Marta Martín Sierra
TIPOS DE SISTEMAS SEGÚN EL NÚMERO DE SOLUCIONES.
DISCUSIÓN E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Un sistema de ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas puede tener 1 solución, infinitas soluciones o ninguna solución, por lo que clasificaremos a los sistemas de ecuaciones según el NÚMERO DE SOLUCIONES que tengan en:
Sistemas compatibles DETERMINADOS
Tienen un punto en común. Tienen un número determinado de soluciones.
Se trata de dos rectas que se cortan en un punto
Sistemas compatibles INDETERMINADOS
Tienen infinitos puntos en común; tienen un número indeterminado de soluciones
Se trata de dos rectas superpuestas
Sistemas INCOMPATIBLES
No tienen ningún punto común
Se trata de dos rectas paralelas
Esta es la base para clasificar posteriormente sistemas de ecuaciones con más incógnitas, aunque, como veremos en su momento, sean geométricamente distintas.
Resuelve todos los sistemas de ecuaciones siguientes por el método que se señala:
A la vista de las soluciones obtenidas, di el nombre que recibe cada uno de los sistemas anteriores e interprétalos geométricamente.
25.
= +
−
=
− 1 3
8 3 2
y x
y
x REDUCCIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN
= +
−
=
− +
−
1 3
8 3 2 2 3
y x
y x ) (
) (
→
26 11 0
2 2 6
24 9 6
= +
= +
= +
−
y x
y x
y x
y = 26/11 y ≅ 2.36
Cuando obtengamos soluciones fraccionarias se sugiere volver a utilizar el método de reducción para averiguar la otra incógnita, aunque también podéis sustituir directamente:
= +
−
=
− 1 3
8 3 2 3 1
y x
y x ) (
) (
→
5 0 11
3 3 9
8 3 2
−
= +
= +
−
=
− y x
y x
y x
x = – 5/11 x ≅ 0.45
A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 5/11, 26/11)
A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE DETERMINADO
26.
−
=
−
=
−
8 5 2
7 3 8
y x
y
x IGUALACIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo la x 8x = 7 + 3y
x = 8 3
7+ y 2x = – 8 + 5y
x = 2 5 8+ y
−
8 3 7+ y
= 2 5 8+ y
− m.c.m. = 8
7 + 3y = 4(– 8 + 5y) 7 + 3y = – 32 + 20y – 3y – 20y = – 32 – 7
– 17y = – 39 17y = 39
y = 39/17 → y ≅ 2.29
Sustituimos el valor de "y" en la segunda ecuación 2x – 5y = – 8 2x – 5·
17 39 = – 8
m.c.m. = 17
Marta Martín Sierra 34x = 195 – 136
34x = 59 x = 59/34
x ≅ 1.74
x = 59/34 ; y = 39/17 Esta solución es común en ambas ecuaciones A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto
(59/34, 39/17)
A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE DETERMINADO
28.
−
= +
=
−
−
4 6 2
0 3
y x
y
x SUSTITUCIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Despejamos la x de la primera ecuación:
– x – 3y = 0 – x = 3y x = – 3y
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2x + 6y = – 4 2(– 3y) + 6y = – 4
– 6y + 6y = – 4 0y = – 4 Como 0 ≠ – 4
IMPOSIBLE
No existe ninguna solución común en ambas ecuaciones
A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas paralelas y que, por lo tanto, no se cortan en ningún punto.
A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es INCOMPATIBLE 29.
= +
−
=
−
−
2 9 6
7 3 2
y x
y
x IGUALACIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo, la y – 2x – 3y = – 7
– 3y = 2x – 7 3y = – 2x + 7
y = 3 2 7− x
6x + 9y = 2 9y = 2 – 6x y = 9
6 2− x
3 2 7− x
= 9 6 2− x
9(7 – 2x) = 3(2 – 6x) 63 – 18x = 6 – 18x 18x – 18x = 6 – 63
0x = – 57 0 = – 57 Pero… 0 ≠ 57
No existe ningún valor de "x" e "y" que verifique simultáneamente las 2 ecuaciones
A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas paralelas que no tienen ningún punto en común.
A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es INCOMPATIBLE 31
=
−
=
− 15 3 3
5 y x
y x
Vamos a resolverlo por diferentes métodos:
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN
=
−
=
−
−
15 3 3
5 1
3
y x
y x ) (
) (
→
0 0 0
15 3 3
15 3
3
= +
=
−
−
= +
−
y x
y x
y x
0 = 0
INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de “x” e “y” que verifiquen la igualdad x – y = 5; así, algunas soluciones serían:
x = 5 + y x = 0 ; y = – 5
x = 8 ; y = 3 x = 5 ; y = 0
etc.
Geométricamente se trata de 2 rectas SUPERPUESTAS Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO 33
= +
= +
x y
y x
8 2
5
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Despejamos la "x" de la primera ecuación:
x = 5 – y
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2y + 8 = x 2y + 8 = 5 – y
2y + y = 5 – 8 → 3y = – 3 y = – 1
Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación:
x = 2y + 8 → x = 2·(– 1) + 8 x = 6
x = 6 ; y = – 1 Esta solución es común en ambas ecuaciones
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (6, 1) (c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE DETERMINADO
35
−
= +
−
= +
−
1 2 3
1 7 5
y x
y
x REDUCCIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN:
−
= +
−
= +
−
1 2 3
1 7 5 5 3
y x
y x ) )
→
8 31 0
5 10 15
3 21 15
−
= +
−
= +
−
= +
−
y x
y x
y x
Marta Martín Sierra y = – 8/31 → y ≅ – 0.26
Cuando obtengamos soluciones fraccionarias se sugiere volver a utilizar el método de reducción:
−
= +
−
= +
−
−
1 2 3
1 7 5 7
2
y x
y x )
)
→
5 0 31
7 14 21
2 14 10
−
= +
−
=
−
=
− y x
y x
y x
31x = – 5
x = – 5/31 → x ≅ 0165
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 5/31, –8/31)
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es...
COMPATIBLE DETERMINADO 36
=
−
−
= +
−
4 8 6
2 4 3
y x
y
x IGUALACIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo la x – 3x + 4y = – 2
– 3x = – 4y – 2 3x = 4y + 2
x = 3 2 4y+
6x – 8y = 4 6x = 4 + 8y
x = 6 8 4+ y
x = 3 4 2+ y
3 2 4y+
= 3 4 2+ y
4y + 2 = 2 + 4y 4y – 4y = 2 – 2
0 = 0
INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la siguiente igualdad 6x – 8y = 4; así, algunas soluciones serían:
x = 0 ; y = – 1/2 x = 4/6 ; y = 0 x = 1 ; y = 1/4 x = – 1 ; y = – 5/4
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas superpuestas.
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es...
COMPATIBLE INDETERMINADO 46
=
−
−
= +
−
2 4 6
1 2 3
y x
y
x "MÉTODO LIBRE"
RESOLUCIÓN por el método de reducción
=
−
−
= +
−
2 4 6
1 2 3 1 2
y x
y x ) (
) (
→
0 0
2 4 6
2 4 6
=
=
−
−
= +
−
y x
y x
INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la igualdad 6x – 4y = 2; así, algunas soluciones serían:
x = 0 ; y = – 1/2 x = 1 ; y = 1 x = 1/3 ; y = 0
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas superpuestas.
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es...
COMPATIBLE INDETERMINADO 47
= +
−
=
−
−
3 2
1 5 3
y x
y
x "MÉTODO LIBRE"
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN:
= +
−
=
−
−
3 2
1 5 3 5 1
y x
y x ) (
) (
→
14 0 7
3 5 10
1 5 3
= +
= +
−
=
−
− y x
y x
y x
x = 14/7 x = 2
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2x + y = 3 2·2 + y = 3
y = 3 – 4 y = – 1
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1)
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es...
COMPATIBLE DETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora
