4
Aplicaciones de
la derivada
Capítulo 4
Presentación
En el capítulo anterior se presentaron todas las herramientas básicas como medio para resolver una serie de problemas en los que interviene la derivada, que son de gran importancia práctica y que de otra forma no podrían ser resueltos.
En este capítulo se exponen las aplicaciones más elementales e interesantes de la derivación a problemas del análisis matemático (estudio de la variación de las fun-ciones, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexión y, en general, el trazado completo de curvas), de la geometría (rectas tangentes y normales), de la física (movimiento variado) y en problemas de la vida diaria en los cuales se precisa minimizar costos, obtener beneficios máximos, etc., y para ellos la teoría de la deri-vación proporciona información suficiente.
Contenido breve Módulo 20
Interpretaciones geométrica y física de la derivada
Módulo 21
Valores extremos de una función de variable real
Módulo 22
Teorema del valor medio (TVM) para derivadas
Módulo 23
Criterio de la primera derivada Módulo 24
Criterio de la segunda derivada Módulo 25
Análisis y trazado de curvas Módulo 26
Problemas de máximos y mínimos Módulo 27
La derivada como razón de cambio Módulo 28
La diferencial Ejercicios En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y terminan empatados. El teorema del valor medio permite
Introducción
El problema de la tangente a una curva en uno de sus puntos es muy antiguo y se remonta a la época del gran matemático griego Arquímedes (287-212 a.C.). El proble-ma de la velocidad instantánea es más reciente. Creció con los intentos de Keppler (1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) y otros para describir la velo-cidad de un cuerpo en movimiento. Estos dos problemas, el uno geométrico y el otro físico, en apariencia no están muy relacionados; sin embargo, conducen al mismo límite de cocientes incrementales, esto es, al concepto de derivada.
Objetivos del módulo
1. Interpretar la derivada de una función en un punto como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa la función en dicho punto.
2. Interpretar físicamente la derivada s´(t) como la velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta mediante la función s(t), que permite calcular para cada t el espacio recorrido s.
3. Interpretar s´´(t) como la aceleración de la partícula.
Preguntas básicas
1. Determine las ecuaciones de la recta tangente LT y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación 2
( ) 8,
y= f x = x − en el punto P (3, 1).
2. Si un objeto es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una al-tura S0 (pies), con una velocidad inicial v0 (pies/s), y si s es la altura sobre el piso después de t segundos, puede demostrarse que la posición S como función del
tiempo viene dada por 2
0 0
( ) 16 .
S= f t = − t + ⋅ +v t S
3. Supóngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edi-ficio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s.
a. ¿Cuándo el objeto alcanza la altura máxima? b. ¿Cuál es la altura máxima?
c. ¿Cuándo llega al piso?
d. ¿Con qué velocidad llega al piso?
e. ¿Cuál es su aceleración en el instante t = 2 s?
Contenidos del módulo
20.1 Interpretación geométrica de la derivada 20.2 Interpretación física de la derivada
Interpretaciones geométrica y física de la
derivada
20
Si un clavadista se lanza desde una plataforma situada a S0
pies de altura con una velocidad v0 (hacia arriba), ¿cuándo llegará al agua y con qué velocidad? El modelo clásico presentado al final del módulo da la respuesta.
20.1 Interpretación geométrica de la derivada
Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo: data del gran científico griego Arquímedes (287-212 a.C.), se llama
proble-ma de las tangentes y se describe a continuación.
Se da una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (figura 20.1).
Figura 20.1
Sea P un punto fijo de la curva y Q un punto móvil de la curva y próximo a P. La recta que pasa por P y Q se denomina recta secante.
Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces la posición límite (si existe) de la secante se
denomina recta tangente a la curva en P.
Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son, respectivamente, P c f c
(
, ( ) ,)
(
, ( ))
Q c+h f c+h (figura 20.2), entonces la pendiente de la recta secante PQ denotada por msec PQ viene dada por
sec ( ) ( ) tan . PQ f c h f c m h α + − = =
En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical) es la recta cuya pendiente mT viene dada por
sec 0 ( ) ( ) lim lim ( ). T P Q PQ h f c h f c m m f c h → → + − ′ = = =
Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada
Figura 20.2
De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en P c f c
(
, ( ))
es( ) ( )( )
y−f c = f c x c′ − (forma punto-pendiente de la recta) (sección 2.4, dice II).
Ejemplo 20.1
Determine las ecuaciones de la recta tangente LT y de la recta normal (recta perpendi-cular a la tangente) LN a la curva de ecuación 2
( ) 8
y= f x = x − en el punto P (3, 1).
Solución
Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (figura 20.3).
Figura 20.3
Vea el módulo 20 del programa de televisión
La pendiente de LT viene dada por (3,1) (3). T P dy m f dx ⎛ ⎞ ′ =⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ Pero 2 1 2 2 1 ( ) (2 )( 8) . 2 8 x f x x x x − ′ = − = − Así que mT = f ′(3)=3.
Usando ahora la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta (sección 2.4, apéndice II) se tiene entonces que para LT,y− =1 3(x− ⇔3) 3x− − =y 8 0es la ecuación de la recta tangente.
Ahora, como mT⋅mN = −1, se deduce que 1.
3
N
m = −
Usando nuevamente la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta se tiene
que, para LN, 1 1( 3) 3 6 0
3
y− = − x− ⇔ +x y− = es la ecuación de la recta normal.
Ejemplo 20.2
Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación 3
( ) 1,
y= f x =x + que es paralela a la recta de ecuación x+12y− =6 0.
Solución
En la figura 20.4 aparece la gráfica de la curva y de la recta dada.
Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada
Si se denota por LN la recta normal, como LN es paralela a x+12y− =6 0 se tiene
que 1 .
12
N
m = −
Para determinar la ecuación de LN hace falta conocer el punto P(x1, y1) de tangencia. Para ello, se usa el hecho de que mT =12 (mT: pendiente de la tangente).
De otro lado, mT = f x′( )1 =3x12. Así que 2
1 1
3x =12∴ x = ±2.
Este último resultado indica que existen dos puntos de tangencia, a saber: P1 (2, 9) y P2 (−2,−7). En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las con-diciones iniciales del problema. Una de ellas pasa por P1 (2, 9) y tiene pendiente
1 . 12
N
m = − Su ecuación viene dada por 9 1 ( 2) 12 110 0.
12
y− = − x− ⇔ +x y− =
La otra pasa por P2 (−2,−7) y tiene pendiente 1 . 12
N
m = − Su ecuación viene dada
por ( 7) 1 ( ( 2)) 12 86 0.
12
y− − = − x− − ⇔ +x y+ =
Ejemplo 20.3
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 8(x2+y2 2) =100(x2−y2) en
el punto (3, 1). Solución
En primer lugar note que 8(32+1 )2 2 =100(32−1 ),2
lo cual indica que el punto (3, 1) pertenece a la curva. Ahora, (3,1) . T dy m dx ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Para determinar dy
dx se usa derivación implícita en la ecuación
2 2 2 2 2 8(x +y ) =100(x −y ). Esto es,
(
2 2)
(
)
(
)
16 x +y ⋅ 2x+2y y⋅ ′ =100 2x−2yy′ . 3 2 2 3 32x +32x yy′+32xy +32y y′=200x−200yy′.(
32 2 32 3 200)
200 32 3 32 2. y′ x y+ y + y = x− x − xy de donde 3 2 2 3 200 32 32 . 32 32 200 dy x x xy y dx x y y y − − ′ = = + +Por tanto, 3 2 2 3 (3,1) 200 3 32 3 32 3 1 600 864 96 360 . 288 32 200 520 32 3 32 1 200 1 T dy m dx ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ = = = − + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎝ ⎠ Es decir, 9 . 13 T m = −
Así que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1) viene dada por
9
1 ( 3) 9 13 40 0.
13
y− = − x− ⇔ x+ y− =
Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada
Velocidad promedio y velocidad instantánea
Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre sí 100 km, en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 km/h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado. Pero, durante el viaje, el velocímetro marcó con frecuencia lecturas diferentes de 50 km/h. Inicialmente marcó 0, a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿qué es lo que en realidad marca el velocíme-tro? No marca la velocidad promedio, sino la llamada velocidad instantánea. Considere un ejemplo más preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimen-tos demuestran que si un objeto parte del reposo en caída libre, la posición S del objeto, como función del tiempo, viene dada por
2
1 6
S = t (S en pies, t en segundos).
Así, en el primer segundo cae 16 pies y en el siguiente segundo cae 16 (2)2 = 64 pies.
Por tanto, en el intervalo de t = 1 s a t = 2 s, P cae (64 – 16) pies, de manera que su velocidad promedio será:
64 16 pies 48 . 2 1 s prom V = − = −
En el intervalo de t = 1 s a t = 1.5 s, P cae (16 (1.5)2 – 16) pies. En consecuencia, su
velocidad promedio será:
2 16(1.5) 16 20 pies 40 . 1.5 1 0.5 s prom V = − = = −
En forma similar, en los intervalos de tiempo de t = 1 s a t = 1.1 s, y de t = 1 s a t = 1.01 s, P caerá, respectivamente, (16 (1.1)2 – 16) pies y (16 (1.01)2 – 16) pies, y sus
velocidades promedio serán, respectivamente:
2 16(1.1) 16 3.36 pies 33.6 , 1.1 1 0.1 s prom V = − = = − 2 16(1.01) 16 0.3216 pies 32.16 . 1.01 1 0.01 s prom V = − = = −
Lo que se ha hecho hasta ahora es calcular la velocidad promedio sobre los intervalos de tiempo cada vez más cortos pero próximos a 1 s. Cuanto más nos aproximamos a t = 1 s, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 s. Los números 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedio, hacen «sospechar» que la velocidad instantánea es de 32 pies/s.
El ejemplo anterior nos permite definir de una manera más precisa los conceptos de velocidad promedio y de velocidad instantánea.
Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posición S en cada instante t es una función S = f (t).
En el instante t = c, el objeto está en f (c). En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) (figura 20.5). Por tanto, la velocidad promedio durante este intervalo es:
( ) ( ) . prom f c h f c V h + − =
Y se define la velocidad instantánea V en el instante t = c así:
0 0
( ) ( )
lim prom lim ( ).
h h f c h f c V V f c h → → + − ′ = = = Figura 20.5
Observación
Existe una distinción técnica entre las palabras velocidad y rapidez. La velocidad tiene un signo asociada a ella, es decir, puede ser positiva o negativa. La rapidez se define como el valor absoluto de la velocidad.
Así por ejemplo, si un objeto se mueve a lo largo del eje coordenado de modo que su posición en cualquier instante t satisface la ecuación
2 ( ) 2 12 8, S= f t = t − t+ entonces ( ) dS 4 12. v t t dt = = − Así, v(2)= −4 cm s, v(3)=0, v(4)=4 cm s.
De esta forma, la rapidez en t = 2 s es − =4 4 cm s.
El medidor de la mayoría de los automóviles es un «rapidómetro» (celerómetro) y siempre da valores no negativos.
Ahora se quiere dar una interpretación física de la segunda derivada
2
2 , d S
dt que mide la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir,
2 2 d S d dS dv dt st dt dt ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟=
⎝ ⎠ y que se llama aceleración. Si la denotamos por la letra a,
entonces: 2 2 . d S d dS dv a dt st dt dt ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟= ⎝ ⎠ En el ejemplo anterior: 2 ( ) 2 12 8, S= f t = t − t+ 4 12, dS v t dt = = − 2 4 cm/s . dv a dt = =
Esto significa que la velocidad aumenta a razón constante de 4 cm/s cada segundo y escribimos 4 cm/s2.
Problemas de caída de los cuerpos
Si un cuerpo es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una altura
S0 (pies), con una velocidad inicial v0 (pies/s), y si S (pies) es la altura sobre el piso después de t segundos, entonces puede demostrarse que la posición S como fun-ción del tiempo viene dada por
2
0 0
( ) 16 .
S= f t = − t +v t+S
Esto presupone que el experimento tiene lugar cerca del nivel del mar y que se desprecia la resistencia del aire. La figura 20.6 ilustra la situación.
Figura 20.6
Supóngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s.
a. ¿Cuándo el objeto alcanza la altura máxima? b. ¿Cuál es la altura máxima?
c. ¿Con qué velocidad llega al piso?
d. ¿Cuál es su aceleración en el instante t = 2 s? Solución
Como S0 =160 y v0 = 64, la ecuación de movimiento viene dada por
2 ( ) 16 64 160 S = f t = − t + t+ (S: pies y t: s). (1) Así, v dS 32t 64, dt = = − + (2) a dv 32. dt = = − (3)
a. El objeto alcanza la altura máxima en el instante en el cual la velocidad es cero. Así que,
32t 64 0 t 2 s.
− + = ⇒ =
Al sustituir en (1), se tiene que
b. 2
16(2) 64(2) 160 224 pies (altura máxima).
S= − + + =
c. El objeto golpea el piso cuando S = 0.
Esto es, 2 2 16t 64t 160 0 t 4t 10 0, − + + = ⇔ − − = de donde, 4 16 40 2 14. 2 t= ± + = ±
El objeto llega al piso a los t= +2 14 s.
Al sustituir este valor de t en (2) se obtiene
32(2 14 ) 64 119.73 pies s.
v= − + + ≈ −
El objeto llega al piso con una rapidez de 119.73 pies/s.
d. De acuerdo a (3), la aceleración permanece constante e igual a 32 pies/s2.
Esta es la aceleración de la gravedad cerca del nivel del mar.
Introducción
Se ha visto en el módulo 20 que la existencia de la derivada de una función en un punto c significa geométricamente que la curva y = f (x) tiene una recta tangente en el punto (c, f (c)) y además mT = f ´(c). Este hecho permite determinar, entre otros, aquellos puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuación f’(x) = 0.
Una mirada atenta a la siguiente figura permite visualizar de manera intuitiva los elementos que son objeto de estudio en esta primera parte, como los siguientes:
f (c1) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c1. Se dice entonces que f (c1) es un máximo relativo de f (x). Nótese, además, que en el punto P1(c1, f (c1)) la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, esto es, f c'( )1 =0.
Igualmente, f (c3) es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c3. Así que f (c3) es otro máximo relativo de f (x).
Valores extremos de una función de
variable real
21
Joseph Louis Lagrange
Joseph Louis Lagrange nació el 25 junio de 1736 en Turín y falleció el 10 de abril de 1813 en París.
Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada
Sin embargo, en el punto la derivada de f (x) no existe (se presenta un pico), lo cual indica que en un punto donde ocurre un máximo relativo no necesariamente debe anularse la derivada.
f (c2) es el menor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c2. Se dice, entonces, que f (c2) es un mínimo relativo de f (x). De la misma manera que en el caso anterior en el punto P2(c2, f (c2)),ocurre que f’(c2) = 0.
Si se comparan ahora todos los valores que toma la función f (x) en el intervalo [a, b], se puede notar de la figura que f (a) es el menor valor y que f (c3) es el mayor valor. A
f (a) y f (c3) se les llama, respectivamente, el mínimo absoluto y el máximo absoluto de f (x) en [a, b].
Los conceptos antes mencionados serán presentados aquí en forma rigurosa, así como las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relati-vos. Al final se enunciará un teorema y se dará un procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado.
Objetivos del módulo
1. Usar la derivación en el trazado de curvas en lo concerniente a la determinación de los extremos de una función.
2. Notar la diferencia entre un extremo relativo y un extremo absoluto.
Preguntas básicas
1. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un río recto de 300 m de ancho. El punto D está a 600 m de B y en su misma orilla (figura 21.2). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es 25% más caro bajo el agua que por tierra, ¿cómo se debe tender el cable para que el costo total sea mínimo?
Contenidos del módulo
21.1 Valores máximos y mínimos de una función de variable real 21.2 Extremos relativos
21.1 Valores máximos y mínimos de una función de variable real
DefinicionesSea f una función de variable real y sea c∈Df (dominio de f). Entonces:
i. f (c) es un valor máximo relativo de f si existe un intervalo abierto I que
con-tiene a c tal que f c( )≥ f x( ), para todo x∈I.
ii. f (c) es un valor mínimo relativo de f si existe un intervalo abierto I que
con-contiene a c tal que f c( )≤ f x( ), para todo x∈I.
iii. f (c) es un valor máximo absoluto de f, en un intervalo I, si f c( )≥ f x( ),para todo x∈I.
iv. f(c) es un valor mínimo absoluto de f, en un intervalo I, si f c( )≤ f x( ),para todo x∈I.
A los valores máximos y mínimos relativos de una función se les llama extremos
relativos.
A los valores máximos y mínimos absolutos de una función se les llama extremos
absolutos.
Observaciones
Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultáneamente extremo relativo, como sucede por ejemplo con f (c3) en la función cuya gráfica aparece en la figura de la página 207.
El llamado teorema de los valores extremos enunciado al final del módulo garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. A pesar de que estos valores son únicos, la función puede tomarlos en diferentes puntos del intervalo.
21.2 Extremos relativos
El siguiente teorema establece una condición necesaria para que una función tenga un extremo relativo en un punto en el cual f es derivable.
Teorema 1: Condición necesaria para extremos relativos
(f tiene un extremo relativo en x= ⇒c f c′( )=0)
Sea f una función que tiene un extremo relativo en c para el cual f ´(c) existe. Entonces, f ´(c) = 0.
Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real
Joseph Louis Lagrange
Astrónomo y matemático franco-italiano, Lagrange era de ascendencia francesa, aunque nació y se crió en Italia. De niño, en el colegio, se encontró con un ensayo de Edmund Halley sobre análisis matemático y al momento decidió dedicarse a esta ciencia. La habilidad matemática de Lagrange fue reconocida por Leonhard Euler a partir de un memorando que recibió de aquél sobre el cálculo de variaciones, sobre el que el propio Euler ya había trabajado. Tan impresionado quedó Euler por esta obra, que permitió que fuera publicada antes que la suya. Lagrange aplicó su facilidad matemática a una sistematización de la mecánica, que ya había comenzado con Galileo. Utilizando el análisis de las variaciones, dedujo unas ecuaciones muy generales con las que se podían resolver todos los problemas de la mecánica. También dedujo la forma de aplicar las matemáticas a los movimientos de sistemas que influían en más de dos cuerpos, tales como el sistema Tierra-Luna-Sol y el de Júpiter con sus cuatro lunas. La revolución francesa también le dio una oportunidad de prestar un servicio a la ciencia, al recibir el encargo de dirigir una comisión que estudiara un nuevo sistema de pesos y medidas. Como resultado apareció el sistema métrico decimal, el más lógico de los sistemas de medidas que jamás se han inventado.
Demostración Caso 1
Si f es la función constante, el teorema es evidente. Caso 2
Supóngase que f no es constante y que además f tiene un máximo relativo en c. Como f ´(c) existe, entonces, de acuerdo a la observación hecha a la definición (2) del módulo 9, f c( ) limx c f x( ) f c( ) x c → − ′ = − existe, y además, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim ( ).
x c x c x c f x f c f x f c f x f c f c x c + x c − x c → → → − − − ′ = = = − − − (1)
Siendo f (c) un máximo relativo, existe un intervalo I = (x1, x2) que contiene al punto
c y tal que
( ) ( ), para todo ( ) ( ) 0, para todo .
f c ≥ f x x∈ ⇔I f x − f c ≤ x∈I
Si x→c+, entonces x c− >0.
Así que ( ) ( ) 0 lim ( ) ( ) 0
x c
f x f c f x f c
x c →+ x c
− −
≤ ⇒ ≤
− − (ejercicio propuesto 5, capítulo 1),
⇒f c′( )≤0. (2)
Igualmente, si x→c−, entonces x c− <0.
Así que ( ) ( ) 0 lim ( ) ( ) 0
x c
f x f c f x f c
x c →− x c
− −
≥ ⇒ ≥
− − (ejercicio propuesto 5, capítulo 1),
⇒ f c′( )≥0. (3)
De (2) y (3) se concluye que f c′( )=0.
Caso 3
Supóngase que f no es constante y que además f tiene un mínimo relativo en c. La demostración es similar a la del caso 2 y se deja por tanto como ejercicio para el lector.
Observaciones
El teorema anterior significa geométricamente que si una función f tiene un extremo relativo en c, y f ´(c) existe, entonces la recta tangente a la curva en el punto (c, f (c)) es horizontal (figura 21.1a).
Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada
Vea el módulo 21 del programa de televisión
Figura 21.1
El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, en una función se puede cumplir que f ´(c) = 0 para algún punto c de su dominio, y sin embargo f no presenta extremos relativos en c, como sucede por ejemplo con la función f (x) = x3 (figura 21.1b).
Note que 2
( ) 3 , (0) 0,
f x′ = x f′ = pero la función no presenta ni máximos ni mínimos relativos en el origen puesto que a la izquierda del origen f es negativa y a la derecha
f es positiva.
Mas aun, una función puede tener un extremo relativo en un punto y ni siquiera ser derivable allí, como sucede por ejemplo con la función f x( )= x (figura 21.1c) que tiene un mínimo relativo en x = 0, pero f ´(0) no existe (observación a de la sección 10.1).
Definición
Sea f una función definida en un intervalo abierto I. Un punto c∈I se llama valor
crítico de f si f ´(c) = 0 o f ´(c) no existe.
Así por ejemplo, para la función 3 1 3
( ) (3 2) (3 2) y= f x = x− ⋅ x= x− ⋅x se tiene que: 1 3 1 2 3 ( ) 3 (3 2) , 3 y′= f x′ = ⋅x + x− ⋅ x− 1 3 2 3 2 3 3 2 12 2 3 . 3 3 x x x x x − − = + =
Los valores críticos de f son, por tanto, x = 0 y x = 1/6 (¿por qué?).
21.3 Extremos absolutos
El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en la teoría de extremos de una función. Aunque tiene una fácil interpretación geométrica, exige para su demostración elementos de cálculo avanzado que están más allá del alcance de este texto.
Teorema 2: Teorema de los valores extremos
Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto).
El alumno puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica de una función que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b]. Cada intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teorema siempre se cumple.
Observación
El teorema 2 garantiza la existencia de extremos absolutos para una función conti-nua en un intervalo cerrado, pero no dice cómo determinarlos. Sin embargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultáneamente extremo relativo se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo.
Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una
función continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente: Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada
1. Se determinan los valores críticos c1, c2, c3, ...,cn de f (resolviendo f x′( )=0,
o donde f ´(x) no existe). 2. Se calcula f (a) y f (b).
3. Máximo absoluto de f = max
{
f a f b f c( ), ( ), ( ), ( ),..., ( ) .1 f c2 f cn}
Mínimo absoluto de f = min
{
f a f b f c( ), ( ), ( ), ( ),..., ( ) .1 f c2 f cn}
Ejemplo 22.1
Determine, si existen, los extremos absolutos (máximo y mínimo) de la función
4 2
( ) 8 16
f x =x − x + en el intervalo [–3, 2].
Solución
Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está garantizada por el teorema 2. Para determinarlos se aplica la regla práctica dada en la observación del mismo teorema.
Considere los valores críticos por medio de la derivada
3
( ) 4 16 0 4 ( 2)( 2) 0
f′ x = x − x= ⇔ x x− x+ =
0, 2, 2
x x x
⇒ = = = − son los únicos valores críticos. Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:
( 3), (2), (0) ( 2), f − f f y f − 4 2 ( 3) ( 3) 8( 3) 16 81 72 16 25, f − = − − − + = − + = 4 2 (2) 2 8 2 16 16 32 16 0, f = − ⋅ + = − + = 4 2 (0) 0 8 0 16 16, f = − ⋅ + = 4 2 ( 2) ( 2) 8( 2) 16 16 32 16 0. f − = − − − + = − + = Máximo absoluto de f en [–3, 2] es f (−3) = 25. Mínimo absoluto de f en [–3, 2] es f (−2) = f (2) = 0. Ejemplo 21.2
Determine, si existen, los extremos absolutos de la función 2 3
( ) 1 ( 3)
f x = − −x en
el intervalo [–5, 4]. Solución
La continuidad de f en el intervalo [–5, 4] garantiza la existencia de extremos abso-lutos de f en dicho intervalo.
Se deben determinar primero los valores críticos por medio de la derivada
Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real
Escuche el audio Lagrange, un genio amable en su multimedia de Elementos Básicos de Cálculo
1 3 2 ( ) . 3( 3) f x x − ′ = −
El único valor crítico de f es x = 3, donde la derivada no existe (note que f ´(x) = 0 carece de solución).
Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:
( 5), (4) y (3), f − f f 2 3 2 3 ( 5) 1 ( 5 3) 1 ( 8) 3, f − = − − − = − − = − 2 3 (4) 1 (4 3) 1 1 0, f = − − = − = 2 3 (3) 1 (3 3) 1 0 1. f = − − = − = Máximo absoluto de f en [–5, 4] es f (3) = 1. Mínimo absoluto de f en [–5, 4] es f (–5) = –3. Ejemplo 21.3
Considere la función f definida por
2 3 4 si 3 1 ( ) 2 si 1 3 x x f x x x − − ≤ < ⎧ = ⎨ − ≤ ≤ ⎩
Determine los extremos absolutos de f (si existen ) en el intervalo [–3,3]. Solución
La función es continua en todos los puntos del intervalo [–3,3] (verifique). Por el teorema 2, f (x) posee máximo y mínimo absoluto en el intervalo considerado. Para determinarlos se consideran primero los valores críticos de f. La función derivada
f ´(x) viene dada por:
3 si 3 1 '( ) 2 si 1 3 x f x x x − ≤ < ⎧ = ⎨ ≤ ≤ ⎩
Puesto que f−′(1)=3 y f+′(1)=2, la derivada no existe en x = 1 y por tanto corres-ponde a un valor crítico de f.
De otro lado, la derivada no se anula en ningún punto del intervalo. En consecuen-cia, el único valor crítico de f es x = 1.
Los extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valores:
(1), ( 3) y (3), f f − f 2 (1) 1 2 1, f = − = − ( 3) 3( 3) 4 13, f − = − − = − 2 (3) 3 2 7. f = − =
Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada
Cuidado con los valores extremos
El deseado máximo o mínimo ocurre siempre en el número crítico. Tal vez esté pensando que cuando sólo hay un número crítico es inútil comparar el valor con él los valores extremos del intervalo. Por desgracia, eso no es siempre cierto.
En 1945, dos prestigiosos ingenieros aeronáuticos dedujeron una función como modelo del alcance de un avión. Su intención era usarla para maximizar el alcance. Encontraron un número crítico (correspondiente a repartir todo el peso del avión en las alas) y argumentaron que debía dar el máximo alcance. El resultado fue el famoso avión «Flying wing». Años más tarde se vio que ese número crítico correspondía a un mínimo de la función alcance. En defensa de los ingenieros hay que decir que no disponían de las técnicas de cálculo actuales. Curiosamente, ese diseño recuerda mucho al bombardero B-2 Stealth. Esta historia salió a la luz con motivo de la construcción del B-2. La moraleja es evidente: compruebe los valores de la función en los números críticos y en los extremos del intervalo. No acepte, por supuesto, aun cuando haya un solo número crítico, que el número crítico proporciona el máximo o el mínimo que está buscando.
Máximo absoluto de f en [–3, 3] es f (3) = 7. Mínimo absoluto de f en [–3,3] es f (–3) = –13. Ejemplo 21.4
Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un río recto de 300 m de ancho. El punto D está a 600 m de B y en su misma orilla (figura 21.2). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es 25% más caro bajo el agua que por tierra, ¿cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo?
Módulo 21: Valores extremos de una función de variable real
Figura 21.2
Solución
Sea Q el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de B donde termina el tramo de cable bajo el agua.
Se pueden definir ahora las constantes y variables del problema:
x: distancia de B a Q; 0≤ ≤x 600.
y: distancia de A a Q (longitud de cable bajo el agua). 600 – x: distancia de Q a D (longitud de cable por tierra).
k (constante): costo por metro de cable por tierra.
5
4k (constante): costo por metro de cable bajo el agua.
P : costo total (función a minimizar).
De acuerdo al teorema de Pitágoras, y= x2+300 .2 (1)
Ahora, la función costo total viene dada por
5
(600 ). 4
C=⎛⎜ k y⎞⎟ +k −x
⎝ ⎠ (2)
Sustituyendo (1) en (2), la función costo total puede escribirse en términos sola-mente de la variable x, así:
2 2
5
( ) 300 (600 ),
4
2 2 1 2 5
( ) ( 300 ) (600 ).
4
C x = k x + +k −x (3)
Como C (x) es una función continua en un intervalo cerrado, C (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en [0, 600].
Al derivar en (3) e igualar a cero, se obtienen los valores críticos de C (x):
(
2 2)
1 2 5 1 ( ) (2 ) 300 0, 4 2 C x′ = k⋅ x x + − − =k(
2 2)
1 2 5 1 0, 4 300 x k x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⇒ − = ⎢ + ⎥ ⎣ ⎦(
2 2)
1 2 5 1 0 (puesto que 0), 4 300 x k x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⇒ − = ≠ ⎢ + ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 5x 4 x 300 0, ⇒ − + = 2 2 4 x 300 5 .x ⇒ + = De donde x = 400.De modo que x = 400 es el único valor crítico de C (x), y de acuerdo al criterio de la segunda derivada (teorema 2, sección 24.3) corresponde a un mínimo relativo (veri-fíquelo). En consecuencia, el mínimo absoluto es el menor entre los siguientes valores: C (0), C (400) y C (600). 2 5 (0) 300 600 975 . 4 C = k + k= k
Esto significa, geométricamente, que si el cable se tira desde A hasta B bajo el agua y desde B hasta D por tierra, demanda un gasto de 975k pesos (figura 21.3a). Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada
Figura 21.3 2 2 5 (600) 600 300 375 5 838.5 . 4 C = k + = ⋅ ≈k k
Esto indica, geométricamente, que el punto Q coincide con D, y en este caso el cable se tiende directamente desde A hasta D bajo el agua, demandando un gasto total de 375 5 ·k≈838.5kpesos (figura 21.3b).
2 2
5
(400) 400 300 200 825 .
4
C = k + + k= k
Esto significa que si el punto Q está a 400 m de B y se tiende el cable bajo el agua desde A hasta Q y por tierra desde Q hasta D, demandaría un gasto de 825k pesos, menor, para la compañía, que los dos anteriores (figura 21.3c).
Introducción
Los dos teoremas básicos que constituyen este módulo tienen más importancia teórica que práctica. En lo sucesivo, frecuentemente se usa la frase «…de acuerdo al teorema del valor medio…». En nuestro caso particular, el TVM será usado en los dos próximos módulos para demostrar los teoremas básicos concernientes al estudio de la variación de las funciones, máximos y mínimos, concavidad y puntos de inflexión.
Objetivos del módulo
1. Conocer los dos teoremas básicos para la demostración de los criterios de la primera y la segunda derivadas.
2. Relacionar el teorema del valor medio con la interpretación física de la derivada.
Preguntas básicas
1. Frecuentemente en nuestras carreteras encontramos el siguiente aviso: «Veloci-dad máxima: 60 km/h». Un conductor de un vehículo recorre 130 km en dos horas. Al ser detenido por un guardia de tránsito, el conductor afirmó que nunca excedió la velocidad permitida. ¿Cree usted que el conductor dijo la verdad? 2. En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y
terminan empatados.
a. ¿Fueron sus velocidades iguales en algún instante de la carrera?
b. Si se asume que los dos autos cruzaron la meta juntos a la misma veloci-dad, ¿fueron sus aceleraciones iguales en algún instante de la carrera?
Contenidos del módulo
22.1 Teorema de Rolle
22.2 Teorema del valor medio para derivadas
22.3 Ejemplos de aplicación sobre el teorema del valor medio
Teorema del valor medio (TVM) para
derivadas
22
Michel Rolle
Michel Rolle nació en Ambert, Basse-Auvergne (Francia), el 21 de abril de 1652 y murió en París el 8 de noviembre de 1719.
Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada
22.1 Teorema de Rolle
En la figura 22.1 se puede apreciar la gráfica de una función que es continua en el intervalo cerrado [ , ]a b , f a( )= f b( )=0y además f′( )x existe (no tiene picos) en todos los puntos del intervalo (a, b).
Figura 22.1
Intuitivamente puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva de abscisa c entre a y b, en el cual la recta tangente a la curva es horizontal (paralela al eje x). Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado teorema de
Rolle, que se enuncia sin demostración.
Teorema de Rolle
Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades: a. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].
b. f es derivable en el intervalo abierto (a, b). c.f a( )= f b( ).
Entonces, existe por lo menos un punto c∈( , )a b tal que f c′( )=0.
El siguiente teorema, que se enuncia y se demuestra a continuación, es una genera-lización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor medio para derivadas.
22.2 Teorema del valor medio para derivadas
Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades: a. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].
b. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).
Por tanto, existe por lo menos un punto c∈( , )a b tal que f c( ) f b( ) f a( )
b a
−
′ =
− .
Vea el módulo 22 del programa de televisión
Antes de ver la demostración del teorema, analicemos su significado geométrico. En la figura 22.2 se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesis del teorema del valor medio (TVM).
Figura 22.2
El término f b( ) f a( ) b a
−
− es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por
los puntos A y B. De esta forma, se puede interpretar geométricamente el teorema así: existe un punto P sobre la curva de abscisa c, c ∈ (a, b), tal que la recta tangente a la curva en P cuya pendiente es f ´(c) es paralela a la recta secante AB.
Demostración
Usando la forma dos-puntos de la ecuación de la recta (sección 2.4, apéndice II), se deduce para la recta secante la ecuación:
( ) ( ) ( ) f b f a ( ), y f a x a b a − − = − − de donde y f a( ) f b( ) f a( )(x a). b a − = + − −
Defínase ahora la función F (x) como la función distancia vertical entre cada punto
( , ( ))x f x sobre la curva y el correspondiente( , )x y sobre la secante AB (segmen-to d de la figura 22.2). Así que: ( ) ( ) , F x = f x −y f x( ) f a( ) f b( ) f a( )(x a) . b a − ⎡ ⎤ = −⎢ + − ⎥ − ⎣ ⎦
Módulo 22: Teorema del valor medio (TVM) para derivadas
Michel Rolle
De formación autodidacta, Michel Rolle publicó un Tratado
de álgebra (1690) en que expuso un método de resolución
de determinados tipos de ecuaciones. Mantuvo una viva polémica con diversos matemáticos sobre los principios del cálculo diferencial. Es conocido por un teorema que lleva su nombre: «Teorema de Rolle».
Esto es, F x( ) f x( ) f a( ) f b( ) f a( )(x a).
b a
−
= − − −
− (1)
La función F (x) así definida satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el in-tervalo [a, b].
En efecto:
a. F x( ) es continua en el intervalo cerrado [a, b] (¿por qué?). b. F x( ) es derivable en el intervalo abierto (a, b) (¿por qué?).
Además, F x( ) f x( ) f b( ) f a( ). b a − ′ = ′ − − (2) c. Finalmente,F a( ) f a( ) f a( ) f b( ) f a( )(a a) 0, b a − = − − − = −
[
( ) ( )]
( ) ( ) ( ) f b f a ( ) 0. F b f b f a b a b a − = − − − = −En consecuencia, de acuerdo al teorema de Rolle existe por lo menos un pun-to c∈( , )a b tal que F c′( )=0. Pero, de acuerdo a (2), F c( ) f c( ) f b( ) f a( ). b a − ′ = ′ − − Por tanto, f c( ) f b( ) f a( ) 0, b a − ′ − = −
lo cual implica que f c( ) f b( ) f a( ),
b a
−
′ =
− que era lo que se quería demostrar.
Estos dos teoremas son de gran importancia teórica y práctica, como lo ilustran los ejemplos siguientes y las demostraciones de los teoremas del módulo 23.
22.3 Ejemplos de aplicación sobre el teorema del valor medio
Ejemplo 22.1Analice si 3 2
( ) 5 3
f x =x − x − x satisface las hipótesis del TVM para derivadas en el intervalo [1, 3] y, en caso afirmativo, determine el valor(es) de c que satisface la conclusión.
Solución
a. 3 2
( ) 5 3
f x =x − x − x es continua en [1, 3] (¿por qué?). b. f′( )x =3x2−10x− ⇒3 f es derivable en (1, 3) (¿por qué?).
Como f cumple la hipótesis del TVM, entonces existe por lo menos un c ∈ (1, 3) tal que
(3) (1) ( ) . 3 1 f f f c′ = − − Pero 2 3 2 ( ) 3 10 3; (3) 3 5 3 3 3 27; (1) 1 5 3 7. f c′ = c − c− f = − ⋅ − ⋅ = − f = − − = − Así que 2 27 ( 7) 3 10 3 10. 3 1 c − c− =− − − = − − Por tanto, 3c2−10c+ = ⇔7 0 (3c−7)(c− =1) 0, de donde c=7 3 ,c=1.
De estos dos valores, el único que pertenece al intervalo (1, 3) es c=7 3 ,que es la única solución buscada.
Ejemplo 22.2
Para la función f x( )=x2 3
estudie las condiciones del TVM para derivadas en el intervalo [–2, 2].
Solución
a. Claramente la función es continua en [–2, 2].
b. 1 3 1 3 2 2 ( ) 3 3 f x x x − ′ = = no existe en el punto x = 0.
Por consiguiente, no se cumple la condición b del teorema, y, en consecuencia, no puede garantizarse la existencia del punto c.
Ahora, 1 3 1 3 ( ) ( ) 4 4 0, 4 f b f a b a − − = = − y como 1 3 2 ( ) , 3 f x x ′ = no se anula para ningún valor real de x. Entonces, la igualdad
( ) ( ) ( ) f b f a f c b a − ′ = − no se cumplirá en ningún c en (–2, 2).
Ejemplo 22.3
a. Demuestre que si la derivada de una función es 0 en un intervalo, entonces la función es constante en dicho intervalo.
b. Use la parte a para demostrar que f (x) = sec2 x – tan2 x es constante. Hállese
el valor de dicha constante. Solución
a. Note en primer lugar que f satisface las hipótesis del TVM (¿por qué?). Ahora, sean x x1, 2dos puntos cualesquiera del intervalo [a, b] y sea f la
fun-ción.
Para probar la parte a es suficiente probar que f x( )1 = f x( 2),lo cual obliga
a deducir que la función sea constante.
Según el TVM, existe un número c entre x1y x2tal que
2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) f x f x , f c x x − ′ = −
y como f c′( )=0,se concluye que
2 1
( ) ( )
f x = f x .
Una consecuencia inmediata de la parte a es la siguiente: Si f x′( )=g x′( ) para todo x∈
[ ]
a b, ,entonces f x( )=g x( )+C.Lo anterior se expresa en palabras diciendo que si las derivadas de dos funcio-nes coinciden, entonces las funciofuncio-nes difieren en una constante.
b. 2
( ) 2 sec (sec tan ) 2 tan (sec ),
f x′ = x⋅ x⋅ x − x x
2 2
( ) 2 sec tan 2 sec tan 0.
f x′ = x⋅ x− x⋅ x=
Comof x′( )=0,se sigue de la parte a que f (x) es una función constante.
Para hallar el valor de la constante basta evaluar la función en algún número específico, el cual se puede elegir arbitrariamente, por ejemplo x=π 3.
Se tiene entonces que
( )
2
2 2 2
( 3) (sec 3) (tan 3) 2 3 1.
f π = π − π = − = En
consecuencia, 2 2
sec x−tan x=1para todo x (x en el dominio común de la se-cante y la tangente).
Este resultado no debe sorprender puesto que 2 2
1 tan+ x=sec x es una identidad trigonométrica conocida.
Ejemplo 22.4
En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y terminan empatados.
a. Demuestre que sus velocidades fueron iguales en algún instante de la carrera. b. Si se asume que los dos autos cruzaron la meta juntos a la misma ve-locidad, demuestre que sus aceleraciones fueron iguales en algún instante de la carrera.
Solución
a. Sea s (t) la diferencia de las distancias entre el auto A y el auto B en cualquier tiempo t durante la carrera.
Entonces, s t′( )es la diferencia en las velocidades.
Ahora, si t0 y t1son los tiempos en los cuales comienza y termina la carrera,
se tiene que, de acuerdo al enunciado del problema,
0 1 ( ) ( ) 0. s t =s t = (1) Por el TVM, 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) s t s t s c t t − ′ = − para algún c∈( , ).t0 t1 (2)
De (1) y ( 2 ) se deduce que s c′( )=0(la diferencia de las velocidades es cero en algún tiempo c durante la carrera). Equivalentemente, las velocidades fue-ron iguales en algún instante de la carrera.
b. En forma similar, si v(t) denota la diferencia de las velocidades entre el auto A y el auto B en cualquier tiempo t durante la carrera, entonces v´(t) denota la diferencia entre sus aceleraciones.
Ahora, si t1 es el tiempo en el cual los autos tienen la misma velocidad, y t2 el tiempo en el cual finaliza la carrera, se tiene que
2 1 ( ) ( ) 0. v t =v t = (1) Por el TVM, 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) v t v t v c t t − ′ = − para algún c∈( , ).t2 t1 (2)
De (1) y ( 2 ) se deduce que a t( )=v c′( )=0 (la diferencia de las aceleraciones es cero en algún tiempo c durante la carrera). Equivalentemente, las aceleracio-nes fueron iguales en algún instante de la carrera.
Introducción
La primera derivada no sólo es útil en el trazado de curvas para determinar los extremos relativos, sino también para determinar los intervalos donde crece y de-crece la curva.
Al analizar en forma intuitiva el comportamiento de la función cuya gráfica aparece en la figura anterior, se puede notar que:
1. Entre las abscisas a y b, a medida que nos desplazamos hacia la derecha, o en sentido positivo del eje x, la curva es ascendente, en cuyo caso se dice que la
función es creciente en el intervalo [a, b]; y entre b y c la curva es descendente,
en cuyo caso se dice que la función es decreciente en el intervalo [b, c]. 2. La pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos A, B y C (separan
los tramos de crecimiento y de decrecimiento) es cero, o, lo que es equivalente, la recta tangente es horizontal.
3. En el punto P que pertenece a un tramo de crecimiento, la pendiente de la recta tangente a la curva es positiva y por tanto su derivada es positiva. En cambio, en el punto Q, que pertenece a un tramo decreciente de la curva, la pendiente, y por tanto la primera derivada, es negativa.
Estas ideas que se acaban de comentar serán justificadas por medio de las defini-ciones dadas y del teorema del valor medio presentado anteriormente.
23
Criterio de la primera derivada
Una foto estroboscópica nos muestra cómo las distancias recorridas en intervalos de tiempo iguales varían según la altura a que se halla la bola. Esta variación de la velocidad –propiamente la velocidad de la velocidad– es, matemáticamente, una derivada: se llama aceleración.
Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada
Objetivos del módulo
1. Establecer, usando la primera derivada, los intervalos de monotonía (crecimien-to y decrecimien(crecimien-to) de una curva.
2. Usar la primera derivada para determinar dónde ocurren y cuáles son los extre-mos relativos de una función.
Preguntas básicas
1. El contenido de información o entropía de una fuente binaria (tal como un telégra-fo que trasmite puntos y líneas), cuyos dos valores ocurren con probabilidades
p y (1 – p), se define como H p( )= − ⋅p lnp− −(1 p) ln(1−p), donde 0< <p 1.
Pruebe que H(p) tiene un máximo en
p= (El significado práctico de este
he-cho es que, para lograr el máximo flujo de información por unidad de tiempo, los dos valores deben aparecer, como promedio, en igual proporción.)
Contenidos del módulo
23.1 Teorema 1: Criterio de la primera derivada para crecimiento y decrecimiento 23.2 Teorema 2: Criterio de la primera derivada para extremos relativos
Módulo 23: Criterio de la primera derivada
23.1 Teorema 1: Criterio de la primera derivada para crecimiento
y decrecimiento
Como aplicación inmediata del TVM se prueba un primer teorema que permite deter-minar los intervalos en los que crece y decrece una curva conociendo el signo de su primera derivada.
Sea f una función de variable real continua en [a, b] y derivable en (a, b).
a. Si
( ) 0
f x′ >
para todo x∈( , ),a b entonces f es creciente en [a, b]. b. Si f x′( )<0para todo x∈( , ),a b entonces f es decreciente en [a, b]. Demostración
a. Sean x x1, 2dos puntos de [a, b] tales que x1 < x2. Basta demostrar que
f (x2) > f (x1).
Evidentemente, f es continua en [x1, x2] y f es derivable en (x1, x2). En conse-cuencia, por el TVM existe por lo menos un punto c∈( ,x x1 2) tal que
2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) f x f x . f c x x − ′ = − (1)
De x1 < x2 se deduce que x2−x1 > 0, y como por hipótesis f ´(c) > 0, se deduce de (1) que
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0.
f x −f x = f c′ ⋅ x −x >
Por tanto,f x( 2)> f x( )1 y f es creciente en [a, b].
b. Se demuestra de manera similar. Observación
El crecimiento y el decrecimiento de una curva coinciden con el signo de la primera derivada, así:
donde f x′( )>0 (derivada positiva), f (x) es creciente; donde f x′( )<0 (derivada negativa), f (x) es decreciente.
El siguiente teorema permite clasificar los extremos relativos (máximos y mínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.
23.2 Teorema 2: Criterio de la primera derivada para extremos
relativos
Sea f una función continua en un intervalo I, y sean a, b, c puntos de I, tales que
a < c < b y c un valor crítico de f f c( ′( )=0, o f c′( ) no existe).
Entonces:
a. Si f x′( )>0para todo x en (a, c) y f x′( )<0 para todo x en (c, b), f (c) es
un máximo relativo (figura 23.1a, figura 23.1b).
b. Si f x′( )<0 para todo x en (a, c) y f x′( )>0 para todo x en (c, b), f (c) es
un mínimo relativo (figura 23.1c, figura 23.1e).
c. Si f x′( )>0para todo x en (a, c) y f'( )x >0para todo x en (c, b), f (c) no
es un extremo relativo (figura 23.1d).
d. Sif x′( )<0 para todo x en (a, c) yf x′( )<0 para todo x en (c, b), f (c) no
es un extremo relativo (figura 23.1f).
Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada
Vea el módulo 23 del programa de televisión
Figura 23.1
Demostración
a. Si f x′( )>0en (a, c), se tiene por el teorema 1 que f es creciente; en conse-cuencia, para todo x tal que a < x < c se tiene que
f (x) < f (c). (1)
Ahora, comof x′( )<0 en (c, b), entonces f es decreciente (teorema 1) y, de esta forma, para todo x tal que c < x < b se cumple que
f (c) > f (x). (2)
De (1) y (2) se concluye que f (c) > f (x) para todo x en (a, b) y esto significa que f (c) es un máximo relativo.
b. Esta demostración es similar a la parte a. Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada
c. Si f x′( )>0en (a, c) y f x′( )>0en (c, b), entonces por el teorema 1 se tiene que f (x) < f (c) para todo x en (a, c) y f (c) < f (x) para todo x en (c, b), de lo cual se concluye que f (c) no puede ser ni máximo ni mínimo relativo. d. Esta demostración es similar a la parte c.
Observación
En el lenguaje corriente, las partes a y b del teorema 2 se expresan, respectivamente, en la siguiente forma:
Si la derivada pasa de positiva a negativa, el valor crítico corresponde a un máximo
relativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva, el valor crítico corresponde a
un mínimo relativo.
En los ejemplos resueltos 1, 2 y 3 del módulo 25 se ilustra cómo determinar para la gráfica de una función dada los intervalos donde crece y donde decrece la curva, así como también los extremos relativos. Para ello se explica el método gráfico que es mucho más expedito que el método analítico. Ilustramos, sin embargo, la aplicación de los dos teoremas de la sección, justificando lo que se plantea en la pregunta básica en el inicio del módulo.
Ejemplo 23.1
El contenido de información o entropía de una fuente binaria (tal como un
telégra-fo que trasmite puntos y líneas), cuyos dos valores ocurren con probabilidades p y
(1−p), se define como:
( ) · ln (1 ) ·ln (1 ),
H p = −p p − −p −p donde 0 < p < 1.
Pruebe que H (p) tiene un máximo en 1. 2 p= Solución 1 1 1 ( ) 1 · ln · ln(1 ) (1 ) · ln . 1 p H p p p p p p p p ⎛ − ⎞ − ′ = − − − −⎜ − + − ⎟ = − ⎝ ⎠ De esta manera, 0 1 1 1 ( ) ln 0 1 2 p p H p e p p p − −
′ = = ⇔ = = ⇔ = es el único valor crítico.
Para analizar el signo de la derivada, se debe tener en cuenta el signo de 1 p,
p − dependiendo de que 0 1, o 1 1. 2 2 p p < < < < Si 0 1, 2 p < < entonces
1 1 2p 1 p p 1 p p p 1, p − > ⇔ > + ⇔ − > ⇔ > y, en consecuencia, H p( ) ln1 p 0, p −
′ = > lo que indica, de acuerdo al teorema 1, que la función H (p) es creciente en dicho intervalo. Si 1 1,
2< <p entonces 1 1 2p 1 p p 1 p p p 1, p − < ⇔ < + ⇔ − < ⇔ < y, en consecuencia, H p( ) ln1 p 0, p −
′ = < 1 lo que indica, de acuerdo al teorema 1, que la función H (p) es decreciente en dicho intervalo.
Como la derivada pasa de positiva a negativa en p=1 2 ,el teorema 2 garantiza que en p=1 2la función H (p) tiene un máximo relativo.
Introducción
Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente, o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen) se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva.
Como vimos en el módulo 23, la monotonía de una curva coincide con el signo de la primera derivada; igualmente, como veremos ahora, la concavidad coincide con el signo de la segunda derivada. Completaremos de esta forma todos los elementos teóricos necesarios para el trazado de una curva con todos sus elementos, lo cual será el objetivo principal del módulo 25.
Objetivos del módulo
1. Establecer, usando la segunda derivada, otro criterio para determinar extre-mos relativos de una función.
2. Usar la segunda derivada para determinar los intervalos de concavidad de una curva y dónde ocurren posiblemente los llamados puntos de inflexión. 3. Completar los elementos teóricos necesarios para el trazado de curvas.
Preguntas básicas
1. Sean f, g dos funciones positivas definidas sobre un intervalo abierto. Supon-gamos que son derivables y poseen segundas derivadas que no se anulan en el mismo intervalo.
SeanF x( )=ln ( ), yf x G x( )=ln ( ).g x
a. Si F es cóncava hacia arriba, ¿lo es f necesariamente? b. Si f es cóncava hacia arriba, ¿lo es F necesariamente?
c. Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ( f + g) lo es? d. Si f y g son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ( f · g) lo es? e. Si F y G son cóncavas hacia arriba, ¿puede asegurarse que ln ( f · g) lo es? Analice sus respuestas.
Contenidos del módulo
24.1 Concavidad y puntos de inflexión
24.2 Teorema 1: Criterio de la segunda derivada para concavidad 24.3 Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremos relativos
24
Criterio de la segunda derivada
Un avión comienza a descender desde una milla de altura y situado a cuatro millas de la pista. Es posible determinar una función polinómica p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d que
Módulo 24: Criterio de la segunda derivada
24.1 Concavidad y puntos de inflexión
Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observa-ciones de tipo intuitivo.
Considere la función f cuya gráfica aparece en la figura 24.1. Note que la curva que
f representa tiene tangente en todos sus puntos.
Figura 24.1
Se observa que en los puntos «cercanos» a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por «debajo» de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es
cóncava hacia abajo en el punto x1.
Igualmente se observa que en los puntos «cercanos» a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por «encima» de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2.
El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad «cambia» se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva.
A pesar de que las ideas que se acaban de presentar son más de carácter visual que analítico, éstas pueden demostrarse analíticamente utilizando el teorema del valor medio para derivadas y el criterio de monotonía (vea el ejemplo 1 de este mismo módulo). Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:
Definiciones
Sea f una función derivable en un punto c.
i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un intervalo
abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x≠c,se cum-ple que N ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 c t y y Z x = f x − f c x′ − −c f c> (figura 24.2a).
Figura 24.2
yc: y de la curva; yt : y de la tangente.
ii. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c si existe un intervalo
abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x≠c, se cumple que
( ) ( ) ( )( ) ( ) 0
Z x = f x − f c x′ − −c f c < (figura 24.2b).
iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I. iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión si existe un intervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los subintervalos (a, c) y (c, b).
Se usará el símbolo ∪ para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cónca-va positicónca-va. Igualmente, se empleará el símbolo ∩ para denotar que una curva es cóncava hacia abajo o cóncava negativa.
Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada
Vea el módulo 24 del programa de televisión
Módulo 24: Criterio de la segunda derivada El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, establece una condición
suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.
24.2 Teorema1: Criterio de la segunda derivada para concavidad
Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto
I. Entonces:
i. Si f′′( )x >0 para todo x∈I, f es cóncava hacia arriba en I. ii. Si f′′( )x <0 para todo x∈I, f es cóncava hacia abajo en I. Observaciones
1. En muchas ocasiones el teorema anterior se enuncia diciendo que el signo
de la concavidad coincide con el signo de la segunda derivada.
2. En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin existir punto de inflexión; en este caso, simplemente se dice que «hay inflexión» sin existir punto de inflexión. La gráfica de la figura 24.3 indi-ca esta posibilidad. Allí se muestran inicialmente los intervalos de conindi-cavi- concavi-dad para una curva concavi-dada.
Figura 24.3
Note que los puntos A (c1, f (c1)), B (c2, f (c2)), C (c3, f (c3)) son puntos de inflexión. En c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión.
Como es de suponer, los puntos para los cuales f′′( )x =0 o f′′( )x no existe, son
«candidatos» viables para ser puntos de inflexión. Puede suceder que para un valor de c del dominio de una función se cumpla que f′′( )c =0, y sin embargo el punto P (c, f (c)) no es punto de inflexión.
Considere, por ejemplo, la función definida por f (x) = x4, cuya gráfica aparece en la
figura 24.4.
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