Las nociones de vectores están implícitamente contenidas en las reglas de composición de las fuerzas y de las velocidades, conocidas hacia el fin del siglo XVII.
Es con relación a la representación geométrica de los números llamados imaginarios como las operaciones vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente analizadas, sin que el concepto de vector esté aún claramente definido. Fue mucho más tarde y gracias al desarrollo de la geometría moderna y de la mecánica, cuando la noción de vector y de operaciones vectoriales se concretaron.
El alemán Grassman, en 1844, por métodos geométricos, introdujo formalmente las bases del cálculo vectorial (suma, producto escalar y vectorial).
El inglés Hamilton, por cálculos algebraicos, llegó a las mismas conclusiones que Grassman; empleó por primera vez los términos escalar y vectorial.
Hacia el final del siglo XIX, el empleo de los vectores se generalizó a toda la física. Bajo la influencia de los ingleses Hamilton, Stokes, Maxwell, Heaviside y del americano Gibbs (quien utilizó la notación del punto para el producto escalar y del cruz para el producto vectorial) se amplió el cálculo vectorial, introduciendo nociones más complejas, como los operadores vectoriales Gradiente, Divergencia y Rotacional.
VECTORES
VECTOR.- Es la representación de magnitudes vectoriales, teniendo en cuenta su módulo, dirección y sentido. En todo vector se distingue su línea de acción.
A Vector "A"
A Módulo del vector (valor)
= Angulo director eje horizontal (dirección)
FORMA POLAR
A A
A ;
VECTOR NEGATIVO - EQUILIBRANTE - REACCION
El negativo de un vector A es otro vector, en la misma línea de acción pero de sentido contrario con el mismo módulo, se lo representa por: A
A
A
SUMA Y RESTA DE VECTORES
FORMA GRAFICA.- Todo vector tiene la característica de poderlo trasladar conservando su módulo, dirección y sentido.
Al sumar o restar vectores el resultado será otro vector, con módulo, dirección y sentido propios.
Para sumar vectores por el método gráfico existen los siguientes métodos: Polígono, Triángulo y paralelogramo.
METODO DEL POLIGONO.- Se utilizan todos los vectores, colocándolos uno a continuación de otro (en su traslación). El vector suma o resultante será aquel que une el origen del primer vector con el extremo del último vector.
El módulo se registra con un instrumento de medida (la regla) La dirección se mide con un graduador.
C B A
METODO DEL TRIANGULO.- Se utiliza un par de vectores, colocándoles uno a continuación de otro, se procede utilizando la propiedad asociativa de la suma.
ABC
METODO DEL PARALELOGRAMO.- Se utiliza un par de vectores, haciendo coincidir los orígenes de cada vector, se forma el paralelogramo y se encuentra el resultante, uniendo el origen común con el punto de intersección de las rectas, se mantiene la propiedad asociativa de la suma.
DESCOMPOSICION DE VECTORES
Un vector cualquiera se puede descomponer en un número indeterminado de vectores, cuya suma resulte ser el mismo vector.
COMPOSICION DE VECTORES
De todas las posibilidades, si se considera el caso de dos vectores, un horizontal y el otro vertical, a estos se les conoce con el nombre de componentes rectangulares de un vector.
VECTORES EN EL PLANO
Utilizando la característica de la composición de un vector, se lo puede representar sobre un plano cartesiano expresado por un punto de coordenadas (x, y), el cual definirá el Radio Vector.
(x, y) A y x 2 2 y x A x Acos y Asen
COSENOS DIRECTORES A x cos A y cos 2 2 2 y x A 2 2 2 2 2 cos cos A A A ) cos (cos2 2 2 2 A A 2 2 cos cos 1
MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
Si multiplicamos un escalar por un vector, el resultado es otro vector; este escalar determina la magnitud que aumenta el vector así como también su sentido.
A C m A mA mA m > 0 m < 0 VECTOR UNITARIO
Es aquel que determina la línea de acción de un vector y su módulo es la unidad. Si la línea de acción es el eje x el vector unitario es i. Si es el eje Y el vector unitario es j.
y
j
i x El vector unitario se determina por:
A A
A
(x, y) A Ay Ax i Ax x Ay yj j i Ax y A A A A y x A j i A A x A j i y j i A cos cos
CONCLUSION: Conocido el unitario de un vector se puede establecer otros vectores con la misma línea de acción pero de módulo y sentido diferentes.
SUMA Y RESTA DE VECTORES
FORMA ANALITICA
YB YC YA XA XB XC
i
j C xA xB yA yB POSICIONES
rAC rA rC A r + rAC = rC rAC = rC - rA PROBLEMASSean los vectores:
80;102A B10i22j C (35, - 15) D
20;250
1. Encontrar, gráfica y analíticamente las siguientes operaciones: a) ABCD c) BDA e) C4D5B2A b) ACD d) 2A5B3D f) 5D2A7B2. Hallar: Los vectores unitarios de los vectores resultantes de cada literal del problema anterior. 3. La posición de C respecto a B; D respecto a A; A respecto a C
4. Una muchacha corre alrededor de un lago circular. Invente un sistema sencillo de coordenadas para describir su posición y la dirección de su carrera en cualquier momento, suponiendo que inicia en el extremo sur del lago, y corre en el sentido de las manecillas del reloj a una velocidad de 2 (m/s)
5. Un marinero ebrio trastabillea 3 pasos hacia el norte, 4 hacia el noreste, 3 hacia el este y 5 hacia el oeste. Describa la ubicación final con respecto a la inicial mediante un solo vector desplazamiento.
VECTORES EN EL ESPACIO
Consiste en expresar a un vector por tres componentes ortogonales, definidos con sus unitarios i,j,k y x y z x z y x z Planos paralelos determinan un paralelepípedo. y
x
z
Un punto en el espacio tiene las coordenadas (x , y, z) triada ordenada, determinando el radio vector se obtendrá el vector en el espacio.
k z j y i x A 2 2 2 z y x A
k A z j A y i A x A COSENOS DIRECTORES A x cos A y cos A z cos
ANGULOS DE LATITUD Y LONGITUD (ELEVACIÓN, DEPRESIÓN)
cos a z asen x sen A a A y cos k z j y i x A
sen sen i j sen k
A
A cos cos
sen sen i j sen k
A cos cos A A A
PRODUCTO DE VECTORES
PRODUCTO ESCALAR O PUNTO
Si multiplicamos dos vectores por el producto punto, da como resultado un escalar. cos B A B A 0 180 z z y y x xB A B A B A B A
PROPIEDADES
1. Conmutativa: AB BA 2. Distributiva: A(BC) ABAC 3. Asociativa mixta: m
AB mA B A
mBCARACTERÍSTICAS
1 i j j k k i 0 j j k k i i Si AB0 entonces A BPROYECCIÓN DE UN VECTOR A SOBRE OTRO VECTOR B
La proyección se expresa por la forma: A , y viene dada por: B
B B A AB AB AB
El vector proyección de A sobre B se calcula por:
B B B B A A B B B A AB 2
PRODUCTO VECTORIAL CRUZ
Si multiplicamos dos vectores el resultado es otro vector perpendicular a cada uno de ellos.
ABsen C C B A 0 180 B C A C REGLA DE LA MANO DERECHA.- Para determinar el sentido del vector C, se dirigen con los dedos desde el vector A hacia el vector B, el dedo pulgar nos dará el sentido del vector C.
REGLA DEL TORNILLO A DERECHAS
PROPIEDADES 1. Anticonmutativa: ABBA 2. Distributiva: A
BC
ABAC 3. Distributiva mixta: m
AB
mAB AmBCARACTERÍSTICAS
0
i
j
j
k
k
i
ij k jki ki j z y x z y x B B B A A A k j i B A PROBLEMAS
1. Dados los vectores A = -2i + 3j - k; B = i - 3j + k y C = 3i + 2j - 2k, determine el vector unitario del vector P = A + B - C
2. Dado el Vector A = 4i + 5j - 2k (m) y conociendo que la magnitud de B es 10 (m) y que sus ángulos directores son 60; 90; 120, determine el ángulo que forma el vector A - B con el vector B.
3. Qué condiciones deben satisfacer los vectores A Y B para que se cumpla cada una de las siguientes proposiciones en forma independiente:
a) uAuB 0 b) uAuB 2uB c) uA.uB 0 d) uAuB 0
4. Dados los vectores A = 2i + 3j - k (m); B = 4i - j + 5k (m) y C = - 4i - 6j + 2k (m). (a) Qué vectores son perpendiculares, justifique analíticamente; (b) Qué vectores son paralelos, justifique analíticamente.
5. Dado el vector r = 4i + 3j (m), determine el vector proyección de r sobre una recta que forma un ángulo de 60° con el eje x.
6. Encuentre el ángulo formado por el vector velocidad y el vector aceleración de una partícula en el instante en que la velocidad tiene una magnitud de 3 m/s con una dirección N 30° O y un ángulo de elevación de 45° y la aceleración tiene una magnitud de 5 m/s2 en dirección (0.6 i + c j - 0.4 k) 7. Dados los puntos B (3, 3, 5) m y C (- 2, 3, 2) m y el vector posición de B con respecto a A que es (4 i
- 2 k) m, determine un vector M de magnitud 10 m y perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C.
8. En la figura determine:
a) el ángulo formado por los vectores AC Y CE, b) el vector proyección de OC sobre CD.
9. En la figura. Encuentre: a) AJ y NB,
b) EP, CQ, RD, AC
c) El ángulo formado por los vectores JM y GF, d) La proyección de HK sobre GF. AB = GH = EF = CD = 14 AG = HB = DF = EC = 6 AC = BD = HF = GE = 10 IE = MO = 20 IJ = MP = 18 JK = PQ = 12 KN = QR = 10 NL = RS = 8 EL = OS = 28
10. Desde lo alto de un edificio de 50 m se eleva
un globo tripulado que va desenrollando una cuerda fija al edificio. Cuando la longitud de la cuerda es 120 m y la sombra del globo cae perpendicularmente a 40 m de la base del edificio en dirección SO, un tripulante del globo observa un helicóptero cuya posición respecto a la base del edificio es de 200 i + 300 j - 100 k (m). En ese instante:
a) Con qué coordenadas geográficas describirá el tripulante del globo la posición del helicóptero. b) A qué distancia de la base del edificio se encuentra el globo.
c) Qué ángulo forman los vectores posición, respecto a la parte superior del edificio, helicóptero y globo.
11. Desde la oficina del Instituto de Ciencias Básicas se observa la catedral al N20°O con 37° de elevación y 600 m en línea recta hasta el punto más alto. Utilizando el mismo sistema de referencia se tiene que la antena parabólica se encuentra en las coordenadas (25, 15, 65) m. Determinar:
a) Los Vectores en función de sus coordenadas espaciales. b) El ángulo entre los vectores A (catedral) y B (antena) c) La posición de A con respecto a B
d) La proyección de B sobre el vector que determina a la empresa eléctrica E (-15, 10, -30)
12. Desde el origen de un sistema de referencia se observa a un edificio de 32.8 pie de altura con un ángulo de elevación de 30° y ubicado al N 37° O (vector A). En lo más alto de este edificio esta un observador que estudia a un vector B de módulo 100 m en dirección – 0.82 i + 0.45 j + a k. Si se lanza un mortero desde el origen de coordenadas, cuyo módulo de velocidad es de 50 m/s sobre los ángulos directores: = 110°, = 135°, = 50° (vector C) (Norte el eje z positivo) Determinar: a) Los vectores A , B, C
b) Los unitarios de cada vector
c) La posición relativa de C respecto a A d) La proyección de C sobre A
e) El ángulo entre A y C
