Calculo Diferencial e Integral

(1)

N. PISKUnOV

cálculo diferencial e integral

toma I

(2)

(3)

H.

c. rmcKyHOB

flHdxDEPEHlWAJIbHOE H HHTErPA übHOE HCHHCJIEHHfl

TOM I O H3JJATE JIbCTBO «HAVKA» MOCKBAN. PISKUNOV

(4)

3" edición TOMO

I

EDITORIAL MIR • MOSCU

Traducido del ruso por c! ingeniero K. MEDKOV (aa úcnaHcxou nsuxe)

(5)

Impreso on la CHSS Traducción al español. Editorial Mir. 197

7

INDICE

(6)

(7)

F U N C I O N E S D E V A R I A S V A R I A B L E S

s 1. DEFINICION DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Examinando las [unciones de una sola variable, ya hemos indicado que el estudio de diferentes fenómenos obliga a utilizar las funciones de dos y más variables independientes. Demos algunos ejemplos. Ejemplo 1. El área S de un rectángulo do lados x e y, se da por la fórmula: S—x y. A cada par do valores de x e y, corresponde un valor determinado del área S; S es una función de dos variables. C A P I T U L O 7

(8)

Ejemplo 2. El volumen V de un paralelepípedo recto, en que las aristas tienen longitudes iguales a x, y, i, se da por la formula: V**xyz. Aquí, V es una función de tres variables: x, y, t. Ejemplo 3. El alcance R de un proyoctil lanzado a la velocidad inicial i'o, bajo el ángulo 9 respecto al horizonte, se expresa por la fórmula: R_ vi sen 2tp S C A P I T U L O 8

(9)

(despreciando la resistencia del aire). El símbolo g en la fórmula representa ia aceleración debida a la fuexza de gravedad. Pera cada par de valores v0 y 9 la fórmula da un determinado valor de /?, es decir, ñ es una función de dos variables, v0 y cp. Ejemplo 4. T/i + x* ' Aquí, u es una función do cuatro variables x, y, s, 1. C A P I T U L O 9

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Definición de los funciones de varias variables 209 Definición 1. Si a cada par (z, y) de valores de dos variables, x e y, independientes una de otra, tomadas de cierto campo D de su variación, le corresponde un valor determinado do la magnitud z, se dice que z es una función de dos variables independientes x e y, definida en el campo D.En forma simbólica una función de dos variables se representa asi: z — f {x, y), z = F (x, y), etc. Una función de dos variables puede expresarse por medio de una tabla o analíticamente mediante una fórmula (como se ba hecho on los cuatro ejemplos examinados). La fórmula permite formar la tabla de los valores que toma la función para cada par de valores de las variables independientes. Para el ejemplo f se puede formar la Siguiente tabla: 5 = xy En la tabla el valor de la función S se encuentra en la intersección de los renglones y columnas correspondientes a los valores buscados de x e y.

(11)

Definición de los funciones de varias variables 209

Si la dependencia funcional 2 = f (x, y) resulta de las mediciones de la magnitud z durante el estudio experimental de un fenómeno,

obtenemos la tabla en que z se determina como función de dos variables. En este caso, la función se da sólo mediante, la tabla.

La función de dos variables igual que la función de una sola variable puede no estar definida para todos los valores arbitrarios de x e y.

Definición 2. B1 conjunto de los pares (x, y) de los valores de x e y, para los cuales esté definida la función z = f (z, y), se llama dominio de definición o dominio de existencia de la función.

(12)

12 Funciones de parías variables El dominio de existencia de una función puede ser interpretado geométricamente. Si cada par de valores, x e y, lo representamos mediante un punto M (x, y) en el plano Oxy, el dominio de definición de la función será representado por el conjunto de puntos en este plano. Llamemos también a este conjunto de puntos, dominio de definición de la función. En particular, todo el plano Oxy puede ser este dominio. En lo ulterior los dominios de definición que estudiaremos estarán constituidos por las parles del plano limitadas por unas líneas. La línea que limita el dominio dado se llama frontera de este dominio. Los puntos del dominio que no pertenecen a la frontera se llaman puntos interiores del dominio. Todo dominio integrado solamente de puntos interiores se llama dominio abierto.Un dominio que incluye también los puntos do la frontera se llama dominio cerrado. El dominio se llama acolado, si existe una magnitud constante C tal que la distancia entre todo punto M del dominio y el origen de coordenadas sea menor que C: | OM | < C. Ejemplo 5. Hallar el dominio natural do definición de la función i = 2i—i/.

(13)

13 Funciones de parías variables

La expresión analítica 2z — y tieno sontido para todos los valores de x e y. Por consiguiente, ol dominio natural do definición de osta función coincide con todo el .plano Oxy.

(14)

Para quo z tenga un valor real es preciso quo el número eubradical no eea negativo, es dccir, x o y deben satisfacer a la desigualdad:

(15)

Todos los puntos flf (x, y), cuyas coordenadas satisfacen a la desigualdad

indicada se sitúan dentro del círculo de radio 1 y centra ubicado en el origen de coordenanadas, así como en la frontera de este circulo.

(16)

i=.ln(x + v).

Como los logaritmos están determinados sólo para los números positivos, debe existir obligatoriamente la desigualdad:

(17)

(18)

Ejemplo 8. El área S de un triángulo es una función do la base x y la altura y:El dominio do dofinición do esta función, os evidentemente el dominio x > 0, y > 0 (puesto que la baso y la altura del triángulo pueden ser expresadas solamente por números positivos). Notemos, que el dominio do dofinición do la función examinada no coincide con el dominio natural de dofinición de la expresión analítica, quo determina a esta función, puesto que el dominio natural de definición de la expresión ocupa, evidentemente, todo el plano Oxy. La definición de función de dos variables, puedo extenderse fácilmente al caso do tres y más variables. Definición 3. Si a todo conjunto estudiado do valores de las variables x, y, z, . . ., u, t corresponde un valor determinado do la variable w, entonces esta última es /unción de las variables independientes x, y, z, . . .i u, t, es decir: w = F (x, y, z, . . ., u, t) o w = = f (x, y, z, . . ., u, t), etc. Análogamente al caso de una función de dos variables, existe el dominio de definición de la función do tres, cuatro y más variables. Representación geométrica de una función de dos variables____________________27t

(19)

Por ejemplo, el dominio de definición do una función de tres variables es un conjunto de ternas de números (x, y, z). Observemos que cada terna de números define un punto M (x, y, z) en el espacio Oxyz. Por tanto, el dominio de definición de una función de tres variables es un cierto conjunto de puntos en el espacio. De manera análoga se puede determinar el dominio de difinición de una función de cuatro variables u => / (x, y, z, <), como un sistema de los conjuntos de cuatro números (x, y, z, t). Sin embargo, es imposible dar una simple determinación geométrica del dominio de definición de la función de cuatro o mayor cantidad de variables. La función de tres variables analizada on el ejemplo 2, está definida para todos los valores de x, y, z. La función de cuatro variables está analizada en ol ejemplo 4. Representación geométrica de una función de dos variables____________________27t

(20)

Ejemplo 9.

U> = Vi — I* — j/* — S» — U«.

Aquí, w es una función do cuatro variables r, y, j, u, definida para los valores de las variables quo satisfacen a la correlaclón:

(21)

§ 2. REPRESENTACION GEOMETRICA DE UNA FUNCION DF. DOS VARIABLES

Sea la función:

* = / y), (f)

definida en el dominio G del plano Oxy (este dominio puede ocupar, en particular, todo el plano), y Oxyz, un sistema de coordenadas

(22)

22 Fundones de varias variables cartesianas en el espacio (fig. 166). En cada punto (x, y) del dominio G levantemos una perpendicular al plano Oxy y marquemos en ésta un segmento igual a / (x, y). Así obtenemos en el espacio un punto P do coordenadas x, y, z = / (x, y). El lugar geométrico de los puntos P, cuyas coordenadas satisfacen a la ecuación (1), se llama gráfica de la función de dos variables. Del curso de Geometría analítica sabemos que la ecuación (1) determina una superficie en el espacio. Así la gráfica de una función de dos variables es una superficie cuya proyección sobre el plano Oxy, es el dominio de definición de

esta función. Cada perpendicular al plano Oxy corta la superficie z = / {x, y) no más que en un solo

(23)

23 Fundones de varias variables Ejemplo. Por lo Geometría analítica sabemos que la gráfica de la función i = x* + u' es un paraboloide de revolución (fig. 167). Observación. Es imposible dar la representación geométrica en el espacio de la gráfica de una función de tres o más variables. $ 3. INCREMENTO PARCIAL Y TOTAL DE LA FUNCION Examinemos la curva PS de intersección de la superficie z = / (x, y) con el plano y — consl, paralelo al plano Oxz (fig. 168).

(24)

24 Fundones de varias variables Puesto que y es constante en todos los puntos del plano indicado, z variará a lo largo de la curva PS sólo en función de x. Demos a la variable independiente x un incremento Az, entonces el incremento correspondiente de z recibirá el nombro de incremento parcial de z respecto a x que designemos con el símbolo A«z (el segmento SS' en la figura 168), así que: A*z = / (x + Az, y) —1 (*, y). (1) Análogamente, si x es constante y damos a y un incremento Ar/, el incremento correspondiente de z recibirá el nombre de incremento

(25)

25 Fundones de varias variables parcial de z respecto a y que designemos con el simbolo A„z (el segmento TV en la figura 168): A„z = f ( x , y + A y ) V (z, y). (2) La función recibo el incremento A„z «a lo largo do la curva» de intersección de la superficie z — f (x, y) con el plano x — const, paralelo al plano Oyz. Por último, si damos simultáneamente un incremento Az a la variable x y un incremento A y a la variablo y obtenemos el incre

mento correspondiente de z, Az, que se llama incremento total de la función z y que se determina por la fórmula:

Az = f (x + Az, y + Áy) f (*, y).

(3)

El incremento Az está representado por el segmento QQ' en la figura 168.

(26)

26 Fundones de varias variables Ejemplo: z=*xy.

= lí—xy — yAz,

A„s = x (|( + Ají) — xy = xAy.

(27)

27 Fundones de varias variables Para *=1, p=.2. Ai 0,2, A y —0,3, tenemos: AjS^O.í, A,j — 0,3, As —0,76.

De manera somejante se determinan los incrementos parciales y total de la función de cualquier número de variables. Así, para una función de tres variables u = / (z, y, t) tenemos:

(28)

■¿86 Funciones de varios variables I8 534$ 4. CONTINUIDAD DE LA FUNCION DK VARIAS VARIABLES

Introduzcamos un concepto auxiliar muy importante, que es la vecindad de un punto dado.

Se llama vecindad del punto Af<¡ (z0, ya) de radio r al conjunto de todos los puntos (x, y), que satisfacen a la

desigualdad:

puntos que se encuentran dentro de un círculo de centro Mü (x0, tjn) y radio r.

Cuando decimos que la función / (x, y) tiene cierta propiedad «cerca del punto (x0, yo)*, o «en la vecindad del punto (x0l y0)», esto significa que existe un círculo de centro en el punto (x0, j/o) de tal manera que en todos los puntos del mismo se cumple la propiedad dada de la función.

Antes de pasar al estudio de la continuidad de una función de varias variables, examinemos ol concopto de límite de la función le varias variables*). Sea dada la función:

¡> = f (x, y),

definida en un cierto dominio G del plano Oxy.

Examinemos cierto punto Af0 (x0, y o) que se encuentra en el interior, o en la frontera del dominio G (fig. 169).

Definición 1. Si para todo número e > 0, existe un número r > 0 tal que para todos los puntos M (x, y), cuando cada punto M (x, y) tiende a M¡,

(29)

■¿86 Funciones de varios variables

| /{x, y) .4 1< e.

) En adelante estudiaremos, principalmente, las (unciones de dos varia

♦ bles, puesto que el oxamen do las funciones de tres y más variables no agrega

(30)

Continuidad de la función de varlat variables

Si el número A es el límite de la función / (x, y) cuando M (x, y) M0 (x0, yo), se escribe: lím f(x, y) = A. V •* VO Definición 2. Sea M<¡(xo, ye) el punto que pertenece al dominio do definición de la función / (x, y). Se dice que la función z = 1 (x, y) es continua en el punto M0 yo), si so cumple la igualdad: lím /(x, y) = f(x„, y,), (1) cuando el punto M (x, y) tiende arbitrariamente al punto M0 (xo, y»), permaneciendo en el interior del dominio de definición de la función.

Si ponemos x = x<, + Ax, y = y0 + Ay, entonces la ecuación (1) se puede escribir así:

(31)

A* ~ 0 A|/ •» 0 Ó

lím [/ (x0 + Ax, y0 + Ay) / (x„, yJJt= 0. (1")

A* — O Ay

Ponemos Ap =

V

(Ax)s_{t (Ay)' (véase fig. 168). Cuando Ax f~ O y Ay > O, Ap v 0: recíprocamente, si Ap > O, entonces Ax > O y Ay > 0.}

La expresión encerrada entre corchetes en la igualdad (1*) es el incremento total Az de la función z. Por consiguiente, se puede escribir la

(32)

lím Az = 0. (I'")

A» 0

Una función, continua en cada punto de un cierto dominio, se llama continua en este dominio.

Si la condición (1) no se cumple en cierto punto N (x0, yo) éste se llama punto de discontinuidad de la función z =» / (x, y). Demos algunos ejemplos en que la condición (f) no se cumple: 1) z = ™ / (*> y) está definida en todos los puntos de cierta vecindad del punto A' (xo, y0), excepto el mismo punto N (x0, y0); 2) la función z — f (x, y) está definida en todos los puntos de una vecindad del punto N (xo, yo), pero no existe el límite lím / (x, y);

XMtQ v*uo

(33)

■¿86 Funciones de varios variables X*Xf

(34)

34 Funciones de varias variables

Ejemplo 1. La función

(35)

A L = 1(1 + A*)» + (» + A»)1_] —_\_X_*_+ =_{2x&x + 2yA|| f Al' + Ay',}

(36)

lím Az —0. áx—o 41/.0

(37)

._ Zxy *'+y'

(38)

Examinemos loa valores quo toma z on los puntos situados sobre la recta y = kx (A— const). Es evidente que para todos los puntos de la recta:

2fcr* Fig. 170

(39)

es docir, sobro cada recta quo pasa por el origen de coordonadas, la función x tiene un valor constante, que dependo del coeficiente angular k de esta recta.

Por eso el valor limito de la función s depende del camino quo recorra el punto (r, y) Cuando esto punto (r, u) on el plano Oxy tiende al origen de coordenadas, lo quo significa quo la función / (z, y) no tiene límite. Por consiguiente, la fun ción es discontinua on esto punto. No se puede hacer una determinación adicional do esta función on el origen do coordenados para convertirla en continua. Es fácil ver, por otra parte, quo on todos los demás puntos esta función es continua.

(40)

Derivadas parciales de la función de varias variables 40 Indiquemos sin demostración algunas importantes propiedades de la función de varias variables, continua on el dominio cerrado y acotado. Estas propiedades son semejantes a las de la función de una variable y continua en el segmento (véase § 10, cap. II). Propiedad 1. Si una función / (x, y, . . .) está definida y es continua en el dominio D cerrado acotado, entonces en este dominio existe por lo menos un punto N (x<>, y¡¡, ...) tal, que para todos los demás puntos del dominio se cumpla la correlación: / (*o. ío, • • .)>/(*, y, . . .), y existe por lo menos un punto N (x„, y0) tal que para todos los demás puntos del dominio se cumpla la correlación: /fo, tfo. ...)</(*■ y, •• •)■

El valor do la función / (x0, ¡/o. • • •) — M se llama valor máximo y / {xo, y», •••)= m se llama valor mínimo de la función / (x, y, ...) en el■ dominio D. Esa propiedad también'so puede formular de otro modo. Una función continua en un dominio O cerrado y acotado alcanza por lo menos una vez el valor máximo M y una vez el valor mínimo m. Propiedad 2. Si una función / (x, y, . . .) es continua en un dominio D cerrado y acotado, siendo M y m los valores máximo y mínimo de la función en el dominio mencionado, entonces para cualquier número |i, que satisface a la condición m < p < M, existirá en el dominio un punto N* (x0*, y0*. . . .) tal quo se cumpla la igualdad: /(¿o. y'o, ■■■) = p. Corolario de la propiedad 2.

(41)

Derivadas parciales de la función de varias variables 41

Si la función / (x, y, . . ,) es continua en un dominio cerrado y acotado y toma valores tanto positivos como negativos, existi rán en el interior del dominio unos puntos tales en los que la función / (x, y, . . .) se anula.

§ 5. DERIVADAS PARCIALES DE LA FUNCION DE VARIAS VARIABLES

Definición. El límite de la razón del incremento parcial &x z respecto a x, en relación al incremento Ax, cuando Ax tiende a cero se llama

derivada parcial respecto a x de la función z =

(42)

Derivadas parciales de la función de varias variables 42

(43)

Incremento total y dilerenclal total 43 p u e s t o q u e x e y e s t án comprendidas primero entre x y x + Ax, y segundo, entre y e y f Ay, entonces x e y tienden a x e y, respectivamente, cuando A x — 0 y Ay 0. Por consiguiente se puedeescribir las ecuaciones (6) en la forma: df (i, y+Ay) df(x, y) dx dx df(x. y) df(x. y)

(44)

y con la precisión de liast «infinitesimales de orden superior con relación a Ap se puede escribir la siguiente igualdad aproximada;

Az ~ dz.

Los incrementos Ax y Ay de las variables independientes se llaman diferenciales de las variables independientes x e y y se designan

respectivamente por dx y dy. Entonces, la expresión de la diferencial total toma la forma: dz = — dx + — dy.

dx dy

Por consiguiente, si la función z = f (x, y) tiene las derivadas parciales continuas, ésta es derivable en el punto (x, y) y su diferencial total es

igual a la suma de los productos de las derivadas

parciales, multiplicadas por las diferenciales de las variables independientes correspondientes.

Ejemplo 1. Ilalloi lo diferencial total y rl incremento total de la función s — x>j OII el punto (2; 3). para Ax = 0,1, Ay 0,2.

(45)

Solución. Ac (ij + by)— xy ySx f xÁy , \y, dz dz dz = — dx f — dy = y dx { x dy « yA* x\y. Por consiguiente, Incremento total y diferencial total m

(46)

A: • 3*0,1{20,2} 0,10,2*0,72: dz 30,1 }2.0,2 = 0,7.

Lo figura 173 ilustru esto ejemplo 1.

(47)

47 Funciones de jjarias variables Los razonamientos y definiciones anteriores pueden extenderse, de modo correspondiente, a las funciones de cualquier número de argumentos.Sea w = I (z, y, z, u, . . ., t), una función de cualquier número de variables en la que todas las derivadas parciales dx dy al son continuas en el punto (z, y, z, u, . . ., t), la expresión: dw=°ldx + ^Ldy + ?Ldzf ... + °Ldt dx dy dz dt será la parte principal del incremento total de la función y se llamará diferencial total. Del modo semejante que en el caso de una función de dos variables se puede demostrar que la diferencia Ato — dw es una infinitesimal de orden superior con relación a V(Az)J_{4 (A/) + . . . + (Ai)'}

(48)

48 Funciones de jjarias variables Solución. Observando que las derivadas parciales ax

~ ^""Vscn':, dy

«Ü _ sen j eos; .»" »' sen 2i

(49)

49 Funciones de jjarias variables son continuas par» lodos los valores do x, y. :, tenemos:

du^^dj | — dy dz (2x sen* : de + Zy smit ; dy +sen dz).

dz oy oz

§ 8. APLICACION DE LA DIFERENCIAL TOTAL PARA CALCULOS APROXIMADOS

Supongamos que la función z = / (z, IJ) es derivable en el punto (z, y). Hallamos el incremento total do esta función:

Az = / (z 4 Az, y + A y) — / (z, y),

(50)

(51)

y ( 7 5 ) 2 _ ( 3 2 ) * 75 y (75)2 _

(52)

De tal modo:

(53)

A= arcsen ^ J 9'38\

6. Determinado el cateto b = 121,56 m y el ángulo A 25*21'40" dr un triángulo rectángulo ABC', los errores absolutos máximos cometidos en el curso de la evaluación de estas magnitudes son respectivamente | A*b ] = 0,05 m y | AM | = 12".

(54)

(55)

55 Funciones de i arias variables Solución: Según la fórmula (2):

(56)

56 Funciones de i arias variables Sustituyendo los valores correspondientes (y expresando | A * .1 | en radianes). tenemos:

<2

| | tg 25°21 *40"0,05 f eos» 25"21'40" 206 205 0,0237 + 0,0087 — 0,032'i m . La razón del errur Ax de cierta magnitud respecto al valor aproximado de x se llama error relativo de esta magnitud. Designémoslo por 6x: , AJ* fix = —. La razón del error absoluto máximo respecto al valor absoluto de x se llama error relativo máximo do la magnitud x y se designa por |6*x |:

(57)

57 Funciones de i arias variables

16*x| = ~~ • (3)

1*1

Para evaluar el error relativo máximo de la función u, dividamos los miembros de la igualdad (2) por |u | = | / (x, y, z, respectivamente:

(58)

d¿ df_ Por consiguiente la igualdad (3) se puede escribir en la forma:

|6*u| = £ln[/|¡|Ax| + |¿l"l/l| IA*.V|+ • ... + 4l„|/| | |.... (5) I dt I o, más brevemente: I6*u¡ = A*ln |/ I .

(59)

Do las fórmulas (3) y (5) se deduce que el error relativo máximo de una función es igual al error absoluto máximo del logaritmo de esta función.

De la fórmula (6) obtenemos las reglas utilizadas en los cálculos aproximados.

1. Sea u = xy. Utilizando los resultados del ejemplo 3, tenemos:

16*u | = LiLL^ÍU

4.

LüiiéjÜ = L^ÍÜ + L^Jíi = 16*x| H 6*1/1, \xy\ |xi/| |s| |yl

es decir, el error relativo máximo de un producto es igual a la suma de los errores relativos máximos de los factores.

2. Sea u = —, utilizando los resultados del ejemplo 4, tenemos:

y

Observación: Del ejemplo 2 se deduce que si u — x — y, tenemos: lAxIHA'yl

Si los valores de x e y son cercanos entre sí puode ocurrir que | ó*u | sea muy grande en comparación con la magnitud buscada x — y. Esta

(60)

60 Funciones de i arias variables Ejemplo 7. El poriodo do oscilación de un péndulo es

r2„j/I.

(61)

Calcular el error rolalivo do la determinación do T por la fórmula onunciada, poniendo: n « 3,14 (con la precisión do hasta 0.U05), 1 =F !m (con la precisión do hasta 0,0lm). j—9,8 m/sog' (con la precisión hasta do 0,02 m/seg'). Solución: El error relativo máximo según la fórmula (6) será:

I S«r I = I A» INRI.

(62)

62 Funciones de i arias variables lnf = ln 2+ ln it+y ln I — j In g.

Calculemos |A* ln T J. Teniendo en cuenta que: IX x 3, 14, A*.i — 0,005, í = I m, A*I = 0,01 ra, g = 9,8 m/seg1_{, A= 0,02 m/seg', obtenemos:}

(63)

63 Funciones de i arias variables Así, ol error rolalivo máximo es:

(64)

(j 10. DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA. DERIVADA TOTAL

(65)

65 Funciones de i arias variables Ejemplo I. Sea

(66)

66 Funciones de i arias variables entonces,

j = (I> + («* » + 1)'Hi* + y*) M.♦

Supongamos que las derivadas parciales de las funciones F (u, y), tp (x, y), i|> (x, y) son continuas respecto a todos sus argumentos y

calculemos y a partir do las ecuaciones (1) y (2),

sin recurrir a la igualdad (3).

Demos al argumento x un incremento Ax, manteniendo invariable el valor de y. En virtud de la ecuación (2), u ye recibirán incrementos AXu y Aja respectivamente.

Pero si u ye reciben los incrementos A, u y Axv, la función z — = F (u, v) también recibirá el incremento Az determinado por la fórmula (5'), § 7, cap. VIII:

r)F (IF

Az =Ají |Axv + Vi áx" f Y:

dit dv

Dividamos todos los términos de esta igualdad por Ax:

Az OF A.u , OF Axv Axu , A„v

+

_—

t+ Kr + ^ir

Ax du Az dv Az Az Az

Si Ax * 0, también Aji * 0 y Aji> — 0 (en virtud do la con■ ■ tinuidad de las funciones u y v). Pero, en este caso Vi y Y2 igualmente tienden a

(67)

lím — liin • i¡nl _ dv

a* * o Ax dz A* o Ax dz A* — o Ax dz

liin y, = 0; lím y2 = 0

(68)

Derivada de una /unción compuesta. Derivada total 291 dz _ dF du | dF dv dx du dx di i dx Si damos un incremento Ay a la variable y, conservando x invariable, obtenemos análogamente: dz _________________________________ dF du ^ dF dv ^ dy du dy dv dy Ejemplo 2. 19»

(69)

i~ln(u2 + r); u — tfx+J/3_{, p = i« + v;}_{dz __ 2u <iz 1 du u»| V ' dv u* j v '}

ÜL üí_ „ »„,»+!/>.■ JÜL¡

d i ' d y ' d i ' d ¡ / '

(70)

Utilizando las fórmulas (4) y (4'), tenemos:

ii 2_{" . **+«» +}1_.|2j =2_{(«»+!'' + X),}

Las fórmulas (4) y (4') se generalizan naturalmente para un mayor número de variables.

Por ejemplo, si w = F (z, u, v. s) es una función de cuatro argumentos z, u, v, s, y cada uno de éstos depende do x e y, las

fórmulas (4) y (4') toman la forma:

________________________________

Si la función i = F (x, y, u, v) es tal que las variables y, u, v dependen, a su vez, del argumento x:

(71)

y = / (x); u = 9 (x)\ v = i|> (i), entonces, z, en esencia, es función de una sola variable x, y se puede, por tanto, hallar la

derivada

dx

(72)

■¿86 Funciones de varios variables Esta derivada se calcula por la primera de las fórmulas (5)i dz_________________________________dzdx dz dy dzdu dz dv dx dx dx dy dx du dx dv dx' pero, como y, u, v no dependen más que de una sola variable xf las derivadas parciales correspondientes son de hecho las derivadas ordinarias; además, ~ = 1, por tanto: dz_________________________________dz dz dy dzdu 3z dv <S —_Fx+_dy dx+_dü ~dx+_¡Tvdi _' ' La última se llama fórmula para el cálculo de la derivada total dz dx Ejemplo 3.

(73)

■¿86 Funciones de varios variables z — x1_{V f > sen i.} dz n dx 1 dy r— =1_{2x; ——=.— ; —7— eos x.} dx dy 2 Y y 1 En el § II doi capitulo III liemos resuelto el problema de derivación de las funcionos implícitas do una variable. Hemos examinado algunos ejemplos, sin obtener la formula gonoral para hallar la derivada de la función implícita. Tampoco hornos aclarado las condiciones de existencia de esta derivada.

(74)

■¿86 Funciones de varios variables Según la fórmula (fi) tenemos

dz ds dz dy . . 1 , , I --- ---—»2xH—eos x =2x

dx dx ' dy dx 2 Vi 2 l/senx

i II. DERIVADA I)E UNA FUNCION DEFINIDA IMPLICITAMENTE Comencemos el análisis de este problema con el estudio de la función implicita de una sola variable*. Sea y una función de x definida por la ecuación P (x, y) = 0 comprobemos el teorema siguiente. Teorema. Sea y una función continua de x definida implícitamente por la ecuación F (x, y) = 0 donde F (x, y), F„ (x, y), F¡¡ (x, y) son funciones continuas en cierto dominio D que contiene el punto (x, y), cuyas coordenadas satisfacen a la ecuación (lj; además, en este punto F'y (x, y) ^fc 0. Entonces la función y de x tiene la derivada: FJx, y) y. = — F"y(x, y) i^a diferencia de la derivada parcial j

(75)

Demostración. Supongamos que a un cierto valor de z corresponde un valor de la función y. Aqui F (z, y) = 0.

Demos a la variable independiente x un incremento Az. La función y recibe el incremento Ai/, es decir, al valor x + Az del argumento le

corresponde el valor y + Ay de la función. En virtud de la ecuación F (z, y) — 0 tenemos: F (z + Az, y + A y) = 0. Por tanto, F (z + Az, y + Ai/) F (z, y) = 0. El primer miembro de la última igualdad que es el incremento total de la función de dos variables, en virtud de la fórmula (5') § 7 se puede escribir dF dF F (z + Az, y f Ay) — F(x, y) = — Az + — Ay + y, Az + y2 Ay, dx dy

donde Vi y Y: tienden a cero, cuando Ai + 0 y Ay * 0. Como el primer miembro de la última expresión es igual a cero, se puede escribir■

(76)

■¿86 Funciones de varios variables ---Az HAy + y, Az + y. Ay = 0. dx dy Dividamos la igualdad obtenida por Az y calculemos : dF A R—I" Yi Ay___________________________________________________ dx Az ~dí^ ' — + Y* Oy Aproximemos Az a cero. Teniendo en cuenta que y, y y2 tam bién tienden a cero y que =5¿= 0, obtenemos como el límite:

(77)

dF

Oy

Hemos demostrado la existencia de la derivada y'x de la función definida implícitamente y hemos obtenido la fórmula para calcular esta

(78)

Ejemplo 1. La ecuación

(79)

define ¡/ como función implícita de T. Aquí:

=

Por consiguiente, según ta fórmula (1):

(80)

Observemos que la ecuación dada define dos funciones distintas (puesto que a cada valor de x en el intervalo (— 1. 1) corresponden dos valores de p |; sin embargo, el valor hallado de y'x es válido para ambas funciones. Kiemplo 2. Sea la ecuación

t»— e' + xy

Aquí:

F (x. y) cV—eizx_1xy, r dF

(81)

■¿86 Funciones de varios variables Por tanto, según la fórmula (I) obtenemos: dy — r*I y r _— yx dx t'' x Jr " Examinemos ahora la ecuación del tipo F (.t, y, z) = 0. (2) Si a cada par de números x e y, pertenecientes a cierto dominio, le corresponden uno o varios valores de z que satisfacen a la ecuación (2). ésta define implícitamente una o varias funciones univocas z de x e y. Por ejemplo, la ecuación x' jr + z!_= 0 define implícitamente dos funciones continuas z de J; e y, que pueden expresarse explícitamente, resolviendo la ecuación respecto a z; en este caso obtenemos: s = V/Px'y* y i^ _ i las derivadas parciales — y — r _Ox ai cita z de x e y definida por la ecuación (2). Hallamos las derivadas parciales — y — de la función impll r _Ox_uy

(82)

Para buscar , supongamos que y es constante. Por eso, podemos utilizar aquí la fórmula (1), considerando z como una función de la variable independiente x. Por tanto: De modo semejante hallamos: Aqui es natural suponer que

f

^O dz Del mismo modo se definen las funciones implicitas de cualquier número de variables y se calculan las derivadas parciales de las mismas. Derivada de uno función definida Implícitamente ________________________82

(83)

Kjemplo 3. dz 2i _ x Oz y dx 2z ~~ z * dy ~ z Derivando esta función como si fuera explícita (resolviendo esta ecuacióo respecto a z), obtenemos el mismo resultado. Derivada de uno función definida Implícitamente ________________________83

(84)

Kjemplo 4.

r' M'í + l | ! 0.

Derivada de

(85)

Aqui f {', «, *) = e> + z'y + ,+!¡, df_{' •> df , Bf} —— 2xy; — = x»; tt— = e* f 1; Ox dy dz dz . dz xl Derivada de uno función definida Implícitamente ________________________85

(86)

"¡S" e' | 1 ' ~dy Í , 1 'Observación: Todos los razonamientos del párrafo anterior los hemos realizado, suponiendo que la ecuación F (x, y) => 0

define cierta función de una variable y = <p (i), y la ecuación F (x, y, z) — = 0, define cierta función de dos variables z == / (x, y). Indique ios sin □ demostración la condición que debe satisfacer la función F (x, y) para quo la ecuación F (x, y) — 0 defina la función uniforme y = ip (x).

Teorema. Sea la ¡unción F (x, y), continua en la vecindad del punto '(x0, ijo) y que tenga derivadas parciales continuas, siendo Fv (jt, y) 0; suponiendo también que F (x0, ya) — 0. Entonces existe una vecindad que

comprende el punto (xD, y0) donde la ecuación F (x, y) = 0 define ta función uniforme y — ip (x).

El teorema análogo se cumple también para las condiciones de existencia de la función implícita definida por la ecuación F (x, y, z) 0.

Observación. Al deducir las reglas de derivación do las funciones implícitas, hemos aprovechado las condiciones quo determinan la existencia de las funciones implícitas. 8 12. DERIVADAS PARCIALES DE DIFERENTE: ORDENES

Sea z = f (x, y) una función de dos variables independientes.

Las derivadas parciales f'x (x, y) y ~ = f'y (x, y) son,

en general, funciones de las variables x e y. Por oso, éstas también pueden tener derivadas parciales. Por consiguiente, las derivadas parciales de segundo orden de una función de dos variables, son cuatro, pueslo que cada una de las funciones ^r y v~ puede ser IÍX dy derivada tanto respecto a x, como respecto a y. Las derivadas parciales de segundo orden se designan así: y)', donde / se deriva sucesivamente dos veces respecto a x; d'z < y)< donde / se deriva primero respecto a x, luego el resultado se deriva respecto a y; d'z (x. y); donde / se deriva primero respecto a y, luego el resultado se deriva respecto a x; d'z donde / se deriva sucesivamente dos veces respecto a y. Las derivadas de segundo orden se pueden derivar de nuevo, tanto respecto a x, como respecto a y\ como resultado obtenemo

(87)

sderivadas do tercer orden. Es evidente que serán ocho: ÉL.. dz* ' ¿te2_{dy ' di dy dx' dx dy}2_' ¿Pz _{<fz ' c?z d}3_z dydx2_{' dydxdy' di/dx di?} En general, la derivada parcial de nésimo orden es la primera d"í derivada de la derivada de(n —l)ésimo orden. Por ejemplo, g^ar es derivada de nésimo orden. Aqui, la función z está derivada, primero, p veces respecto a x y luego n — p veces respecto a y. De manera igual se definen las derivadas parciales de órdenes superiores para la función de cualquier número de variables. Ejemplo 1. Hallar las derivadas parciales de segundo orden do la función / <*. ;/) = z'u+ y'. Solución. Derivadas parciales de diferentes órdenes

₈₇

(88)

.,„. d*f ¿(2 x.j) ¡fij d(x' t.y) a'/

dx' dxdy dy ' dydx x ' da2

d:i_' _<t's_r.

Ejemplo 2. Hallar ™ y si

(89)

Solución.

vw. iV; JJij2,, «+<*».

Ejemplo 3. Hallar — , si u = Solución.

dx. ' dxi • di* dy ' Oí* dy dz y

Es natural plantear el problema: ¿si el resultado de derivación de la función de varias variables depende o no del orden de derivación respecto a distintas variables? Es decir, serian, por ejemplo, idénticamente iguales las derivadas:

dx dy dy Ox

(90)

ó

<?7(Z. y, t) <?7(x, y. t) etc

dx dy 01 dt dx dy

Demos la respuesta en forma del teorema siguieute. Teorema. Si la función z = f (x, y) y sus derivadas parciales /i, /L, r*u y l'iix están definidas y son continuas en el punto M (x, y) como también en cierta vecindad de este punto, entonces en este punto:

J±___________________________________________________*!_ ir = f )

— — yjxv — lux)

dx dy dy dx

Demostración. Analicemos la expresión A = 1/ (x + Ax, y h Ay) / (x + Ax. y) 1 1/ (x, y + A y) 

/(x. ¡di

Si introducimos una función auxiliar <p (x), determinada por la igualdad

(91)

<P M = / y + Ay) — / (x, y),

se puede escribir A en la forma:

A = <p (x + Ax) — <p (x).

Según la hipótesis, f'x está definida en la vecindad dol punto (x, y). Por consiguiente, <p (x) es derivable en el segmento (x, x f Ax), y aplicando el

teorema de Lagrange, obtenemos:

A — Ax<f' (x),

donde x está comprendida entre x y x + Ax. Pero,

1>'(x) =/i(¿, y + Ay) — /; (x, y).

Puesto quo /í„ está definida en la vecindad dol punto (x, y), fx es derivable en el segmento ly, y f Ay]; por eso, aplicando el teorema de Lagrange a

la diferencia obtenida (respecto a la variable y), tenemos:

t'x (¿. y + Ay) fx (x, y) = Ayfx„ (x, y),

donde y está comprendida entre y e y + Ay.

Por tanto, la expresión primitiva para A es igual a

A = Ax Ayfxu(x, y). (I)

(92)

Al cambiar el orden de los términos medios, obtenemos: A = 1/ (x + Ax. y + Ay) — f (x, y + Ay)lI/ (x + Ax, y)/ (x, y)). Introduzcamos la función

auxiliar:

í (y) = / (* + Ax, y) / (x, y).

Entonces:

(93)

A = * (y + Ay) i|> (y).Aplicando otra vez el teorema de Lagrange, tenemos: A = Ayif (y) donde y está comprendida entre y e y + A y. Pero, f

(5)

= /"„(* + Ax. y) f„ (x, y). Aplicando una vez más el teorema de Lagrange, obtenemos: /¡,(x+Ax. y) — fu (*. y) = Ax/'„ <x. y), donde x está comprendida entre x y x f Ax. Asi, la expresión primitiva para A se puede escribir en la forma: A = AyAx/„', (í, y). (2) Los primeros miembros de las igualdades (I) y (2) son iguules a .'1, por consiguiente son iguales también los segundos miembros, es decir, AxAy/i'„(x, y) = Aj/Ax/i'^ (x, y), Derivadas parciales de diferentes órdenes

₉₃

(94)

de donde ;/) = 1», (x. y). Pasando en esta ecuación al límite, cuando Ax —* 0 y A;/ —» 0, obtenemos: lím /,'„ (x~ y) = lím /„»(x, y). fliB A* — 0 Al/ 0 Atf — 0 Como las derivadas /'„ y son continuas en el punto (x, y), tenemos:

lím /.;'„ (x. ¡i) = /",'„ (X, y) y lim /"¿(x, y)=l'¡,x(r, y).

A*» ti Ax — O

Ay 0 Al/ — 0

(95)

En definitiva: /i'i/ (x, !/) = /„', (x, y) y queda así demostrado el teorema. El corolario del teorema demostrado es: si las derivadas parcia

u"¡

„ tí"/ oz* les —T—tit y —ñ~r—r. son continuas, entonces: r¡ o"! dx*dyn_~ Derivadas parciales de diferentes órdenes

₉₅

(96)

Un teorema análogo es válido para la (unción de cualquier número de variables.Ejemplo 4. Hallar

(97)

(98)

■¿86 Funciones de varios variables = | grad u [. Observación. Si u = u (i, y) es una función de dos variables el vector , du . , du . GN= está en el plano Oxy. demostremos que grad u es perpendicular a la línea de nivel u (x, y) — c, la cual se lialla cu el plano Oxy y pasa por el punto correspondiente. En efecto, el coeficiente angular fc,

de la tangente a la linea de nivel u (i. y) c será igual a k, — — ~ . El coeficiente angular Ar, del gradiente es igual a k2 Es evi

Ux

dente que kxk2 — —1, lo que comprueba que nuestra afirmación es válida (fig. 181). La propiedad análoga del gradiente de una función do tres

(99)

Ejemplo 2. Hallar el gradiente de la función + ~ (fig. 182) en

(100)

Fórmula de Taylor para una función de dos variables 100 Por lanío,

(101)

Fórmula de Taylor para una función de dos variables 101 i.a ecuación de la linea de nivel (fig. 183) que pasa por el punto dado será:

Fig. 182

(102)

Fórmula de Taylor para una función de dos variables 102 § 16. FORMULA DE TAYLOR PARA UNA FUNCION DE DOS VARIARLES Supongamos que una función de dos variables * = / (*. y) es continua, lo mismo que todas sus derivadas parciales de orden basta (n + f) inclusive en cierta vecindad del punto M (a, i). Entonces se puede representar la función de dos variables, al igual que se hizo en el caso de la función de una variable, (véase § 6, cap IV), como la suma de un polinomio de nésimogrado, desarrollado según las potencias enteras de (x — a) e (y — b) y un resto. Demostremos después que para n = 2, esta fórmula tiene la forma: / (x, y ) = A9 + D ( x a ) + E ( y b ) +

+ i [A (x af + 2B(x a) (y b) + C ( y bf] + /?,, (1)

donde los coeficientes .40, O, E, A, B, C no dependen de x e y, mientras que el resto /?3 tiene una estructura análoga a la del término complementario de la fórmula de Taylor para una sola variable.

Apliquemos la fórmula de Taylor para la función / (x, y) de una sola variable y, considerando x constante (hasta los términos de

(103)

Fórmula de Taylor para una función de dos variables 103

segundo orden):

f(x, y) = f(x. 61 + ¥~r„ (z. b) +

donde r|, = b + 0, (y — b), 0 < i), < 1. Utilizando la fórmula de Taylor, desarrollemos las funciones / (x, b). /„ (x. b). /"„„ (x, b) según las potencias

enteras de (x — a ) , hasta las derivadas mixtas de tercer orden inclusive:

/<*, &)=/(<.. />) + 6) +

+ (a

_'

b) +

IT.A)

(3>

donde = x I 62 (x — o), 0 < 6, < 1;

/¿i*. fc) = /i(a. + + 2. 6). (4)

donde = * )• 03 (x o), 0 < 03 < 1;

(104)

Fórmula de Taylor para una función de dos variables 104 donde |3 = x + 8, (« — o); 0 < 0, < 1. Introduciendo las expresiones (3), (4) y (5) en la fórmula (2), obtenemos: + ( i z . 6)] + ü ^ L * [ / • ; „ ( < . , ¿ ) + a , . t > ] + , tofe)V . . Disponiendo los números como se indica en la fórmula (1), obtenemos: /(x. y) = f (a, b) + (xa)fx(a. b) + (y b) /"„ (a, 6)+ + a)Y„'* (o, 6) + 2(xa) ( y b ) £„ (a, b ) + + (yb)2_r u(a. »] +i[(*«)'/•»,(£., b) + + 3(ia)2_{(y b) (E., b) + 3 (x a) (y b)*K„ <&,. b ) +} + I» (6> Esta es la fórmula de Taylor para n — 2. La expresión /f2 = l[(x_a)5/;«(E,. b) + 3(xaf(yb)fxxlia1. b) +

(105)

+ 3 (x a) (y b)*Kn (£* &) + (» (a. i))]

se llama término complementario. Pongamos ahora x — a = Ax, y — b = A y, Ap — (Ax)* f (A y)', y transformemos fl3:

+ Z^rsrKm <1«. « + ^ri/L» <«. n)l Ap'.

Ap Ap J

Puesto que | Ax | < Ap. | A¡/ | < Ap. y las terceras derivadas, según la hipótesis, son acotadas, el coeficiente de Ap3_{es limitado en el dominio} examinado. Designemos este coeficiente por a0 y escribamos: li. o0A|«3.

La fórmula de Taylor (6) para n = 2 loma la forma: / <*. y) = / (a. b) + Ax/; (a, ó) + Ay/„ (a. 6) +

+ y, [ AX'fxx (a, b) + 2Ax Ayfxí¡ (o. b) + Ay*f„ (a. ó)] + a„ Ap'. ((>') Para cualquier n la fórmula de Taylor tiene una forma semejante.

S 17. MAXIMO Y MINIMO DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES Definición I. Se dice que la función z / (x, y) tiene un máximo en el punto ;l/0 (x0, ;/0) (es decir, cuando x = x0, e y = y0) si / (Jo yo) > / (x, y)

(106)

para todos los puntos (x, y) suficientemente próximos al punto 0o) y distintos do este punto.

Definición 2. De modo igual se dice que la función i — / (x, y) tiene un mínimo en ol punto M0 (x0, y0), si

/ (*«. y„) < / y)

para todos los puntos (x, y) suficientemente próximos al punto (xQ. ya) y distintos de este punto.

El máximo y el mínimo do una función se llaman exiremos de esta función, es decir, la [unción admite un

extremo en un punto dado, si tiene un máximo o un mínimo en esto punto.

(107)

S(xt)» i (y2)2t alcanza el mínimo para x = 1, y 2. es decir, en el punió (1, 2). Efectivamente, / (t, 2) = — í y como (x — 1)J_y (y

— 2)a_son_siempre_positivos_{para z ./ i, v 2, entóneos:}

<xl)a_H¡/2)=t>1

(108)

Fórmula de Taylor para una función de dos variables 108 En la figura 184 se da la interpretación geométrica do este resultado.

(109)

Fórmula de Taylor para una función de dos variables 109 i H, y o (es decir, en el origen de coordenadas, véase la figura 18o). En efecto

/(0.0) =i.

(110)

Fórmula de Taylor para una función de dos variables 110 distinto del punto (0, 0); entonces, para 0<xa_{+ ¡/»<Í tenemos:}_{sen(x'hy') >0}

(111)

es decir, /<*. t0</(0. 0).

La definición de máximo y mínimo de la función se puede formular del modo siguiente:

Hagamos x — x0 + Ai, y = yo f Ay; entonces: / (x. y) — / (x0, y0) = / (i0 I Ai, y0 + Ay) — f (i0, y0) = A/.

1) Si A/ C 0 para todos los incrementos suficientemente pequeños de las variables independientes, la función / (i, y) admite un máximo en el punto M (x0, y0).

2) Si A/ > 0 para todos los incrementos suficientemente pequeños de las variables independientes, la función / (i, y)

admite un mínimo en el punto A1 (x0. y0).

Estas definiciones son igualmente válidas para una función de cualquier número de variables.

Teorema 1. (Condiciones necesarias para la existencia de un extremo).

Si la función z / (x, y) toma un extremo, cuando x — x0 e y = — y0, entonces cada derivada parcial de primer orden de z o bien se anula para

estos valores de los argumentos, o bien no existe.

En efecto, demos a la variable y un valor determinado, y = y0. Entonces la función / (x, y0) será la función de una sola variable x. Puesto que la

función tiene un extremo (máximo o mínimo) cuando

x — XQ, por consiguiente, es igual a cero, o no existe. De

Máximo

(112)

W—1/0

modo semejante se puede demostrar que (^7 Ufua! a_cero

Ve o no existe. Este teorema no es suficiente para estudiar el problema de la existencia de los valores extremos de la función. Sin embargo, si estamos seguros de quo existen los extremos, este teorema nos permite hallar sus valores. En caso contrario es preciso hacer un estudio más detallado. Asi por ojomplo, la función z = x*—y* tieno las derivadas = + ir; Máximo

(113)

—'¿y, que se reducen a cero cuando s U, y U. Sin embargo, la función no tionc máximo ni mínimo pnrn los valores indicados. Kn efecto, esta función es igual a cero en ol origen de coordenadas, mientras que en la vecindad inmediata de esto punto, toma tantos valore positivos como negativos. Por consiguiente, el valor cero no es máximo ni mínimo (fig. 180). Los puntos donde — — 0 (o no existe) y = 0 (o no existe), se llaman puntos críticos de la función z = / (x, y). Si la función alcanza el extremo en cualquier punto, esto puede tener lugar (en virtud del teorema 1) sólo en el punto crítico. Para estudiar las funciones en puntos críticos establezcamos las condiciones suficientes del extremo de una función de dos variables. Teorema 2. Sea f (x, y) una función definida en un dominio que comprende el punto .!/„ (x0, y0). Esta función tiene derivadas parciales

Fig. 1S6

continuas de hasta tercer orden inclusive. Supongamos, además, que

M

Q {X0, y„) es un punto crítico de la ¡unción f (x, y), es decir: Of (*o. !/o) = u <V(x0, y,) _u

Máximo

(114)

Máximo y mínimo de una

f

unción de parias variables

31 i

AC— B* = — a*< 0. Por consiguiente, en el punto A/2 tampoco hay máximo o mínimo. En el punto A/j (a. 0) tenemos: .4 — 0; B — a; C ^ —2n; AC — — B4 —

(115)

f

31 i

A/4 , tenemos:

(116)

(117)

f

31 i

Observación. La teoría de máximos y mínimos de la función de varias variables sirve de base para un método de obtención de fórmulas que representan dependencias funcionales mediante los

(118)

f

31 i

datos experimentales. El problema de «Obtención de una (unción a base de los datos experimentales según el método de cuadrados mínimos» se estudia en § (9 del capítulo presente. $ 18. MAXIMO Y MINIMO DE LA FUNCION DK VARIAS VARIABLES RELACIONADAS MEDIANTE ECUACIONES DADAS (MAXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS) Numerosos problemas de la determinación de los valores más grandes y más pequeños de la (unción se reducen a la búsqueda de los máximos y los minimos de una (unción de varias variables que no .son independientes, sino que están relacionadas entre si mediante ciertas condiciones adicionales (por ejemplo, las variables deben satisíacer a las ecuaciones dadas). Examinemos, por ejemplo, el siguiente problema. De un pedazo de hojalata dado de área 2a hace (alta hacer una caja cerrada en forma de paralelepípedo que tenga el volumen máximo. Designemos el largo, el ancho y el alto de ia caja por x, y, z respectivamente. El problema se reduce a la búsqueda del máximo de la función v = xyz,

(119)

f

31 i

a condición de que 2xy + 2xz ( 2yz 2a. Aquí se trata de un problema del extremo condicionado: las variables x, y, z están ligadas por la relación 2xy + 2x2 + 2yz = 2a. En este párrafo examinemos los métodos que se usan para solucionar tales problemas. Estudiaremos, al principio, el problema del extremo condicionado de una función de dos variables, ligadas sólo por una condición. Hallemos los máximos y los mínimos de la función

« = / ( . y ) ,*

( i )

a condición de que x e y estén ligados entre sí por medio de la ecuación q> (*.

y )

=

0 .

(2) Al existir la condición (2), sólo una de las dos variables x e y es independiente (por ejemplo x), puesto que y se determina de la ecuación (2) como función de x. Si resolvemos la ecuación (2) respecto a y, sustituimos en la igualdad (1) y por la expresión hallada, obtenemos la función de una variable x y reducimos el problema al estudio de máximos y mínimos de 1a función de una sola variable independiente x. Podemos también solucionar el problema planteado sin resolver la ecuación (2), respecto a i o y. La derivada de u respecto a x debe reducirse a cero para aquellos valores de x en los que la función u pueda tener máximo o mínimo.

(120)

f

31 i

Hallemos ~ de la ecuación (1), teniendo en cuenta que y es unafunción <le x: du __ df df dy dx dx dy dx l'or tanlo, en los puntos de extremo 3L + JLáJL=o. O) dx dy dx De la igualdad (2) hallemos: 9v+dvdy=0 (4) dx dy dx Lo igualdad (4) es válida para todos los x e y que satisfagan a la ecuación (2) (véase § 11, cap. VIII). Si multiplicamos todos los términos de la igualdad (4) por un coeficiente indeterminado X, y ios sumamos con los términos correspondientes de la igualdad (3), obtenemos:

(JL + JL <?} + (+

\ dx dy dxl \ dx dy dx' ó (— X —) + (— + X = 0. (5) \ dx dx > \ Oy dy ) dx

(121)

f

31 i

lista igualdad se cumple en todos los puntos en que hay un extremo. Elijamos X de manera tal que para los valores de x e y correspondientes a un extremo de la función u la expresión + 'dy ) X —) de la fórmula (5) se reduzca a cero *), dy! dy dy Entonces para estos valores de x e y de la igualdad (5), se deduce que: dx dx

(122)

Calculo Diferencial e Integral - N. Piskunov

N. PISKUnOV

cálculo diferencial e integral

toma I

c. rmcKyHOB

flHdxDEPEHlWAJIbHOE H HHTErPA übHOE HCHHCJIEHHfl