Funciones racionales
Profa. Caroline Rodríguez UPRA
Una función racional es una función que se puede expresar de la forma
) ( ) ( ) ( x g x f x
p donde f(x) y g(x) son funciones
Ejemplos: 1 4 ) ( 1 1 2 ) ( 2 x x g x x f
Toda función polinómica es una función racional ya que se puede expresar con un denominador igual a 1.
Dominio de funciones
racionales
• Recuerde que el dominio de una función es el
conjunto de todos los números reales para los cuales la función está definida.
• En el caso de las funciones racionales, debemos
excluir del conjunto de los números reales cualquier valor que hace que el denominador sea igual a
Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
1 4
2 )
( ) 1
x x
Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
4 5
) ( )
2 2
x
x x
f
os. factorizam ceros,
los encontrar
Para
0 4
2
Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
6 2
3
3 2
) ( )
3 3 2
2
x x
x
x x
x f
. agrupación por
os Factorizam
0 6
2 3 2
3
x x
Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
1 5 )
( )
4 2
x x x
f
perfectos. cuadrados
de SUMA una
es 1
2
x
No existe un valor que se le puede asignar a x tal que x2 + 1 sea igual a cero. Por lo tanto, el dominio es, _____________________
___
__________
Interceptos
• Un intercepto en x de f(x) se define como el (los) punto (s) donde el valor de f(x) es igual a cero.
• Para una función racional, el intercepto en x ocurre en el valor de x que hace que el numerador de la función sea igual a cero.
Interceptos
• Hallar los interceptos de la función.
2 1 )
(
x x
f
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
2 1 -2
0 1 )
0
(
f El numerador de f(x) es 1.
1 ≠ 0. Por lo tanto, f(x) NO tiene interceptos en x. El intercepto en y es
Interceptos
• Hallar los interceptos de la función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x x
x x
f
3 2 )
Interceptos
• Hallar los interceptos de la función.
x x
x x
g
9 4 )
( 3
2
Interceptos
• Hallar los interceptos de la función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
2
5 3
2 )
( 2
2
x
x x
Interceptos
• Hallar los interceptos de la función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x 1
2 2
9 9
)
( 4 3
2 3
x x
x
x x
x x
Soluciones de funciones racionales
• Un par ordenado (a,b) es una solución para f(x) si cuando se sustituye x por a , y es igual a b.
• Dicho en notación de funciones, si f(a) = b.
Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de
5 1 2
) (
x x x
f
) 6 (
f
Como 𝑓 6 = 1, entonces (6, 1) SI es una solución de f(x).
5 )
6 (
1 ) 6 (
2
11 1 12
Soluciones de funciones racionales
Ej. Determinar si (-2, -16) es una solución de
3 2 3
) (
2 2
x
x x
Soluciones de funciones racionales
Ej. Determinar el valor de a tal que (a, 4) es una solución de
x x
x f
3
2 5
Consideremos la función racional:
2 1 )
(
x x
f
Hasta ahora sabemos que:
• El dominio de f(x) es D:
• Numéro de interceptos en x:
• El intercepto en y es:
) , 2 ( )
2 ,
(
No podemos trazar la gráfica correctamente con un sólo punto.
Gráficas de funciones racionales
en x. s
intercepto tiene
No
Aunque x=2 NO
pertenece al dominio podemos observar lo que ocurre con valores que están muy cerca de x=2 (un poco mayor o un poco menor).
La gráfica de
𝑓 𝑥 =
𝑥−21(cont.)
Si se eligen valores para la x un poco mayores que 2 (2.01, 2.001, etc) , los valores de la función se hacen muy grandes.
Si se eligen valores para la x un poco menores
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥−21 (cont.)
Estos puntos los podemos unir con una curva,
desconectada, suave que se extiende en
• Los puntos se acercan a esta línea vertical
entrecortada, x=2, por ambos lados, pero
extendiéndose en direcciones
opuestas.
• La línea vertical, x=2, separa la gráfica en dos partes disyuntas.
• x=2 se llama una
asíntota vertical
Veamos que ocurre con los valores de la
gráfica a medida que x
se hace muy grande o muy pequeño.
(Comportamiento en los extremos)
2 1 )
(
x x
f
,
Cuando x y 0
,
A medida que los
valores de x se hacen más negativos, los valores de la función (y) se acercan más y más a cero.
A medida que los
valores de x se hacen más positivos, los
valores de la función (y) se acercan más y más a cero.
2 1 )
(
x x
f
,
Cuando x y 0
,
En este caso, la
línea y=0 se llama una asíntota
horizontal, porque los valores de la
función se quedan bien cerca de esta línea a medida que x aumenta o
disminuye
grandemente..
2 1 )
(
x x
Hallar las asíntotas de
funciones racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical
cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0.
Una función racional está simplificada si NO existen factores comunes, distintos de uno, entre el
Hallar la(s) ecuación(es) de la(s)
asíntota(s) vertical(es) si existe(n).
x
x
x
f
2
2
5
2
.
1
Calculamos los valores de x que
hacen el denominador igual a cero: 2 + 2x = 0 x = -1
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones:
1. El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la
asíntota es la recta horizontal y = 0.
16 1 )
(
15 3
3 )
( .
2
x x x
g
x x
f
Ej El eje de x (y=0) es la
asíntota horizontal de las gráficas de f(x) y
Asíntotas horizontales
2. El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente
principal del numerador y b es el del denominador. 2 2 16 1 4 ) ( 15 3 1 9 ) ( . x x x g x x x f Ej
La asíntota horizontal
de la gráfica de
Asíntotas horizontales
3. Cuando el grado del numerador es mayor
que el grado del denominador la función NO tiene asíntota horizontal.
1 16 )
(
15 3
7 4
5 )
( .
2 3
x x x
g
x
x x
x f
Ej Las gráficas de f(x) y
Hallar la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)
horizontal(es) si existe(n).
x
x
x
f
2
2
5
2
.
1
Gráficas de funciones racionales
Para trazar gráficas de funciones racionales podemos seguir los siguientes pasos:
•Determinar asíntotas verticales.
•Determinar asíntotas horizontales. •Determinar interceptos.
•Determinar comportamiento alrededor de las asíntotas. Tal vez necesites determinar algunos puntos adicionales.
Construir la gráfica de una función racional
x
x
x
f
2
2
5
2
Trazar la gráfica de:
x
x
x
f
3
2
)
(
Intercepto - y:
Intercepto - x
Asíntota vertical:
Puntos adicionales
x
-5
0
2.5
3
3.5
5
10
50
x x y
Trazar la gráfica de:
x
x
x
x
g
2
4
)
(
2 2
Las asíntotas verticales son los valores que hacen cero el denominador en una expresión racional
simplificada, por lo que debemos simplificar g(x) antes de determinar sus asíntotas..
x 2 x 4 x y 2
2
x 2
x 2 x 2 x x 2 x Las funciones x 2 x 4 x ) x ( g 2 2 y x x
y 2
x x
x x
g
2 4 )
( 2
2
• Tienen la misma asíntota vertical.
x = ?
• Tienen la misma asíntota horizontal
y = ?
• Son equivalentes en todos los puntos excepto en x = 2.
La gráfica de g(x) tiene un hueco en (?, ?).
x 2 x
y
Gráficas de funciones racionales
x
x
x
x
g
2
4
)
(
22
Primero simplicamos la función.
x 3
x 3
4 x 2 3 x 9 x 12 x 10 x 2 2 2
La asíntota vertical de esta función es
Trazar la gráfica de:
9 12 10 2 2 2 x x x x f
La asíntota horizontal de esta función es .
3 4 2 x x
x = ?.
y =?
f(x) tiene un hueco cuando
Determinemos el intercepto en y.
Trazar la gráfica de: usando 9
12 10
2
2 2
x
x x
x f
3 x
4 x
2 y
… intercepto en x
Práctica
• Hallar el dominio y los interceptos de cada una de las siguientes funciones.
Práctica
• Hallar el valor de a, si existe, tal que (a,1) es una solución de f(x)
3 4
2 )
(
3
9 4
) (
2
x x
x x
f
x x x
Soluciones
• Dominio: 4 8 16 2 ) ( 2 3 4 x x x x x h x x x x f 3 48 4 2 ) (2
3 2 1 ) ( 2 x x x x g ) , 0 ( ) 0 , ( :
D
) , 3 ( ) 3 , 1 ( ) 1 , ( :
D
) , 2 ( ) 2 , 2 ( ) 2 , ( :
Soluciones
• Interceptos: 4 8 16 2 ) ( 2 3 4 x x x x x h x x x x f 3 48 4 2 ) (2
3 2 1 ) ( 2 x x x x g
