Teorema de Pitágoras
Por Sandra Elvia Pérez Márquez
El
teorema de Pitágoras
es muy conocido y útil, pues enuncia la relación que existe entre los lados de
un triángulo rectángulo (triángulo con un ángulo recto). Textualmente dice:
En todo triángulo rectángulo la suma del cuadrado de sus
catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se les llama
catetos
y el lado opuesto
al ángulo recto se le llama
hipotenusa
. La figura 1 muestra un triángulo rectángulo.
Figura. 1 Nombre de los lados de un triángulo de acuerdo al teorema de Pitágoras.
Si la hipotenusa la denotas con la letra h, y a cada uno de los catetos lo identificas como C1 y C2, en
forma matemática el teorema de Pitágoras se escribe:
h
2= C
1 2En un triángulo rectángulo, se conoce que la
longitud de sus catetos es 5 y 6 centímetros.
¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?
Figura 2. Triángulo donde se conocen dos catetos de 5 cm y 6 cm.
Solución:
Aplicando el
teorema de Pitágoras
tienes que:
61
36
25
6
5
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2=
+
=
+
=
+
=
h
h
h
C
C
h
Como lo que se busca es el valor de la hipotenusa y no el valor de su cuadrado, despeja la hipotenusa
sacando raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.
81
.
7
61
61
61
2 2=
=
=
=
h
h
h
Por lo que la longitud de la hipotenusa, del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 6 centímetros es:
61
=
En un triángulo rectángulo, se conoce que
la longitud de sus catetos es 22 y 35 metros.
¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?
Figura 3. Triángulo donde se conocen dos catetos de 22 m y 35 m.
Solución:
Aplicando el teorema de Pitágoras tienes que:
1709
1225
484
35
22
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2=
+
=
+
=
+
=
h
h
h
C
C
h
Como lo que se busca es el valor de la hipotenusa y no el valor de su cuadrado, despeja la hipotenusa
sacando raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.
34
.
41
1709
1709
1709
2 2=
=
=
=
h
h
h
Por lo que la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 22 y 35 metros es
1709
=
h
metros.
En un triángulo rectángulo, se conoce que la longitud de
uno de sus catetos es 8 centímetros y la hipotenusa mide
12 centímetros. ¿Cuál es la longitud del cateto
desconocido?
Figura 4. Triángulo donde se conoce un cateto de 8 cm y la hipotenusa de 12 cm.
Solución:
Del teorema de Pitágoras tienes que:
2 2 2 1 2
C
C
h
=
+
Sin embargo, como ahora lo que se pide es calcular la longitud de uno de los catetos, es necesario despejar
uno de ellos pero, ¿cuál de los dos catetos despejar? ¿C1 o C2? Debido a que cualquiera de los dos catetos
puede denotarse como C1 o C2, da el mismo resultado despejar C1 o C2. Despejando C1 tienes que:
2 2 2 2 1 2 2 2 1 2
C
h
C
C
C
h
−
=
+
=
Sustituyendo los datos conocidos queda:
80
64
144
8
12
2 1 2 1 2 2 2 1=
−
=
−
=
C
C
C
Como lo que se busca es el valor del cateto y no el valor de su cuadrado, despeja el cateto sacando la raíz
cuadrada en ambos lados de la ecuación.
94
.
8
80
80
80
1 2 1 2 1=
=
=
=
C
C
C
En un triángulo rectángulo, se conoce que la
longitud de uno de sus catetos es 5 cm y la
hipotenusa mide 13 cm, ¿cuál es la longitud del
cateto desconocido?
Figura. 5 Triángulo donde se conoce un cateto de 5 cm y la hipotenusa de 13 cm.
Solución:
Del teorema de Pitágoras tienes que:
2 2 2 1 2C
C
h
=
+
Despejando C1 tenemos que:
Sustituyendo los datos conocidos:
144
25
169
5
13
2 1 2 1 2 2 2 1=
−
=
−
=
C
C
C
Como lo que se busca es el valor del cateto y no el valor de su cuadrado, despeja el cateto sacando raíz
cuadrada en ambos lados de la ecuación.
2. Determinar uno de los catetos, si se conoce la hipotenusa y el otro cateto.
La siguiente tabla muestra la síntesis de estas dos situaciones y las formas del teorema de Pitágoras
utilizadas.
Situación
Fórmula a utilizar
Fórmula despejada
1. Determinar la hipotenusa
cuando se conocen los dos
catetos.
2 2 2 1 2C
C
h
=
+
2 2 2 1C
C
h
=
+
2. Determinar uno de los
catetos, si se conoce la
hipotenusa y el otro cateto.
2 2 2 1 2
C
C
h
=
+
2 2 2 1h
C
C
=
−
Tabla 1. Situaciones que se pueden presentar en la solución de triángulos rectángulos utilizando el teorema de Pitágoras.
Bibilografía
Clemens, S., OʼDaffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometría (Addison- Wesley Iberoamericana, López Mateos, M. Trad.). México: Pearson.
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México. McGraw-Hill.
Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometría (3ª. ed., Villagómez, H. Trad.). México: Thomson.
Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Geometría y
trigonometría. (3ª. ed., Villagómez, H. y Romo, J. H. Trad.). México:
