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ECUACIÓN DE LA RECTA EN 3D
Aquí, como en dos direcciones, para definir una recta y por lo tanto su ecuación nos hace falta saber su dirección y su posición. Por lo tanto hemos de conocer siempre, para calcular su ecuación, un punto por el que pasa y un vector que indica su dirección. En la siguiente figura tenemos la recta que pasa por el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y tiene la dirección del vector 𝑣⃗ = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧)
𝑍
𝑧0
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) 𝑣⃗
𝑦0 𝑌 𝑥0
𝑋
En la figura hemos dibujado las proyecciones de la recta (en rojo) y de su vector director 𝑣⃗ (en verde) sobre el plano 𝑋𝑌 para intentar que se vea mejor.
La condición para que un punto cualquiera del espacio 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) esté en la línea recta definida por el punto 𝑃 y el vector 𝑣⃗ es, como vemos en la figura, que el vector 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sea paralelo al vector 𝑣⃗. Traduciendo esta idea al lenguaje matemático:
𝑣⃗ = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧)
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑄 − 𝑃| = (𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0)
Y aplicando la condición de paralelismo de vectores nos queda la ecuación:
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𝒙 − 𝒙𝟎
𝒗𝒙 = 𝒚 − 𝒚𝟎
𝒗𝒚 =𝒛 − 𝒛𝟎 𝒗𝒛
Que recibe el nombre de ecuación continua de la recta. Fijarse y recordar las posiciones que ocupan las coordenadas del punto y las coordenadas del vector en esa ecuación que más bien son dos como se ve por las dos igualdades que contiene. De esas dos ecuaciones se hablará más adelante, cuando conozcamos la ecuación del plano. Ahora veamos otro tipo de ecuaciones que también representan a la recta, las ecuaciones paramétricas. El utilizar un tipo u otro de ecuaciones depende del problema como veremos.
Si partimos de la ecuación continua anterior 𝒙 − 𝒙𝟎
𝒗𝒙 = 𝒚 − 𝒚𝟎
𝒗𝒚 =𝒛 − 𝒛𝟎 𝒗𝒛
Para cada punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) de la recta los tres quebrados son iguales entre sí e iguales a un número real, variable según el punto (por lo que recibe el nombre de parámetro, según sea su valor nos define un punto u otro) y que vamos a llamar gamma:
𝑥 − 𝑥0
𝑣𝑥 =𝑦 − 𝑦0
𝑣𝑦 =𝑧 − 𝑧0
𝑣𝑧 = 𝛾 → {
𝒙 = 𝒙𝟎+ 𝜸 ∙ 𝒗𝒙 𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝜸 ∙ 𝒗𝒚 𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝜸 ∙ 𝒗𝒛
Siendo la ecuación remarcada en negrita la que llamamos paramétrica de la recta donde, como en la continua, debemos de fijarnos en las posiciones que ocupan las coordenadas del punto y del vector que definen a la recta. En estas ecuaciones vemos que los puntos de una recta quedan definidos con un parámetro, se dice por lo tanto que la recta tiene una dimensión.
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ECUACIÓN DEL PLANO
Al igual que en el caso de la recta tenemos que saber que elementos fundamentales determinan un plano y por lo tanto su ecuación. Estos elementos son dos vectores en los que se “apoya” e indican su dirección y un punto por el que pasa, su posición. En la figura, los dos vectores son 𝑣⃗ 𝑦 𝑡⃗ y el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
𝑣⃗(𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑡⃗ (𝑡𝑥, 𝑡𝑦, 𝑡𝑧)
𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
𝑌
𝑂 𝑋 𝑍
Como vemos en la figura, para que un punto 𝑄 pertenezca al plano el vector 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ha de estar en el mismo plano que los vectores 𝑣⃗ y 𝑡⃗ o, lo que es lo mismo, es combinación lineal de ellos y por lo tanto el determinante formado por los tres ha de valer cero:
|
𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0
𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧
𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝑡𝑧 | = 0 →
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Que desarrollando nos da:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
Se demuestra fácilmente que el vector de coordenadas (𝑨, 𝑩, 𝑪) que aparece en la ecuación anterior es un vector perpendicular al plano. Esta idea nos dará pie como veremos para calcular la ecuación de un plano a partir de otras condiciones. Son las dos maneras que tendremos de calcular la ecuación de un plano y los datos que nos hacen falta en ellas son los que deberemos buscar siempre para calcular la ecuación de un plano.
La anterior ecuación indica la condición que tienen que cumplir los puntos del espacio para que pertenezcan al plano, o sea, es la ecuación del plano que buscábamos.
También podíamos haber trabajado de la siguiente manera:
Dado que el vector 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es combinación lineal de los vectores 𝑣⃗ 𝑦 𝑡⃗
sabemos que existen dos números reales 𝛾 𝑦 𝜇 tales que:
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛾 ∙ 𝑣⃗ + 𝜇 ∙ 𝑡⃗ →
(𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0) = 𝛾(𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧) + 𝜇(𝑡𝑥, 𝑡𝑦, 𝑡𝑧) → Igualando componentes y despejando 𝑥, 𝑦 y 𝑧, nos queda
{
𝑥 = 𝑥0+ 𝛾𝑣𝑥 + 𝜇𝑡𝑥 𝑦 = 𝑦0 + 𝛾𝑣𝑦 + 𝜇𝑡𝑦 𝑧 = 𝑧0+ 𝛾𝑣𝑧 + 𝜇𝑡𝑧
Sistema de ecuaciones que reciben el nombre de ecuaciones paramétricas del plano. Como se ve, el plano depende de dos parámetros (tiene por lo tanto dos dimensiones) mientras que la recta depende solo de uno (por lo tanto una recta tiene una dimensión como se ha dicho ya).
La forma anterior es una de las dos maneras que tenemos para calcular la ecuación de un plano. En ella necesitamos dos vectores en los que se apoya el plano y un punto por el que pasa.
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En la segunda forma, lo que sabemos o necesitamos es un vector perpendicular al plano y un punto por el que pasa. Veamos un ejemplo y con ello creemos es suficiente:
Ejemplo/teoría 1
Calcular la ecuación de un plano que pasa por el punto 𝑃(1,2,3) y es perpendicular al vector 𝑣⃗ = (−1,2,4)
Como sabemos por la ecuación anterior los coeficientes del vector 𝑣⃗ han de ser los coeficientes de las variables 𝑥, 𝑦, 𝑧 en la ecuación del plano. Por lo tanto tendrá la forma de:
−1 ∙ 𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 + 𝐷 = 0
Y como pasa por el punto dado, sus coordenadas han de cumplir la ecuación:
−1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 4 ∙ 3 + 𝐷 = 0 → 𝐷 = −15 Quedando la ecuación del plano pedido:
−𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 15 = 0
La explicación ya está dada pero también podemos dar otra para llegar a la misma conclusión que creemos es interesante:
𝑣⃗(−1,2,4)
𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑃(1,2,3)
Y como vemos en la figura, el vector 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ha de ser perpendicular al vector 𝑣⃗ si queremos que el punto 𝑄 pertenezca al plano. Por lo tanto su producto escalar ha de ser cero (condición de perpendicularidad):
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{ 𝑣⃗ = (−1,2,4)
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 − 1, 𝑦 − 2, 𝑧 − 3)→ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗∟𝑣⃗ → 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ = 0 →
−1 ∙ (𝑥 − 1) + 2 ∙ (𝑦 − 2) + 4(𝑧 − 3) = 0 →
−𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 15 = 0
Ecuación que coincide con la anterior como no podía ser de otra manera si no nos hemos confundido.
Conocida ya la ecuación del plano podemos ya hablar de la tercera forma de poner la ecuación de una recta: como intersección de dos planos.
Como en el caso anterior, haremos un ejemplo y con ello creemos que es suficiente
RECTA COMO INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS
Sea la ecuación de la recta 𝑟 dada como la intersección de los dos planos siguientes:
𝑟 ≡ {𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 𝑦 + 𝑧 + 2 = 0
Lo único que tenemos que hacer es resolver el sistema de dos ecuaciones:
(1 1 0 0 1 1 1
−2)
Como vemos, la matriz de los coeficientes ya está triangulada, siendo su rango por lo tanto dos como el rango de la matriz ampliada. Como el número de incógnitas es tres tenemos un sistema compatible indeterminado con un parámetro:
Elegimos como parámetro la incógnita 𝑧. Evidentemente se puede elegir cualquier variable como parámetro siempre que no tenga un valor constante (por ejemplo, si uno de los dos planos está definido por la ecuación 𝑧 = 0, la variable 𝑧 no podrá ser parámetro claramente pues sólo puede tomar el valor de cero como indica la ecuación). Seguimos con la variable 𝑧 como parámetro:
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𝑧 = 𝜆 → { 2ª 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑦 = −2 − 𝑧 = −2 − 𝜆
1ª 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥 = 1 − 𝑦 = 1 − (−2 − 𝜆) = 3 + 𝜆
Que resumiendo, y poniendo las soluciones como las ecuaciones paramétricas de una recta, nos queda:
{
𝑥 = 3 + 𝜆 𝑦 = −2 − 𝜆
𝑧 = 0 + 𝜆
De donde deducimos, comparando con las paramétricas de la recta, que un punto por el que pasa la recta es el (3, −2,0) y un vector que indica su dirección es el vector 𝑣⃗ = (1, −1,1). Ya podemos ponerla si queremos también en forma continua.
POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS 1. DOS RECTAS
Dadas dos rectas, deduciremos primero si son paralelas o no. Para ello cogeremos los vectores directores de las rectas e impondremos la condición de paralelismo (dos vectores son paralelos si y solo si sus componentes son proporcionales). Si ambos vectores son paralelos podremos asegurar que ambas rectas son paralelas salvo que sean la misma. Para ver si son la misma o no basta con coger un punto de una de ellas y sustituirlo en la (o las) ecuación de la otra recta; si ese punto cumple también la ecuación de la otra es que, además de paralelas, ambas rectas son la misma.
Si no son paralelas pueden pasar dos cosas: que se crucen (como dos carreteras a distinto nivel) o que se corten en un punto formando un plano. Para distinguir un caso de otro miremos la siguiente figura:
𝑣⃗
𝑃 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑄 𝑡⃗
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Tenemos que ver que si las rectas se cruzan el determinante formado por los vectores 𝑣⃗, 𝑡⃗ y 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ estará formado por tres vectores libres y por lo tanto será distinto de cero. Si, por el contrario, las rectas se cortan en un punto esos mismos tres vectores estarán en un mismo plano y el determinante formado por los tres será cero.
Ejemplo
Calcular el valor de “a” para que las rectas:
𝑟 ≡ 𝑥 − 𝑎
2 =𝑦
3= 𝑧 − 1 4 Se corte con la recta
𝑠 ≡ {𝑥 + 𝑦 = 0 𝑦 + 𝑧 = 0 De la primera recta ya conocemos el vector
𝑣⃗ = (2,3,4) Y el punto que depende del valor de “a”
𝑃(𝑎, 0,1)
La segunda recta la pasamos a paramétricas:
(1 1 0 0 1 1 0 0) → {
𝑧 = 𝜇 𝑦 = −𝑧 = −𝜇
𝑥 = −𝑦 = 𝜇
→ {
𝒙 = 𝟎 + 𝝁 𝒚 = 𝟎 − 𝝁 𝒛 = 𝟎 + 𝝁 De donde ya conocemos el vector
𝑡⃗ = (1, −1,1) Y el punto
𝑄(0,0,0)
Por lo tanto ya estamos en condiciones de aplicar lo que hemos dicho y calcular el determinante:
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝑎, 0, −1) 𝑣⃗ = (2,3,4) 𝑡⃗ = (1, −1,1) Por lo tanto, para que formen un plano y se corten:
|
−𝑎 0 −1
2 3 4
1 −1 1
| = 0 → −7𝑎 + 5 = 0 → 𝑎 = 5 7
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Para otros valores de “a” las rectas se cruzarían.
2. TRES PLANOS
El caso de dos planos es muy sencillo: o se cortan en una recta (que ya sabemos hallar) o son paralelos con los coeficientes de sus ecuaciones proporcionales. Por eso vamos a hacer un resumen de las distintas posiciones entre tres planos.
Estudiamos primero los casos en que hay solución, ósea sistemas compatibles a la hora de resolver el sistema de las tres ecuaciones
SISTEMAS COMPATIBLES
Primer caso: SCD. Los tres se cortan en un punto como en la figura
𝐼
Para calcular el punto I basta con resolver el sistema formado por las tres ecuaciones de los tres planos. Como sabemos que la solución es un punto este caso queda reflejado matricialmente diciendo que el sistema
𝜋 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 𝜋1 ≡ 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1𝑧 + 𝐷1 = 0 𝜋2 ≡ 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2𝑧 + 𝐷2 = 0 Y las matrices que lo representan
(
𝐴 𝐵 𝐶
𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐴2 𝐵2 𝐶2
−𝐷
−𝐷1
−𝐷2 ) Cumplen
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𝒓𝒂𝒏𝒈𝑴 = 𝒓𝒂𝒏𝑴𝒂𝒎𝒑𝒍𝒊𝒂𝒅𝒂 = 𝟑 = 𝒏º 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒄ó𝒈𝒏𝒊𝒕𝒂𝒔 → 𝑺𝑪𝑫
Segundo caso:
𝒓𝒂𝒏𝒈𝑴 = 𝒓𝒂𝒏𝒈𝑴𝒂 = 𝟐 < 𝒏º 𝒊𝒏𝒄𝒐𝒈 = 𝟑 → 𝑺𝑪𝑰 𝒄𝒐𝒏 𝟏 𝒑𝒂𝒓á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 La solución, al depender de un parámetro, sabemos que representa a una recta, ósea, los tres planos se cortan según una recta. Pero pueden pasar dos cosas:
a) Dos planos son el mismo y el tercero los corta según una recta. Este caso se distinguirá porque dos ecuaciones tienen TODOS sus coeficientes proporcionales, incluidos los términos independientes.
Si eso no es así tenemos el segundo caso
b) Los tres planos se cortan en una recta, y viéndolos de perfil vemos un “aspa” formada por tres rectas que se cortan en un punto (la recta intersección vista desde perfil)
Tercer caso:
𝒓𝒂𝒏𝒈𝑴 = 𝒓𝒂𝒏𝒈𝑴𝒂 = 𝟏 < 𝒏𝟏𝒊𝒏𝒄ó𝒈. = 𝟑 → 𝑺𝑪𝑰 𝒄𝒐𝒏 𝟐 𝒑𝒂𝒓á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 La solución depende de dos parámetros y sabemos que eso representa un plano: los tres planos son el mismo y todas las soluciones son los puntos de ese plano único.
SISTEMAS INCOMPATIBLES Primer caso
𝒓𝒂𝒏𝒈𝑴 = 𝟐 ≠ 𝒓𝒂𝒏𝒈𝑴𝒂 = 𝟑 𝑺𝑰
Si el rango de M es dos significa que de los tres vectores directores de cada uno de los planos están en el mismo plano o dos de ellos son paralelos. Tenemos entonces dos casos
a) Dos planos paralelos y el tercero los corta en dos rectas paralelas.
Este caso se distingue mirando si hay dos vectores de los tres que
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tengan sus componentes proporcionales. Si es así esa es su posición relativa
b) Si no se cumple la condición anterior es que los tres vectores están en un plano pero ninguno es paralelo. Forman entonces un triángulo si los vemos de perfil.
Segundo caso
𝒓𝒂𝒏𝒈𝑴 = 𝟏 ≠ 𝒓𝒂𝒏𝒈𝑴𝒂 = 𝟐 𝑺𝑰
Si el rango de M es uno es que sólo hay un vector director y los tres planos son paralelos, puede pasar que dos de ellos sean el mismo. Para comprobar esto basta, como ya se ha dicho anteriormente, ver si todos los coeficientes, incluidos los términos independientes, son proporcionales en dos ecuaciones.
