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Multiplicación de polinomios II
¿Qué encontrará esta semana?
La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y a la resta
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de monomios Agudeza visual
Competencia:
Utiliza las relaciones y propiedades entre diferentes patrones (algebraicos, geomé- tricos y trigonométricos) en la representación de información y la resolución de problemas.
Esta semana logrará:
Recordar la propiedad distributiva de la multiplicación.
Multiplicar binomio por binomio.
Multiplicar polinomio por polinomio.
Practicar la agilidad de cálculo mental con la multiplicación de monomios.
Desarrollar agudeza visual con el reflejo de figuras.
¡Para comenzar!
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la resta
Recordemos que para multiplicar un número por una suma o resta indicada, se multiplica dicho número por cada uno de los valores y se suman o restan los resultados.
Por ejemplo
Respecto a la suma
1)
7(3 + 2) = (7 3) : + (7 2) : = 21 + 14 = 35
2)5 (8 + 4) = (5 : 8) + (5 : 4) = 40 + 20 = 60
Respecto a la resta1)
9 (6 - 3) = (9 : 6) - (9 3) : = 54 - 27 = 27
2)4 (8 - 3) = (4 8 : ) - (4 3) : = 32 - 12 = 20
¡A trabajar!
Resuelva las siguientes operaciones aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación. Tiene un ejemplo.
0)
6(10 - 2 + 3) =
1)2(3 + 2 + 1) =
2)2(3 + 5) =
3)4(1 + 2 + 6) =
4)7(11 + 5 + 4) =
5)5(7 - 2) =
6)4(8 - 3 - 2) =
7)9(3 + 2 - 4) =
8)5(6 - 8 + 3) =
9)3(-2 + 6 - 4) =
(6 • 10) - (6 • 2) + (6 • 3) = 60 - 12 + 18 = 66
1. Multiplicación de polinomios
Esta semana aprenderemos a multiplicar:
• un binomio por otro binomio y
• un polinomio por otro polinomio
1.1 Multiplicación de un binomio por otro binomio
Cuatro jóvenes participan en un concurso de ajedrez. Ana y Nicté (A + N) forman un equipo, Pablo y Samuel (P + S) forman otro. Si las partidas son uno a uno,
¿cuántos juegos deben realizar?
• En la primera ronda, Ana juega primero con Pablo (AP) y luego con Samuel (AS).
• En la segunda ronda, Nicté juega con Pablo (NP) y luego con Samuel (NS).
Si queremos averiguar el número total de partidas, multiplicamos las dos pare- jas, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación y obtenemos cuatro juegos.
(A + N)(P + S) = AP + AS + NP + NS
En realidad, hemos representado las parejas del juego mediante binomios y para averiguar el número de partidas, hemos multiplicado ambos binomios.
Ahora ya podemos deducir el procedimiento del producto de dos binomios.
Para multiplicar un binomio por otro binomio, multiplicamos cada término del primer binomio por cada término del segundo.
Podemos hacer la operación en sentido horizontal o en sentido vertical.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd a b
c d
ad bd
ac bc
ac ad bc bd
+
+
+ +
+
+ + +
Recuerde la forma de multiplicar números enteros, porque así se operan los polinomios.
(A)(P + S) = AP + AS
(N)(P + S) = NP + NS
A N
AS NP NS
AP
P + S
+
El mundo de la matemática
Lea los pasos que se describen a continuación y observe la operación al final de estos. Siga la secuencia guiándose por los números de color rojo.
Para multiplicar en sentido horizontal dos binomios seguimos el siguiente pro- cedimiento.
• Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y resolvemos los productos planteados.
• Reducimos términos semejantes.
(2x + 3)(x + 5) =
6( 2
x: x ) + ( 2
x: 5 )
@+
6( 3 : x ) + ( 3 : 5 )
@= 2x
2+ 10x + 3x + 15
= 2x
2+ 13x + 15
• Escribimos el producto completo:
( ) ( )
x x x
x x
x x2 10 3 15
2 3 5
2 13 152
2
= + + +
+ + =
+ +Hagamos la misma operación en sentido vertical.
• Eliminamos los paréntesis y escribimos un polinomio debajo del otro.
• Multiplicamos cada término del binomio inferior por cada término del binomio superior. Los términos semejantes deben quedar alineados en la misma columna.
• Sumamos y reducimos términos seme- jantes y escribimos la respuesta.
Observe que operando en cualquiera de los dos sentidos llegamos al mismo re- sultado.
Sigamos el mismo procedimiento para este otro ejemplo.
(a
2+ a)(2a - 6) =
6(
a2: 2 a ) + (
a2: - 6 )
@+
6(
a: 2 a ) + (
a: - 6 )
@= 2a
3- 6a
2+ 2a
2- 6a
= 2a
3- 4a
2- 6a
• Escribimos el producto completo:
(a
2+ a)(2a - 6)
= 2a3 - 4a2 - 6a Hagamos la misma operación en sentido vertical.a a
a
a a
a a
a a a
2 6
6 6
2 2
2 4 6
2
2
3 2
3 2
+ -
- -
+
- -
x x x
x x
x x
2 3
5 10 15
2 3
2 13 15
2 2
+ + + +
+ +
Ponga atención al aplicar la ley de signos.
Escriba los términos del polinomio en orden alfabético y descendente.
Ejercicio 1
A. Multiplique los polinomios en sentido horizontal. Siga el procedimiento que practicamos en los ejemplos.
1)
(x + 4)(x + 6)
[( • ) + ( • )] + [( • ) + ( • )]
= + + +
= + +
Escriba el producto completo:2)
(-2x
2+ 2)(3x
3- 5)
[(- • ) + (- • - )] + [( • ) + ( • - )]
– + + –
Escriba el producto completo:
B. Multiplique los polinomios en sentido vertical.
1)
(x + 8)(2x + 2)
+ + + +
Escriba el producto completo:
2)
(a
4b
2+ 5)(a
2b + 3b)
+ + + +
+ +
... ...
...
...
...
...
...
+
......
...
...
...
Escriba el producto completo:
1.2 Multiplicación de polinomios
Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo, se reducen términos semejan- tes si los hay y se escribe la respuesta. Podemos hacer la operación en sentido horizontal o vertical.
(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be
c d e
a b bc bd be ac ad ae
ac ad ae bc bd be
+ +
+
+ + +
+ +
+ + + + +
Veamos un ejemplo
Multipliquemos los polinomios en sentido horizontal. Recuerde que el procedi- miento es el mismo del caso anterior.
(x + 4)(x
2+ 2x + 5) =
6(
x: x
2) + (
x: 2 x ) + (
x: 5 )
@+
6( 4 : x
2) + ( 4 : 2 x ) + ( 4 : 5 )
@=
x3+ 2x
2+ 5x + 4x
2+ 8x + 20
x
x x x xx x x
2 4 5 8 20
6 13 20
3 2 2
3 2
= + + + + +
= + + +
= x
3+ 6x
2+ 13x + 20
• Escribimos el producto completo.
(x + 4)(x
2+ 2x + 5) = x
3 + 6x2 + 13x + 20 Hagamos la misma operación en sentido vertical.x x
x
x x
x x x
x x x
2 5
4
4 8 20
2 5
6 13 20
2
2
3 2
3 2
+ +
+
+ +
+ +
+ + +
• Escribimos el producto completo.
(x + 4)(x
2+ 2x + 5) = x
3 + 6x2 + 13x + 20c d e
b bc bd be
a ac ad ae
Ejercicio 2
A. Multiplique los polinomios en sentido horizontal.
1)
(3x + y)(2x - 5y + z)
= [( • ) + ( • ) + ( • )] + [( • ) + ( • )+ ( • )]
= - + + - +
= - + + - +
= - + - +
Escriba el producto completo:
¡Un ejemplo más!
Multipliquemos los polinomios en sentido horizontal.
(2x - y)(x - 3y - 2z)
= [(2x • x) + ( 2x • -3y) + ( 2x • -2z)] + [( -y • x) + ( -y • -3y) + ( -y • -2z)]
= 2x
2- 6xy - 4xz -
xy +3y
2+ 2yz
x
xy xyxz y yz
2
26 4 3
22
= - - - + +
= 2x
2- 7xy - 4xz + 3y
2+ 2yz
• Escribimos el producto completo.
(2x - y)(x - 3y - 2z) = 2x
2 - 7xy - 4xz + 3y2 + 2yz Hagamos la misma operación en sentido vertical.x y z
x y
xy y yz
x xy xz
x xy xz y yz
3 2 2
3 2
2 6 4
2 7 4 3 2
2 2
2 2
- -
-
- + +
- -
- - + +
• Escribimos el producto completo.
(2x - y)(x - 3y - 2z) = 2x
2 - 7xy - 4xz + 3y2 + 2yz2)
(b - 3)(b
2+ 3b + 9)
= [( • ) + ( • ) + ( • )] + [(- • ) + (- • )+ (- • )]
= + + - - -
= + - + - -
= -
Escriba el producto completo:
3)
(3a - 4)(2b
2+ b + 5)
= [( • ) + ( • ) + ( • )] + [(- • ) + (- • ) + (- • )]
= + + - - -
= + + - - -
Escriba el producto completo:
4)
(x - 2)(x
2+ 2xy + 5y
2)
= [( • ) + ( • ) + ( • )] + [(- • ) + (- • ) + (- • )]
= + + - - -
= - + + - -
Escriba el producto completo:
B. Multiplique los polinomios en sentido vertical.
1)
(4x + 1)(4x
2+ 2x + 2)
x x x
4 4 16
2
3
+ +
+
+ +
+ +
Escriba el producto completo:
Multiplicación de polinomios
Para multiplicar un binomio por otro binomio y un polinomio por otro polinomio:
• Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y se resuelven los productos planteados.
• Se reducen términos semejantes.
• Se ordena el polinomio.
• Se escribe el producto completo.
Se puede multiplicar en sentido vertical y horizontal.
(b
3+ 8)(3b
2+ 5b + 1) =
= [(b
3• 3b
2) + (b
3• 5b) + (b
3• 1)] + [(8 • 3b
2) + (8 • 5b) + (8 • 1)]
= 3b
5+ 5b
4+
b3+ 24b
2+ 40b + 8 (b
3+ 8)(3b
2+ 5b + 1) = 3b
5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 83 5 1
8
24 40 8
3 5
3 5 24 40 8
b b
b
b b
b b b
b5 b4 b b b
2 3 2
5 4 3
3 2
+ +
+
+ + +
+ +
+ + + + +
2)
(x
2y + 2x)(x
2- 4x - 6)
x y x
x y x y x y
2
4 6
2
4 3 2
- -
+
- -
- -
+ - - - -
... ... ...
... ... ...
... ... ... ... ... ...
Escriba el producto completo:
Resumen
Actividad 1.
Demuestre lo aprendidoRellene el círculo donde está la respuesta correcta a cada pregunta.
1) ¿Qué propiedad se aplica en la multiplicación de polinomios?
2) ¿Qué expresión es equivalente a
y(y+ 1)
?3) ¿Cuál es el primer término y segundo término que resulta al multiplicar
(x + 1)(x + 2)
?4) ¿Cuáles son los términos tercero y cuarto que resultan al multiplicar
(2y - 5)(5y
2- y)
?5) ¿Qué resultado se obtiene al multiplicar
(a + b)(c + d)
?Actividad 2.
Practique lo aprendidoA. Multiplique los polinomios de forma vertical. Tiene un ejemplo.
0)
(x
2- 1)(3x
2+ 6)
1)(a + 3)(a + 2) x
x x
x x
x x
1
3 6
6 6
3 3
3 3 6
2 2 2
4 2
4 2
-
-
+ - -
+
2)
(2x - y)(5x + 3)
3)(3a + 1)(a + 7b)
Conmutativa Asociativa Distributiva
2y + y y
2+ y y
2+ 1 2x + 2x x
2+ x x
2+ 2x -25y
2+ 5y -2y
2+ 5y 10y
3- 2y a
2+ ac + d
2ac + bc + ad ac + ad + bc + bd
Autocontrol
4)
(c + 5)(c
2+ 3c + 1)
5)(4x + 2y)(2x + 3y + 1)
6)
(2x- 1)(x
2- 4x + 3)
7)(r + 1) (r
3+ 4r
2- r + 3)
8)
(a
2- 1)(2a - 8)
9)(x
2+ 4x)(x
2- 2x - 2)
B. Multiplique en su cuaderno.
1)
(x + 2)(x - 5)
5)(x
3+ x)(x + 6)
2)
(y - 4)(y + 4)
6)(x
2y + 2x)(y
2- 2y + 4)
3)(x
2+ 1)(x - 6)
7)(5a
2- 4a)(a
3- 3a + 7)
4)(xy - 3)(xy - 5)
8)(b
4+ 9)(-2b
2- 5b - 2)
Practique la agilidad de cálculo multiplicando los monomios lo más rápido que pueda. Recuerde aplicar la ley de signos y de la potenciación. Fíjese en los ejemplos.
A. 0)
(x
3)(x
6) =
1)(a
2)(a
3) =
2)(y
7)(y
2) =
3)(b
4)(b
9) =
4)(x
4)(x
3) =
5)(y
5)(y
4) =
6)(x
2)(x
9) =
7)(m
6)(m
2) =
8)(b
6)(b
4) =
9)(w
3)(w
8) =
10)(b
3)(b
5) =
11)
(-a)(2b) =
12)(-a)(4c) =
13)(-3b)(d) =
14)(-4x)(y) =
15)(-3x)(3z) =
16)(-4c)(2d) =
17)(-2e)(5f ) =
18)(-4h)(6k) =
19)(-2s)(7t) =
20)(-4w)(5x) =
21)(-6y)(9z) =
B. 0)(2c)(-2c) =
1)
(3a)(-4a) =
2)(5b) (-2b) =
3)(4c)(-4c) =
4)(2d)(-3d) =
5)(7h)(-2h) =
6)(4s
2)(-3s
2) =
7)(5x
2)(-2x
2) =
8)(3y
3)(-7y
3) =
9)(9w
3)(-2w
3) =
10)(5z
4)(-9z
4) =
11)
(-6d
2)(-d
3) =
12)(-8h)(-h
3) =
13)(-3b
4)(-b) =
14)(-x)(-5x
2) =
15)(-d
2)(-3d
2) =
16)(-h
3)(-4h
2) =
17)(-2t
4)(-5t
3) =
18)(-4v
3)(-3v
3) =
19)(-6w
7)(-6w
3) =
20)(-2x
4)(-8x
2) =
21)(-6y
5)(-3y
4) = x
9-4c
26d
5-2ab
Agilidad de cálculo mental
La agudeza visual es la capacidad de ver los detalles de un objeto donde hay muchos más objetos que lo rodean.
Estas figuras son reflejos la una de la otra, sus posiciones están al revés. Rodee con un círculo la cuadrícula que es un reflejo de la figura de la izquierda. Tiene un ejemplo.
0)
1) a. b. c. d.
2) a. b. c. d.
3) a. b. c. d.
4) a. b. c. d.
5) a. b. c. d.
Razonamiento lógico
Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. logrado procesoen logradono
Después de estudiar
...
Aplico la propiedad distributiva de la multiplicación.
Multiplico binomio por binomio.
Multiplico polinomio por polinomio.
Practico la agilidad de cálculo mental con la multiplicación de monomios.
Desarrollo agudeza visual con el reflejo de figuras.
Desarrolle nuevas habilidades
El Sudoku es un rompecabezas matemático como el que aparece a la izquierda de este párrafo. El objetivo es rellenar una cuadrícula de 4 x 4 con las cifras del 1 al 4 partiendo de algunos números ya dispuestos. No se debe repetir ninguna cifra en una misma fila o columna. Un sudoku está bien planteado si la solución es única. La práctica de este pasatiempo es ideal para ejercitar la atención. Ob- serve con atención el ejemplo.
0) 1
3 4 2
2 4 3 1
3 2 1 4
4 1 2 3
1) 2
3
1
3
2
4
2)
3
2
3
4
3
2
3)
2
3
2
2
3
4
3
1
