒙) = { 𝒔𝒆𝒏 (𝝅𝒙)
𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 0 𝒃 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟎 𝒂 + 𝒙𝑳𝒏 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 0
para que sea continua.
b) (5 p.) Calcular las asíntotas de la función f(x)=x+e-x.
4.-a) (4 p.) Calcular a y b para que 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎
𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝟐 = 𝟏.
b) (3 p.) Calcula m para que 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞
(𝟏−𝒎𝒙)·(𝟐𝒙+𝟑) 𝒙𝟐+𝟒 = 𝟔 . c) (3 p.) 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚 √𝐚−√𝐱
𝐱−𝐚
5.-a) (5 p.) Determinar las asíntotas de la función 𝒇(𝒙) =𝟑𝒙𝟑−𝟓𝒙−𝟐 𝒙𝟐−𝟑𝒙−𝟓
b) (5 p.) Determinar las asíntotas verticales y horizontales de la función 𝒈(𝒙) = 𝒙−𝟏𝟑 √𝒙𝟐−𝟏
6.-a)Calcular: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎(𝐜𝐨𝐬 𝒙)
(𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙); b) Calcular: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+(𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒆
𝒙)𝒕𝒂𝒈𝒙 c) Calcular: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞
𝟐𝒙−𝟖 𝟐𝒙+𝟏
7.-a) (5 p.) Estudiar la continuidad de la función: 𝒇(𝒙) = {𝒙 − 𝒙
𝟐 𝒔𝒊 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏 𝑳𝒏𝟐𝒙
𝒙−𝟏 𝒔𝒊 𝟏 < 𝑥 ≤ 2
.
b) (5 p.) Estudiar la continuidad en función de los parámetros a y b, siendo: 𝒈(𝒙) = { 𝒙+𝒂
𝟏+𝒆𝟏/𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≠ 𝟎
𝒃 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟎
8.-a) Sabiendo que 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎
𝒎·𝒔𝒆𝒏𝒙−𝒙·𝒆𝒙
𝒙𝟐 es finito, calcular m y el valor del límite.
b) Calcular: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎
𝑳𝒏(𝟏+𝒙)−𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙·𝒔𝒆𝒏𝒙 c) Calcular: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎 √𝒙𝟐+𝟏−𝟏
𝒙𝟐
9.-Sabiendo que 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙−𝟒
𝒙𝟑+𝒃𝒙𝟐+𝟖𝒙−𝟒 es discontinua en x=2, calcular b y justificar razonadamente el
comportamiento de la función en la proximidad de los puntos de discontinuidad.
10.-Se sabe que la recta y = 9 es una asíntota de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
𝒂𝒙𝟐−𝟒. Calcular el valor de a. Estudiar si para dicho valor del parámetro tiene otras asíntotas.
11.-a) Sea la función 𝒇(𝒙) = {𝑳𝒏 𝒙 𝒔𝒊 𝟎 < 𝑥 < 1
𝒂𝒙𝟐+ 𝒃 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟏, se sabe que f(2)=3 y que es continua. Obtener los valores de a
y b.
b) Calcular lim 𝑥→2
√𝑥2−2𝑥−(𝑥−2)
𝑥−2 .
6
b) sea la función 𝑓(𝑥) = log √1+𝑥 1−𝑥
𝑥
. Se pide:
b.1. Dominio de f(x)
b.2. Calcular sus asíntotas verticales.
13.-Considera la función f: →, definida por 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐· 𝒆−𝒙𝟐. Se pide:
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f(x).
b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. ¿Existe algún punto de inflexión?
c) (2 p.) Esboza la gráfica de f(x).
14.-Sea la función f: →, definida por f(x)=x3+ax2+bx+c. Hallar a, b y c para que f(x) tenga un punto de inflexión
en el punto de abscisas x=𝟏𝟐 y que la recta tangente en el punto de abscisas x=0 tenga por ecuación y+6x=5.
15.-a) Sea f(x)= x·Ln(x)–x. Determina el punto de f(x) para el cual la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Escribe la ecuación de dicha recta tangente.
b) Sea la función f: → derivable, definida por 𝒇(𝒙) = { 𝒆𝒙−𝒆−𝒙
𝟐𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 0
𝒂𝒙 + 𝒃 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎.Calcular a y b.
16.-Sea f(x) una función que tiene por derivada f’(x)= (3x-2)2·(x-2). Se pide:
a) (6p)Calcula sus extremos y si, existen, los puntos de inflexión.
b) (4p)Determinar f(x), sabiendo que se anula para x=2.
17.-Sean f, g: → las funciones definidas por 𝒇(𝒙) =|𝒙|
𝟐 𝑦 𝒈(𝒙) = 𝟏 𝟏+𝒙𝟐.
a) (4p)Esboza las gráficas de f(x) y g(x) sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas
funciones.
b) (6p)Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de f(x) y g(x).
18.-Dada la función 𝒇(𝒙) = { 𝟓𝒔𝒆𝒏𝒙
𝟐𝒙 + 𝟏
𝟐 𝒔𝒊 𝒙 < 0 𝒂 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟎 𝒙 · 𝒆𝒙+ 𝟑 𝒔𝒊 𝒙 > 0
. Se pide:
a) (3p)Hallar a para que f(x) sea continua.
b) (3p)Decir si la función es derivable en x=0 para algún valor de a.
c) (4p)Calcular ∫𝟏𝑳𝒏𝟓𝒇(𝒙)𝒅𝒙.
19.-Dada la parábola y = -x2 -2x + 3, sea r su recta tangente en x = -1y sea s su recta tangente en x = 1.
a) (3p) Calcule las ecuaciones de r y de s.
b) (3p) Representa, de forma aproximada, el recinto plano limitado por la parábola, la recta r y la recta s. c) (4p) Calcule el área de dicho recinto.
20.-Dadas las funciones f(x)=-x2+2x y g(x)=x2. Se pide:
a) (4p) Intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de las funciones f y g. Calcula los extremos
relativos de cada una de las funciones f y g.
b) (3p) Puntos de intersección de ambas funciones f y g. Represéntalas en los mismos ejes.
c) (3p) Área del recinto encerrado entre ambas curvas, donde la x varía entre 0 y 1.
21.- Se pide:
a) (6p) Calcula una primitiva de la función 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝟏+√𝒙.
b) (4p) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x=0 y
7
22.-Se pide:
a) (4p)Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y=x3-6x2+4x+8, la recta tangente a la misma es
paralela a la recta y=4x+7.
b) (6p)Hallar el área de la región comprendida entre las rectas x=1, x=4 y que está limitada por dichas
rectas, la gráfica de la función f(x)=|x2-4| y el eje OX.
23.-Se pide:
a) (6p) Calcular la primitiva de la función 𝑓(𝑥) =𝐿𝑛𝑥 𝑥 .
b) (4p) Calcular el área del recinto limitado por f(x) y el eje OX entre x=1/e y x=e.
24.- Considera la función derivable f: → definida por𝑓(𝑥) = { 𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2𝑥 𝑠𝑖𝑥 < 0 𝑎𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑥 ≥ 0
a) (7 p) Calcula a y b.
b) (3 p) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1.
25.-Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la función: 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑥+1.
26.-a) (5 p) Hallar una función polinómica de grado 3, sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1,0), que tiene por tangente en x=0 la recta y=2x+1 y que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 301 .
b) (5 p)∫ 𝑥3 𝑥2−2𝑥+1𝑑𝑥 3
2
27.-Sea la función 𝑔(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0𝑥 · 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 > 0. Se pide:
a) (4 p) Estudiar la derivabilidad de g(x)
b) (6 p) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de g(x), el eje de abscisas y las recta x=-1 y x=/2
28.- Dada la función f(x)=ax3+bx, sabemos que pasa por el punto P(1,1) y además que en ese punto tiene una
tangente paralela a la recta y=-3x.
a) De acuerdo a dichas condiciones calcular los valores de a y b.
b) Determinar los extremos relativos, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Realizar la gráfica de la función.
29.-Sea f:→, la función f(x)=ex · cos x. Se pide:
a) (4p.) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisas x=0.
b) (6p.) Calcular la primitiva de f(x) cuya gráfica pasa por el punto (0,0).
30.-Sabiendo que 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎
𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)−𝒆𝒙+𝒂𝒙
𝒙·𝒔𝒆𝒏(𝒙) es finito, calcula a y el valor del límite.
31.-a) (6p) Calcular la primitiva de la función 𝑓(𝑥) =𝐿𝑛𝑥 𝑥 .
b) (4p) Calcular el área del recinto limitado por f(x) y el eje OX entre x=1/e y x=e.
32.-Se pide:
a) Sea la función 𝒇(𝒙) = {𝑳𝒏(𝒆 + 𝒙𝟐) 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎, hallar b y c sabiendo que es derivable en x=0.
b) Dada la función 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑+ 𝒃𝒙𝟐, calcular a y b para que tenga un extremo relativo en el punto (1,2).
33.-Dada la función 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟑
8
CURSO 13-14
1.-Dada la función 𝒇(𝒙) = 𝒙 (√𝒙+𝟏
𝒙−𝟏− 𝟏). Se pide:
a) (3p.) Dominio de f(x) b) (3 p.) Calcular lim
𝑥→1+𝑓(𝑥). ¿Es posible calcular 𝑥→1lim−𝑓(𝑥)? ¿Por qué?
c) (4p.) Calcular lim
𝑥→∞𝑓(𝑥)
2.- Estudiar la continuidad de la función: 𝑓(𝑥) = {
−1 𝑠𝑖 𝑥 = 0
𝑥2−𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 𝜋
0 𝑠𝑖 𝑥 = 𝜋
3.-a) (5p.) Calcular el siguiente límite: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞(𝟏 + 𝟏 𝒂𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟖)
𝒙+𝟏
, según los valores del parámetro a. b) (5p.) De la función 𝒇(𝒙) =𝒂𝒙𝟐+𝒃
𝒂−𝒙 , con a, b , sabemos que pasa por el punto (1,2) y que tiene una asíntota oblicua de
pendiente -6. Determinar a y b.
4.-Dada la función 𝒇(𝒙) =𝒆𝒙+𝟏
𝒆𝒙−𝟏. Se pide:
a) (5p.) Calcular las asíntotas verticales y los límites laterales en caso de que los haya. b) (5p.) Estudiar si existen asíntotas horizontales y calcularlas en caso de que las haya.
5.-a) (5p.) Hallar el valor de k, sabiendo que la función 𝑓(𝑥) =𝑥3+𝑘𝑥𝑥2+12+1 posee una asíntota que pasa por el punto (1,3).
b) (5p.) Calcular lim
𝑥→2 √𝑥+2−2 √2𝑥−3−1
6.-Sabiendo que 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙−𝟒
𝒙𝟑+𝒃𝒙𝟐+𝟖𝒙−𝟒 es discontinua en x=2, calcular b y justificar razonadamente el comportamiento de la
función en la proximidad de los puntos de discontinuidad.
7.-Se sabe que la recta y = 9 es una asíntota de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
𝒂𝒙𝟐−𝟒. Calcular el valor de a. Estudiar si para dicho valor del
parámetro tiene otras asíntotas.
8.-a) Sea la función 𝒇(𝒙) = {𝑳𝒏 𝒙 𝒔𝒊 𝟎 < 𝑥 < 1
𝒂𝒙𝟐+ 𝒃 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟏, se sabe que f(2)=3 y que es continua. Obtener los valores de a y b.
b) Calcular lim
𝑥→2
√𝑥2−2𝑥−(𝑥−2)
𝑥−2 .
9.-a) Calcular las asíntotas verticales y horizontales de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥−1
√𝑥2−1
b) Sea la función 𝑓(𝑥) = log √1+𝑥
1−𝑥
𝑥
. Se pide: b.1. Dominio de f(x)
b.2. Calcular sus asíntotas verticales.
10. Hallar las dimensiones del rectángulo de área mayor inscrito en una circunferencia de radio 6.
11. a) (5 p.) Calcula el valor de k para que la función 𝒇(𝒙) = {𝒌 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟎𝒙−𝒕𝒈𝒙 𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≠ 𝟎
sea continua en x=0
b) (5 p.) Determinar a y b para que 𝒇(𝒙) = {𝒆𝒂𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟎
𝟐𝒂 + 𝒃𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 0 sea derivable.
12. Sea 𝒇(𝒙) =𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄
𝒙𝟐−𝟒 . Hallar a, b y c sabiendo que tiene una asíntota horizontal en y=-1 y tiene un extremo relativo en el
punto (0,1).
13. Sea la función 𝒈(𝒙) =(𝒙−𝟏)𝒙𝟑 𝟐 . Calcular:
9
14. a) (5p.) Obtener las dimensiones de 3 campos cuadrados de modo que el perímetro del primero de ellos es el triple del perímetro del segundo y que se necesitan 1664 m de alambre para vallar los tres campos. La suma de las áreas de los tres campos ha de ser lo menor posible.
b) (5p.) Calcular los valores de a tal que lim
𝑥→0[cos(𝑎𝑥)]
1 𝑥2= 𝑒−2
15. a) (5p.) Determinar a, b y c sabiendo que la función f(x)= x3+ax2+bx+c tiene extremos relativos en x=1 y x=-3 y que corta a su función derivada en x=0. Determinar, asimismo, la naturaleza de los extremos relativos.
b) (5p.) Hallar el valor de , para que la función 𝑓(𝑥) = {
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 𝑒𝜆𝑥2−1
3𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0
sea continua.
16. Sea la función 𝑓(𝑥) = {
2𝑥2+3𝑥
𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑎 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒−1/𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
. Se pide:
a) (3p.) Calcular el valor de a para que la función sea continua. b) (3p.) Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad f(x). c) (4p.) Hallar, si las tiene, sus asíntotas.
17. Dada la función 𝑓(𝑥) = {
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1 3𝑒
−2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 𝑥+1
3 + ln(𝑥 + 1) 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 2
√𝑥2− 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
. Estudiar su derivabilidad
18. 𝑎) lim
𝑥→0 𝐿𝑛 (1+2𝑥)
𝑡𝑎𝑔 3𝑥 ; 𝑏) lim𝑥→0 √1−𝑥2−1
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
19.-Sean las funciones f, g: , definidas por f(x)=|x(x-2)| y g(x)=x+4. Se pide:
a) (5p) Esboza sus gráficas sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
b) (5p) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
20.-Sea la función: 𝒇(𝒙) =𝒙−𝟐
𝒙+𝟐 . Se pide:
a) (4p) Calcular sus asíntotas y estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función
b) (6p) Dibujar el recinto comprendido entre f(x), el eje de abscisas y la recta x=0. Calcular el área del recinto.
21.-Dada la función f(x)=(x-a)· cos (x), hallar el valor de a, sabiendo que ∫𝟎𝝅/𝟐𝒇(𝒙)𝒅𝒙 =𝝅𝟐− 𝟐. 22.- a) (5p) Calcular a para que lim
𝑥→0(cos 𝑎𝑥) 1
𝑥2
⁄ = 𝑒−2
b) (5p) ∫√𝑥+1+1𝑥+1 𝑑𝑥
23.-Sea 𝒇(𝒙) = {𝒂√𝒙 + 𝒃𝒙 𝒔𝒊 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏
𝒄 · 𝑳𝒏𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 1 . Hallar a, b y c, sabiendo que f(x) es continua en su dominio y que la recta
tangente por el punto de abscisas x=1/16 es paralela a la recta
y=-4x+3 y además se cumple que ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐𝟏𝟐 . 24.-Sea la función f(x)= x3-4x2+4x. Se pide:
a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. b) Intervalos de concavidad y convexidad. ¿Tiene algún punto de inflexión?
c) Gráfica del recinto delimitado por la gráfica de f(x) y la bisectriz del primer cuadrante. d) Área del recinto anterior.
25.- Sea la función 𝒇(𝒙) =𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙
𝒙+𝟏 . Se pide:
a) (3p) Calcular los valores a y b, sabiendo que tiene una asíntota oblicua en y=2x+3.
b) (3p) Para los valores encontrados, escribir las rectas tangente y normal en el punto x=0.
c) (4p) Calcular ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 para los valores calculados.
26.- ¿Cuál es el número que sumado con 25 veces su inverso da un valor mínimo?
27.- a) (5p) Sea 𝑓(𝑥) =𝐿𝑛 𝑥𝑥 para x>0 y x≠1. Estudiar y determinar las asíntotas de f(x).
b) (5p) Entre los rectángulos de área 8 m2, hallar las dimensiones del rectángulo para que el producto de sus diagonales
sea mínimo.
28.- a) (5p) Sea la función f: (-∞, 1) definida por 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 2𝑒
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑎√𝑏 − 𝑥 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1. Determinar a y b para f(x) sea
10
b) (5p) El área del recinto de la función f(x) = a·(x2-2x), siendo a>0, y el eje OX es 12 u2. Hallar a.
29.-Sea f(x)=(x+1)·e-x. Determinar:
a) (5p) Los extremos y si existen los puntos de inflexión y de dichas función y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) (3p) Las asíntotas
11
CURSO 12-13
1.-Calcular las asíntotas de las funciones: 𝑎) 𝑓(𝑥) =𝑒−𝑥
1−𝑥; 𝑏) 𝑔(𝑥) = 2𝑥2−𝑥
𝑥2−𝑥3
2.-Estudiar los valores de a que hacen que la función 𝑓(𝑥) = {
𝑥2+ 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 𝜋
(𝑥 − 𝜋)2+ 1 𝑠𝑖 𝜋 ≤ 𝑥 sea continua.
3.-Estudiar la continuidad de la función𝒈(𝒙) = { |𝟑 − 𝒙| 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟕 𝒂𝒙 + 𝟒 𝒔𝒊 𝟕 < 𝑥 ≤ 10. 4. − 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 lim
𝑥→∞
12𝑥2√𝑥2− 7𝑥
√9𝑥6+ 5𝑥 = ;
5. − 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 lim
𝑥→∞√𝑥
2+ 𝑎𝑥 + 1 − 𝑥 = 2
6.-Sea la función
c
x
bx
ax
x
g
3 2 25
)
(
.a) Determinar a, b y c, sabiendo que x=2 e y=3x+2 son asíntotas.
b) ¿Tiene otras asíntotas? Justifica tu respuesta y, en caso afirmativo, determínelas.
7.-Sea
8
4
32
8
0
)
(
2x
si
x
x
x
si
ax
x
f
. Se pide:a) Dominio de la función b) Hallar a para que sea continua en su todo su dominio
8.-Sea
2 31
)
(
x
x
x
f
. Calcular las asíntotas9.-Calcula los siguientes límites:
1) lim
𝑥→1
1 − 𝑥√𝑥
1 − 𝑥2 = 2) lim 𝑥→∞ (
𝑥2+ 3
1 + 𝑥2) √𝑥
= 3) lim
𝑥→∞ (
2𝑥2+ 1
𝑥2+ 𝑥) √𝑥2+1−𝑥
=
10. Se considera la función derivable f: , definida por 𝑓(𝑥) = {1 +
𝑎
𝑥−2𝑠𝑖𝑥 < 1
𝑎 + 𝑏
√𝑥𝑠𝑖𝑥 ≥ 1
. Calcula los valores de a y b.
11.-Sea la función f: , definida por f(x)=ex(x2-x+1). a. (3p.) Calcula 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞𝒇(𝒙)y 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞𝒇(𝒙)
b. (5p.) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son
máximos o mínimos.
c. (2p.) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de f.
12. Se pide:
a) Dada la función f(x)=cos2 (3x). Hallar las rectas tangente y normal a la misma en el punto de abscisas π/12. b) Hallar los extremos relativos y puntos de inflexión, si existen, de la función g(x)=2x3-3x2-12x-5.
13. Se pide:
a) (5p.) Calcular las asíntotas de la función 𝒇(𝒙) =𝟐𝒙𝟐+𝟑
𝒙𝟐−𝟒 .
b) (5p.) Hallar k para que 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒆𝒙−𝒆−𝒙+𝒌𝒙
𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝟐
14. Dada la función 𝒇(𝒙) =√𝒙𝟐−𝟗
𝒙−𝟏 . Se pide:
a) (2p.)Dominio de la función f y puntos de corte con los ejes. b) (3p.)Estudiar las asíntotas de la función
c) (3p.)Intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus extremos relativos si los tiene. d) (2p.)Gráfica de la función.
15.-Se pide:
a) (5p.)Dada la función:𝒇(𝒙) =𝟑𝒙+𝑳𝒏(𝒙+𝟏)
√𝒙𝟐−𝟑 .Calcular su Dominio y 𝑥→∞lim𝑓(𝑥).
b) (5p.)Calcular a y b para que la función 𝒈(𝒙) =𝒂𝒙𝟐+𝒃
12 16.-Sea la función f(x)=|x2-1|. Se pide:
a) (3 p.) Estudiar la derivabilidad.
b) (2 p.) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) (5 p.) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas verticales x=-1 y x=1.
17.-Dada la función 𝒇(𝒙) =√𝒙𝟐−𝟗
𝒙−𝟏 , se pide:
a) (2 p.) Dominio de f y puntos de corte con los ejes.
b) (3 p.) Estudio de las asíntotas.
c) (3 p.) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos.
d) (2 p.) Gráfica de f(x).
18.-Se pide:
a) (5 p.)De entre todos los números reales x, y que suman 15, encuentra aquellos para los el producto x2·y sea máximo.
b) (5 p.) ∫ (𝑒𝜋2 𝑠𝑒𝑛𝑥· 𝑠𝑒𝑛𝑥 · 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥
0 . Efectúa el cambio sen x =t.
19.-Sean las funciones: 𝑓(𝑥) =3𝑥+𝐿𝑛(𝑥+1)
√𝑥2−3 ; 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝜋). Se pide:
a) (5 p.) Hallar el dominio de f(x) y el lim
𝑥→∞𝑓(𝑥).
b) (5 p.) Calcular, en el intervalo (0,2π), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y las coordenadas de
los extremos relativos de g(x)
20.-Sea la función 𝑓(𝑥) = {2𝑥2+ 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
𝐿𝑛𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 1. Determinar a y b, sabiendo que f(x) es continua en todo y tiene un
extremo relativo en x=0.
21.- Dada la función 𝑓(𝑥) =2𝑥2+3
𝑥2−4 . Se pide:
a) Dominio de f(x) y puntos de corte con los ejes. b) Hallar las asíntotas.
c) Determinar los intervalos de crecimiento y los extremos relativos. d) Representar gráficamente.
22.- Representar y calcular el área del recinto limitado por f(x)=3x-x2 y su recta normal en el punto (3,0).
23.-Sean f(x)=ex+1 y g(x)=e-x+5. Se pide:
a) Determinar los puntos de corte de las funciones f y g. b) Representar ambas funciones en los mismos ejes. c) Área limitada entre f(x) y g(x) y las rectas x=1 y x=3.
24.-Dada la función
𝒇(𝒙) =
𝒂𝒆𝟐𝒙
𝟏+𝒙
. Se pide:
a) Calcular a para que la pendiente de la recta tangente por x=0 valga 2. b) Para a=1, estudiar sus extremos y el crecimiento y decrecimiento de f(x). c) Para a=1, hallar sus asíntotas.
25.-De todas las primitivas de la función 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥
1+𝑒𝑥, encontrar la que pasa por el punto (0,1).
26.-Calcule a para que lim
𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)
𝑥 = lim𝑥→0 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)−1
𝑥2 .
27.-Dada la función 𝑓(𝑥) = {
2𝑥2+3𝑥
𝑥−1 , 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑎 , 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒−1𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > 0
, se pide:
a) (3 p.) Determinar el valor de a que f sea continua en x=0. b) (3 p.) Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad de f en x=0. c) (4 p.) Hallar, si las tiene, las asíntotas de la gráfica y=f(x).
13
b) La recta tangente a la gráfica de p(x) en el punto de abscisas x=0 sea y=x+3.
29.-Se considera la función 𝑓(𝒙) = {𝒂𝒙
𝟐+ 𝒃 𝒔𝒊 𝒙 < 2 𝟏
𝒙𝟐 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟐
, se pide:
a) (5 p.) Calcular a y b para que f sea continua y derivable en todo .
14
CURSO 11-12
1.- Calcula los siguientes límites:a) lim
𝑥→0
√1+𝑡𝑔𝑥−√1−𝑡𝑔𝑥
𝑥 ; 𝑏) lim𝑥→0(𝑥
4+ 𝑒𝑥)1⁄𝑥
2.-Se pide:
a) Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑘·𝑒𝑥
1+𝑥2. Calcular el valor de k para que la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa
x=0 valga 3.Para el valor calculado de k, calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Dada la función 𝑓(𝑥) =𝑙𝑛 𝑥𝑥 , determinar sus extremos relativos y puntos de inflexión.
3.-Sea f: (0,+) la función definida por f(x)=ln(x2+3x).
a) (4 p.) Determina, si existen, los puntos de la gráfica f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta
de ecuación x-2y+1=0.
b) (3 p.) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=3.
c) (3 p.) Calcula el dominio de la función y los puntos de corte con los ejes
4.-Dada la función 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥4+1
𝑥3 . Se pide:
a) (4 p.) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x=1. Para ese valor de a obtener
los otros puntos en que f tiene extremos relativos. b) (4 p.) Obtener las asíntotas de la gráfica de f(x) para a=1.
c) (2 p.) Esbozar la gráfica de la función para a=1.
5.-Dada la función f: definida por f(x)=ax3+bx2+cx, determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0), y que la recta normal en ese punto tiene por ecuación 3y-x+1=0.
6.-a) (5 p.) Se sabe que lim
𝑥→0
3𝑥−𝑚𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥2 es finito. Calcula el valor de m y hallar el límite.
b) (5 p.) lim
𝑥→0+𝑥 · 𝑒 1 𝑥
7.-Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥2−3𝑥+3
𝑥−1 .
a) (7 p.) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y
convexidad y sus asíntotas. b) (3 p.) Esbozar su gráfica.
8.-Determina la primitiva de la función f(x)=x·(1-Ln(x)) cuya gráfica pasa por el punto (1,1)
9.-Determina la función f(x) sabiendo que f’(x)= Ln [(x+3)(x+1)] y que f(0)=Ln27.
11.-Dada la función𝑓(𝑥) = {
𝑒−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
1 − 𝑥2 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1 2
𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
Se pide:
a) Estudiar la continuidad. Representar la función f(x).
b) Hallar la recta normal que pase por el punto de abscisas x=0.
c) Calcular el área del recinto determinado por la recta x=-1, f(x), la recta tangente por el punto de abscisas x=0.
12.-Calcular el área de la región limitada por la función f(x)=x3-x+1, el eje de ordenadas y la recta tangente a la gráfica que
pasa por el punto de abscisas x=1. (Esbozar la gráfica previamente). 13.-Hallar los parámetros reales a y b para que la función 𝑓(𝑥) = {
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)−𝑎𝑥
𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑥2+ 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 sea continua en .
14.-Sea la función f(x)=x2·e-2x. Se pide:
a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos, si existen. Esbozar su gráfica. b) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
15.- a) Hallar valores de m para que la función 𝑓(𝑥) = {𝑚2· 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑒−𝑚𝑥− 1 𝑠𝑖 𝑥 > 0 sea derivable en toda la recta real. (Explicitar las
15
b) Dada la función g(x)=ax2+bx+c, determinar los valores a, b y c para que se cumplan las siguientes condiciones: la gráfica de g(x) pasa por el punto (0, 4); la recta y=-4x+7 sea tangente a la gráfica de g(x) en el punto de abscisa x=1.
16.-Resolver: a) lim
𝑥→0
cos(2𝑥)−𝑒𝑥−𝑥
𝑥·𝑠𝑒𝑛(𝑥) b) lim𝑥→1( 1 𝐿𝑛(𝑥)−
2 𝑥2−1)
17.-Sea 𝑓(𝑥) =𝐿𝑛(𝑥)
𝑥 . Determinar:
a) Dominio de la función; Asíntotas.
b) Extremos relativos y punto de inflexión. Esbozar su gráfica. c) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 . 12
18.- Representar la región determinada en cada caso por las funciones y calcular el área de dicho recinto: f(x)=x2-4 y g(x)=3x
19.-Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥4+1
𝑥3 . Se pide:
a) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x=1.
b) Para el valor obtenido en el apartado anterior, obtener los otros puntos en que f tiene extremos relativos. c) Obtener las asíntotas de la gráfica de f(x) para a=1.
d) Gráfica de f(x) para a=1.
20.-Sean f, g: ℜ → ℜ, las funciones definidas por 𝑓(𝑥) =1
4𝑥
2+ 4 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2− 1.
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=-2. b) Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta y=x+5. c) Calcular el área de dicho recinto.
22.-Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥4+1
𝑥3 . Determinar el valor de a para el que la función tiene un mínimo en x=1. Para ese valor de a,
obtener los otros puntos en que la función tiene extremos relativos. Obtener las asíntotas para a=1 y esbozar si gráfica.
23.-Dada la función 𝑓(𝑥) =𝑥2+2
𝑥2+1. Se pide:
a) Hallar los intervalos de Crecimiento y Decrecimiento. Hallar su punto de inflexión. b) Estudiar las asíntotas y representa gráficamente la función.
16
Curso 2010-11 1.-Calcula
lim
𝑥→∞
(2 −
4𝑥−14𝑥
)
3𝑥+2a) lim
𝑥→33−√6+𝑥
𝑥2−2𝑥−3
=
b) lim
𝑥→−1+
(
2𝑥2−1 2
−
1 𝑥−1
)
1 (𝑥+1)2
=
c) lim
𝑥→−2(
2𝑥+1
𝑥+2
) =
d) lim
𝑥→1 1−𝑥√𝑥1−𝑥2
=
2.- Dada la función
𝒇(𝒙) =
|𝒙𝟐−𝟐𝒙|
𝒙−𝟐 . Calcula su límite para los valores -∞, 0, 2.
3.-Calcular el valor de a, sabiendo que
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞√𝒙
𝟐
+ 𝒙 − √𝒙
𝟐+ 𝒂𝒙 =
𝟑 𝟐4.-Sea la función
𝑓(𝑥) =
3𝑥−4𝑥3+𝑏𝑥2+8𝑥−4 . Se pide:
a) Hallar b, sabiendo que la función es discontinua en x=2. b) Estudiar las discontinuidades.
5.-Dada la función:
𝑓(𝑥) =
|𝑥2−2𝑥|𝑥−2 . Se pide:
a) El dominio de f(x)
b) Define la función a trozos teniendo en cuenta su dominio.
c) Averigua el valor que debe darse a f(2) para que f(x) sea continua en el intervalo [0,2].
6.-Sea la función
𝑓(𝑥) =
{
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
2(𝑥 + 𝑎) 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1
𝑏
𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
. Determina a y b para que sea continua para
todo valor de .
7.-Sea la función
𝑓(𝑥) =
1−√3−𝑥𝑥−2 . Se pide:
a) Dominio de f(x). b)
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥)
c) Asíntotas y ramas parabólicas
8.-Calcula en las funciones siguientes las asíntotas: a) Verticales en f(x)= log (x2-4)
b) Horizontales en
𝑔(𝑥) =
𝑒𝑥 𝑒𝑥+1c) Oblicuas en
ℎ(𝑥) =
−𝑥2+3 𝑥−19.- Sea f la función definida como
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥2+𝑏
𝑎−𝑥
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 𝑎.
a) Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2, 3) y tenga una asíntota oblicua con pendiente −4.
b) Para el caso a = 2, b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
10.- Calcula:
lim
𝑥→0
𝑒𝑥−𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥2
11.- Considera la función f : [0, 4] definida por: 𝑓(𝑥) = {𝑥2+ 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑐𝑥 𝑠𝑖 2 < 𝑥 ≤ 4
a) Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c.
17
12.- Sea f: (0,+) la función definida por f(x) = ln(x2 + 3x), donde ln denota el logaritmo
neperiano.
a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x − 2y + 1 = 0.
b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.
13.- Sea la función f: dada por
𝑓(𝑥) = {
𝑒
𝑥
(𝑥
2+ 𝑎𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑏𝑥2+𝑐𝑥+1
𝑠𝑖 𝑥 > 0
. Calcula las constantes a,
b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =
1 tiene pendiente 3.
14.- Sea f: la función definida como 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1) √3 − 𝑥3 . Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=−5 y en el punto de abscisa x = 2.
15.-Sea f la función definida como 𝑓(𝑥) = 𝑥3
𝑥2−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ ±1.
(a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f.
(b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (c) Esboza la gráfica de f.
16.- Dada la función f: definida como f(x)=a sen (x)+ bx2 +cx + d, determina los valores
de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto (0, 4) y que la segunda derivada de f es f’’(x) = 3 sen(x) − 10.
17.- Considera la función f: definida por 𝑓(𝑥) = {
𝑒−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 1 − 𝑥2 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1
2
𝑥+1 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥
. Estudia su continuidad y
derivabilidad. Determina la función derivada de f.
18.-Sea la función f(x)=ax3+bx2+cx+d. Hallar a, b, c, d, sabiendo que el punto (0,1) es un punto
de inflexión de su gráfica, además tiene un mínimo en x=1 y que la recta tangente por el punto de abscisa 2 es perpendicular a la recta y+x=3.
19.-Sea la función f(x)=x+e-x. Se pide:
a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, indicar cuáles son los extremos relativos. b) Intervalos de concavidad y convexidad.
c) Asíntotas.
d) Esboza la gráfica.
20.-Sea la función
𝑓(𝑥) = {
𝑥(𝐿𝑛𝑥)2(𝑥−1)2
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1
𝑎 𝑠𝑖 𝑥 = 1
.a) Calcular el valor de a sabiendo que f(x) es continua. b) Estudiar la existencia de asíntotas horizontales.
21.-Calcular “a” para que se verifique la siguiente igualdad:
lim
𝑥→+∞(
2𝑥+𝑎 2𝑥−1
)
𝑥+5
=
lim
𝑥→0 𝑥2−𝑥3 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
22.-Se considera la función
𝑓(𝑥) = {
𝑥𝐿𝑛𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑎𝑥
2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
, de dicha función se sabe que es continua, que tiene un máximo en el punto de abscisas 1 y que la recta tangente por x=2 es paralela a la recta de ecuación y-2x=0. Calcular a, b y c.23.-Sea la función
𝑓(𝑥) = 𝑥 · √4 − 𝑥
2. Se pide:a) Dominio de f(x)
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos.
c) Intervalos de concavidad y convexidad. ¿Existe algún punto de inflexión? En caso afirmativo calcularlo.
18
24.- a) Hallar el valor de a para que se verifique que 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞(
𝟐𝒙+𝒂 𝟐𝒙−𝟏)
𝒙+𝟓 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎 𝒙𝟐−𝒙𝟑 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙
b) lim
𝑥→0𝑒
𝑥− 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1
1 − 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
=
25.-Dada la función
𝑓(𝑥) = {
𝑒
−𝑥𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
1 − 𝑥
2𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1
2
𝑥+1
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
Se pide:
a) Estudiar la continuidad. Representar la función f(x). b) Hallar la recta tangente que pase por x=0.
c) Calcular el área del recinto determinado por la recta x=-1, f(x), la recta tangente anterior.
26.- Sea la función
𝑓(𝑥) =
𝑥+14−𝑥2 Se pide:
a) Dominio de la función, puntos de corte con los ejes. b) Asíntotas. Puntos de corte con las mismas si existen.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Representación gráfica d) Área del recinto delimitado por la función f(x), el eje OX y la recta x=1
27.- Sea la función 𝑓(𝑥) = {√𝑥𝐿𝑛 𝑥𝑥 + 𝑎 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
. Se pide:
b.1.Determinar a para que f(x) sea continua en . b.2.Puntos de corte con los ejes.
28.-Dada la función 𝑓(𝑥) =𝑥2+2
𝑥2+1. Se pide:
a) Hallar los intervalos de Crecimiento y Decrecimiento. Hallar su punto de inflexión. b) Estudiar las asíntotas y representa gráficamente la función.
c) Calcular el área limitada por la función f(x), el eje OX y las rectas y=x+2 y x=1.
29.- a) Calcular el valor de a>0, sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y=x2+ax y la recta y+x=0 vale 36 u2.
30.-Sea 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥2+𝑏
𝑎−𝑥 , donde x≠a. Se pide:
a) Calcular a y b para que la gráfica de f(x) pase por el punto (2,3) y tenga una asíntota oblicua de pendiente -4.
b) Para el caso de a=2 y b=3, obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal por el punto de abscisa 1.
c) Para el caso de a=1 y b=1, calcular el área del recinto limitado por f(x), la recta y=x+1, x=-1 y x=0.
31.- Se pide:
a) Dada la función 𝒇(𝒙) = { √𝒙·𝑳𝒏𝒙
𝟐𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 0
𝒙 + 𝒌 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟎
. Determinar k para que f(x) sea continua en ℜ.
b) ∫ 𝒙𝟐−𝒙−𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒙
𝟏 𝟎
32.-Dada la función 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐+𝟐
𝒙𝟐+𝟏. Se pide:
a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Hallar el punto de inflexión de f(x)
c) Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica
d) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica f(x), el eje de abscisas y las rectas
y=x+2, x=1.
19
Curso 2009-2010
1.-Calcula los siguientes límites:
1) lim
𝑥→1 1−𝑥√𝑥
1−𝑥2
=
2) lim
𝑥→∞
(
𝑥2+3 1+𝑥2)
√𝑥
=
3) lim
𝑥→∞(
2𝑥2+1 𝑥2+𝑥
)
√𝑥2+1−𝑥
=
2.-Se sabe que una función f(x) tiene una discontinuidad evitable en x=x0 si existe lim 𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿, aunque f(x) no exista o
f(x0) ≠ L. Teniendo en cuenta lo anterior, calcular el valor del parámetro a, sabiendo que la función
𝑓(𝑥) =
−2𝑥2+𝑎𝑥+1
2𝑥2+5𝑥+2
tiene en x=-
una discontinuidad evitable.3.-Halla a y b para que esta función sea continua y represéntala: 𝑓(𝑥) = {
𝑎𝑥2+ 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥 − 𝑎 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1
𝑎
𝑥+ 𝑏 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥
4.-.-En el Laboratorio de Biología de la UJA han determinado que el tamaño T de los ejemplares de una cierta bacteria (medido en micras) varía con el tiempo, siguiendo la ley (función):
𝑇(𝑡) = {
√𝑡 + 𝑎 𝑠𝑖 𝑡 < 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 −3 + √3𝑡 − 15
𝑡 − 8 𝑠𝑖 𝑡 > 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
El parámetro a es una variable biológica cuya interpretación trae de cabeza a los científicos, pero piensan que puede haber un valor para el cual el crecimiento se mantenga continuo en t=8.
a) Decide la cuestión
b) Investiga cuál llegará a ser el tamaño de una bacteria si se la cultiva indefinidamente.
5.-Hallar a y b en la función 𝑓(𝑥) = {
𝑥2+ 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 √𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 2
𝑥+6
2√2 𝑠𝑖 𝑥 > 2
sabiendo que es continua. Estudia la derivabilidad de f(x).
6.-Hallar a y b en la función 𝑓(𝑥) = {
3𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥2+ 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 𝜋
𝑎𝑥2+ 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝜋
sabiendo que es continua. Estudia la derivabilidad de
f(x).
7.-Sea f: la función definida por
𝐟(𝐱) = {
𝟏𝐱−𝟏
𝐬𝐢 𝐱 < 𝟎
𝐱
𝟐− 𝟑𝐱 − 𝟏 𝐬𝐢 𝐱 ≥ 𝟎
a) Estudiar la continuidad y la derivabilidadb) Determinar sus asíntotas y sus extremos relativos c) Esboza la gráfica
8.-a) Calcular:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎𝒙𝟒−(𝟏 𝟑⁄ )𝒙𝟑 𝒙−𝒕𝒈 𝒙
b) Sea f:[1,+∞], definida por
𝐟(𝐱) = √𝐱
𝟐− 𝐱 + 𝐱
. Determina la asíntota de f(x). 9.-Sea f: la función definida por𝐟(𝐱) = 𝐱 + 𝐞
−𝐱. Se pide:a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos o locales b) Intervalos de Concavidad y convexidad
c) Asíntotas de la gráfica
10.-Hallar a, b y c para los cuales la función
𝐟(𝐱) =
𝐚𝐱𝟐+𝐛𝐱+𝐜
𝐱𝟐−𝟒 tiene como asíntota horizontal la recta y=-1 y un mínimo
en (0,1).
11.-Dibujar la gráfica de la función
𝐟(𝐱) =
|𝐱|
𝟐−𝐱
indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y20
12.-Se considera la función real f(x)=x3+ax2+bx+c, donde a, b y c son parámetros reales.
a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gráfica de f(x) en los puntos de abscisas x=2 y x=4 son paralelas al eje OX.
b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valora de c para el que se cumple que el punto de inflexión de la gráfica está en el eje OX.
13.-Calcular:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
(𝟏
𝑳𝒏𝒙
−
𝟐
𝒙−𝟏
) .14.-Se sabe que la función f: definida por 𝐟(𝐱) = {𝟔 − 𝐦(𝐱 + 𝟐)
𝟐 𝐬𝐢 𝐱 ≤ −𝟏
𝟑 + 𝟐
𝐦(𝐱+𝟐) 𝐬𝐢 𝐱 > −1
es derivable. Determina m.
15.-Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙
𝒙𝟐+𝟒 . Se pide:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar la gráfica. b) El área de la región limitada por f, el eje OX y las rectas x=-2 y x=2.
16.-Calcular una función de tercer grado f(x)=ax3+bx2+cx+d, sabiendo que:
a) tiene un máximo relativo en x=1
b) tiene un punto de inflexión en el punto (0,1) c) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =01 54
17.- Considera la parábola de ecuación y=x2+2x-3.
a) Hallar sus rectas tangentes por x=-1 y x=1.
b) Calcular el mínimo de la función, razonadamente; escribe las coordenadas del vértice.
c) Representar la parábola y las rectas tangentes obtenidas y encuentra las intersecciones de la parábola con los ejes.
d) Calcula el área comprendida entre la parábola y las rectas tangentes.
18.-Considera la función 𝒇(𝒙) = {𝒙𝟐+ 𝒙 + 𝒃 𝒔𝒊 𝒙 < 0
𝒂𝒆𝒃𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎 , donde a y b son números reales.
a) ¿Qué condición tiene que cumplir a y b para que la función f(x) sea continua en todo . b) Halle los valores de a y b para los cuales f(x) sea continua pero no derivable.
c) Para a=1 y b=1, calcula ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙−𝟏𝟏
19.-a) Determinar el valor de m para que la recta tangente a la función f(x)=x3+mx en el punto x=0 sea perpendicular a la
recta y+x=3.
b) Representar en los mismos ejes coordenados la función f(x) obtenida en el ap. a) y la función g(x)=x2+3x.
c) Hallar el área del recinto acotado por ambas funciones f(x) y g(x).
20.-Sea
f(x) =
Lnxx2 con
𝑥𝜖(0, +∞)
. Se pide:a) Calcular los intervalos de Crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y asíntotas. Esbozar la gráfica. b) Calcular
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
.21.-Sea f(x)=2x·|4-x|.
a) Estudiar su continuidad y derivabilidad. b) Dibujar su gráfica.
c) Calcular el área del recinto acotado por la función f(x), las rectas x=0 y x=5 y el eje OX.
22.-Calcular:
Lim
𝑥→0
𝑥2𝑒𝑥
21
CURSO 2008-2009
1.-Sea la función f:, definida por
2 2 2
3
3
)
(
axx
x
x
x
f
. Determinar “a” para que la gráfica de ftenga una asíntota horizontal en la recta y=2.
2.-Sea la función
c
x
bx
ax
x
g
3 2 25
)
(
.a) Determinar a, b y c, sabiendo que x=2 e y=3x+2 son asíntotas.
b) ¿Tiene otras asíntotas? Justifica tu respuesta y, en caso afirmativo, determínelas.
3.-Dada la función
1
2
2
)
(
2x
x
Ln
x
h
. Determine el dominio de la función h(x) y los puntos decorte con los ejes.
4.-Sea la función
f
(
x
)
x
·
x
4
, redefínala y represéntela gráficamente.5.-Esboce la gráfica de la función cuyas principales características son: a) Tiene asíntotas verticales en x=3
b) Si x∞, se cumple que f(x)0 c) f(-4)=f(4)=25/16
d) Es creciente: (-∞,-3) (-3,0) e) Es decreciente: (0,3) (3, +∞)
f) Se sabe que f(0)=0, siendo un extremo relativo.
6.-Sea f(x)=e-x/2 la función. Hallar la recta tangente a dicha función por el punto cuya imagen es 1.
7.-Sea
8
4
32
8
0
)
(
2x
si
x
x
x
si
ax
x
f
. Se pide:a) Dominio de la función
b) Hallar a para que sea continua en su todo su dominio c) Hallar su derivada. ¿Es derivable en todos sus puntos?
8.-Calcular a y b para que la función
a
x
bx
x
f
)
(
tenga una asíntota vertical en x=2 y una asíntota horizontal en y=3. Una vez calculados (a y b), hallar si existen extremos relativos.9.-Sea
2 31
)
(
x
x
x
f
. Se pide:a) Calcular las asíntotas
b) Determinar los intervalos de Crecimiento y Decrecimiento c) Máximos y mínimos relativos
d) Puntos de inflexión y la recta normal por ellos. e) Dibuja y/o esboza la función.
10.-Sea f: la función definida por f(x)=(3x-2x2)·ex.
a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
22 11.-Dada la función f definida para x0
1
1
)
(
xxe
e
x
f
. Determina las asíntotas de su gráfica.12.-Sean f: y g: las funciones f(x)=x2+ax+b y g(x)=c·e-(x+1). Se sabe que f y g se
cortan en el punto (-1,2) y tienen en ese punto la misma recta tangente. a) Calcula a, b y c.
b) Halla la ecuación de dicha recta tangente.
13.-Sea f:[0,4] definida por
2
4
2
3
)
(
2 2
x
si
bx
x
x
si
x
ax
x
f
a) Determinar a y b, sabiendo que f derivable en .
b) Determinar las rectas tangente y normal en el punto abscisas 3.
14.-Sea f:[0,2], la función definida por f(x)=ex·(senx + cosx).
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Calcula los puntos de inflexión de la gráfica f.
15.-Sea la función definida para x0 por f(x)=x · ex. Determinar las asíntotas de la gráfica de f.
¿Tiene extremos relativos?, en caso afirmativo calcularlos.
16.-Calcula:
1
2
x
2x
·
x
1
dx
17.-Sean f: y g: definidas por: f(x)=x2 -1; g(x)=2x+2.
a) Esboza la gráfica de f y g.
b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.
18.- Sean f: y g: definidas por: f(x)=x2; g(x)=a (con a>0). Se sabe que el área del
recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es . Calcular el valor de la constante a.
19.-Sean f: (0,/2) y g: (0,+) definidas por:
x
x
sen
x
f
3cos
)
(
y g(x)=x3·Ln x.a) Halla la primitiva de f que toma el valor 1 cuando x=/3.
b) Calcula
1
1
g
(
x
)
dx
.20.- Dadas las funciones f y g: [0,+∞), definidas por: 3
)
(
)
(
x
x
y
g
x
x
f
. Calcula el áreadel recinto limitado por las gráficas de f y g, (esboza previamente las gráficas).
21.-Sea f: la función definida por: f(x)=ax3+bx2+cx+d. Se sabe que f tiene un máximo local
en x=1, que el punto (0,1) es un punto de inflexión de su gráfica y que
1
0
4
9
)
(
x
dx
f
. Calcula a, b,c y d.
22.-Sea g:(0,+∞) la función dada por g(x)= lnx (ln denota logaritmo neperiano).
a) Justifica que la recta de ecuación
x
e
y
1
es la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x=e.b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado anterior.
23
24.-Determina los valores de los parámetros a, b para que la función: f(x)=(ax2 +bx)·e-x,
tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x=3 y además pase por el punto (1,-1/e). Halla la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x= 0.
25.-Calcula la integral definida
0
e
sen
(
x
)
dx
x26.-Calcula el área determinada por la gráfica de la función f(x)=x3-9x y el eje de abscisas.
27.-a) Halla los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función:
1
3
3
)
(
22
x
x
x
x
f
b) Determinar una función F(x) tal que su derivada sea f(x) y además F(0)=4.
28.-Dadas las funciones f(x)=x2-ax-4 y g(x)=
x
b
2
2
. Se pide:
a) Calcula a y b de manera que las gráficas f(x) y g(x) sean tangentes en el punto de abscisas x=3, es decir, que tengan la misma recta tangente en ese punto.
b) Halla la ecuación de la recta tangente encontrada en el apartado anterior.
c) Para el valor de a obtenido en el primer apartado, calcula el valor del área de la región limitada por el eje de abscisas OX y la función f(x).
29.-Sea f: la función definida por:
0
1
3
0
1
1
)
(
2
x
si
x
x
x
si
x
x
f
a) Estudia su continuidad y derivabilidad.
24
OTROS CURSOS
1.- Sea f : (0,+∞) la función definida por
x
x
x
f
(
)
3
1
(a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
(b) Calcula el punto de inflexión de la gráfica de f.
2.- Sea f : R R la función definida por f(x) = x ·|x − 2|.
(a) Estudia la derivabilidad de f en x = 2. (b) Esboza la gráfica de f.
(c) Calcula el área del recinto limitado por la grafica de f y el eje de abscisas.
3.-Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x3 + 3x2 y g(x) = x + 3.
a) Esboza las gráficas de f y de g calculando sus puntos de corte.
b) Calcula el área de cada uno de los dos recintos limitados entre las gráficas de f y g.
4.- Sea f: (0,+∞) R la función definida por f(x) = x2 · Ln (x) (Ln denota la función logaritmo
neperiano).
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa
x
e
.5.- Considera las funciones f: R R y g : R R definidas por f(x) = ex-1 y g(x) = e1-x .
a) Esboza las gráficas de f y de g y determina su punto de corte.
b) Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas de f y g.
6.- Sea f: R R la función definida por f(x) = x(x − 3)2.
a) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Haz un esbozo de la gráfica de f.
c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.
7.-Sea f: R R la función definida por f(x) = 2x3 + 12x2 + ax + b. Determina a y b sabiendo que
la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta y = 2x + 3.
8.-Dada la función f : R R definida por f(x) = Ln (1 + x2),
a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función).
b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión de abscisa negativa.
c) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas
9.-Determina una función f: R R sabiendo que su derivada viene dada por f′(x) = x2 +x−6 y que
el valor que alcanza f en su punto de máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo).
10.- Sea f : (−1,+∞) R la función definida por f(x) = Ln (x + 1) (Ln denota la función logaritmo neperiano).
a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta x = 1.
12.- Sea f: R → R la función definida por f(x) = (x − 3)· eX.
