Universidad Nacional Experimental de Guayana Vicerrectorado Puerto Ordaz
Educación mención matemática Asignatura: Matemática General II Semestre – Sección 01
Profesora: Tahirí Corazzelli Tema: aritmética elemental
1. Relaciones de orden en
Para comparar números racionales se considera el producto cruzado de sus elementos. En este sentido, si y son dos números racionales, siendo los denominadores y enteros positivos, tenemos que:
Ejemplos:
a. ya que
b. ya que
c. ya que
( ) ( )
2. Expresión decimal de una fracción y su clasificación
Los números racionales pueden ser representados tanto por fracciones como por decimales. Estos números decimales son el cociente de números racionales o el resultado de una fracción común.
Veamos cómo realizar conversiones entre estas dos representaciones de números racionales.
2.1 Conversión de fracciones a decimales
Para convertir fracciones a decimales basta con efectuar la división del numerador entre el denominador.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
2.2 Clasificación de un número decimal
Existen dos tipos de números decimales los exactos o los inexactos.
2.2.1 Números decimales exactos
Son los que tienen un número finito o limitado de cifras decimales. Se puede apreciar en:
El ejemplo a) que es un número con una cifra decimal.
El ejemplo b) que es un número con dos cifras decimales.
El ejemplo c) que 1,125 es un número con una cifra entera y tres cifras decimales.
Por lo que estos números se consideran números decimales exactos.
2.2.2 Números decimales inexactos
Son los que tienen un número infinito o ilimitado de cifras decimales. En estos números los puntos suspensivos indican que existe un número infinito de cifras o que el residuo de la división nunca es cero. Se aprecia en:
El ejemplo d) que el número posee puntos suspensivos lo cual indica que el número posee infinitas cifras decimales las cuales todas son iguales a .
Otros ejemplos de números decimales inexactos son:
2.2.2.1Números decimales inexactos periódicos:
Dentro de los números decimales inexactos se encuentran los decimales inexactos periódicos que son los números decimales que tienen una o más cifras que se repiten indefinidamente después del punto o de una cierta cifra decimal. La cifra o cifras repetidas reciben el nombre de periodo.
Ejemplos:
Los números decimales periódicos se expresan de la forma a) ̂ donde el periodo consta solo de una cifra.
b) ̂ donde el periodo es (consta de dos cifras) y la parte no periódica es (llamada anteperiodo).
c) ̂ donde es la parte entera, la parte no periódica llamada anteperiodo y el periodo.
2.2.2.2 Números decimales inexactos no periódicos
Es un número decimal que no tiene un periodo. Estos números no son representación de un número racional o fracción más bien representan a los números irracionales (números que no se expresan como el cociente de dos números enteros). Ejemplo:
√
3. Expresión fraccionaria o racional de un número decimal
Todo número racional o fracción común puede escribirse como un número decimal exacto o inexacto periódico.
Un número decimal representa a infinitas fracciones equivalentes, por ejemplo:
Por ello es necesario definir fracción generatriz.
3.1 Fracción generatriz
Se denomina fracción generatriz de un número decimal a la fracción irreducible que lo genera.
Ejemplo:
a) es la fracción generatriz de poque y es irreducible.
b) es la fracción generatriz de ̂ porque ̂ y es irreducible.
c) por lo que se pudiera pensar que es la fracción generatriz de sin embargo no es así debido a que
se puede reducir a , siendo entonces la fracción generatriz de debido a que y es irreducible.
3.2 Conversión de un número decimal exacto a fracción
Para hallar la fracción generatriz de un número decimal exacto o decimal limitado, basta con formar una fracción con numerador el número decimal sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número y luego simplificarla.
Ejemplos:
Hallemos la fracción generatriz de algunos números decimales exactos.
a)
b)
c)
d)
También es posible hallar la fracción generatriz de la forma:
3.3 Conversión de un número decimal inexacto periódico a fracción Existen dos tipos de decimales periódicos
número decimal sin la coma
unidad seguida de dos ceros, porque hay dos decimales.
fracción generatriz
número decimal sin la coma
unidad seguida de tres ceros, porque hay tres decimales.
fracción generatriz
fracción generatriz
fracción generatriz
Decimales periódicos puros: que son aquellos en los cuales el período comienza en las décimas, por ejemplo:
̂ ̂ ̂
Decimales periódicos mixtos: son aquellos en los cuales el periodo comienza después de las décimas y se caracterizan por tener un anteperíodo, por ejemplo:
̂ ̂ ̂
El anteperíodo de un número decimal periódico mixto se le llama a la cifra o grupo de cifras decimales que no se repiten.
3.3.1 Conversión de un número decimal periódico puro a fracción
Para hallar la fracción generatriz de un número decimal periódico puro se forma una fracción cuyo numerador sea el período y en el denominador se escriben tantos como cifras tenga el periodo.
Luego, se simplifica si es posible.
Ejemplos:
Hallemos la fracción generatriz de algunos números decimales periódicos puros a) ̂
Período:
Número de cifras del período:
Por lo tanto se forma una fracción cuyo numerador será el período, es decir , y el denominador tendrá dos debido a que el período posee dos cifras, esto es:
̂ Simplificamos la fracción
b) ̂
Lo primero que haremos será separar la parte entera y la parte decimal, es decir:
̂ ̂
Esto debido a que la fracción que formamos que tiene como numerador el período y denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo, representa la fracción generatriz de
̂
fracción generatriz
Parte entera Anteperíodo
Período Período
Anteperíodo
Parte entera Parte entera
Anteperíodo
Período
la parte decimal solamente, por lo que se hace necesario separar la parte entera de la parte decimal cuando la parte entera sea un número distinto de cero. Ahora, se observa que:
Período:
Número de cifras del período:
Por lo tanto construimos la fracción con numerador igual al período y denominador igual a debido a que el período posee tres cifras, esto es:
̂ ̂
Fracción generatriz
3.3.2 Conversión de un número decimal periódico mixto a fracción Para hallar la fracción generatriz de un número decimal periódico mixto se debe:
1. Transformar el número decimal periódico mixto a un número decimal periódico puro multiplicándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.
2. Hallar la fracción generatriz del número decimal periódico puro obtenido en el paso uno.
3. Dividir la fracción obtenida en el paso 2 entre el número utilizado en el paso uno.
Ejemplos:
Hallemos la fracción generatriz de algunos números decimales periódicos mixtos a) ̂
Anteperíodo:
Número de cifras del anteperíodo:
Período:
Número de cifras del período:
Lo primero que haremos será transformar el número decimal periódico mixto a decimal periódico puro, para esto multiplicamos el número dado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo, en este caso el anteperíodo posee una cifra, así que multiplicamos por :
̂ ̂
Por lo que hemos obtenido un decimal periódico puro del cual ya sabemos hallar su fracción generatriz debido a que lo estudiamos en el caso anterior, así que:
̂ ̂
Formamos la fracción que tiene como numerados el período y denominador un solo , esto es:
̂ ̂
Por último dividimos la fracción obtenida entre el número que usamos para multiplicar el decimal periódico mixto, es decir entre , así:
Por lo que
̂
Fracción generatriz b) ̂
Transformamos el número decimal periódico mixto a periódico puro multiplicando por la unidad seguida de tantas ceros como cifras tenga el anteperíodo, por lo que multiplicamos por , así:
̂ ̂
Como ahora tenemos un decimal periódico puro, procedemos a aplicar el procedimiento correspondiente para hallar su fracción generatriz:
̂ ̂
Para obtener la fracción generatriz del decimal periódico mixto dado al inicio, dividimos la fracción obtenida en el paso anterior entre el número que usamos para multiplicar el decimal periódico mixto, es decir entre , así:
Obteniendo así que:
̂
Fracción generatriz
4. Redondeo o aproximación de expresiones decimales
Los números o expresiones decimales pueden tener muchas cifras en su parte decimal y muchas veces o tiene sentido trabajar con todas estas cifras debido a que a partir de un punto representan partes muy pequeñas que no afectara si las quitamos. Es por esto que existe un método para aproximar estos números decimales de la forma más precisa posible, el cual es conocido como redondeo. Veamos en que consiste este método de redondeo a través de unos ejemplos:
a) Supongamos que el número decimal
Anteperíodo:
Número de cifras del anteperíodo:
Período:
Número de cifras del período:
Queremos aproximarlo a un número con solo cuatro cifras decimales.
Lo primero que haremos será fijar la atención en las cuatro primeras cifras decimales:
⏞
Luego observaremos la siguiente cifra decimal a la derecha de las requeridas:
⏞
Si esta es mayor o igual que cinco, el último dígito de las cuatro cifras decimales requeridas se aumenta una unidad. Y si por el contrario es menor que cinco, la última cifra de las cuatro requeridas no cambia.
Por lo que ahora como la siguiente cifra a la derecha de las cuatro cifras decimales requeridas es ocho y como ocho es mayor que cinco ( ), la última cifra decimal requerida que es un dos se transforma en tres y se elimina el resto de los decimales, esto es:
⏞
Habiendo obtenido así un número aproximado al número decimal dado, lo cual puede escribirse de la forma:
Y se lee “ es aproximadamente igual a ”. Es importante aclarar que ambos números no son iguales, es simplemente un número que se puede considerar lo suficientemente cerca a .
b) Aproximemos el número
A una expresión decimal con dos cifras.
Paso 1: apartamos o fijamos la atención en las dos primeras cifras decimales requeridas y en la cifra decimal siguiente a las requeridas, esto es:
⏞
Paso 2: como la siguiente cifra a la derecha de las cifras decimales requeridas es uno y entonces se dejan las cifras requeridas exactamente iguales a como están pero se elimina el resto de los decimales, esto es:
⏞ Por lo que podemos afirmar que:
5. Operaciones básicas con expresiones decimales
5.1 Suma y restaPara sumar o restar expresiones decimales se acomodan los elementos de la operación en forma vertical con el punto decimal como referencia y se hacen coincidir las clases, para después efectuar las operaciones correspondientes. Cuando se dice “se hacen coincidir las clases” hace referencia a unidades con unidades, decenas con decenas, décimos con décimos y así. Es importante que recuerde que un número decimal posee:
Parte entera o unidades Decimales
Centenas Decenas Unidades Décimos Centésimos Milésimos Diez milésimos Cien milésimos Millonésimos
Así el número:
Está formado por:
Decenas Unidades Décimos Centésimos Milésimos
Cinco decenas, dos unidades, un décimo, cuatro centésimos y cinco milésimos.
Ejemplos:
a) Calcule
Acomodamos las cantidades de manera vertical y ordenada, y se efectúan las operaciones columna por columna de derecha a izquierda:
Aquí estaría ubicada la coma para los números decimales
8
Por lo que el resultado de la operación es b) Calcule
Acomodamos los números sin olvidar que la coma es nuestra referencia y por último se efectúa la operación:
Por lo que el resultado es
5.2 Multiplicación
Se multiplican los números decimales como si fuesen números enteros y una vez obtenido el producto le separamos de derecha a izquierda, con una coma, tantas cifras como tienen, en total, a la derecha de la coma, ambos factores.
Ejemplos:
a) Efectúe la operación
Se tratan los números decimales como si fuesen números enteros y se efectúa la multiplicación, esto es:
Contamos las cifras que se encuentran a la derecha de la coma en los factores:
: posee dos cifras a la derecha de la coma : posee una cifra a la derecha de la coma
Por lo que la coma se coloca en el resultado obtenido tres lugares de derecha a izquierda. Siendo el resultado:
b) Realice la operación
Se tratan los números decimales como si fuesen números enteros y se efectúa la multiplicación, esto es:
Contamos las cifras a la derecha de la coma de cada factor que interviene en la operación:
: posee dos cifras a la derecha de la coma 4,56: posee dos cifras a la derecha de la coma
Por lo que colocamos la coma cuatro lugares de derecha a izquierda en el número obtenido.
Siendo:
5.2.1 Multiplicación por múltiplos de
Cuando se multiplica una cantidad por un múltiplo de ( ), la coma decimal se corre hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el múltiplo de .
Ejemplos:
Efectuar la multiplicación de:
a)
El número es un múltiplo de y está formado por dos ceros, por lo tanto la coma se corre dos lugares a la derecha de su posición inicial y se obtiene:
b)
El número es un múltiplo de y está formado por cuatro ceros, por lo tanto la coma se corre cuatro lugares a la derecha de su posición inicial y se rellena el espacio vacío con un cero obteniéndose:
5.3 División
5.31 División de un número decimal entre un número entero Para dividir un número decimal entre un número entero se debe:
a. Dividir la parte entera del número decimal entre el divisor.
b. Al llegar a la coma, ésta se debe colocar en el cociente y se continúa la operación como si fuesen números enteros.
c. Si la parte entera del número decimal es menor que el divisor entonces la primera cifra del cociente es un cero seguido de una coma, y para poder efectuar la división se toma una cifra más del dividendo.
Ejemplos:
Calcule el cociente de:
a)
Recuerde que es el dividendo y es el divisor, además la parte entera del número decimal (divisor) es el cual es mayor que (divisor), por tanto efectuamos el paso y :
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Así el cociente de la división es y el residuo es . b)
Observe que el divisor es mayor que la parte entera del número decimal por lo que debemos efectuar el paso c)
5.31 División de un número entero entre un número decimal
Se multiplica el divisor por según se necesite para hacerlo entero, esta cantidad por la que se multiplicó el divisor también se multiplica por el dividendo y posteriormente se efectúa la división.
Ejemplos:
Calcula
a)
Paso 5
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Observe que el número decimal tiene la coma dos espacio a la derecha, por lo que debemos multiplicarlo por para volverlo un número entero, y al mismo tiempo multiplicar el dividendo por , esto es:
Así efectuando la división ya conocida tenemos:
Por tanto el resultado es:
6. Razón y proporción
6.1 Cantidades proporcionales
Si se tienen cantidades tales que al multiplicar una de ellas por un número la otra queda multiplicada por el mismo número, o al dividir una de ellas la otra queda dividida por el mismo número, se dice que las cantidades son directamente proporcionales.
Ejemplos:
a) Si lápices cuestan entonces lápices costarán el doble, es decir, ; esto debio a que al multiplicar el número de lápices por el costo también quedó multiplicado por . Por lo tanto, las cantidades son directamente proporcionales.
b) Un automóvil recorre en a velocidad constante; entonces, en recorrerá la mitad, esto es , ambas cantidades quedaron divididas por , entonces se dice que son directamente proporcionales.
6.2 Cantidades inversamente proporcionales
Si se tienen cantidades tales que al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número, o al dividir una de ellas la otra queda multiplicada por el mismo número, entonces, las cantidades son inversamente proporcionales.
Ejemplo:
a) Si hombres construyen un barco en días, entonces hombres construirán el mismo barco en el triple de tiempo, es decir días. Al dividir el número de hombres por , el
número de días quedó multiplicado por , por lo que las cantidades son inversamente proporcionales.
6.3 Razón
Es el cociente entre dos cantidades. Para las cantidades y se tiene que la razón está dada por:
Siendo .
Observación: Una razón es una relación entre dos números, que dan un cociente abstracto, es decir, no especifica unidades de referencia. Mientras que una fracción especifica un número concreto, es decir, su cociente expresa las partes de una unidad.
6.4 Razón de proporcionalidad
Si y son dos cantidades directamente proporcionales, la razón recibe el nombre de razón de proporcionalidad, la cual siempre es constante.
Ejemplo:
Si libros de matemática cuestan , la razón de proporcionalidad es de , ya que:
Observación: la cantidad de libros es directamente proporcional al precio por lo que podemos hablar de una razón de proporcionalidad.
6.5 Proporción
Es la igualdad entre dos razones. Dadas las razones:
La proporción entre ellas está dada por:
Y se lee “ es a como es a ”. Observe que una proporción contiene cuatro términos ( ).
Ejemplo:
es a como es a , se escribe de la forma:
Al simplificar estas fracciones se obtiene:
Que viene siendo la razón de proporcionalidad.
7. Regla de tres simple
Esta es una operación que se utiliza para encontrar el cuarto término de una proporción (los otros tres se suponen que son conocidos y el cuarto está por determinar). A la parte que contiene los datos conocidos se le llama supuesto y a la que contienen el dato no conocido se le llama pregunta.
7.1 Regla de tres directa
Se utiliza cuando las cantidades son directamente proporcionales.
Ejemplo:
a) Si teléfonos cuestan ¿Cuánto costarán 18 teléfonos?
Supuesto: teléfonos cuestan Pregunta: teléfonos cuestan
Observe que las cantidades son directamente proporcionales, ya que al aumentar el número de teléfonos los precios también se incrementan, por esto vamos a aplicar una regla de tres directa.
Ahora formamos una razón usando las cantidades del supuesto y la pregunta, es decir:
Luego usando estas dos razones se forma una proporción:
Y se procede hallar el cuarto término de esta proporción o el término que se desconoce, para esto se sigue el siguiente proceso: el término diagonal u opuesto al término desconocido siempre divide al producto de los elementos restantes que intervienen en la proporción, esto es:
Por lo que teléfonos costarán $900.
7.2 Regla de tres inversa
Se utiliza cuando las cantidades son inversamente proporcionales.
Ejemplo:
a) Se ha planeado que un barco sea construido por hombres en días; sin embargo, sólo se logró contratar a hombres ¿En cuántos días construirán el barco?
Supuesto: hombres construyen un barco en días Pregunta: hombres lo construirán en días
Observe que las cantidades son inversamente proporcionales, ya que al disminuir el número de hombres los días que tardarán en construir el barco incrementarán, por esto vamos a aplicar una regla de tres inversa.
Se forman las razones entre las cantidades del supuesto y la pregunta:
Luego por tratarse de una regla de tres inversa se invierte cualquiera de las dos razones anteriores (en este caso invertiremos la razón entre el número de hombres), y se iguala con la otra, quedando:
Así:
Concluyéndose que hombres construirán el barco en días.
8. Porcentaje o tanto por ciento
El tanto por ciento o porcentaje de una cantidad es el número de partes que se toman, de las cien en las que se divide dicha cantidad. Se representa con el símbolo o en forma de fracción.
Ejemplo:
Para obtener el de se debe dividir en partes, esto es:
Y luego se toman :
Por lo que el de son
Observe ahora como obtener el porcentaje de una cantidad a través de una regla de tres simple.
Ejemplo:
a) Calcule el de
Formamos el supuesto y la pregunta, así:
Supuesto: es a Pregunta: es a
Siendo el de .
b) Calcule el de Supuesto: es a Pregunta: es a
Siendo el de
