Manual del
Academia
Nacional de
Matemáticas
Ciclo escolar 2017-2018
Matemáticas
Curso propedéutico
CURSO PROPEDÉUTICO
MATEMÁTICAS
Ciclo 2017 – 2018
Manual del docente
Dirección General de Educación Tecnológica Industrial
Academia Nacional de Matemáticas
Directorio
M. en C. Carlos Alfonso Morán Moguel
Director General de Educación Tecnológica Industrial
Ing. Emilio Cruz Sánchez
Director Técnico de la DGETI.
Dr. Juan Gerardo Orellana Suarez
Índice
_________________________________________________________________________________________________________________Índice ...5
Encuadre ...7
Introducción ... 13
Justificación ... 15
Bloque 1 | Sistemas numéricos ... 16
1.1 Clasificación de Números Reales ... 16
1.1.1 Números naturales (N) ... 16
1.1.2 Números enteros (Z) ... 17
1.1.3 Números racionales (Q) ... 17
1.1.3.1 Racionales comunes ... 17
1.1.3.2 Fracciones propias e impropias ... 18
1.1.4 Números irracionales (i) ... 18
1.1.5 Números reales (R) ... 19
1.2 Recta numérica ... 21
1.2.1 ¿Qué es una recta numérica? ... 23
1.2.2 Localización de números reales en la recta numérica24 1.2.3 Relación de magnitud entre números reales ... 25
Evaluación del bloque 1 ... 28
Bloque 2 | Operaciones aritméticas básicas ..31
2.1 Operaciones con números enteros ... 31
2.1.1 Suma ... 31
2.1.2 Resta ... 37
2.1.3 Multiplicación ... 42
2.1.4 División ... 46
2.1.5. Jerarquía de las operaciones ... 50
2.2 Números racionales ... 51
2.2.1 Números Primos ... 56
2.2.1.1. Criterios de divisibilidad ... 58
2.2.1.2 Descomposición en factores primos ... 59
2.2.1.3 Simplificación de fracciones ... 59
2.2.1.4 Mínimo común múltiplo ... 61
1
2.2.1.5 Máximo común divisor ... 62
2.2.2 Operaciones con fracciones racionales ... 65
2.2.2.1. Suma de fracciones racionales ... 66
2.2.2.2 Resta de fracciones ... 70
2.2.2.3 Operaciones mixtas de suma y resta con fracciones ... 71
2.2.2.4 Multiplicación de números racionales ... 72
2.2.2.5 División de números fraccionarios ... 75
2.2.3 Operaciones con decimales ... 79
2.2.3.1 Suma de decimales ... 79
2.2.3.2 Resta de decimales ... 80
2.2.3.3. Multiplicación de decimales ... 81
2.2.3.4 División de decimales ... 83
Evaluación del bloque 2 ... 86
Bloque 3 | Potencias y raíces ... 93
3.1 Potencias ... 95
3.1.1 Propiedades de las potencias ... 97
3.2 Radicales ... 102
3.2.1 Propiedades de los radicales ... 107
3.2.2 Transformación de potencias fraccionarias a radicales y viceversa ... 112
3.2.3 Simplificación de Radicales ... 113
3.2.4 Suma y resta con radicales ... 118
Evaluación del bloque 3 ... 120
Evaluación de cierre ... 124
Glosario ...129
Evaluación diagnóstica. ... 132Fuentes consultadas ...136
Anexos ...137
2
3
Encuadre
__________________________________________________________________________________________________________________
Propósito
Desarrollar habilidades y capacidades para el aprendizaje de las Matemáticas en los estudiantes de nuevo ingreso al Bachillerato Tecnológico, y que favorezcan el desarrollo de su perfil de egreso. Propiciar en el alumno el interés por aprender, relacionar, interpretar, inferir, interpolar, inventar, aplicar, los saberes a la resolución de problemas, desde una óptica Lógica-matemática.
Marco teórico
Los seres humanos somos capaces de conocer el mundo a través del lenguaje, del análisis lógico-matemático, de la representación espacial, del pensamiento musical, del uso del cuerpo para resolver problemas o hacer cosas, de una comprensión de los demás individuos y de una com-prensión de nosotros mismos. Donde los individuos se diferencian es en la intensidad de sus habilidades y en las formas en que recurre a esas mismas y se les combina para llevar a cabo diferentes labores, para solucionar diversos problemas y progresar en distintos ámbitos.
Las personas aprenden, representan y utilizan el saber de muchos y diferentes modos, estas di-ferencias desafían al sistema educativo. Estas didi-ferencias desafían al sistema educativo que su-pone que todo el mundo puede aprender las mismas materias del mismo modo y que basta con una medida uniforme y universal para poner a prueba el aprendizaje de los alumnos.
Marco referencial
Es importante que al analizar los procesos del aprendizaje de las matemáticas los alumnos han experimentado una serie de estrategias por parte de los facilitadores, para que las competencias las transfieran en situaciones de la vida real, exige relacionar, interpretar, inferir, interpolar, inventar, aplicar, los saberes a la resolución de problemas, intervenir en la realidad o actuar previendo la acción y sus contingencias; es decir, reflexionar sobre la acción y saber actuar ante situaciones imprevistas o contingentes.
El aprendizaje por competencias está directamente relacionado con las condiciones que deben darse para que los aprendizajes sean los más significativos, situados y funcionales posibles. La evaluación del aprendizaje de competencias, responde a la evaluación de contenidos; pero no toda la evaluación está referida a ello. Si consideramos que la evaluación es un aspecto com-plejo donde convergen diferentes dimensiones, entonces debemos considerar que están impli-cados procesos de evaluación también complejos.
El proceso de evaluación de las competencias consistirá en utilizar los medios que permitan reconocer si los esquemas de actuación emprendidos por el estudiante pueden serle de utilidad
para superar situaciones reales en contextos concretos lo más aproximados a la realidad; para evaluarla es necesario tener datos fiables sobre el grado de aprendizaje de cada estudiante con relación a la competencia implicada, para ello se requiere el uso de instrumentos y medios di-versos en función de las características propias de cada competencia y los distintos contextos donde ésta debe o puede llevarse a cabo.
Dado que las competencias están constituidas por uno más contenidos de aprendizaje, es nece-sario identificar los indicadores de logro para cada uno de ellos, pero integrados o que se puedan integrar en la competencia correspondiente y el medio para conocer el grado de su aprendizaje será la intervención del estudiante ante la situación problemática planteada. La evaluación bajo el enfoque de competencias no solo implica evaluar el resultado del aprendizaje del alumno, también el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo que conlleva a que en paralelo también el facilitador va desarrollando, aprendiendo y evaluando bajo el enfoque de competencias, su pro-pia praxis educativa.
Características del curso
El curso, tal y como aparece en el manual, tiene una duración de 28 horas, mismas que se dis-tribuyen en 2 horas durante 10 sesiones y de 8 horas correspondientes a las primeras dos sema-nas del curso regular. La modalidad del curso requiere que el 90% del tiempo se dedique a la realización de ejercicios y dinámicas, en las que los participantes tienen que involucrarse y desempeñarse exitosamente.
El curso está basado en una estrategia didáctica de participación activa, la cual implica un com-promiso entre el facilitador y los alumnos para alcanzar los objetivos del curso. La participación activa, aunada al tipo de ejercicios, permitirá crear las condiciones para estimular un trabajo en el que prevalezca la intención comprometida, de cada uno de los participantes, para analizar y extraer las características más relevantes de las situaciones problemáticas; discutir y encontrar formas de solución de los problemas y elegir, entre ellas, las más eficaces, así como fundamen-tar, en todo momento, el porqué de la estrategia de solución.
Un escenario de este tipo crea las condiciones que propician aprendizajes significativos, donde lo más importante radica en ser consciente de lo que hago y para qué lo hago, y no sólo de solucionar el problema. En esta perspectiva, el facilitador está comprometido a supervisar de manera permanente el trabajo de sus participantes, orientar y retroalimentar a los pequeños gru-pos y en las plenarias, respetando los procesos de discusión y los argumentos que conduzcan al entendimiento y solución de los ejercicios, atender las dudas individuales y propiciar, siempre, la participación activa y comprometida de los asistentes. Asimismo, el facilitador deberá realizar las siguientes actividades:
1. Al inicio del curso, el facilitador realizará una dinámica para conocer a cada uno de los par-ticipantes. Posteriormente, explicará los objetivos del curso, duración, dinámica y compromisos que se adquieren al asistir al mismo.
2. Utilizar la metodología del aula inversa a través de videos que ilustren el desarrollo de las actividades a realizar en cada sesión del curso. Dichos videos han sido seleccionados de la pla-taforma Khan Academy y YouTube y serán analizados por los alumnos el día anterior como una actividad extra clase a la sesión correspondiente de cada uno de los temas.
3. Apertura de sesiones. Se recomienda que la apertura se realice con la resolución grupal de la tarea diaria, ya sea que ésta se haya resuelto de manera individual o por equipo. Se intercambia-rán las tareas y seintercambia-rán calificadas por los integrantes del grupo, retroalimentando los errores iden-tificados y serán devueltas a sus dueños.
4. Cierre de sesiones. El cierre se realizará con una pregunta y los comentarios que de ella se deriven. Las preguntas pueden ser: ¿Qué aprendimos el día de hoy? ¿Cuál fue el error más grave que cometimos y cómo lo resolvimos?, o un ejercicio, entre otras.
5. Asesoría y seguimiento del desempeño de alumnos en la resolución de ejercicios para el aprendizaje y habilidad matemática, en este punto, se resolverán ejercicios por equipos, mar-cando un tiempo para su realización, al término del cual se preguntará quiénes han concluido, socializando en plenaria las soluciones.
6. Conformación de un diario de clase que será elaborado en plenaria por los integrantes del grupo; es decir, se designa a un candidato diariamente para que anote lo que acontece durante cada día de trabajo, cómo se comporta el grupo, situaciones de discusión respecto a la forma en que se resuelve algún ejercicio, qué equipo hizo el mejor trabajo, entre otras situaciones. 7. Evaluación global del curso. Al término del curso, el instructor solicitará a los participantes que en una hoja evalúen en una escala de 0 a 10, los siguientes aspectos:
Puntualidad del grupo. Puntualidad del facilitador. Puntualidad individual. Desempeño grupal. Desempeño individual.
Cumplimiento de los objetivos del curso.
Dominio de los contenidos por parte del facilitador.
Dominio de la dinámica de trabajo por parte del facilitador. Ambiente grupal.
Instalaciones. Comentarios.
Para el desarrollo de cada actividad es importante considerar lo siguiente: Proporcionar las instrucciones de la tarea en forma verbal.
Integrar equipos.
Supervisar la tarea.
Identificar aspectos que requieran de retroalimentación individual o grupal. Proporcionar orientación o asesoría correctiva inmediata.
Recomendaciones para la impartición del curso
Este material contempla en su estructura una serie de ejercicios con un grado de com-plejidad ascendente, cuyo principal propósito es que los resultados sirvan de parámetro a todos los involucrados en el proceso educativo de cada institución. Debido a la trascendencia acadé-mica del curso-taller sugerimos tomar en cuenta las siguientes recomendaciones:
1. En la medida de lo posible que los docentes que impartan el curso, que tengan conocimientos básicos sobre comprensión de operaciones matemáticas fundamentales.
2. Este curso introductorio es de carácter obligatorio para los estudiantes de nuevo ingreso y el porcentaje de este representa el 40% de la calificación del primer parcial de la materia de Álge-bra en el primer semestre.
3. Los ejercicios tienen un grado de complejidad ascendente, por lo que es recomendable que el docente informe a los alumnos sobre el impacto que tiene cada habilidad en el aprovechamiento escolar; de igual forma es pertinente que si observa en el grupo dificultades en alguna habilidad la ejercite hasta que se domine, o en su defecto, brinde la oportunidad al estudiante de desarro-llarla en otro espacio (plataforma Khan Academy), o la estrategia que el considere pertinente. 4. Se sugiere que se registre en una lista la calificación que cada alumno obtenga en los diversos ejercicios, para que al final del curso sea entregada para su análisis a los directivos de la institu-ción (para que le hagan llegar al maestro que impartirá el curso de Algebra estos resultados). Dicha información resulta de vital importancia, debido a que marca las directrices a seguir para elevar la calidad educativa, y por consecuencia, en la adquisición de competencias genéricas. 5. Por último invitamos a todos los directivos y docentes a incorporarse consciente y responsa-blemente a este proyecto de mejora continua.
Competencias a desarrollar en el curso
COMPETENCIA ATRIBUTOS
1. Se conoce y valora así mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
1. Enfrentan las dificultades que se le pre-sentan y es consciente de sus valores, forta-lezas y debilidades.
2. Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesi-dad de solicitar apoyo ante una situación que lo rebase.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos, mediante la utilización de medios, códigos y herra-mientas apropiadas.
1. Expresa ideas y conceptos mediante re-presentaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
2. Aplica distintas estrategias comunicati-vas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en que se encuentra y los obje-tivos que persigue.
5. Desarrolla innovaciones y propone solu-ciones a problemas a partir de métodos es-tablecidos.
1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
6. Utiliza las TIC para procesar e interpre-tar información.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
3. Asume una actitud constructiva, con-gruente con los conocimientos y habilida-des con los que cuenta dentro de distintos grupos de trabajo.
Antes de Comenzar
Te sugerimos que antes de iniciar cualquier trabajo de este curso crees una cuenta en la plata-forma Khan Academy de la siguiente manera:
Entra a https://es.khanacademy.org/ y da click en “Iniciar sesión” si ya tienes una cuenta, en caso contrario da click en “Crear una cuenta” y llena el formulario. Necesitaras una cuenta de correo electrónico para la creación de tu cuenta, de preferencia Gmail.
En caso de no contar con una cuenta de correo electrónico en Gmail, créala accediendo a la página www.gmail.com y créala dando click en “Agregar cuenta” y llena el formulario. Tu cuenta de correo Gmail debe tener la siguiente estructura:
Por ejemplo:
Te dejamos unos videos tutoriales por alguna duda que puedas tener acerca de la creación de las cuentas de ambas plataformas:
“Tutorial- como crear un correo Gmail”:
https://www.youtube.com/watch?v=CfEbcvZVDGw
“TUTORIAL 1 Introduccion a Khan Academy español”:
https://www.youtube.com/watch?v=kiYKcpRgMDk
Códigos QR
Hemos incluido en el presente manual, códigos de respuesta rápida o códigos QR para que uti-lices tu dispositivo móvil (teléfono inteligente o tableta) y puedas visualizar los videos reco-mendados en algunos temas que te servirán de apoyo en tu aprendizaje.
Un código QR es la evolución del código de barras. Es un módulo para almacenar información en una matriz de puntos o en un código de barras bidimensional.
¿Cómo se lee el código QR?
La matriz de puntos en la que se guardan los datos no es legible para el ojo humano. Se debe leer con un teléfono móvil o con un dispositivo que disponga de la aplicación correspondiente (un lector de códigos QR). La lectura del código se lleva a cabo en cuestión de segundos. Además, gracias a la corrección de errores, la lectura también funciona si falta alguna pieza en el código.
Te recomendamos instalar el lector de códigos QR correspondiente a tu dispositivo móvil que podrás encontrar en el siguiente enlace:
Introducción
__________________________________________________________________________________________________________________
Las personas construimos, representamos y utilizamos el saber de diferentes formas y no todas construimos el conocimiento de la misma manera.
Los procesos de aprendizaje de las matemáticas requieren de estrategias que permitan que las competencias genéricas y disciplinares se sitúen en un ambiente cotidiano para relacionar, in-terpretar inferir y aplicar los saberes a la resolución de problemas.
El desarrollo de habilidades y destrezas se relaciona directamente con las condiciones que se deben dar para lograr que los aprendizajes en el estudiante sean significativos y lo más funcional posible.
El proceso de evaluación de las competencias consiste en utilizar los medios que permitan a los alumnos reconocer si los esquemas de actuación aprendidos le son de utilidad, a tal grado que le sirvan para intervenir correctamente ante una situación problemática planteada.
Este manual es el esfuerzo conjunto de la academia nacional de matemáticas de la DGETI y se plantea como una estrategia que le permita a los egresados de secundaria incorporarse con efi-ciencia y eficacia a las características que tiene el nivel medio superior, fortaleciendo sus habi-lidades y destrezas aritméticas a partir de la recuperación de sus conocimientos previos y la construcción de aprendizajes elementales para continuar con su desarrollo y la adquisición del sentido numérico con el cual pueda transitar eficientemente hacia la abstracción que representa el lenguaje algebraico.
La construcción del conocimiento deberá ser individual y colaborativa, donde todos los estu-diantes tengan la oportunidad de adquirir los mismos conocimientos.
El curso tiene una duración de 28 horas, divididas en tres bloques, donde el alumno deberá participar activa y dinámicamente en la construcción de sus aprendizajes y la solución de pro-blemas.
En el bloque 1, denominado sistemas numéricos, el estudiante aprenderá en 6 horas, como se clasifican los números reales, su representación y localización en la recta numérica y sus rela-ciones de magnitud.
En el bloque 2, denominado operaciones aritméticas básicas, el estudiante aprenderá en 14 horas las operaciones de suma, resta, multiplicación y división con números naturales, enteros, racio-nales y decimales. En las operaciones con números reales se partirá de la descomposición de uno o más números en sus factores primos, para la obtención del mínimo común múltiplo y el máximo común divisor que aplicará, en la suma y resta de fracciones.
En el bloque 3, denominado potencias y raíces se tratarán en 8 horas las propiedades de las potencias y radicales y viceversa, concluyendo con la simplificación de expresiones radicales. En cada bloque se realizarán actividades de apertura, desarrollo y cierre con sus respectivas evaluaciones y concluyendo el curso con una evaluación final que permitirá conocer el grado de significación de los aprendizajes que tuvieron los alumnos.
Justificación
__________________________________________________________________________________________________________________
Si bien es cierto, las dificultades de comprensión y habilidades en matemáticas no se generan en el bachillerato, pero sí se reflejan en el de aprovechamiento de los alumnos en este nivel y por consecuencia en la educación superior, por lo que se hace necesario emprender acciones dirigidas a subsanar dichas inconsistencias. Estamos convencidos que los jóvenes de nuevo in-greso al nivel medio superior, mejorarán con la práctica su capacidad de observación, globali-zación, jerarquiglobali-zación, regulación de su propia comprensión, y por consecuencia, sus compe-tencias matemáticas, cuya utilidad se verá reflejada, no sólo en el contexto académico, sino en cualquier ámbito de su vida cotidiana. Para los estudiantes que ingresan al bachillerato, es im-portante que inicien con una recapitulación de sus estudios básicos, porque el conocimiento de los números es una herramienta indispensable para comprender los procesos y fenómenos so-ciales y naturales, además es el fundamento para iniciar con los procesos de abstracción que requiere el álgebra, la geometría y el cálculo.
Bloque 1 | Sistemas numéricos
__________________________________________________________________________________________________________________
1.1 Clasificación de Números Reales
Utiliza el lector de códigos QR de tu dispositivo móvil para visualizar el o los siguientes videos. Tema: Clasificar Números
https://es.khanacademy.org/math/algebra/rational-and-irrational-numbers/alg-1-irrational-numbers/v/categorizing-numbers
Figura 1.1 Clasificación de los Números.
1.1.1 Números naturales (N)
Los números naturales son utilizados para contar elementos o cosas. N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…}
Características:
1. Es un conjunto infinito. 2. Tiene un primer elemento. 3. Todos tienen un sucesor.
4. Todos tienen un antecesor excepto el 1.
NUMEROS REALES (R) IRRACIONALES (I) RACIONAL (Q) ENTEROS (Z) NATURALES (N) PRIMOS COMPUESTOS NEGATIVOS FRACCIONARIOS COMUNES PROPIOS IMPROPIOS MIXTOS DECIMALES PUROS O EXACTOS PERIODICOS COMPLEJOS
1.1.2 Números enteros (Z)
Los números enteros es un conjunto compuesto por números enteros positivos, negativos, que son los opuestos a los positivos, y el cero.
Z = {…-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6…} Características:
1. Es un conjunto infinito. 2. No tiene primer elemento.
3. Con ellos se pueden hacer operaciones de suma y producto.
1.1.3 Números racionales (Q)
Todo número que puede escribirse de la forma 𝒂
𝒃 (fracción) donde a y b son enteros, con la
condición que b no debe ser cero. Características:
1. Tiene inverso multiplicativo o recíproco, 2
3 es inverso multiplicativo de 3 2, cuyo producto es (2 3) ( 3 2) = 1.
2. Representan o expresan una parte de un total o una parte de un todo. 3. Todo número entero puede ser expresado como un cociente 𝑎
𝑏.
1.1.3.1 Racionales comunes
Un uso común de los racionales positivos son las fracciones que se clasifican en: Fracciones propias, impropias y mixtas.
A los números de la forma (𝑎
𝑏) donde a se llama numerador y b se llama denominador. Para
representar las fracciones se ilustra en el siguiente ejemplo:
Si compramos una pieza de queso de 1 kg. y lo dividimos en dos porciones iguales nos queda:
El numero 2 nos indica que dividimos la unidad en dos partes iguales. El numero 1 nos indica que tomaremos una de esas partes.
Donde:
1 es el numerador e indica cuantas partes se toman de la unidad. 2 es el denominador e indica en cuantas partes se divide la unidad. También 1
2 también nos sirve para referirnos al cociente que se obtiene al dividir 1 entre 2.
1.1.3.2 Fracciones propias e impropias
En las fracciones de la forma 𝑎
𝑏, con a y b positivas, si el numerador es menor que el denominador
se denomina fracción racional propia, si por el contrario el numerador no es menor que el deno-minador se llama fracción racional impropia.
Ejemplo:
Toda fracción racional impropia se puede transformar en un número entero más una fracción racional propia originando un número mixto y se puede hacer de la siguiente forma:
5 3 = 3+2 3 = 3 3+ 2 3 = 1 + 2 3 ; comúnmente lo escribes 1 2
3 que se lee “un entero dos tercios” 19 5 = 5+5+5+4 5 = 15+4 5 = 15 5 + 4 5= 3 + 4 5 lo escribes 3 4
5 que se lee, “tres enteros cuatro
quintos”
1.1.4 Números irracionales (i)
Son aquellos números que no pueden ser expresados en forma de una fracción racional, es decir
i es irracional si no hay dos números enteros tales que 𝑎
𝑏 = 𝑖
Ejemplo 1: √2 =𝑎
𝑏 no existen enteros a y b que cumplan esta igualdad. 1 2; 3 7; 3 4; 5
9 fracción racional propia 4 3; 5 2; 8 5; 9 7; 6 5; 3
Lo mismo sucede en las raíces de números primos, por ejemplo: √5, √7, − √133 , −√5
3 y también
(pi) 𝜋 = 3.141592653589 …, Numero de Euler 𝑒 = 2.718281828459 … se siguen sus deci-males infinitamente y de manera no periódica.
Características: 1. Es infinito.
2. No es cerrado bajo las operaciones de suma o producto: sumar dos irracionales no siem-pre da como resultado un número irracional y lo mismo con el producto.
Ejemplos: −√3 + √3=0, (√5) (1
√5)=1
1.1.5 Números reales (R)
Está formado por la unión de los números racionales e irracionales. Formando un sistema esta-ble.
Características:
- Tiene dos operaciones: suma y producto
- Sus propiedades son: cerradura, asociativa, existencia del neutro aditivo, existencia de neutro multiplicativo.
Clasificación de los Números Reales
Figura 1.3 Dónde: N son “Números Naturales”; Z son “Números Enteros”; Q son “Números Racionales; I son “Números Irracionales y R son “Números Reales”.
R
I
Q Z
Actividad
____________________________________________________________________________ 1. Con la informacion revisada, resuelve el siguiente crucigrama y comparte tus respuestas
en plenaria.
1
N E G A T
2I V O S
M
3
P R O P I O S
R
4
M I X T O S
5R
6
D
P
A
7R E A L E S I
C
C
O
8I R R A C I O N A L E S
O
M
9
N A T U R A L E S
A
L
L
E
E
S
S
Horizontales Verticales
1. Números reales localizados a la iz-quierda del cero en la recta numérica
2. Números reales, racionales, fracciona-rios comunes cuyo numerador es igual o mayor que el denominador
3. Números reales, racionales, fracciona-rios comunes donde el numerador es me-nor que el denominador
5. Números reales que pueden expresarse como un cociente a/b
4. Números racionales, compuestos de un número entero y una fracción racional propia
6. Números reales, racionales que pueden ser del tipo puro o periódico
7. Números que están formados por los números racionales e irracionales.
8. Números reales, racionales que no pue-den ser expresados como un cociente a/b, ejemplo de ellos es el valor de π
9. Números reales, enteros localizados a la derecha del cero en la recta numérica
1.2 Recta numérica
Utiliza el lector de códigos QR de tu dispositivo móvil para visualizar el o los siguientes vi-deos.
Tema: Números negativos en la recta numérica
https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-foundations/core-al-gebra-foundations-negative-numbers/v/negative-numbers-introduction
Tema: Fracciones en una recta numérica
https://es.khanacademy.org/math/in-sixth-grade-math/fractions-1/fraction-num-ber-line/v/fractions-on-a-number-line
Tema: Decimales y fracciones en la recta numérica
https://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/decimals-pre-alg/decimals-on-num-ber-line-pre-alg/v/points-on-a-number-line
Actividad
____________________________________________________________________________ Según la página web ¿Cómo funciona? (s.f.)
Ascensores
“Un ascensor o elevador se trata de un sistema para el transporte vertical diseñado para realizar el movimiento de personas o bienes a alturas distintas. Puede ser utilizado bien sea para bajar o subir en un edificio o una construcción. Está conformado con partes mecánicas, electrónicas y eléctricas que funcionan en conjunto para lograr un medio seguro de movilidad. Si fuese considerado una forma de transporte, sería el segundo más usado luego del auto.”
Normalmente, cuando nos ubicamos en un piso del edificio y queremos utilizar el ascensor solo podemos hacer dos cosas: subir o bajar. Observemos las figuras 1.4 y 1.5.
Figura 1.4 Ascensor. Figura 1.5 Hotel.
Si te encuentras en un hotel de 5 pisos y tu cuarto está ubicado en el tercer piso, pero queremos ir al segundo piso del estacionamiento subterráneo, ¿debes subir o bajar? Observa la figura 1.6:
Figura 1.6 Usando el elevador de un hotel.
1. ¿Cuantos niveles debes recorrer para llegar al sótano 1? Respuesta: 4
2. Ahora, desde tu nueva ubicación si quieres ir al lobby, ¿Cuántos niveles debes subir o bajar? Respuesta: Subir 1 nivel
Ayuda: Puedes utilizar las líneas que se encuentra a un lado de la figura 1.6 y representar tus respuestas por medio de flechas para indicar si subes o bajas, además te sugerimos indi-car numéricamente la cantidad de pisos que recorres.
Ahora contesta las siguientes preguntas:
1. ¿Cuántos niveles tiene en total el hotel contando niveles del estacionamiento subterrá-neo? Respuesta 8 niveles
2. ¿Cuántos niveles hay del sótano 2 al lobby? Respuesta 2 niveles
3. ¿Cuántos niveles hay de lobby a tu habitación? Respuesta 3 niveles
4. ¿Cuál es el recorrido más largo, del sótano 2 al lobby o del lobby a tu habitación? ¿Por qué? Respuesta: Del lobby a mi habitación, porque es mayor el desplazamiento
5. ¿Dónde se encuentran los pisos del estacionamiento respecto del lobby, por arriba o por debajo? Respuesta: Por debajo
6. Las habitaciones del hotel ¿Están por arriba o por debajo del lobby? Respuesta: Por arriba
__________________________________________________________________________________________________________________
1.2.1 ¿Qué es una recta numérica?
La recta numérica es una recta en la que los números reales se representan como puntos espe-cialmente marcados. En el caso de los números enteros están separados uniformemente
Para cada número real existe un único punto en la recta con el cual se asocia, recíproca-mente cada punto de la recta le corresponde un número real.
Representación de los números enteros.
Con un punto de referencia (el cero) y una distancia arbitraria como unidad, que al repetirse genera los enteros, hacia un lado los positivos y en sentido contrario los negativos. Para unificar, la recta numérica se coloca de forma horizontal, los positivos hacia la derecha del cero y hacia la izquierda los negativos.
Está dividida en dos mitades simétricas cuya referencia, es el número cero. En la recta numérica mostrada a continuación, los números negativos se ubican a la izquierda del cero y los positivos a la derecha.
Figura 1.7 Recta Numérica.
Aunque la figura 1.7 muestra solamente los números enteros entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando «infinitamente» en cada sentido.
La recta numérica fue inventada por John Wallis. Dentro de la recta podemos encontrar los intervalos, que son los espacios que se da de un punto a otro. Todos los números realespueden representarseen una recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un número es ma-yor, igualo menor que otro, dependiendo de su posición.
Decimos que un número es mayor con respecto a otro, cuando está ubicado a la derecha de otro número en la recta numérica, por ejemplo: el 4 y el 6, en este caso el seis es mayor porque está a la derecha de 4, -3 es mayor que -7 porque -3 está a la derecha de -7.
El cero es mayor que −1
2, porque cero está a la derecha de − 1 2.
También podemos representar en ella números fraccionarios o decimales como podemos ver en la figura siguiente.
También podemos ubicar cualquier número real en la recta numérica.
1.2.2 Localización de números reales en la recta numérica
Si quisiéramos graficar el conjunto de los números naturales N lo podemos hacer marcando un punto de inicio en la recta y a partir de él indicar los números que componen el conjunto hacia la derecha de este (1, 2, 3, 4, 5…) manteniendo entre ellos la misma distancia. Podemos observar un ejemplo en la figura 1.8.
1.2.3 Relación de magnitud entre números reales
El valor absoluto de un número lo podemos entender cómo el mismo número cuando este es positivo y cambiándole el signo si este fuese negativo, por ejemplo:
a) |5| = 5 b) |−5| = 5 c) |0| = 0
Ahora, supongamos que tenemos un conejo mecánico en la feria de diversiones, salta sobre un riel que está numerado con los enteros y este brinca uniformemente, considerando que la mag-nitud de cada brinco es una unidad,como se muestra en la figura 1.9.
Figura 1.9. Ejemplo 1 del Conejo.
Ejemplo 1. Si colocamos al conejo en el punto M, ubicado en el -5, y salta de unidad en unidad hasta llegar al punto N, ubicado en el número 2. ¿Cuántos brincos dio el conejo?
Ahora observa la figura 1.10
Figura 1.10. Ejemplo 2 del Conejo
Ejemplo 2. Si colocamos el conejo en el punto A, ubicado en el número 3 y brinca hasta el punto
B, ubicado en el número -1, ver figura 1.10. ¿Cuántos brincos dio el conejo?
De la misma manera podemos calcular la distancia que hay entre dos puntos de la recta numé-rica.
La distancia entre dos puntos en la recta numérica equivale a la longitud del segmento de la recta que los une, expresado numéricamente. En otras palabras, es la medida del segmento de recta que une a ambos puntos.
Los puntos en la recta los podemos identificar con letras mayúsculas, por ejemplo, en la figura 1.9, M = -5, el punto M es el número -5, que es donde empieza su recorrido el conejo. Así como N=2.
Una forma de calcular la distancia entre dos puntos es mediante el valor absoluto de la diferencia entre los números que representan ambos puntos. Sean 𝑥1 𝑦 𝑥2 dos puntos en la recta
numérica, entonces su distancia se puede calcular de la siguiente manera: 𝒅 = |𝒙𝟐− 𝒙𝟏|
Retomando los ejemplos del conejo y aplicando la manera formal, para el primer reco-rrido del conejo quedaría de la siguiente forma:
𝑑 = |𝑥2 − 𝑥1| Sustituyendo:
𝑑 = |2 − (−5)| = |2 + 5| = |7| = 7, el conejo recorrió 7 unidades Y para el segundo recorrido observa la figura 1.10:
𝑑 = |𝑥2 − 𝑥1| Sustituyendo:
𝑑 = |−1 − 3| = |−4| = 4, el conejo recorrió 4 unidades.
Actividad
____________________________________________________________________________ Ubica la lista de puntos en las rectas numéricas:
1. 𝐴(−2)
3. 𝐽(4)
4. 𝐺(−3)
5. 𝐶(5)
Determina la magnitud entre cada par de puntos 1. 𝐴(−3) 𝐵(0) 3 2. 𝐶(2) 𝐷(−2) 4 3. 𝐸(0) 𝐹(−5) 5 4. 𝐺(4) 𝐻(1) 3 5. 𝐼(3) 𝐽(5) 2 6. 𝐾(−2) 𝐿(4) 6
Actividad en Khan Academy
Utiliza el lector de códigos QR de tu dispositivo móvil para visualizar el o los siguientes videos. Tema: Números faltantes en la recta numérica
https://es.khanacademy.org/math/arithmetic/absolute-value/add-sub-negati-ves/e/number_line_3
Tema: Las fracciones en la recta numérica
https://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/understanding-fracti-ons-pre-alg/e/fractions_on_the_number_line_1
Tema: Problemas verbales de suma y resta en la recta numérica
https://es.khanacademy.org/math/early-math/cc-early-math-add-sub-100/cc-early- math-add-sub-100-word-problems/e/adding-and-subtracting-on-the-number-line-word-problems
Evaluación del bloque 1
____________________________________________________________________________ Subraya la respuesta correcta:
1. ¿Cuál de estas opciones representa números naturales? a) 3.1426, 0.0, 2, −5
2 b) 3/3, √2, 6
2 c) 2,9,25,7, d) 2,-9,25,7
2. ¿Cuál de estas opciones representa números racionales? a) 3.1426, 0.0, 2, b) 3/3, √2, 6
2 c) 5/4, 3/8, 3.1426, d) 2/3, 7/6,-4/5,8
3. ¿Cuál de estas opciones representa números irracionales?
a) 3.1426, 0.0, 2, b) 3/3, √2, 62 c) √13,−√35, 2.71828… d) 2/3, 7/6,4/5 4. ¿Cómo se expresa la siguiente fracción 1
4 en número decimal?
a) 0.22225 b) 0.2225 c) 0.250 d) 0.50
5. Se tienen dos puntos de referencia en la siguiente recta numérica ¿Entre que letras se encuentra ubicado √2?
a) Entre A y W b) Entre W e Y c) Entre y e B d) Entre B y Z
6. Considerando el siguiente número real 21
5, en la recta numérica ¿qué letra representa un
valor equivalente?
a) X b) W c) Y
d) Z
7. Considerando la recta numérica, ¿qué letra representa uno de los valores de √16? 11 3 28 6 a) X b) W c) Y d) Z
8. Analiza los siguientes enunciados y determina si son falsos o verdaderos
a) Todo número racional es un número entero: Falso
b) Todo número entero es un número racional: Verdadero
c) Los números fraccionarios comunes impropios pueden
ser convertidos a números enteros y una fracción común propia: Verdadero d) Los números irracionales pueden ser expresados como un
cociente a/b: Falso
e) Los números naturales son números enteros: Verdadero
f) Un número decimal periódico puede ser expresado como
un número racional: Verdadero
9. Considerando la clasificación de los números reales, relacione el nombre correspon-diente a cada uno de los ejemplos mostrados.
AV) Número natural ( 𝑅𝑃 ) 66
BS) Número fraccionario común propio ( 𝐴𝑉 ) 7
NH) Número irracional ( 𝐾𝐺 ) −25
KG) Número racional negativo ( 𝐵𝑆 ) 78
Ejercicio 10. Un Dron se localiza a una altura de 100 metros, debido a las turbulencias
del mal tiempo, desciende 32 metros, posteriormente registra un ascenso de 45 metros y antes de aterrizar volvió a ascender 12 metros. ¿A qué altura se localiza el Dron antes de aterrizar?
Respuesta: 125 metros
Ejercicio 11. En la alcancía de Gerardo hay $20 pesos, el primer día saca $3 pesos para
comprar chocolates, el segundo día $10 pesos, el tercero depositó $8 pesos, el cuarto saco $5 pesos y el quinto día depositó $12 pesos. ¿Cuánto dinero hay en la alcancía de Gerardo?
Res-puesta: $22 pesos
Autoevaluación: Determina tu nivel de desempeño, acorde a tu evaluación realizada: Criterio Nivel de desempeño
Analice y reflexione co-rrectamente en un 90 a 100% de las situaciones planteadas
Excelente Analice y reflexione
correc-tamente en un 80 al 89% de las situaciones planteadas
Muy buen Analice y reflexione
correc-tamente en un 70 al 79% de las situaciones
Bueno Analice y reflexione
correc-tamente solo un 60 al 69% de las situaciones
Suficiente Analice y reflexiones
co-rrectamente menos del 60% de las situaciones
Bloque 2 | Operaciones aritméticas básicas
__________________________________________________________________________________________________________________
¿Qué vamos a aprender?
Las operaciones básicas aritméticas útiles para la vida cotidiana y necesarias para los cursos más avanzados de Matemáticas.
¿Cómo lo vamos a hacer?
Aprendiendo y recordando los procedimientos básicos de las operaciones aritméticas con nú-meros enteros y racionales.
¿Para qué?
Para aplicarlos en la vida cotidiana y en los procesos algebraicos de cursos futuros de Mate-máticas.
2.1 Operaciones con números enteros
2.1.1 Suma
Actividad
____________________________________________________________________________ Utiliza el lector de códigos QR de tu dispositivo móvil para visualizar el o los siguientes vi-deos.
Tema: Problemas verbales de suma y resta en la recta numérica.
https://es.khanacademy.org/math/early-math/cc-early-math-add-sub- 100/cc-early-math-add-sub-100-word-problems/e/adding-and-sub-tracting-on-the-number-line-word-problems
Tema: Sumar números con signos diferentes.
https://es.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-ne- gative-numbers-add-and-subtract/cc-7th-add-and-sub-integers/v/ad-ding-integers-with-different-signs
Tema: La propiedad conmutativa de la suma
https://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-arith- prop/pre-algebra-arithmetic-properties/v/commutative-law-of-addi-tion
1. Coloca los números del 1 al 9 en los nueve círculos de modo que los tres números de cada recta sumen 15. Usa todos los números y usa una sola vez cada uno de ellos.
Sumar significa agregar, aumentar, añadir elementos a un conjunto. Por ejemplo: Si tengo 3 pesos y hoy encontré 2 pesos, tengo entonces 5 pesos en mi capital, ya que estos 2 pesos se han sumado a lo que anteriormente tenía. La operación de la suma se representa con el signo “+” entre los elementos a sumar.
En toda suma de números hay varios elementos: los números que se van a sumar son llamados
Tabla 2.1 Propiedades de campo para la suma o adición
Ejemplo 1:
Suma de enteros positivos de tres y cuatro dígitos: Suma horizontal 257, 8 521 y 6 578
Comienza sumando unidades, es decir suma 7+1+ 8 = 16, “anota” el 6 y “llevas” 1 (o sea una decena) que sumarás a las decenas.
257 + 8 521 + 6 578 = 6
Suma las decenas: 1 (que llevas) + 5 + 2 + 7 = 15, anota el 5 y “llevas” 1 (o sea una centena) que sumarás a las centenas.
257 +8 521 +6 578 = 56
Suma las centenas 1 (que llevas) + 2 + 5 + 5 = 13, anota el 3 y “llevas” 1 (o sea 1 unidad de millar) que sumarás a las unidades de millar.
257 + 8,521 + 6 578 = 356
Propiedad Simbolización Ejemplo
Conmutativa
Si a y b son números ente-ros, entonces:
a + b = b + a
+3 - 4 = - 4 + 3 = -1
Asociativa
Si a, b y c son números en-teros, entonces
(a+b) + c =a+(b+c)
(4 -2) +5 = 4 + (-2 +5) = 7
Elemento neutro aditivo
Si a es un número entero, entonces: a + 0 = 0 + a a = a -8 + 0 = -8 Inverso aditivo
Para todo número entero a, existe su opuesto, tal que: a+(-a) = 0
Suma las unidades de millar 1 (que llevas) + 8 + 6 = 15, anota 15 directamente, en virtud de que ya no hay necesidad de continuar la operación, de este modo, la suma o total es 15356.
257 + 8 521 + 6 578 = 15 356
Verticalmente debes colocar los sumandos de manera que coincidan unidades con unidades, decenas con decenas etc.
+
m c d u
2 5 7
8 5 2 1
6 5 7 8
Suma las unidades 7+1+8=16, coloca el 6 debajo de las unidades y “llevas” 1 para sumarlo con las decenas: llevas 1 + m c d u 2 5 7 8 5 2 1 6 5 7 8 6
Suma las decenas 1 (que llevas) +5+2+7 = 15, anota el 5 en el lugar correspondiente a las dece-nas y “llevas” 1 para sumarlo con las centedece-nas.
llevas 1 + m C d u 2 5 7 8 5 2 1 6 5 7 8 5 6
Suma las centenas 1 (que llevas) +2+5+5 = 13, anota el 3 en el lugar correspondiente a las centenas y “llevas” 1 para sumarlo con las unidades de millar.
llevas 1 m c d U 2 5 7 + 8 5 2 1 6 5 7 8 3 5 6
Suma las unidades de millar 1 (que llevas) +8+6 = 15, anota el 15, y la adición se ha terminado. Se obtiene como suma 15356:
1 1 1 m c d U + 2 5 7 8 5 2 1 6 5 7 8 1 5 3 5 6
Actividad
____________________________________________________________________________ Efectúa las siguientes sumas:1. 3 + 8 + 9 = 20 5. 6 + 7 + 2 + 4 = 19 9. 112 + 897 = 1009 2. 45 + 87 = 132 6. 6 + 9 + 32 = 47 10. 5 + 1 + 8 + 9 = 23
3. 5 + 7 + 8 = 20 7. 35 + 65 = 100 11. 345 + 987 = 1332 4. 67 + 97 = 164 8. 67 + 98 = 165 12. 765 + 98 = 863 13. 14. 15. 16. 216 + 451 5947 + 3088 43212 + 94708 5987 + 747365 984576 667 9035 137920 1737928 17. 18. 19. 20. + 857495 427985 672354 + 7376 96543 507 + 492 149 + 288 1285480 776273 999 437 21. 22. 23. 24. + 8423 9579 59827 + 747365 984576 356754 7447 + 78 94869 75 45687 + 98 876247 797685 18002 1791768 459148 1719792
25. La familia González consta de 5 miembros, todos han decidido ahorrar una cantidad semanal para poder ir de vacaciones. Enrique, el papá, aporta $150 semanales; Luisa, la mamá, $60 se-manales, José Manuel, el mayor de los hermanos, $80 sese-manales, Alicia pone $45 semanales y Alberto, el menor de todos ellos, aporta $25. ¿Cuánto ahorra la familia semanalmente? $360
26. Un padre de familia gasta $280 en libros de texto, $17 en un juego de geometría, $5 en lápices, $47 en cuadernos y $675 en uniformes. ¿Cuánto gastó el padre de familia?
__________________________________________________________________________________________________________________
2.1.2 Resta
Se trata de una operación que consiste en: determinar el cambio requerido para pasar de una cantidad dada (inicial) a otra (final), también conocida como diferencia.
En toda resta de números hay tres elementos: el número del que vamos a restar llamado
mi-nuendo, el número que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operación llamado resta o diferencia.
Ejemplo 1:
Resta de números enteros positivos.
A 13 restarle 5 donde el 13 es el minuendo, el 5 es el sustraendo. 13 − 5 = 8 el resultado 8, es la resta o diferencia.
Ejemplo 2:
Efectúa la siguiente resta. −971 422
Paso 1
Comienza restando las unidades, como el minuendo de las unidades (1) es menor que la unidad en el sustraendo (2) se agregan 10 unidades al minuendo de las unidades y restas.
11 − 2 = 9 y llevas 1 Tienes entonces: −9 4 7 2 1 2 9
Paso 2
Resta ahora las decenas, la decena del minuendo (7) es mayor que la decena del sustraendo (2) así que no tienes que agregar nada a las decenas del minuendo, como en el paso anterior, pero recuerda que llevas 1.
7 − 3 = 4 Recuerda como llevas 1, el 2 se vuelve 3
Tienes entonces: −9 4 7 2 1 2
4 9 No llevas número o no hay acarreo
Paso 3
Resta ahora las centenas, la centena del minuendo (9) es mayor que la centena del sustraendo (4) así que no tienes que agregar nada a las centenas del minuendo, como en el primer paso, recuerda no llevas nada
9 − 4 = 5. Tienes entonces: −9 4 7 2 1 2 5 4 9 Es el resultado de la resta Ejemplo 3:
Efectúa la siguiente resta. −87 054 54 232
Paso 1
Comienza restando las unidades, el minuendo de las unidades (4) es mayor que la unidad en el
sustraendo (2) no tienes que agregar nada, restas.
4 − 2 = 2 No llevas número o no hay acarreo
Tienes entonces: −87 054
54 232 2
Paso 2
Resta ahora las decenas, la decena del minuendo (5) es mayor que la decena del sustraendo (3) así que no tienes que agregar nada a las decenas del minuendo, recuerda que no llevas número o no hay acarreo.
5 − 3 = 2 No llevas número o no hay acarreo
Tienes entonces:
−87 054 54 232 22
Paso 3
Resta ahora las centenas, la centena del minuendo (0) es menor que la centena del sustraendo (2) así que tenemos que agregar 10 unidades a las centenas del minuendo, recuerda no llevas no llevas número o no hay acarreo.
10 − 2 = 8 Recuerda, le sumas 10 unidades al 0, ahora llevas 1
Tienes entonces:
−87 054 54 232 822
Paso 4
Resta ahora las unidades de millar, las unidades de millar del minuendo (7) son mayores que las unidades de millar del sustraendo (4) así que no tienes que agregar nada, recuerda que llevas 1
7 − 5 = 2 Recuerda que llevas 1, así que el 4 se convirtió en 5
Tienes entonces: −87 054
54 232 2 822
Paso 5
Resta ahora las decenas de millar, las decenas de millar del minuendo (8) es mayor que las decenas de millar del sustraendo (5) así que no tienes que agregar nada, recuerda que no llevas número o no hay acarreo.
8 − 5 = 3 No llevas número o no hay acarreo
Tienes entonces: −87 054 54 232 32 822 Es el resultado de la resta
Actividad
____________________________________________________________________________ Efectúa las siguientes restas:1. 2. 3. 4. 5. 39 - 23 49 - 30 51 - 29 503 - 142 372 - 219 16 19 22 361 153 6. 33 − 26 = 7 7. 37 − 30 = 7 8. 46 − 12 = 34 9. 92 − 14 = 78 10. 34 − 21 = 13 11. Resta 425 de 194 = -231 12. A 62,314 réstale 7,985 = 54,329 13. De 304 restar 80 = 224 14. Restar 4,000 de 1,876 = -2,124 15. De 18,040 restar 9,351 = 8,689 16. 17. 18. 970 - 321 8143 - 126 87054 - 54232 649 8017 32822
19. Juan compró un automóvil en $37,500 y un año después lo vendió en $32,870 ¿Cuál es la diferencia entre el precio de compra y el precio de venta?
$4,630
20. La familia Blanco tiene un ingreso mensual de $14,000 de los cuales gasta $2,800 en renta, $1,487 en alimentación, $800.00 en ropa, $380 en luz, $560 en diversión, $440 en medicinas, $2,400 en gastos diversos y ahorra el resto. ¿Cuánto ahorra la familia cada mes?
$5,133
2.1.3 Multiplicación
____________________________________________________________________________
Actividad
Utiliza el lector de códigos QR de tu dispositivo móvil para visualizar el o los siguientes videos.
Tema: Problema verbal de multiplicación: pizza.
https://es.khanacademy.org/math/cc-fourth-grade-math/cc-4th-mult-div-to- pic/cc-4th-multistep-word-problems/v/multi-step-word-problems-with-whole-numbers-exercise-t2
Tema: Multiplicar números con diferentes signos.
https://es.khanacademy.org/math/arithmetic-home/negative-numbers/mult-divide-negatives/v/multiplying-negative-real-numbers
Figura 1.13 Magia en los números.
La multiplicación consiste en una operación de composición de dos magnitudes que generan otra magnitud (por ejemplo, el área es producto de las magnitudes ancho por largo).
Con frecuencia se utiliza como una suma abreviada donde la cifra a sumar repetidamente es el multiplicando, mientras que el número que indica la cantidad de veces que hay que sumar el multiplicando es el multiplicador.
La multiplicación en definitiva consiste en tomar el multiplicando y sumarlo tantas veces como indica el multiplicador
Los números que intervienen en la multiplicación reciben el nombre de factores, mientras que el resultado se denomina producto. El objetivo de la operación, por lo tanto, es hallar el producto de los factores.
La multiplicación se representa con una X, con un punto a media altura, o bien con factores entre signos de agrupación sin signos intermedios.
Ejemplo 1:
Las siguientes representaciones de la multiplicación son equivalentes:
Propiedad Enunciado Ejemplo
Conmutativa Si a y b son números enteros entonces:
a x b =b x a 6 x 3 = 3 x 6
Asociativa Si a, b y c son números enteros, entonces:
(a x b) x c = a x (b x c)
(3 x 4) x 6 = 3 x (4 x 6) 12 x 6 = 3 x 24
72 = 72
Distributiva Si a, b y c son números enteros, entonces:
a x (b + c) =a x b + a x c
3 (5 + 4) = 3 x 5 + 3 x 4 3 (9) = 15 + 12
27 = 27
Elemento neutro Si a es un número entero. entonces:
a x 1 = 1 x a = a (- 3) (1) = -3
Multiplicativa de cero
Si a es un número entero, entonces:
a x 0 = 0 x a = 0 (-3) (0) = 0
Ejemplo 2:
Efectúa la siguiente multiplicación (5) (6) (8) (3)
La multiplicación consta de cuatro factores, multiplica los dos primeros y obtendrás un nuevo factor.
(5)(6) = 30
Ahora la multiplicación esta así. (30)(8)(3) Multiplica nuevamente los dos primeros factores. (30)(8) = 240
Ahora la multiplicación esta así. (240)(3) Multiplica los dos factores restantes. (240)(3) = 720
Ejemplo 3:
Efectúa la siguiente multiplicación ×871 26
El 871 es el multiplicando en la multiplicación y el 26 es el multiplicador de la misma. Multiplica las unidades en el multiplicando por las unidades en el multiplicador. (1)(6) = 6
×871 26 6
Multiplica decenas en el multiplicando por las unidades en el multiplicador. (7)(6) = 42 ×871
26
2 6 pones el 2 y llevas 4
Multiplica las centenas en el multiplicando por las unidades en el multiplicador. (8)(6) = 48 + 4 (𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑣𝑎𝑠) = 52
×871 26
Ahora multiplica las unidades del multiplicando por las decenas del multiplicador, (1)(2) = 2 coloca el resultado debajo de las decenas en el resultado parcial.
×871 26
5 2 2 6 2
Ahora multiplica las decenas del multiplicando por las decenas del multiplicador, (7)(2) = 14 coloca 4 debajo de las centenas en el resultado parcial y llevas 1.
1
×871 26
5 2 2 6 4 2
Ahora multiplica las centenas del multiplicando por las decenas del multiplicador, (8)(2) = 16 + 1(𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑣𝑎𝑠) = 17, coloca este resultado debajo de las unidades de millar en el resultado parcial.
×871 26
5 2 2 6 1 7 4 2
Ahora solo falta que sumes los resultados parciales. ×871
26
5 2 2 6 1 7 4 2
2 2 6 4 6 que es el resultado de la multiplicación.
Actividad
____________________________________________________________________________ Efectúa las siguientes multiplicaciones.
1. (5) (6) (8) (3) = 720 2. (6) (8) = 48 3. (7) (9) = 63
4. (7) (5) = 35 5. (7)(3) (1) = 21 6. (6) (2) = 12
10. (4)(3) (2)(1) = 24 11. (178) (13) = 2,314 12. ×405 42 17010 13. ×2896 58 167968 14. ×76475 10 764750 15. ×5600 979 5482400 16. ×74599 902 67288298 17. ×8749 4021 35179729
18. Si una pluma me costó $19 ¿Cuánto me costarán 20? $380
19. Julia recibió 14 caballos en su rancho para vender. Si los quiere vender en $35,000 cada uno.
¿Cuánto dinero espera recibir en total? $490,000
20. Una empresa internacional tiene 85 clientes alrededor de todo el mundo. Si tiene una ganan-cia por cliente de $110,020 por año. ¿Cuál será su gananganan-cia anual?
$9, 351,700
2.1.4 División
La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es la
operación inversa a la multiplicación.
En toda división hay cuatro elementos: el número que se divide se llama dividendo, el número que divide es el divisor, el resultado es el cociente y lo que sobra es el residuo.
La división es exacta si su residuo es cero; si es diferente de cero entonces la división es
La división se puede representar de las siguientes formas:
Ejemplo 1:
Efectúa la siguiente división: 32 8704
Paso 1
Toma el 87 y se divide entre 32 ( ) el divisor (no interesa la cantidad exacta solo cuantas veces cabe exactamente el 32 en el 87), éste será el resultado parcial.
2
32 8704 el resultado parcial se multiplica por el divisor (2)(32) = 64
Paso 2
Coloca el resultado obtenido previamente (64) para restárselo al dividendo. Después baja la siguiente cifra en este caso centenas (0).
2 32 8704 -64 230
Paso 3
Divide el residuo parcial (230) entre el divisor. 230
32 = 7 (no interesa la cantidad exacta solo
cuantas veces cabe el 32 en el 230) este será el resultado parcial. 27
32 8704 el resultado parcial lo multiplicas por el divisor (7)(32) = 224 -64
Paso 4
Coloca el resultado obtenido previamente (224) para restárselo al dividendo. Después baja la siguiente cifra en este caso unidades de millar (4).
27 32 8704 -64 230 -224 64 Paso 5
Divide el residuo parcial (64) entre el divisor. 64
32= 2 este será el resultado parcial.
272
32 8704 el resultado parcial se multiplica por el divisor (2)(32) = 64 -64
230 -224 64
Paso 6
Coloca el resultado obtenido previamente (64) para restárselo al dividendo, en este caso el re-sultado es cero. Lo que indica que el divisor (32) cabe en el divisor. Ya no hay cifra por bajar del dividendo. 272 32 8704 230 -224 64 -64 0
Actividad
____________________________________________________________________________Efectúa las siguientes divisiones.
1. 48 ÷ 6 = 8 2. 276 ÷ 4 = 69 3. 705 ÷ 5 = 141
7. 216 ÷ 24 = 9 8. 80,604 entre 9: 8956 9. 70,692 entre 3: 23,564
10. Laura recibió boletos de $60 para una función de cine a beneficio de la escuela. Si entrega $2,100. ¿Cuántos boletos vendió?
35 boletos
11. La tienda “El buen vestir” compró 12 camisas en $3,360 ¿A qué precio deberá vender cada una para ganar $75 por camisa?
$355
12. La ferretería “La pala” compró 20 llaves de tuercas en $340. ¿A qué precio deberá vender cada una para tener una ganancia de $560?
Se deben vender en $45 cada llave
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2.1.5. Jerarquía de las operaciones
Actividad
____________________________________________________________________________ Utiliza el lector de códigos QR de tu dispositivo móvil para visualizar el o los siguientes vi-deos.
Tema: Introducción al orden de las operaciones.
https://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-arith-prop/pre-algebra-order-of-operations/v/introduction-to-order-of-operations
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Para economizar paréntesis convendremos en que, en una cadena de multiplicaciones y adicio-nes, efectuaremos primero las multiplicaciones y después las adicioadicio-nes, a menos que haya pa-réntesis que indiquen otra cosa. Por esto se dice que la multiplicación es una operación de mayor jerarquía que la adición.
La operación de mayor jerarquía se efectúa antes que la otra:
Multiplicación y/o División (lo primero que encuentre de izquierda a derecha)
Suma y/o Resta (lo pri-mero que encuentre de izquierda a de-recha)
Actividad
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Halla el valor de las siguientes expresiones usando la jerarquía de las operaciones: 1. 58 + 39 × 11 × 33 +24 = 14239
2. 31 × 2 + 48 × 12 + 3 × 11 = 671 3. 45 × 9 + 3 + 7 + 2 × 4 = 423 4. 2 + 16 × 8 + 9 ×3 + 8 = 165 5. 96 × 8 + 4 + 15 ×10 = 922
Coloca dentro del paréntesis el número desconocido: 1. [68 − ( 15 )] – 20 = 33 2. (598 – 346) − ( 251 ) = 1 3. ( 67 ) − (58 − 7) = 16 4. (359 – 29) − ( 298 ) = 32 5. [( 79 ) − 38] – 25 = 16 6. [( 87 ) − 38] – 43 = 6 7. (19 – 9 ) − ( 3 ) = 7 8. ( 15 ) − (10 − 7) = 12 9. 14 – [( 16 ) − 5] = 3 10. (20 – 8) – 6 = 6
Realiza en forma detallada las siguientes operaciones: 1. −2 − 4 − 6 − 8 − (−10) = -10
2. −2 + 4 × 8 − 8 − 16 ÷ 2 = 14 3. 64 ÷ 8 ÷ 4 ÷ 2 = 1
Reto: Elimina los símbolos de agrupación de las siguientes expresiones y determina el resultado: 1. 14 − {−11 − [−7 − (−3 − 2) − 6] − 11}= 28 2. 40 + [25 − (3 + 2)]= 60 3. 60 + [(4 + 2) − 5]= 61 4. [8 + (4 − 2)] + 29 − (3 + 1)= 35
2.2 Números racionales
Actividad
____________________________________________________________________________ Utiliza el lector de códigos QR de tu dispositivo móvil para visualizar el o los siguientes videos.Números racionales e irracionales.
https://es.khanacademy.org/math/arithmetic-home/arithmetic/fraction-arithme-tic
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Se considera que los egipcios usaron por primera vez los números fraccionarios.
La medición de terrenos cerca del Nilo tenía gran importancia, porque cuando el río crecía, inundaba la mayor parte de los terrenos y borraba sus linderos. Al volver el río a su nivel, volvían a medir y restablecer los linderos de cada parcela; muchas mediciones no eran enteras sino frac-cionarias.
La medición de cantidades continuas y las divisiones inexactas han hecho que se amplíe el campo de los números con la introducción de los números fraccionarios
En el bloque 1, se definieron las fracciones propias y las impropias. De éstas últimas se originan los números mixtos y puedes hacer la conversión entre unos y otros.
Los números mixtos son combinaciones de números enteros y fracciones
Por ejemplo: 31,63y11
3 4 5
Nota: Cuando leas un número mixto di “tres y un tercio” o “seis y tres cuartos”. Identifica
am-bos, el número entero y la fracción.
Es importante mencionar que las fracciones impropias se pueden convertir a mixta y viceversa. Una forma sencilla de visualizar las fracciones es empleando las “rebanadas de pastel” o dibujos similares. En las siguientes figuras se muestra cómo se pueden visualizar los diferentes tipos de fracciones (sombreado oscuro sobre el total).
a) Conversión de fracciones impropias a mixtas
Para convertir una fracción impropia a mixta se hace lo siguiente:
1. Divide la fracción sin llegar a decimales.
2. El cociente es la parte entera y la fracción se forma por el residuo y el divisor.
Ejemplo 1: convertir 17 5 a número mixto Por lo tanto 17 5= 3 2 5
b) Conversión de fracciones mixtas a impropias
Para convertir una fracción mixta a impropia haz lo siguiente:
1. Multiplica el entero por el denominador. 2. Suma el producto obtenido con el numerador.
3. Escribe la fracción cuyo numerador sea el resultado del paso 2 y el denominador se conserva. Ejemplo 2: convierte 52 3 a fracción impropia. 1. (5) (3)=15 2. 15+2=17 3. 17 3 por lo tanto 5 2 3 = 17 3
Actividad
____________________________________________________________________________ Escribe después de la fracción la palabra propia, impropia o mixta, según corresponda.1. 3 2 impropia 2. 4 1 impropia 3. 7 4 impropia 4. 3 2 impropia 5. 5 2 3 mixta 6. 9 10 propia 7. 4 1 2 mixta 8. 5 2 impropia 9. 9 2 3 mixta
En el espacio correspondiente escribe la fracción representada con cada figura sombreado os-curo sobre el total.
1. 1/5 2. 13/15 3. 5/6 4. 7/8 5. 16/18
En situaciones de la vida cotidiana usas las fracciones. Escribe en el espacio correspondiente la fracción que está involucrada en cada enunciado.
1. “La quinta parte del grupo contestó correctamente la pregunta”. 1/5 2. “Se necesitan tres cuartas partes de harina en la receta”. 3/4 3. “Si adivinas cuánto dinero tengo te doy la cuarta parte”. 1/4 4. “El testamento estipula que José recibe las tres quintas partes de los bienes”. 3/5
5. “Los alumnos del curso tiene media hora de descanso”. 1/2
6. “Para aflojar la tuerca necesito una llave cinco octavos”. 5/8 Determina el elemento faltante.
1. 5 = ? 8 40 2. 9 24= ? 8 3 3. 9 = ? 1 9 4. 13 26= ? 2 1 5. 11 = ? 9 99
Encuentra los enteros contenidos en las siguientes fracciones: 1. 115 3 38 2. 49 7 7 3. 82 9 9 4. 195 63 3
