1 Ejercicios de cardinalidad de conjuntos:
1. Sean A, B, C tres conjuntos en un mismo universo. Determinar la cardinalidad de los
conjuntos: A, B y C considerando que:
Solución:
Para determinar la cardinalidad de los conjuntos A, B y C debemos hacer uso de las propiedades de cardinalidad y de las propiedades de los conjuntos.
Como sabemos del dato 4) que:
Dato 4)
Por propiedad
Propiedad:
Dato 5)
Ahora por dato 3), tenemos que:
Dato 3)
Propiedad:
Dato 8) y reemplazo de
Utilizando el dato 2) obtendremos el valor de :
Dato 2) Propiedad: Propiedad: Datos: 1), 5), 6), 7) y 8).
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Una forma de comprobar que el ejercicio está resuelto de manera correcta, es utilizando diagramas de Ven.
Primero, sabemos que tenemos tres conjuntos: A, B y C en un mismo universo, entonces tenemos el siguiente diagrama:
Luego utilizando los datos, comenzando por la intersección que involucra más conjuntos:
#(\ \ ) = 3 obtenemos:
Seguido de aquellas intersecciones de dos en dos:
#(\ ) = 4; #(\ ) = 8; #(\ ) = 11. U B A C U B A C 3 U B A C 3 5 1 Notar que: 3 + 5 = 8 Notar que: 3 + 1 = 4 8
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Ahora bien, también sabemos que #(- ) =12 (n° de elementos que están en A pero
que no están en C), entonces:
Por otra parte, #([ ) = 23 (n° de elementos que están en A o están en B),
entonces:
Utilizando el dato #([ [ )C= 5 (todos los elementos que no están en A, ni en B, ni en C), entonces: U B A C 3 5 1 8 4 U B A C 3 5 1 8 4 2 U B A C 3 5 1 8 4 2 5
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Y como en total son treinta datos (#= 30), sólo nos faltan 11:
Sumando obtenemos que: #A = 16.
#B = 18 #C = 11.
2. En un universo de Nelementos se tienen dos conjuntos y tales que: a) Determinar #A. b) Si N = 80 determinar Solución:
a) Sabemos que , entonces:
Dato
Ley de Morgan
Propiedad:
Dato: universo de Nelementos Resultado de la ecuación. Propiedad: Datos: y Resultado de la ecuación. b) Si N = 80 entonces tenemos:
Por ejercicio 2 parte a) tenemos que:
Entonces: U B A C 3 5 1 8 4 2 5 2
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3. En un curso compuesto por 22 alumnos; 12 estudian Alemán; 11 estudian inglés y 11 francés, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian Inglés y Francés; 5 estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian sólo inglés?
Solución:
Primero definiremos los siguientes conjuntos: Sean A, I y F tres conjuntos tales que:
A: es el conjunto de alumnos que estudian alemán. F: es el conjunto de alumnos que estudian francés. I : es el conjunto de alumnos que estudian inglés.
Donde el universo es el curso, entonces interpretando los datos tenemos que:
“En un curso compuesto por 22 alumnos”
“12 estudian Alemán”
“11 estudian inglés”
“11 estudian francés”
“6 estudian alemán e inglés”
“7 estudian Inglés y francés”
“5 estudian alemán y francés”
“2 estudian los tres idiomas”
Antes de contestar la pregunta planteada, recordamos que dada la definición de unión, intersección y complemento de conjuntos siempre podemos interpretar en lenguaje común; la unión de conjuntos ( ) como una conexión “o”; la intersección de conjuntos ( ) como una conexión “y”; y la negación de conjuntos ( ) como un “no”. Por lo tanto, dado que nuestra pregunta es: ¿Cuántos alumnos estudian sólo inglés?, esta puede ser interpretada de manera equivalente, para ser escrita en lenguaje algebraico, como: ¿Cuántos alumnos estudian inglés y no francés y no alemán?, o sea lo que nos preguntan es: Entonces:
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Respuesta: En el curso en cuestión no hay alumnos que sólo estudien inglés.
4. En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V., 7, 9 y 13 se obtuvo la siguiente información:
55 Encuestados ven el canal 7 15 Sólo ven el canal 7 y el canal 9 33 Ven el canal 7 y el canal 13 3 Sólo ven el canal 13
23 Ven los tres canales 46 Ven el canal 9 6 No ven T.V.
2 Sólo ven el canal 13 y el canal 9
a) Señale la cantidad de personas encuestadas.
b) Señale la cantidad de personas que ven sólo el canal 9 Solución:
Primero definiremos los siguientes conjuntos: Sean A, B y C tres conjuntos tales que:
A: es el conjunto de personas que ven el canal 7. B: es el conjunto de personas que ven el canal 9. C: es el conjunto de personas que ven el canal 13. Datos:
“55 encuestados ven el canal 7”
“15 sólo ven el canal 7 y el canal 9”
“33 ven el canal 7 y el canal 9”
“3 sólo ven el canal 13”
“25 ven los tres canales”
“46 ven el canal 9”
“6 no ven T.V”
“2 sólo ven el canal 13 y el canal 9”
a)
Para saber la cantidad haremos uso de la siguiente propiedad:
Entonces, de la misma manera:
7
Reemplazando este valor en Entonces:
b) La cantidad de personas que sólo ven el canal 9 es:
5. En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las siguientes respuestas, 30 personas tomaban té con leche, 40 personas tomaban café con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban té o leche y 150 tomaban café o leche.
a) ¿Cuántas personas tomaban té puro? b) ¿Cuántas personas tomaban leche pura? c) ¿Cuántas personas tomaban café puro?
d) ¿Cuántas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno? Solución:
Primero definiremos los siguientes conjuntos: Sean T, L y C tres conjuntos tales que:
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T: es el conjunto de personas que consumen té en el desayuno. L: es el conjunto de personas que consumen leche en el desayuno. C: es el conjunto de personas que consumen café en el desayuno.
Para resolver este ejercicio se considera que no hay personas que consumen té con café. Entonces:
Ahora escribiremos algebraicamente los datos entregados:
“250 personas encuestadas”
“30 personas tomaban té con leche”
“40 personas tomaban café con leche”
“80 personas tomaban leche”
“130 personas tomaban té o leche”
“150 tomaban café o leche”
Desarrollamos los datos para encontrar la cantidad de personas que consumen té al desayuno:
De la misma forma encontraremos la cantidad de personas que consumen café al desayuno:
a) ¿Cuántas personas tomaban té puro?
b) ¿Cuántas personas tomaban leche pura?
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c) ¿Cuántas personas tomaban café puro?
d) ¿Cuántas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno?
Observación: Este ejercicio sufre algunas modificaciones si se considera como incógnita la
cantidad de personas que toman café y leche (distinto de cero), pero para las consideraciones para la cual fue creado este material se hace prescindible.
