estadistica solucionarios

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(2) UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación. "ESTADÍSTICA APLICADA" TINS Básicos. ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS, ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES, MARKETING EMPRESARIAL. TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP. Lima - Perú.

(3) ESTADÍSTICA APLICADA. © ESTADÍSTICA II Desarrollo y Edición:. Vicerrectorado de Investigación. Elaboración del TINS:. Ing. Estadístico Nilton Horacio Machicao Bejar. Diseño y Diagramación:. Julia Saldaña Balandra. Soporte académico:. Instituto de Investigación. Producción:. Imprenta Grupo IDAT. Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.. 2.

(4) ESTADÍSTICA APLICADA. “El. presente. material. contiene. una. compilación. de. contenidos de obras de Estadística publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor, constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases de nuestra institución.. Este material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparados para fines didácticos en aplicación del artículo inc. C y el Art.43 inc. A; del Decreto Legislativo 822; Ley sobre Derechos de Autor”. 3.

(5) ESTADÍSTICA APLICADA. 4.

(6) ESTADÍSTICA APLICADA. PRESENTACIÓN La Matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto de las Ciencias, desde los albores de la civilización sigue siendo la base del desarrollo científico, tecnológico y humanístico de nuestro mundo. La Estadística como conjunto de conocimientos de la Matemática, se erige en el espacio del pensamiento probabilístico, permite la sistematización análisis de datos y la síntesis de resultados en el tratamiento de datos; conduce a la validación de resultados y facilita la producción de informes paramétricos, obtenidos en diferentes sucesos ocurridos en el acontecer de los actos del hombre. De allí que, en la formación académica de profesionales, se debe demandar el estudio de la Estadística en la convicción de dotar a sus estudiantes con un instrumento matemático analítico pertinente a la necesidad que plantea un determinado ejercicio, problema o proyecto en el campo de la política, la economía, la antropología de una sociedad, envueltos en la dinámica de la naturaleza y la cultura. En este marco, se ha desarrollado el presente texto de instrucción, dirigido a estudiantes de Administración; para la Asignatura de Estadística Aplicada, basado en una selección de temas, contenidos en diferentes fuentes bibliográficas, apropiados para la formación de profesionales en tecnología blanda. El texto en mención plasma la preocupación institucional de innovación de la enseñanza-aprendizaje en educación universitaria, que en acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos. Comprende 6 unidades de instrucción de carácter aplicativo, matizado por ejercicios y problemas: La unidad I comienza con una exposición sobre las técnicas de conteo o análisis combinatorio que es la base para entender a las probabilidades y sus propiedades y luego se expone acerca de la independencia de eventos y los teoremas de probabilidad total y de Bayes. En la unidad II trata de las variables aleatorias discretas y continuas, función de probabilidad, esperanza matemática, variancia y sus propiedades.. 5.

(7) ESTADÍSTICA APLICADA. La unidad III trata de las principales distribuciones de probabilidades tanto discretas y continuas, como Bernoulli, Binomial, Hipergeométrica, Poisson, Normal y Normal Estándar. La unidad IV trata de las distribuciones muestrales, el teorema del límite central, distribución Chi-cuadrado, “t” de Student y “F” de Snedecor. La unidad V trata de la inferencia estadística, tema importante para la toma de decisiones en medio de incertidumbre, se divide en dos partes como son la estimación de parámetros y las pruebas de hipótesis. La unidad VI trata del análisis de regresión lineal múltiple, el análisis de variancia y el coeficiente de determinación que nos permitirá saber si nuestros datos se adecuan o no a nuestro modelo. Además al final se presenta un apéndice con las principales tablas estadísticas y la bibliografía. Al finalizar estas líneas, el reconocimiento institucional al profesor Nilton Machicao Bejar, que habiendo trabajado con denuedo ha hecho posible éste texto de instrucción, como expresión de su destacada labor profesional y académica. VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN. 6.

(8) ESTADÍSTICA APLICADA. ÍNDICE GENERAL. Unidad I TEORÍA DE PROBABILIDADES....................................................... 11. Unidad II VARIABLES ALEATORIAS .............................................................. 37. Unidad III DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES .......................................... 61. Unidad IV DISTRIBUCIONES MUESTRALES ................................................... 79. Unidad V INFERENCIA ESTADÍSTICA ............................................................ 107. Unidad VI ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE ........................................... 135. TABLAS ESTADÍSTICAS…………………………………………………. 163 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................. 7. 183.

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(10) ESTADÍSTICA APLICADA. DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA CLASE N° 1. 2. 3. 4 5 6 7 8. 9 10. 11. 12 13. TEMA Técnicas de conteo, Principio de Multiplicación y Adición, Variaciones, Permutaciones y Combinaciones Probabilidades: Definiciones básicas . Experimento, Experimento Aleatorio, Espacio Muestral, Evento o Suceso Aleatorio, Definición de probabilidad de un evento. Propiedades. Reglas de Probabilidades de la Unión , suceso complementario. Probabilidad Condicional, Multiplicación de probabilidades, Independencia de eventos. Partición de eventos, Probabilidad Total y Teorema de Bayes. Probabilidad Total – Teorema de Bayes. PRÁCTICA CALIFICADA Nº1 Variable aleatoria. Función de Probabilidad. Función de Distribución. Distribución de variable Discreta . Distribución de Variable Continua. Esperanza Matemática o valor esperado, Propiedades . Varianza, Propiedades. Distribución de probabilidades. Distribuciones Discretas: Distribución Bernoulli, Distribución Binomial. PRÁCTICA CALIFICADA Nº 2 Distribución de Poisson y Distribución Hipergeométrica.. SEMANA 1. 2. 3. 4 5 6 7. 8. 9 10. EXAMEN PARCIAL Distribuciones Continuas: Distribución Normal. Distribución Normal Estandar. Manejo de la Tabla Z . PD: Distribución Muestral: T. Límite Central. Distribuciones Muestrales: Distribución de Promedios Muestrales, Teorema del Limite Central PRÁCTICA CALIFICADA Nº 3 Distribución de Proporciones Muestrales. Distribución Chi-Cuadrado, Manejo de la Tabla χ2. 9. 11. 12 13.

(11) ESTADÍSTICA APLICADA. CLASE N° 14. 15. 16. 17 18 19. TEMA Distribución “t” de Student, Distribución “F” de Snedecor. Manejo de las tablas “t” y “F”. PRÁCTICA CALIFICADA Nº4 Inferencia Estadística. Estimación de Parámetros y Estimación por Intervalos para la Media y la Variancia Poblacional. Prueba de Hipótesis. Tipos de Errores. Error Tipo I y Error Tipo II. Prueba de Hipótesis para la Media y Variancia Poblacional PRÁCTICA CALIFICADA Nº 5 Análisis de Regresión Lineal Múltiple. Coeficiente de Determinación Múltiple. Análisis de varianza (ANVA). Repaso EXAMEN FINAL. 10. SEMANA 14. 15. 16. 17 18 19.

(12) ESTADÍSTICA APLICADA. UNIDAD I TEORÍA DE PROBABILIDADES. En la asignatura anterior se ha definido a la ESTADÍSTICA como la ciencia del conocimiento humano, que se ocupa de la colección, representación, análisis y extracción de conclusiones para toda una población, en base a datos proporcionados por muestras aleatorias. La ESTADÍSTICA es una matemática aplicada, que nace de la preocupación de los gobernantes y es base de toma de decisiones en medio de incertidumbre. La Estadística, como un método de toma de decisiones, debe evaluar la confiabilidad y riesgos existentes en todo proceso de estimación. Esto es posible gracias a la teoría de probabilidades, base de la teoría Estadística, que permite generar indicadores de confiabilidad o riesgo. El término probabilidad frecuentemente es relacionado con posibilidad y azar, es decir, probabilidad es la posibilidad de que ocurra algo, por ejemplo, si la probabilidad que un estudiante elegido al azar apruebe Estadística es 0.02, esto significaría que es bien remota o poco posible que apruebe. Para entender bien a la teoría de probabilidades o cálculo de probabilidades es importante tener un buen dominio de las técnicas de conteo o análisis combinatorio, es por ello que comenzare exponiendo este tema.. TÉCNICAS DE CONTEO O ANÁLISIS COMBINATORIO PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN Si un experimento puede ocurrir de “n” maneras diferentes y otro experimento puede ocurrir de “m” maneras diferentes, el número total de maneras diferentes en que pueden ocurrir ambas simultáneamente es:. “nxm”. 11.

(13) ESTADÍSTICA APLICADA. EJEMPLOS 1.. Se lanzan 2 monedas simultáneamente. ¿Cuántos resultados posibles hay? SOLUCIÓN: La primera moneda tiene 2 posibilidades de caer: cara(c) o sello(s) La segunda moneda tiene 2 posibilidades de caer c o s Entonces por el principio de multiplicación hay, 2x2 = 4, resultados posibles, es decir: cc, cs, sc y ss.. 2.. Al lanzar simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuántos resultados posibles hay? SOLUCIÓN: El dado tiene 6 posibilidades: 1,2,3,4,5 ó 6 La moneda tiene 2 posibilidades: c ó s Entonces por el principio de multiplicación hay, 6x2 = 12, resultados posibles.. COROLARIO Si se ejecutan “n” experimentos con m1 , m2 , m3 , . . . , mn resultados posibles respectivamente, entonces, el número total de resultados posibles es:. m1 x m2 x m3 x … x mn EJEMPLO ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer si lanzamos 3 monedas? SOLUCIÓN: Como cada moneda puede caer de 2 maneras diferentes, entonces las tres pueden caer de 2x2x2 = 23 = 8 maneras diferentes. Es decir: ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc y sss. 12.

(14) ESTADÍSTICA APLICADA. PRINCIPIO DE ADICIÓN Si un experimento puede ocurrir de “n” ó “m” maneras diferentes, entonces dicho experimento puede ocurrir de: “n + m” maneras diferentes. EJEMPLO Un estudiante para ir a la UTP puede hacerlo en la combi A, combi B, combi C o a pie. ¿De cuántas maneras diferentes puede asistir a la UTP? SOLUCIÓN: Como puede tomar cualquiera de las 3 combis, tiene 3 posibilidades o puede ir a pie, tiene una posibilidad, entonces por el principio de adición, tiene 3 + 1 = 4 maneras diferentes de ir a la UTP. VARIACIÓN Dado “n” objetos una variación de estos “n” objetos tomados de “r” en “r”, es un arreglo de “r” de estos objetos, en el cual el orden tiene importancia. El número total de variaciones esta dado por:. Donde “n” y “r” son enteros y positivos; r ≤ n Recordar: 1) n! = nx(n-1)!x(n-2)!x(n-3)!x · · · X3x2x1 , ∀ n entero y positivo 2) 0! = 1. EJEMPLO Hallar el número de formas que se puede confeccionar una bandera de franjas de 3 colores, si se tiene tela de 5 colores distintos. SOLUCIÓN: Si consideramos franjas verticales, tenemos: n = 5 y r = 3, como el orden importa, entonces, nos piden:. V35 =. 5! 5 x 4 x3x 2 x1 = = 60 (5 − 3)! 2 x1. 13.

(15) ESTADÍSTICA APLICADA. PERMUTACIÓN (Pn) Cuando n=r la variación recibe el nombre de permutación de “n” elementos, es decir:. Pn = Vnn =. n! n! = = n! , puesto que 0! = 1, entonces: (n − n)! 0!. EJEMPLO ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una banca? SOLUCIÓN: Siempre que en un arreglo se use la totalidad de elementos a la vez se trata de una permutación, como en este caso. P5 = 5! = 120 PERMUTACIONES CIRCULARES (PC) En este tipo de agrupaciones no hay primero, ni último elemento, por encontrarse todos en una línea cerrada. El número de permutaciones de “n” elementos tomados alrededor del círculo es:. EJEMPLO ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 5 personas en una meza redonda? SOLUCIÓN: Pc = (5 – 1)! = 4! = 24 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN El número total de permutaciones de “n” elementos repetidos n1 , n2, n3, . . . ,nk veces es:. 14.

(16) ESTADÍSTICA APLICADA. Donde: n1 + n2 + n3 + . . . + nk = n EJEMPLO ¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras de la palabra MISSISSIPPI? SOLUCIÓN: Como M=1, I=4, S=4, P=2 y n = 11, entonces:. P111 , 4, 4, 2 =. 11! = 34650 1!·4!·4!·2!. COMBINACIÓN Dados “n” objetos, una combinación de los “n” objetos tomados de “r” en “r” es un arreglo de “r” de estos objetos, en el cual el orden no es importante. El número total de combinaciones esta dado por:. Donde “n” y “r” son enteros y positivos; r ≤ n. EJEMPLO ¿Cuántos comités de 3 personas pueden formarse de un grupo de 9 personas?. 15.

(17) ESTADÍSTICA APLICADA. SOLUCIÓN: Como n = 9 y r = 3 y el orden no importa, entonces:. C 39 =. 9! 9 x8 x7 x6! = = 64 (9 − 3)! x3! 6! x3x 2 x1. El número total de comités de 3 personas que pueden formarse con 9 personas es 64.. EJERCICIOS RESUELTOS 1. De entre 5 ejemplares de un texto de Matemática, 3 de Administración y 2 de Contabilidad; hay que escoger un ejemplar de cada texto. Calcular el número de formas diferentes para hacerlo. SOLUCIÓN: El texto de Matemática puede escogerse de 5 maneras diferentes. El texto de Administración puede escogerse de 3 maneras diferentes. El texto de Contabilidad puede escogerse de 2 maneras diferentes. Entonces, por el principio de multiplicación hay, 5x3x2 = 30 formas diferentes de escoger un ejemplar de cada texto. 2.. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer si lanzamos 2 dados y una moneda? SOLUCIÓN: Por el principio de multiplicación: Cada dado puede caer de 6 formas diferentes y la moneda de 2 formas diferentes; entonces: 6x6x2 = 72.. 3.-. En el último campeonato mundial de fútbol participaron 32 países donde los premios fueron medallas de oro, plata y bronce. ¿De cuántas formas pueden distribuirse las medallas? SOLUCIÓN: Número de países = n = 32 Número de medallas = r= 3 Como el orden es importante, se trata de una variación, entonces existen. 16.

(18) ESTADÍSTICA APLICADA. 32! 32 x31x30 x 29! = = 32 x31x30 = 29760 formas diferentes de 29! 29" distribuirse las 3 medallas entre los 32 países. V332 =. Observe que también puede usarse el principio de multiplicación. 4.. ¿Cuántos collares diferentes se pueden formar con 7 perlas diferentes? SOLUCIÓN: Como los collares tienen forma circular, es decir no hay ni primer ni última perla, se trata de una permutación circular, entonces: (7 − 1)! 6! 720 Pc = = = = 360 2 2 2 Observe que: A, B, C, D, E, F, G es igual a: G, F, E, D, C, B, A Por este motivo se ha dividido entre 2.. 5.. Una sociedad científica está formada por 25 personas y es necesario elegir al presidente, al vicepresidente, al secretario y al tesorero. ¿De cuántas formas se puede efectuar esta elección si cada miembro de la sociedad puede ocupar sólo un cargo? SOLUCIÓN: Número de científicos = 25 El presidente puede ser cualquiera de los 25 científicos, el vicepresidente cualquiera de los 24 restantes, el secretario cualquiera de los 23 restantes y el tesorero cualquiera de los 22 científicos que quedan, entonces por el principio de multiplicación, hay 25x24x23x22 = 303600 formas diferentes de realizar esta elección.. 6.. Kattia, Dajana y 10 amigos se encuentran reunidos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse en una banca si las 2 amigas siempre deberán permanecer juntas? SOLUCIÓN: Una primera forma seria: Katty-Dajana A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 , esto es: P11 = 11!, como las dos amigas pueden intercambiar posiciones se tiene que multiplicar por 2, es decir el resultado seria: 2!x 11! = 79833600.. 17.

(19) ESTADÍSTICA APLICADA. 7.. Se encuentran reunidos 16 cachimbos en la UTP de los cuales 10 son varones. Se desea formar un comité de 9 cachimbos. ¿De cuántas maneras se puede formar el comité, si debe haber necesariamente 4 damas en el comité? SOLUCIÓN: Como hay 6 damas, entonces pueden integrar el comité 4, 5 y hasta 6 damas. 1º Cuando integran 4 damas habrá 5 varones en el comité: C 46 xC 510 = 3780 2º Cuando integran 5 damas habrá 4 varones en el comité: C 56 xC 410 = 1260 3º Cuando integran 6 damas habrá 3 varones en el comité: C 66 xC 310 = 120 El número total de maneras será: 3780 + 1260 + 120 = 5160. Observación: Se trata de combinación puesto que el orden no importa.. 8.. Los ingleses suelen dar varios nombres a sus hijos. ¿De cuántas formas se puede dar un nombre a un niño si el número total de nombres es 300 y le dan no más de 3 nombres? SOLUCIÓN: En este caso el orden importa, entonces se tratará de variaciones, como le dan no mas de 3 nombres, esto significa que el nombre puede estar compuesto de uno, dos ó tres nombres, esto es:. V1300 + V2300 + V3300 = 26820600. 18.

(20) ESTADÍSTICA APLICADA. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.. De entre 10 ejemplares de un texto de Matemática, 8 de Administración y 5 de Contabilidad; hay que escoger un ejemplar de cada texto. Calcular el número de formas diferentes para hacerlo.. 2.. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer si lanzamos 2 dados y 3 monedas?. 3.. En el último campeonato mundial de fútbol que participó Perú fue el año 1982, en el cual participaron 24 países donde los premios fueron medallas de oro, plata y bronce. ¿De cuántas formas pueden distribuirse las medallas?. 4.. ¿Cuántos collares diferentes se pueden formar con 10 perlas diferentes?. 5.. Una sociedad científica está formada por 20 personas y es necesario elegir al presidente, al vicepresidente y al secretario. ¿De cuántas formas se puede efectuar esta elección si cada miembro de la sociedad puede ocupar sólo un cargo?. 6.. Lizbeth, Rocío, Zaida y 9 amigos se encuentran reunidos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse en una banca si las 3 amigas siempre deberán permanecer juntas?. 7.. Se encuentra reunidos 20 cachimbos en la UTP de los cuales 15 son varones. Se desea formar un comité de 8 cachimbos. ¿De cuantas maneras se puede formar el comité, si debe haber necesariamente 4 damas en el comité?. 8.. Los ingleses suelen dar varios nombres a sus hijos. ¿De cuántas formas se puede dar un nombre a un niño si el número total de nombres es 50 y le dan no más de 4 nombres?. 9.. Vanesa, Juanita y 8 amigos se encuentran reunidos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse en una banca si las 2 amigas nunca deberán permanecer juntas?. 10.. Yovana, Pamela, Lizeth y 12 amigos se encuentran reunidos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse en una banca si las 3 amigas nunca deberán permanecer juntas?. 19.

(21) ESTADÍSTICA APLICADA. 11.. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse los 2 primeros estudiantes que llegan a un aula de 20 carpetas?. 12.. Un estudiante posee 10 monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las 10 monedas?. 13.. Sarita tiene seis amigos. ¿De cuántas maneras puede invitar a por lo menos uno de ellos a cenar?. 14.. Los números de las placas de los automóviles, están formados por 2 letras y 4 cifras. Hallar el número total de placas que se puedes confeccionar.. 15.. Un comité estudiantil de 12 personas debe ser formado, entre 100 cachimbos(60 hombres y 40 mujeres), 80 estudiantes intermedios(50 hombres y 30 mujeres), 70 estudiantes avanzados(46 hombres y 24 mujeres) y 40 graduados(28 hombres y 12 mujeres). Encuentre el número total de diferentes comités que se pueden formar bajo cada una de los siguientes requerimientos: a) b) c) d) e). 16.. No se imponen restricciones a la formación del comité. Siete estudiantes deben ser hombres y 5 mujeres. El comité debe contener el mismo número de estudiantes de cada clase. El comité debe contener 2 hombres y una mujer de cada clase. El presidente del comité debe ser graduado y hombre.. En la siguiente figura se representa el plano de una ciudad :. B. A Un caminante desea trasladarse del punto A hasta el punto B por el camino más corto, es decir, desplazarse todo el tiempo o bien de izquierda a derecha, o bien de abajo hacia arriba . ¿Por cuántos caminos puede llegar desde A hasta B?.. 20.

(22) ESTADÍSTICA APLICADA. 17.. Una contraseña para acceder a una computadora consiste de 6 caracteres que pueden ser letras (26) o números (10). a) ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden formar? b) ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden formar conteniendo sólo números? c) ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden formar si deben tener por lo menos una letra?.. 18.. Ocho atletas compiten en la final olímpica de los 110 metros con vallas. Asumiendo que ellos cruzan la meta en distintos instantes. ¿Cuántas maneras distintas hay para entregar las medallas de oro, de plata y de bronce?.. 19.. Una señora tiene 8 amigas y desea invitar a 5 de ellas a una fiesta. ¿De cuántas maneras puede hacerlo si dos de ellas están enojadas entre sí y no pueden ser invitadas juntas?.. 20.. Suponga que un artículo es comercializado por dos empresas A y B. La empresa A tiene 5 tiendas y la empresa B tiene 8 tiendas, a través de las cuales se vende dicho artículo. ¿De cuántas maneras diferentes puede un cliente comprar un artículo?.. 21.. Un grupo de 7 personas deben participar en una serie de charlas a llevarse a cabo en dos días sucesivos. En el primer día deben participar 3 personas, y en el segundo día las 4 personas restantes. ¿ De cuántas maneras diferentes se puede organizar las charlas del primer día?.. 22.. En el siguiente diagrama A, B, C, D, E y F denotan islas y las líneas de unión son puentes. Un hombre empieza en A y camina de isla en isla, se detiene para almorzar cuando no puede continuar caminando sin tener que cruzar el mismo puente dos veces. Hallar el número de maneras de cómo puede hacer su recorrido antes de ir a almorzar.. 21.

(23) ESTADÍSTICA APLICADA. PROBABILIDADES EXPERIMENTO Un experimento es cualquier proceso de ensayo y observación. EXPERIMENTO ALEATORIO Es cualquier experimento real o hipotético que pueda dar lugar a varios resultados sin que sea posible anunciar con certeza cuál de estos resultados va a ser observado. A estos experimentos también se les conoce como no determinísticos. EJEMPLOS 1. Lanzamiento de una moneda balanceada. En este caso los resultados posibles serán: cara ( c ) o sello ( s ). 2.. Lanzamiento de un dado no cargado (insesgado). En este caso los resultados posibles serán: 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.. CARACTERÍSTICAS DEL EXPERIMENTO ALEATORIO (O ESTOCÁSTICO) 1. Se tiene varios resultados posibles. 2. Estos resultados tienen cierta incertidumbre de aparecer, es decir, no podemos afirmar con certeza cual de los resultados va a ser observado. ESPACIO MUESTRAL ( S ) Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Para los ejemplos anteriores, tenemos: S = ⎨c , s ⎬ ⇒ n(S) = 2 y S = ⎨1, 2, 3, 4, 5, 6 ⎬ ⇒ n(S) = 6 EVENTO ( E ) Es un subconjunto del espacio muestral. EJEMPLO Si se lanza un dado, un evento seria que salgan números pares, es decir: E = ⎨2, 4, 6 ⎬ ⇒ n(E) = 3. 22.

(24) ESTADÍSTICA APLICADA. PROBABILIDAD La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles; es decir: número de elementos del evento entre número de elementos del espacio muestral. Es decir:. EJEMPLOS 1. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda? SOLUCIÓN: P= 2.. n( E ) 1 = n( S ) 2. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 2 al lanzar un dado? SOLUCIÓN: P=. n( E ) 1 = n( S ) 6. PROPIEDADES Sean los eventos A , B Y C , entonces: 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 2. P(S) = 1 3. P(∅) = 0 4. P(AUB) = P(A) + P(B) Si: A ∩ B = ∅ 5. P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Si: A ∩ B ≠ ∅ 6. P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) 7. P(A′)= 1 – P(A). 23.

(25) ESTADÍSTICA APLICADA. EJERCICIOS RESUELTOS 1.. Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas salgan cara?. SOLUCIÓN: Como S = {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S) } 1 favorable: ( C,C), entonces: P = 4 2.. y hay un solo caso. Se lanzan 2 dados al azar y se quiere hallar la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea igual a 10. SOLUCIÓN: Por el principio de multiplicación: n(S) = 6x6 = 62 = 36 y sea el evento, suma de puntos igual a 10, es decir, (4,6), (6,4) y (5,5) entonces: n(E) = 3 Luego: p=. 3.. 3 1 = 36 12. Se tiene una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera que se saque sea de espadas? SOLUCIÓN: Como n(s) = 52 y hay 13 espadas, es decir: n(E) = 13, entonces: 13 P= 52. 4.. El vicerrector académico informa que de 200 desaprobados, 30 son de Matemática, 50 de Estadística y 10 de Métodos Cuantitativos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido azar desapruebe Estadística? SOLUCIÓN: En este caso: n(S) = 200 y hay 50 casos favorables, entonces: 50 1 = P= 200 4. 24.

(26) ESTADÍSTICA APLICADA. 5.. Una urna contiene bolillas numeradas del 1 al 5. Se sacan sucesivamente al azar las 5 bolillas (sin reposición). Hallar la probabilidad de que juntando los números de cada bolilla según el orden de extracción resulte el número 53412.. SOLUCIÓN: El espacio muestral es: n(S) = 5! = 120 y hay un solo caso favorable, entonces: 1 1 P= = 5! 120 6.. Una urna contiene 8 bolillas rojas y 10 bolillas verdes. Se sacan al azar y de una vez 6 bolillas, ¿cuál es la probabilidad de que todas ellas sean verdes? SOLUCIÓN: Como el orden no importa se trata de combinaciones, entonces: C 610 5 = 0,011312217 P = 18 = 442 C6. 7.. Se tiene 5 pares de zapatos mezclados y cada par es distinto de los demás. Si se eligen 2 zapatos al azar, hallar la probabilidad de que correspondan a un mismo par. SOLUCIÓN: Como el orden no importa, se trata de una combinación, es decir: n(S) = C 210 = 45 y hay 5 casos favorables, entonces: 5 1 p= = 45 9. 8.. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes, si P(A) = 0.25 y P(B) = 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? SOLUCIÓN: Sabemos que P(AUB) = P(A) + P(B) P(AUB) = 0.25 + 0.15 = 0.40.. 25. Si: A ∩ B = ∅ , entonces:.

(27) ESTADÍSTICA APLICADA. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.. Se lanzan tres monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que todas salgan sello?. 2.. Se lanzan 2 dados al azar y se quiere hallar la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea igual a 8.. 3.. Se tiene una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera que se saque sea el as de corazones?. 4.. El vice-rector académico informa que de 500 desaprobados, 80 son de Matemática, 125 de Estadística y 30 de Métodos Cuantitativos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido azar desapruebe Matemática? Una urna contiene 10 bolillas numeradas del 0 al 9. Se sacan sucesivamente al azar 5 bolillas (sin reposición). Hallar la probabilidad de que juntando los números de cada bolilla según el orden de extracción resulte el número 20957.. 5.. 6.. Una urna contiene 10 bolillas negras y 12 bolillas rojas. Se sacan al azar y de una vez 5 bolillas, ¿cuál es la probabilidad de que todas ellas sean negras?. 7.. Se tiene 8 pares de zapatos mezclados y cada par es distinto de los demás. Si se eligen 2 zapatos al azar, hallar la probabilidad de que correspondan a un mismo par.. 8.. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes, si P(A) = 0.40 y P(B) = 0.35. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra ni A ni B?. 9.. Se desea entrevistar a un grupo de empleados de la UTP con respecto a un plan de pensiones, se efectuaran entrevistas detalladas a cada uno de los empleados seleccionados en una nuestra aleatoria. Estos se clasificaron como sigue: CLASIFICACIÓN Vigilantes Mantenimiento Docentes Secretarias. Nº DE EMPLEADOS 16 14 50 20. 26.

(28) ESTADÍSTICA APLICADA. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada: a) sea docente o secretaria? b) sea vigilante o de mantenimiento? c) no sea vigilante? 10.. El directorio de la empresa MACHI SAC está formado por seis hombres y tres mujeres. Se desea seleccionar un comité de tres miembros, en forma aleatoria, para que recomienden a un nuevo presidente de la empresa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean mujeres los tres miembros del comité? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sean hombres los tres miembros del comité?. 11.. Se lanzan cuatro monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que todas salgan cara?. 12.. Se lanzan cuatro monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos sellos?. 13.. Se lanzan 2 dados al azar y se quiere hallar la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea a lo más 10.. 14.. Se lanzan 2 dados al azar y se quiere hallar la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea por lo menos 4.. 15.. Una urna contiene 8 bolillas numeradas del 1 al 8. Se sacan sucesivamente al azar 4 bolillas. Hallar la probabilidad de que juntando los números, de cada una, en el orden de extracción resulte el número 7656.. 16.. Una urna contiene 6 bolillas blancas y 10 bolillas rojas. Se sacan al azar 7 bolillas de una vez, hallar la probabilidad de que todas sean rojas.. 17.. En una carrera de autos participan los competidores A, B, C y D. Se sabe que uno de ellos necesariamente debe de ganar. Si la probabilidad de que gane A es el doble de la de B, la de B es la mitad de C y la de D es el triple de A, ¿Cuál es la probabilidad que gane D?.. 27.

(29) ESTADÍSTICA APLICADA. 18.. De 100 estudiantes, 48 llevan Matemática, 32 Estadística y 40 Administración; 16 Matemática y Estadística ,13 Administración y Estadística , 20 Matemática y Administración, y 22 ninguno de los 3 cursos . Si se elige un estudiante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que lleve?: a) Solo Estadística. b) Solamente Matemática o Administración. c) Solamente Estadística y Administración.. 19.. Se tienen 6 libros, de los cuales uno es de economía y otro es de estadística. Si los libros se ordenan aleatoriamente de izquierda a derecha, hallar la probabilidad que: a) Los libros de economía y estadística estén juntos. b) Uno de los libros (economía y estadística) esté al inicio (primera posición desde la izquierda) o que los libros de economía y estadística no estén juntos.. 20.. En una reunión de 30 personas, ¿cuál es la probabilidad de que, por lo menos dos de ellas, cumplan años el mismo día?. 21.. Suponga que en una clase de 50 estudiantes, 30 alumnos opinan que el profesor es claro, 8 alumnos opinan que el material bibliográfico es deficiente, 35 alumnos opinan que el sistema de evaluación es exigente, 5 alumnos opinan que el profesor es claro y que el material bibliográfico es deficiente, 22 alumnos opinan que el profesor es claro y que el sistema de evaluación es exigente, 3 alumnos opinan que el material bibliográfico es deficiente y que el sistema de evaluación es exigente, y 5 alumnos opinan que el profesor no es claro, que el material bibliográfico no es deficiente y que el sistema de evaluación no es exigente. Si se elige al azar un alumno, hallar la probabilidad que: a) El alumno opine que el sistema de evaluación es exigente o que el material bibliográfico es deficiente. b) El alumno opine que el sistema de evaluación es exigente o que: el profesor es claro y el material bibliográfico es deficiente.. 22.. Una empresa tiene dos maneras A y B de presentar un nuevo producto al mercado. Si presenta el producto de la manera A la probabilidad de que el producto sea exitoso es 0.44 y si lo presenta de la manera B la probabilidad de éxito se reduce a 0.29. La probabilidad de que el producto fracase con ambas maneras de presentación es 0.37. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea exitoso con ambas formas de presentación?. 28.

(30) ESTADÍSTICA APLICADA. 23.. Se desea hallar la probabilidad de sacar por lo menos una vez el 6 al lanzar un dado 4 veces.. 24.. Se desea hallar la probabilidad de sacar dos seis por lo menos una vez al lanzar dos dados 24 veces.. 25.. Se tiene una baraja de 40 cartas, donde hay 4 ases. Se reparten éstas entre 4 personas, ¿qué probabilidad hay de que a cada una le toque un as?. 26.. En una reunión de 30 personas,¿Cuál es la probabilidad de que, por lo menos dos de ellas, cumplan años el mismo día?. PROBABILIDAD CONDICIONAL Si A y B son dos eventos de un espacio muestral S; entonces, la probabilidad condicional de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ocurrió esta dado por:. ∀ P(B) ≠ 0 También se cumple que:. ∀ P(A) ≠ 0 MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES Si A, B y C son tres eventos de un espacio muestral S; entonces, se cumple que: 1.. P(A∩B) = P(A) P(B/A) P(A∩B) = P(B) P(A/B). 29.

(31) ESTADÍSTICA APLICADA. 2.. P(A∩B∩C) = P(A)P(B/A)P(C/A∩B) P(A∩B∩C) = P(B)P(A/B)P(C/A∩B) P(A∩B∩C) = P(C)P(A/C)P(B/A∩C) P(A∩B∩C) = P(A)P(C/A)P(B/A∩C) P(A∩B∩C) = P(B)P(C/B)P(A/B∩C) P(A∩B∩C) = P(C)P(B/C)P(A/B∩C) P(A∩B∩C) = P(A∩B)P(C/A∩B) P(A∩B∩C) = P(A∩C)P(B/A∩C) P(A∩B∩C) = P(B∩C)P(A/B∩C). INDEPENDENCIA DE EVENTOS INDEPENDENCIA DE DOS EVENTOS Dos eventos A y B son independientes si:. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia del otro evento. Es decir, también se cumplen que: P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B). INDEPENDENCIA DE TRES EVENTOS Tres eventos A, B y C de un espacio muestral S son mutuamente independientes si cumplen las siguientes condiciones: 1. 2. 3. 4.. P(A ∩ B) = P(A)P(B) P(A ∩ C) = P(A)P(C) P(B ∩ C) = P(B)P(C) P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C). PARTICIÓN DE EVENTOS Los eventos A1 , A2 , A3 , · · · , AK forman una partición del espacio muestral S, si cumplen las siguientes condiciones: 1. 2. 3.. Ai ≠ ∅ ∀ i = 1, 2, 3, · · · , k Ai ∩ Aj = ∅ ∀ i ≠ j , i , j = 1, 2, 3, · · · , k A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · ∪ AK = S. 30.

(32) ESTADÍSTICA APLICADA. TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL Sean los eventos A1 , A2 , A3 , · · · , AK , los cuales forman una partición del espacio muestral S, y sea B otro evento cualquiera de S; entonces, se cumple que:. TEOREMA DE BAYES Sean los eventos A1 , A2 , A3 , · · · , AK , los cuales forman una partición del espacio muestral S, y sea B otro evento cualquiera de S; entonces, se cumple que:. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Suponga que P(A) = 0.35 y P(B/A) = 0.25 . Hallar P(A ∩ B). SOLUCIÓN: Sabemos que P(A∩B) = P(A) P(B/A) entonces, P(A∩B) = (0.35)(0.25) = 0.0875 2.. En un lote de 15 artículos se tiene 4 defectuosos. Si se eligen al azar y sin reemplazo tres artículos, hallar la probabilidad que los 3 artículos elegidos sean defectuosos. SOLUCIÓN: Sea Di = {el i-ésimo artículo es defectuoso}, entonces: P(D1∩ D2∩D3) = P(D1)P(D2)P(D3) 4 4 3 2 = 0.00879121 P(D1∩ D2∩D3) = ( )( )( ) = 15 14 13 455. 31.

(33) ESTADÍSTICA APLICADA. 3.. Una urna contiene 10 bolillas rojas, 8 negras y 12 azules. Si se eligen al azar y sin reemplazo 3 bolillas, hallar la probabilidad que las 3 bolillas sean negras. SOLUCIÓN: Sea Ni = {la i-ésimo bolilla es negra}, entonces: P(N1∩ N2∩N3) = P(N1)P(N2)P(N3) 2 8 7 6 P(N1∩ N2∩N3) = ( )( )( ) = = 0.013793103 30 29 28 145. 4.. En una urna hay 15 bolillas numeradas del 1 al 15. Si se van sacando una a una al azar sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que la bolilla número 5 salga precisamente en la quinta extracción? SOLUCIÓN: La probabilidad de que la bolilla Nº 5 no salga en la primera vez es 14/15; la probabilidad de que tampoco salga la segunda vez es 13/14; tampoco la tercera vez es 12/13; tampoco la cuarta vez es 11/12 y la probabilidad de que si salga en la quinta vez es 1/11. Luego la probabilidad buscada es: P=. 5.. 1 14 13 12 11 1 · · · · = = 0.066666666 15 14 13 12 11 15. Se lanza una moneda 3 en cada uno de los dos que caiga sello en el exactamente dos sellos los eventos A y B son dependientes.. veces. Sea el evento A de que caiga cara primeros lanzamientos, B es el evento de tercer lanzamiento y C de que caigan en los tres lanzamientos, compruebe que independientes mientras que B y C son. SOLUCIÓN: El espacio muestral para este experimento seria: S = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss} De acuerdo al enunciado los eventos serian: A = {ccc, ccs } B = {ccs, css, scs, sss} C = {css, scs, ssc}. 32.

(34) ESTADÍSTICA APLICADA. Para que A y B sean independientes debe cumplirse: P(A∩B) = P(A)P(B) Como A∩B = {ccs}, entonces: P(A∩B) = 1/8 ; P(A) = 2/8 = ¼ y P(B) = 4/8 = ½ Luego: P(A∩B) = P(A)P(B) 1 11 1 1 = · ⇒ = es decir A y B son independientes. 8 8 8 42 Para que B y C sean dependientes debe cumplirse: P(B∩C) ≠ P(B)P(C) Como B∩C = {css, scs}, entonces: P(B∩C) = 1/4 ; P(B) = 1/4 P(C) = 3/8. y. Luego; como: P(B∩C) ≠ P(B)P(C) 1 3 1 13 ≠ · ⇒ ≠ es decir B y C son dependientes. 4 16 4 28 6.. El equipo de la UTP juega el 70% de sus partidos en la noche, y el 30% durante el día. El equipo gana el 50% de sus partidos nocturnos y el 90% de los diurnos. De acuerdo con un diario de hoy día, la UTP ganó ayer. ¿Cuál es la probabilidad de que el partido se haya jugado en la noche?. SOLUCIÓN: De acuerdo a los datos se tiene que: P(juegue de noche) = 0.70 P(juegue de día) = 0.30 P(gane/juegue de noche) = 0.50 P(gane/juegue de día) = 0.90 Entonces por el teorema de Bayes: P(juegue de noche/gane) = P( jueguedenoche)·P( gane / jueguedenoche) P( jueguedenoche)·P( gane / jueguedenoche)·P( jueguededia)·P( gane / jueguededia). 33.

(35) ESTADÍSTICA APLICADA. Reemplazando: P(juegue de noche/gane) =. 0.70·0.50 0.35 = = 0.564516129 0.70·0.50 + 0.30·0.90 0.62. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.. Suponga que P(A) = 0.50 y P(B/A) = 0.40 . Hallar P(A ∩ B).. 2.. En un lote de 18 artículos se tiene 5 defectuosos. Si se eligen al azar y sin reemplazo tres artículos, hallar la probabilidad que los 3 artículos elegidos no sean defectuosos.. 3.. Una urna contiene 6 bolillas rojas, 8 negras y 10 azules. Si se eligen al azar y sin reemplazo 3 bolillas, hallar la probabilidad que las 3 bolillas sean azules.. 4.. En una urna hay 25 bolillas numeradas del 1 al 25. Si se van sacando una a una al azar sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que la bolilla número 10 salga precisamente en la décima extracción?. 5.. Se lanza una moneda 3 veces. Sea el evento A de que caiga sello en cada uno de los dos primeros lanzamientos, B es el evento de que caiga cara en el tercer lanzamiento y C de que caigan exactamente dos caras en los tres lanzamientos, analice si los eventos A y B y B y C son independientes y/o dependientes.. 6.. El equipo de la “U” juega el 20% de sus partidos en la noche, y el 80% durante el día. El equipo gana el 60% de sus partidos nocturnos y el 90% de los diurnos. De acuerdo con un diario de hoy día, la “U” ganó ayer. ¿Cuál es la probabilidad de que el partido se haya jugado de día?.. 34.

(36) ESTADÍSTICA APLICADA. 7.. El profesor MACHI esta enseñando Estadística en la UTP durante varios años. Se sabe que el 80% de los estudiantes terminaron los ejercicios propuestos por el profesor. Determino que de los estudiantes que cumplen con sus trabajos , 90% aprueban el curso. De aquellos estudiantes que no lo hacen así, 60% será aprobado. Juanita tomó Estadística durante el último semestre con el profesor MACHI y aprobó el curso. ¿Cuál es la probabilidad de que si haya hecho sus trabajos?. 8.. El vice-rector de investigación de la UTP necesita rentar automóviles en tres agencias: el 60% de la agencia A, el 30% de la agencia B y el 10% de la agencia C. Si el 9% de los vehículos de la agencia A necesitan afinación, el 20% de las unidades de la agencia B necesitan también afinación y el 6% de los autos de la agencia C necesitan asimismo afinación. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil rentado al vice-rector de investigación de la UTP necesitará afinación?. 9.. Suponga que en un lote de 20 artículos se tiene 5 defectuosos. Si se eligen al azar y sin reemplazo 3 artículos, hallar la probabilidad que: a) Los 3 artículos elegidos no sean defectuosos. b) El segundo articulo elegido sea defectuoso y que el tercero no sea defectuoso. c) El tercer artículo elegido sea defectuoso, si el primero no fue defectuoso.. 10.. Suponga que 3 máquinas A, B y C producen respectivamente, el 50%, 30% y 20% del número total de artículos producidos por una empresa, y que los porcentajes de unidades defectuosas producidas por estas máquinas son: 3%, 4% y 5% respectivamente. Si se elige un artículo al azar y es no defectuoso, hallar la probabilidad que haya sido producido por la máquina A.. 35.

(37) ESTADÍSTICA APLICADA. UNIDAD II VARIABLES ALEATORIAS En el análisis estadístico de una variable casi siempre se desea conocer el valor que tomaría en el futuro, este valor no siempre se puede predecir con certeza; por ejemplo al rector de la UTP le interesa saber el número de estudiantes que abandonan la universidad por ciclo o semestre, en estos casos, el análisis resulta mas sencillo si se establece cual es el comportamiento probabilístico de dicha variable para así poder establecer una metodología para estimar su comportamiento futuro. VARIABLE ALEATORIA Una variable aleatoria es una función que tiene como dominio a un espacio muestral y como rango a un subconjunto de los números reales. Una variable aleatoria es una función “X” que le asigna un número real a cada uno de los elementos del espacio muestral. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Cuando el número de posibles valores de la variable es un número finito o infinito numerable. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Sea “X” una variable aleatoria discreta, la función f(x) es llamada función de probabilidad si cumple las siguientes condiciones: 1. 2. 3.. f(xi) = P(X= xi) ≥ 0 0 ≤ f(xi) ≤ 1 ∑ f ( xi ) = 1. EJEMPLO Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda 2 veces. Analice si la variable aleatoria número de caras constituye una función de probabilidad. SOLUCIÓN: Sea el espacio muestral del experimento: S = {cc, cs, sc, ss}. 37.

(38) ESTADÍSTICA APLICADA. Sea la variable aleatoria: Entonces x = 0, 1 y 2 X1 = 0, x2 = 1 y x3 = 2. x = número de caras. f(x1) = P(X=x1) = P(X=0) = P(ss) = ¼ f(x2) = P(X=x2) = P(X=1) = P(cs) + P(sc) = 1/4 +1/4 = 2/4 = ½ f(x3) = P(X=x3) = P(X=2) = P(cc) = 1/4 Como los f(xi) están comprendidos entre 0 y 1; y además: 3 1 2 1 1+ 2 +1 4 f ( x i ) = f ( x1 ) + f ( x 2 ) + f ( x 3 ) = + + = = =1 ∑ 4 4 4 4 4 i =1 Entonces f(xi) si es una función de probabilidad; esto es:. ⎧1 / 4; x = 0 F(x) ⎨ ⎩1 / 2 y 2; x = 1 Gráfica de f(x):. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVA Sea “x” una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f(x); luego, la función de probabilidad acumulativa o función de distribución de la variable aleatoria “x” es:. F(x) = P(X ≤ xi) =. 38. ∑ f (x ) i.

(39) ESTADÍSTICA APLICADA. PROPIEDADES 1. F(X) = 0 ∀ x < m, donde m es el menor valor de los xi 2. F(X) = 1 ∀ x ≥ M, donde M es el mayor valor de los xi 3. 0 ≤ F(X) ≤ 1 4. F(X) es una función creciente Del ejemplo anterior:. ⎧0; x < 0 ⎪1 / 4;0 ≤ x < 1 ⎪ F(x)= ⎨ ⎪3 / 4;1 ≤ x < 2 ⎪⎩1; x ≥ 2 Gráfica de F(x):. ESPERANZA MATEMÁTICA Sea “x” una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f(x); entonces, la Esperanza Matemática o valor esperado o media de la variable aleatoria “x” es:. E(x) = ∑ x. i. f ( xi ). PROPIEDADES 1. E(c) = 0 ; ∀ c = constante 2. E(cx) = cE(x) ; ∀ c = constante 3. E(cx + m ) = cE(x) + m ; ∀ c y m = constantes 4. E(ax + by) = aE(x) + bE(y) ; ∀ a y b = constantes. 39.

(40) ESTADÍSTICA APLICADA. Del ejemplo anterior: E(X) = 3. ∑x i =1. i. 1 2 1 0+2+2 4 f ( x i ) = x1 f ( x1 ) + x 2 f ( x 2 ) + x 3 f ( x 3 ) = 0· + 1· + 2· = = =1 4 4 4 4 4. VARIANCIA O VARIANZA Sea “x” una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f(x); entonces, la Variancia o Varianza de la variable aleatoria “x” es:. Var(X) = V(X) = σ x2 = E[xi –E(X)]2 Es decir:. V(X) =. ∑ (x. i. − E ( x)) 2 f ( x i ). También:. V(X)= E(x2) – [E(x)]2 PROPIEDADES ∀ c = constante 1. V(c) = 0 ; 2. V(cx) = c2V(x) ; ∀ c = constante 3. V(ax + b) = a2V(x) ; ∀ a y b = constantes 4. Si “x” e “y” son variables aleatorias independientes V(ax + by) = a2V(x) + b2V(y) ∀ a y b = constantes Del ejemplo anterior: V(X) = ∑ ( x i − E ( x)) 2 f ( x i ) ; se sabe que E(X) = 1 V(X) = (x1 – E(X))2f(x1) + (x2 – E(X))2f(x2) + (x3 – E(X))2f(x3) V(X) = (0 – 1)2 ·. 1 2 1 1 + ( 1 – 1 )2 · + ( 2 – 1 )2 · = 4 4 4 2. 40.

(41) ESTADÍSTICA APLICADA. También: V(X) = E(x2) – [E(x)]2 E(X2) = 3. ∑x i =1. 2 i. 1 2 1 6 3 f ( x i ) = x12 f ( x1 ) + x 22 f ( x 2 ) + x 32 f ( x 3 ) = 0 2 · + 12 · + 2 2 · = = 4 4 4 4 2. Entonces: V(X) =. 3 2 3 1 −1 = −1= 2 2 2. EJERCICIOS RESUELTOS 1.. Se lanzan 3 monedas y se desea analizar la variable aleatoria número de sellos. Obtenga su función de probabilidad y su grafica. SOLUCIÓN: El espacio muestral S para este caso es: S = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss} La variable aleatoria: x = número de sellos X = 0, 1, 2, 3 x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = 2 ; x4 = 3 f(x1) = P(X = x1) = P(X = 0) = P(ccc) =. 1 8. 3 8 3 f(x3) = P(X = x3) = P(X = 2) = P(css) + P(scs) + P(ssc) = 8 1 f(x4) = P(X = x4) = P(X = 3) = P(sss) = 8. f(x2) = P(X = x2) = P(X = 1) = P(ccs) + P(csc) + P(scc) =. Se observa que cumple las condiciones de una función de probabilidad.. ⎧1 / 8; x = 0,3 f(x) = ⎨ ⎩3 / 8; x = 1,2. 41.

(42) ESTADÍSTICA APLICADA. Gráfica de f(x):. 2.. Una urna contiene 12 bolillas numeradas del 1 al 12. Se saca una bolilla al azar y se quiere analizar la variable aleatoria número de divisores del número obtenido. Encuentre su función de probabilidad. SOLUCIÓN: Sea la variable aleatoria: x = número de divisores del número obtenido. El espacio muestral S consta de cualquiera de las 12 bolillas, es decir: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Como la bolilla 1 tiene 1 divisor, la bolilla 2 tiene 2 divisores, la bolilla 3 tiene 2 divisores, la bolilla 4 tiene 3 divisores, la bolilla 5 tiene 2 divisores, la bolilla 6 tiene 4 divisores, la bolilla 7 tiene 2 divisores, la bolilla 8 tiene 4 divisores, la bolilla 9 tiene 3 divisores, la bolilla 10 tiene 4 divisores, la bolilla 11 tiene 2 divisores y la bolilla 12 tiene 6 divisores; entonces: X = 1, 2, 3, 4, 6 f(1) = 1/12 , f(2) = 5/12 , f(3) = 2/12 , f(4) = 3/12 , f(6) = 1/12. ⎧1 / 12; x = 1,6 ⎪5 / 12; x = 2 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪1 / 6; x = 3 ⎪⎩1 / 4; x = 4. 42.

(43) ESTADÍSTICA APLICADA. 3.. Una urna contiene 12 bolillas numeradas del 1 al 12. Se saca una bolilla al azar y se quiere analizar la variable aleatoria número de divisores del número obtenido. Encuentre su función de probabilidad acumulativa y su gráfica. SOLUCIÓN: Del ejercicio anterior ya conocemos su función de probabilidad, entonces:. ⎧0; x < 1 ⎪1 / 12;1 ≤ x < 2 ⎪ ⎪⎪6 / 12;2 ≤ x < 3 F ( x) = ⎨ ⎪8 / 12;3 ≤ x < 4 ⎪11 / 12;4 ≤ x < 6 ⎪ ⎪⎩1; x ≥ 6. Gráfica de F(x):. 4.. Se lanza una moneda 3 veces y se desea analizar la variable aleatoria número de sellos. Calcule e interprete su esperanza matemática y varianza.. 43.

(44) ESTADÍSTICA APLICADA. SOLUCIÓN: Del ejercicio 1 su función de probabilidad es:. ⎧1 / 8; x = 0,3 f ( x) = ⎨ ⎩3 / 8; x = 1,2 Entonces: E(x) =. ∑x. i. f ( xi ). E(x)= 4. ∑x i =1. i. 1 3 3 1 0 + 3 + 6 + 3 12 3 f ( x i ) = x1 f ( x1 ) + x 2 f ( x 2 ) + x3 f ( x 3 ) + x 4 f ( x 4 ) = 0· + 1· + 2· + 3· = = = 8 8 8 8 8 8 2. Si este experimento lo repetimos varias veces, esperamos que en promedio el número de sellos sea 3/2. Cálculo de la varianza: V(X) = E(x2) – [E(x)]2 E(X2)= 4. ∑x i =1. 2 i. 1 24 1 3 3 f ( xi ) = x12 f ( x1 ) + x 22 f ( x 2 ) + x32 f ( x3 ) + x 42 f ( x 4 ) = 0 2 · + 12 · + 2 2 · + 3 2 · = =3 8 8 8 8 8. 9 3 = 4 4 Este valor nos indica que hay poca dispersión cuando se analiza el número de sellos al lanzar una moneda 3 veces. Entonces: V(x) = 3 – ( 3/2 )2 = 3 -. 5.. Sea “x” una variable aleatoria discreta con probabilidad: f(x) = c(x + 2) ; x = 1, 2, 3, 4, 5 Hallar el valor de “c”.. función. SOLUCIÓN: Como f(x) es una función de probabilidad, entonces se cumple que:. ∑ f (x ) = 1 i. f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 1 c(3) + c(4) + c(5) + c(6) + c(7) = 1 1 25c = 1 ⇒ c = 25. 44. de.

(45) ESTADÍSTICA APLICADA. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.. Se lanzan 4 monedas y se desea analizar la variable aleatoria número de caras. Calcule y grafique f(x) y F(x), además halle e interprete a su esperanza matemática y varianza.. 2.. Una urna contiene 15 bolillas numeradas del 1 al 15. Se saca una bolilla al azar y se quiere analizar la variable aleatoria número de divisores del número obtenido. Calcule y grafique f(x) y F(x), además halle e interprete a su esperanza matemática y varianza.. 3.. Se lanzan 3 monedas y se desea analizar la variable aleatoria número de sellos. Obtenga su función de probabilidad acumulativa y su gráfica. Además halle a su coeficiente de variabilidad.. 4.. Una urna contiene 12 bolillas numeradas del 1 al 12. Se saca una bolilla al azar y se quiere analizar la variable aleatoria número de divisores del número obtenido. Calcule e interprete su esperanza matemática, varianza y coeficiente de variabilidad.. 5.. Se lanzan dos dados y se desea estudiar la variable aleatoria suma de resultados. Calcule y grafique f(x) y F(x), además halle e interprete a su esperanza matemática y varianza.. 6.. Sea “x” una variable aleatoria discreta probabilidad: f(x) = cx ; x = 1, 2, 3, 4, 5 Hallar el valor de “c”.. con. función. de. 7.. Sea “x” una variable aleatoria discreta probabilidad: f(x) = cx2 ; x = 1, 2, 3, 4, 5 Hallar el valor de “c”.. con. función. de. 8.. Sea “x” una variable aleatoria discreta probabilidad: f(x) = c · 2x ; x = 1, 2, 3, 4 Hallar el valor de “c”.. con. función. de. 9.. Se lanzan dos dados y se desea estudiar la variable aleatoria “x” suma de resultados. Si además se cumple que: z = 2x + 5. Calcule E(z) y V(z).. 45.

(46) ESTADÍSTICA APLICADA. 10.. Dado que la variable aleatoria discreta “x” tiene por función de probabilidad acumulativa:. ⎧0; x < 1 ⎪1 ⎪ ;1 ≤ x < 4 ⎪3 ⎪⎪ 1 F(x)= ⎨ ;4 ≤ x < 6 ⎪2 ⎪5 ⎪ 6 ;6 ≤ x < 10 ⎪ ⎪⎩1; x ≥ 10 Hallar: a) P(2< x ≤ 6); b) P(x = 4); c) Su función de probabilidad. 11.. Dado que la variable aleatoria discreta “x” tiene por función de probabilidad acumulativa: ⎧0; x < −1 ⎪1 ⎪ ;−1 ≤ x < 1 ⎪4 ⎪⎪ 1 F(x)= ⎨ ;1 ≤ x < 3 ⎪2 ⎪3 ⎪ 4 ;3 ≤ x < 5 ⎪ ⎪⎩1; x ≥ 5. Hallar: a) P(x ≤ 3); d) P(x ≥ 1); 12.. b) P(x = 3); e) P(-0.4< x < 4);. c) P(x < 3); f) P(x = 5).. Una urna contiene cuatro bolillas con los números 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Si se toma dos bolas de la urna sin sustitución y se define la variable aleatoria “x” como la suma de los números de las dos bolillas extraídas, determine: a) La función de probabilidad de “x” y su gráfica. b) La función de distribución de “x” y su gráfica.. 46.

(47) ESTADÍSTICA APLICADA. 13.. Una moneda está cargada y de este modo hay tres veces mayor probabilidad de que caigan caras que sellos. En tres lanzamientos independientes de la moneda determine: a) La distribución de probabilidad de x, el número total de caras; b) La probabilidad de que cuanto mucho caigan dos caras.. 14.. Una caja contiene 10 artículos, de los cuales 2 son defectuosos. Si se eligen al azar y sin reemplazo 3 artículos y se define la variable aleatoria número de artículos buenos elegidos, hallar f(x) y F(x) y sus gráficas, además calcule e interprete a su esperanza matemática y varianza.. 15.. Suponga que se han recibido 3 cajas (A, B y C) con 4 artículos cada una. La caja A contiene un artículo defectuoso, la caja B contiene 2 artículos defectuosos y en la caja C no hay artículos defectuosos. Si se elige al azar un artículo de cada caja y se define la variable aleatoria “x” como el número de artículos buenos elegidos. Hallar f(x) y F(x) y sus gráficas, además calcule e interprete a su esperanza matemática y varianza.. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Si el número de valores posibles de la variable en estudio es un conjunto no numerable. Es decir, la variable toma infinitos valores. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Sea “X” una variable aleatoria continua, la función f(x) es llamada función de probabilidad o de densidad si cumple las siguientes condiciones: 1.. 0 ≤ f(x) ≤ 1 ; ∀ x ∈ ℜ. 2.. ∫. ∞. −∞. f ( x)dx = 1. Nota: Sea el evento: A = {x / a ≤ x ≤ b} ; entonces: P(A) = P(a ≤ x ≤ b) =. ∫. b. a. f ( x)dx. 47.

(48) ESTADÍSTICA APLICADA. EJEMPLO Suponga que el tiempo de producción de un artículo (minutos) es una variable aleatoria “x” que tiene como función de densidad:. x ; 18. 0≤x≤6. f(x) = 0 ;. de otro modo (d.o.m.). Verificar si f(x) es una función de densidad y hallar la probabilidad de que el tiempo de producción de un artículo elegido al azar sea menor de 4 minutos. SOLUCIÓN: Debe de cumplirse que:. ∫. ∞. −∞. f ( x)dx = 1. x 1 6 1 x2 = = dx xdx ∫0 18 18 ∫0 18 2 6. 6. = 0. 1 62 02 1 ( − ) = (18) = 1 18 18 2 2. Lo cual verifica que f(x) si constituye una función de densidad.. La probabilidad pedida equivale a:. x 1 x2 P( x < 4 ) = P( 0 < x < 4) = ∫ dx = 0 18 18 2 2 1 4 16 4 = = = 0.44444444 18 2 36 9 4. Gráfica de f(x):. 48. 4. = 0.

(49) ESTADÍSTICA APLICADA. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVA Sea “x” una variable aleatoria continúa con función de densidad f(x); luego, la función de probabilidad acumulativa o función de distribución de la variable aleatoria “x” se define como:. F(x) = P(X ≤ x) = PROPIEDADES 1. F(-∝) = 0 2. F(+∝) = 1 3. 0 ≤ F(X) ≤ 1 ; ∀ x ∈ ℜ 4. F(X) es una función creciente dF ( x) 5. f(X) = dx 6. P(a ≤ x ≤ b) = F(b) – F(a) Del ejemplo anterior: F(x) = P(X ≤ x) =. F(x) =. ∫. x. 0. ∫. x. −∞. f ( x)dx. x 1 x2 dx = 18 18 2. x. = 0. 1 x2 x2 = 18 2 36. ⎧0; x < 0 ⎪ 2 ⎪x F ( x) = ⎨ ;0 ≤ x ≤ 6 ⎪ 36 ⎪⎩1; x > 6 Gráfica de F(x):. 49. ∫. x. −∞. f ( x)dx.

(50) ESTADÍSTICA APLICADA. ESPERANZA MATEMÁTICA Sea “x” una variable aleatoria continua con función de densidad f(x); entonces, la Esperanza Matemática o valor esperado o media de la variable aleatoria “x” es:. E(x) =. ∫. ∞. xf ( x)dx. −∞. PROPIEDADES 1. E(c) = 0 ; ∀ c = constante 2. E(cx) = cE(x) ; ∀ c = constante 3.E(cx + m ) = cE(x) + m ; ∀ c y m = constantes 4. E(ax + by) = aE(x) + bE(y) ; ∀ a y b = constantes Del ejemplo anterior: E(x) = E(x) =. ∫. ∞. ∫. 6. −∞. 0. xf ( x)dx. x 1 6 1 x3 x· dx = ∫ x 2 dx = 18 18 0 18 3. 6. = 0. 1 6 3 216 = =4 18 3 54. VARIANCIA O VARIANZA Sea “x” una variable aleatoria continua con función de probabilidad f(x); entonces, la Variancia o Varianza de la variable aleatoria “x” es:. Var(X) = V(X) = σ x2 = E[x – E(X)]2 Es decir: ∞. V(X) = ∫−∞ [ x − E ( x)] 2 f ( x)dx También:. V(X)= E(x2) – [E(x)]2. 50.

(51) ESTADÍSTICA APLICADA. PROPIEDADES 1.V(c) = 0 ; ∀ c = constante 2. V(cx) = c2V(x) ; ∀ c = constante 3. V(ax + b) = a2V(x) ; ∀ a y b = constantes 4. Si “x” e “y” son variables aleatorias independientes V(ax + by) = a2V(x) + b2V(y) ∀ a y b = constantes Del ejemplo anterior: V(x) = E(x2) – [E(x)]2 Como E(x) = 4 Entonces: E(x2) =. ∫. 6. 0. x2. x 1 6 1 x4 dx = ∫ x 3 dx = 18 18 0 18 4. 6. = 0. 64 1296 = = 18 18 x 4 72. Luego: V(x) = 18 – ( 4 )2 = 18 – 16 = 2. EJERCICIOS RESUELTOS 1.. Suponga que el tiempo de producción de un artículo (minutos) es una variable aleatoria “x” que tiene como función de densidad:. ⎧5 − x ;2 ≤ x ≤ 4 ⎪ f ( x) = ⎨ 4 ⎪⎩0; d .o.m. Hallar la probabilidad de que el tiempo de producción de un artículo elegido al azar sea menor de 3 minutos. SOLUCIÓN: Sea la variable aleatoria: x = tiempo de producción de un artículo Nos piden:. 5− x 1 3 1 x2 dx = ∫ (5 − x)dx = (5 x − ) P(x < 3) = P( 2 ≤ x < 3) = ∫ 2 4 4 2 4 2 1 9 4 1 5 1 5 5 P(x < 3 ) = [15 − 10 − ( − ) = (5 − ) = ( ) = = 0.625 4 2 2 4 2 4 2 8 3. 51. 3 2.

(52) ESTADÍSTICA APLICADA. 2.. Sea “x” una variable aleatoria continua con función de densidad:. ⎧cx;0 ≤ x ≤ 6 f ( x) = ⎨ ⎩0; d .o.m. Si además se cumple que: y = 20 + 4x Hallar: a) El valor de “c”. b) La mediana de “x”. c) E(y) y V(y) SOLUCIÓN: a). Debe de cumplirse que:. ∫. 6. 0. b). cxdx = c·. x2 2. 6. ∫. ∞. −∞. f ( x)dx = 1. = c(18 − 0) = 1 ⇒ 18c = 1 ⇒ c =. 0. 1 18. Para calcular al valor de la mediana debe de cumplirse: me 1 ∫−∞ f ( x)dx = 2 en nuestro caso:. 1 x 2 me 1 me 2 1 x ∫0 18 dx = 18 2 0 = 18 2 = 2 ⇒ me2 = 18 ⇒ me = 18 = 3 2 me. c). 3.. Del ejemplo sabemos que: E(x) = 4 y V(x) = 2 Entonces, por propiedades: E(y) = E(20+4x) = E(20)+E(4x) = 20+4E(x) = 20 + 4(4) = 36 V(y) = V(20+4x) = V(20)+V(4x) = 0+ 42 V(x) = 16(2) = 32. Si la función de distribución del ejercicio 1 es: F(x) =. − 16 + 10 x − x 2 (compruébalo) 8. 52.

(53) ESTADÍSTICA APLICADA. Determine: P( x < 3 ) SOLUCIÓN: Por la propiedad 6 de F(X): P( x < 3 ) = P( 2 < x < 3 ) = F(3) – F(2) =. * F(3) =. − 16 + 30 − 9 5 = 8 8. y F(2) =. 5 5 -0= 8 8. − 16 + 20 − 4 =0 8. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.. Suponga que el tiempo de producción de un artículo (minutos) es una variable aleatoria “x” que tiene como función de densidad:. ⎧5 − x ;2 ≤ x ≤ 4 ⎪ f ( x) = ⎨ 4 ⎪⎩0; d .o.m. Verificar si f(x) es una función de densidad y hallar la probabilidad de que el tiempo de producción de un artículo elegido al azar sea por lo menos de 3 minutos. 2.. Sea “x” una variable aleatoria continua con función de densidad:. ⎧c( x + 1);2 < x < 4 f ( x) = ⎨ ⎩0; d .o.m. Si además se cumple que: y = 10 + 5x Hallar: a) El valor de “c”. b) E(x) y V(x) c) E(y) y V(y). 53.

(54) ESTADÍSTICA APLICADA. 3.. Si la función de distribución del ejercicio 1 es: − 16 + 10 x − x 2 F(x) = 8 Determine: P( x > 3 ). 4.. La función de densidad de la variable aleatoria continua “x” está dada por: ⎧1 ⎪ ;2 < x < 7 f ( x) = ⎨ 5 ⎪⎩0; d .o.m. a) b). Demuestre que el área situada debajo de la curva (sobre el eje x) es igual a 1. Determine P(3< x < 5).. 5,. Si la función de densidad de la variable aleatoria continua “x” está dada por: ⎧1 ⎪ ( x + 1);2 < x < 4 f ( x) = ⎨ 8 ⎪⎩0; d .o.m. Hallar: a) P(x < 3.2); b) P(2.9 < x < 3.2).. 6.. Si la función de densidad de la variable aleatoria x está dada por:. ⎧6 x(1 − x);0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0; d .o.m. Hallar: a) P(x > ½); b) La función de distribución de esta variable aleatoria; c) El valor de la mediana de la variable x. 7.. Si la función de densidad de la variable aleatoria “x” está dada por: ⎧cx 2 + x;0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0; d .o.m.. 54.

(55) ESTADÍSTICA APLICADA. Hallar: a) El valor de “c”. b) La función de distribución de esta variable aleatoria “x” y trace su gráfica; c) P(0 ≤ x ≤ ½). 8.. Si la función de densidad de la variable aleatoria “x” está dada por: ⎧− .kx;−1 < x < 0 ⎪ f ( x) = ⎨kx;0 ≤ x < 1 ⎪0; d .o.m. ⎩. Hallar: a) El valor de “k”. b) La función de distribución de esta variable aleatoria “x” y trace su gráfica; c) P(- ½ < x < ½). 9.. Si la función de densidad de la variable aleatoria “x” está dada por ⎧ x;0 < x < 1 ⎪ f ( x) = ⎨2 − x;1 ≤ x < c ⎪0; d .o.m. ⎩ Hallar: a) El valor de “c” b) La función de distribución de “x”. c) P(0.8 < x < 0.6c).. 10.. Obtenga la función de distribución de la variable aleatoria “x” cuya función de densidad está dada por: ⎧x ⎪ 2 ;0 < x ≤ 1 ⎪ ⎪⎪ 1 ;1 < x ≤ 2 f ( x) = ⎨ 2 ⎪3 − x ;2 < x < 3 ⎪ 2 ⎪ ⎪⎩0; d .o.m.. Trace asimismo las gráficas de las funciones de densidad y de distribución.. 55.

(56) ESTADÍSTICA APLICADA. 11.. Si la función de distribución de la variable aleatoria “x” está dada por:. ⎧0 : x < −1 ⎪x +1 ⎪ F ( x) = ⎨ ;−1 ≤ x < 1 2 ⎪ ⎪⎩1; x ≥ 1 Hallar: a) P(- ½ < x < ½); b) P(2 < x < 3), c) La densidad de probabilidad de esta variable aleatoria “x” y utilícela para volver a determinar la probabilidad del inciso a). 12.. Si la función de distribución de la variable aleatoria “x” está dada por:. ⎧0; x < 0 ⎪x ⎪ ;0 ≤ x < 1 ⎪ F ( x) = ⎨ 2 ⎪ x − 1 ;1 ≤ x < 1.5 ⎪ 2 ⎪1; x ≥ 1.5 ⎩ Hallar: a) P(0.4 < x ≤ 1.3) b) P( x > 0.5) c) La función de densidad de la variable “x”. 13.. Si la función de distribución de la variable aleatoria “x” está dada por: ⎧0; x < −2 ⎪x + 4 ⎪ F ( x) = ⎨ ;−2 ≤ x < 2 8 ⎪ ⎪⎩1; x ≥ 2 Hallar: a) P(x = -2); b) P( x = 2); c) P(-2 < x <1); d) P(0 ≤ x ≤ 2).. 56.

(57) ESTADÍSTICA APLICADA. 14.. La cantidad real de café (en gramos) en un recipiente de 230 gramos llenado por cierta máquina es una variable aleatoria cuya función de densidad está dada por:. ⎧0; x ≤ 227.5 ⎪1 ⎪ f ( x) = ⎨ ;227.5 < x < 232.5 ⎪5 ⎪⎩0; x ≥ 232.5 Determine la probabilidad de que un recipiente de 230 gramos llenado por esta máquina contendrá: a) Cuanto mucho 228.65 gramos de café. b) Entre 229.34 y 231.66 gramos de café. c) Cuanto menos 229.85 gramos de café. 15.. El retraso o adelanto (en minutos) de un vuelo de Lima a Juliaca es una variable aleatoria “x” cuya función de densidad está dada por:. ⎧ 1 (36 − x 2 );−6 < x < 6 ⎪ f ( x) = ⎨ 288 ⎪⎩0; d .o.m. donde los valores negativos son indicativos de que el vuelo llega adelantado y los valores positivos señalan que el vuelo llega retrasado. Determine las probabilidades de que uno de estos vuelos llegará a) Cuando menos dos minutos antes. b) Cuando menos un minuto retrasado. c) Entre uno y tres minutos antes. d) Exactamente cinco minutos tarde.. 57.

(58) ESTADÍSTICA APLICADA. 16.. Suponga que las ventas diarias de un establecimiento (decenas de miles de soles) es una variable aleatoria “x” con función de densidad: ⎧x − 2 ⎪ 3 ;2 ≤ x < 4 ⎪ ⎪6 − x ;4 ≤ x < 6 f(x)= ⎨ ⎪ 6 ⎪0; d .om ⎪ ⎩ Si se elige aleatoriamente un día: a) Hallar la probabilidad de que las ventas del establecimiento sea mayor de 22,000 soles pero no mayor de 45,000 soles b) Hallar la media, variancia y el coeficiente de variabilidad de las ventas diarias. c) Si la utilidad neta diaria es definida por la función Y=0.2X–0.5, hallar la media y la variancia de la utilidad neta diaria. d) Hallar la función de probabilidad acumulativa de “x”.. 17.. Suponga que el tiempo de vida (en miles de horas) de los tubos fluorescentes de 30 w. de cierta marca, es una variable aleatoria “x” que se distribuye según la siguiente función de densidad: ⎧k (2 x − 2);1 ≤ x < 3 ⎪ f ( x) = ⎨k (10 x − 2);3 ≤ x ≤ 6 ⎪0; d .o.m. ⎩. a) b). c). d). Determine el valor de “k” y la función de probabilidad acumulativa . Utilizando la función de distribución acumulativa hallada en (a), halla la probabilidad que un fluorescente que haya durado dos mil horas, dure no más de 2500 horas adicionales. Determine el tiempo de vida esperado y el coeficiente de variabilidad de la distribución del tiempo de vida. ¿Qué nos indican? Halle el valor del percentil 70. Interprete.. 58.

(59) ESTADÍSTICA APLICADA. 18.. El tiempo total, medido en unidades de 100 horas, que un adolescente escucha un estéreo durante un año, es una variable aleatoria “x” cuya función de densidad de probabilidad es: ⎧ x;0 < x < 1 ⎪ f ( x) = ⎨2 − x;1 ≤ x < 2 ⎪0; d .o.m. ⎩. a) b). c). d) e). Halla la función de probabilidad acumulativa. Para un año en particular, ¿cuál es la probabilidad que un adolescente utilice entre 50 a 125 horas?. Utilizar lo determinado en la pregunta anterior. Si se eligen aleatoriamente 4 adolescentes, ¿cuál es la probabilidad que por lo menos 2 escuchen su estéreo menos de 25 o más de 175 horas anuales? Halla el coeficiente de variabilidad. ¿Qué nos indica? Si y = 60x + 40, halle la variancia de y.. 59.

(60) ESTADÍSTICA APLICADA. UNIDAD III DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES En esta unidad estudiaremos algunas de las distribuciones de probabilidades que son usadas con mayor frecuencia en estudios estadísticos. DISTRIBUCIONES DISCRETAS PRUEBA DE BERNOULLI Una prueba o ensayo de Bernoulli es aquella en la que su espacio muestral consta sólo de 2 resultados posibles; éxito (E) y fracaso (F), donde a la probabilidad de éxito denotaremos “p” y a la probabilidad de fracaso “q” o “1 – p”, ya que p + q = 1. Si esta prueba la repetimos varias veces, la probabilidad de éxito se mantiene constante y las pruebas son independientes. EJEMPLO: Lanzamiento de una moneda balanceada. Observe que su espacio muestral consta de solo dos resultados posibles: cara(c) o sello(s). Si nos interesa el número de caras, su probabilidad de éxito será 1/2, es decir p = 1/2 y q = 1 – p = 1/2.. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI Una variable aleatoria discreta “x” sigue una distribución de Bernoulli si su función de probabilidad está dada por:. f(x) = pxq1-x ; x = 0 , 1 Donde “x” es el número de éxitos. Además su media y variancia están dadas por:. E(x) = μx = p. y. 2 V(x) = σ x = pq. 61.

(61) ESTADÍSTICA APLICADA. Note que esta distribución es usada para una sola prueba de Bernoulli o cuando elegimos al azar un solo elemento de una población. Para dos o mas pruebas de Bernoulli o para una muestra al azar con reemplazo usamos: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Una variable aleatoria discreta “x” tiene una distribución binomial si su función de probabilidad está dada por: n x n− x f(x) = C x p q ; x = 0, 1, 2, 3, · · · , n. Donde “x” es el número de éxitos en “n” pruebas de bernoulli o el tamaño de una muestra aleatoria con reemplazo. Además su media y variancia están dadas por:. E(x) = μx = np. y. 2 V(x) = σ x = npq. EJEMPLO Se lanza una moneda 10 veces y se desea hallar la probabilidad de obtener exactamente 4 caras. SOLUCIÓN: Sea la variable aleatoria: x = número de caras Para un solo lanzamiento la probabilidad de éxito es 1/2, esta probabilidad se mantiene constante en los otros lanzamientos, como “n” es 10, entonces: f(x) = C xn p x q n− x ; x = 0, 1, 2, 3, · · · , n 10− x 10 x f(x) = C 10 = C 10 ; x = 0, 1, 2, 3, · · · , 10 x (0.5) (0.5) x (0.5). Nos piden: P(x = 4) = f(4) = C410 (0.5)10 = 0.205078125. 62.